CC BY
41
УДК 517.956.4
В.Н. Разжевайкин
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН Московский физико-технический институт (государственный университет)
Решения типа бегущей волны для уравнения реакции — нелинейной диффузии
Представлены результаты исследования решений типа бегущей волны для уравнения реакции — диффузии вида ut = D(u)(N(u)ux)x + F(u), F(0) = F(1) = 0,
D(u),N(u) > const > 0. Приводятся теоремы о структуре цепочек бегущих волн и сходимости к ним решений, рассматриваемых на фазовой плоскости (u,ux). Устанавливаются, в частности, достаточные условия формирования волн для F(u) > 0 при малых u > 0 как для случая минимальной, так и неминимальной скорости волны. Результаты интерпретируются в терминах популяционной динамики.
Ключевые слова: уравнения реакции — диффузии, бегущие волны.
I. Введение
Основополагающая работа [1], описывающая асимптотическое поведение решений уравнения реакции — диффузии с положительным источником и постоянной диффузией, а также последовавшие работы для случая триггерных источников [2] послужили основой последующей разработки математического аппарата исследования бегущих волн, описывающих процессы пространственного распространения в активных средах. К числу таковых относятся горение, распространение новых биологических видов (волны жизни), эпидемии и т. п. Много интересных моделей такого рода можно найти в книге [3]. Весьма широкий обзор результатов математического характера для бегущих волн у таких уравнений представлен в [4].
Детальный анализ некоторых генетических моделей (см., например, [5]) выявил необходимость учёта зависимости коэффициента диффузии от зависимой переменной. К числу биологических приложений уравнений реакции — плотностно зависящей диффузии — относятся модели, учитывающие брачное поведение (в разреженных популяциях зачастую наблюдается увеличение подвижности, связанное с необходимостью более активного поиска партнера) или внутривидовую конкуренцию (приводящую преимущественно не
к самолимитированию, а более быстрому разбеганию в условиях скученности).
Приводимые ниже результаты в значительной степени являются обобщением аналогичных результатов для случая постоянной диффузии, хотя зачастую (как, например, при рассмотрении сходимости к колмогоровской волне) являются новыми и для классического уравнения реакции — диффузии с постоянной диффузией.
II. Уравнения реакции — нелинейной диффузии
Рассматривается одно уравнение реакции — диффузии — на прямой х Е К вида
щ = В(п)(М {п)пх)х + Г (и), (1)
где и = и(Ь,х), О(и) > Б0 > 0,
N (и) > М0 > 0. Функции О (и),
N (и), Г (и) считаются достаточно гладкими (достаточно потребовать, например, дважды непрерывной дифференцируемости по Гельдеру) с тем, чтобы основные краевые задачи (см. [6], гл. V) как для (1), так и для полученного из (1) дифференцированием по х уравнения относительно их, были корректно разрешимы. Функцию Г (и) принято называть «источником» или «точечным» членом.
В качестве базовой интерпретации используется «экологическая», в которой и(Ь,х) — «плотность» числа особей рассматриваемой популяции в момент времени Ь ^ 0 в малой окрестности точки
х. В этом случае содержательный смысл имеют только ограниченные распределения (решения уравнения (1) при фиксированном значении момента времени), так что в качестве области определения функций О (и), N (и), Г (и) можно выбрать ограниченный интервал, про который заведомо известно, что оказавшиеся внутри него в начальный момент времени распределения его не покинут. Постоянные по пространству решения уравнения (1) являются также решениями «точечного» уравнения
^и .
Ш= ^
в котором правая часть задает популяционную динамику в «точечном» (то есть уже без учёта пространственной распределенности) случае.
III. Решения типа бегущей волны
Воздействия, связанные со структурной перестройкой природных систем, способны привести к изменениям доминирующих равновесий, исполняющих роль финальных стационарных состояний на этапах адаптации экосистем к этим воздействиям. В таком случае будет наблюдаться процесс установления нового доминирующего равновесия, имеющий характер его пространственного распространения от очага к периферии в виде фронта волны, бегущей от одного положения равновесия к другому, которое в рамках рассматриваемого процесса считается устойчивым. В терминах модели (1) это означает, что без ограничения общности можно считать выполненными соотношения Г (0) = Г (1) = 0 и Г (и) > 0, и Е (1 — £,1) для некоторого £ > 0. При этом в рамках концепции структурной устойчивости относительно остальных положений равновесия уравнения (2) можно предполагать, что их на интервале (0,1) конечное число. Между крайними положениями равновесия может распространяться как одиночная бегущая волна, так и целая цепочка таких волн с внутренними устойчивыми положениями равновесия в качестве крайних для отдельных её звеньев.
При учете свойств устойчивости положения равновесия и = 0 выделим два случая. В колмогоровском (соответствен-
но триггерном) случае покидаемое положение равновесия является неустойчивым, так что Г (и) > 0 при и Е (0,£) для некоторого £ > 0 (соответственно устойчивым с Г (и) < 0, и Е (0,£)) справа положением равновесия уравнения (2).
Для описания одиночной бегущей волны используется следующая схема. Для некоторого с Е К (скорость волны) положим £ = х + сЬ и будем искать монотонные решения (бегущие волны) уравнения (1) вида и(Ь,х) = и(£). Они являются решениями стационарного уравнения си^ = О(и)N (и )и)% + Г (и) относительно переменной £, эквивалентного для
Р(£) = N(и(£))Щ(£) системе
( тт _ Р р ______ сР________Р(Щ
) м(и) ’ м(и)0(и) Д([г)’ (З)
\ и (—ж) = 0, и (+ж) = 1.
В (3) к системе добавлены краевые условия, выбор которых соответствует волне, распространяющейся в случае с > 0 справа налево таким образом, что на её хвосте оказывается линейно устойчивое решение уравнения (2) (ибо для якобиана А(и) системы (3) в положении равновесия (V,0) при с > 0 будет ^ А(и) > 0, то есть оно может иметь входящую траекторию только при Ги ( и) < 0).
Теорема 1. Решения краевой задачи (3), принимающие значения на отрезке [0,1], удовлетворяют неравенству Р(£) > 0.
Доказательство. На плоскости (и,Р) искомые решения — это гетероклини-ческие траектории ( и(£),Р(£)) системы (3), выходящие из положения равновесия (и,Р) = (0,0) и входящие в положение равновесия (1,0). При этом в силу краевых условий в (3), по крайней мере для некоторого и, будет иметь место неравенство Щ(£) > 0, так что искомая траектория (и(£),Р(£)) имеет непустое пересечение с внутренностью первого квадранта. Если бы траектория имела также непустое пересечение с замыканием второго квадранта плоскости, то она должна была бы пересекаться с осью абсцисс в некоторой точке и* из интервала (0,1). В случае Г(и*) = 0 это пересечение имело бы место при и* = и(£*) с £ * = ж, так что Р (£) при £ = £ * в силу (3) меняла бы знак, что с учётом наложенных ограничений и геометрии фазового портрета системы (3) исключало бы приближение траектории ( и(£),Р(£)),
по крайней мере к одному из указанных положений равновесия.
Случаю Г (и *) = 0 соответствует положение равновесия системы в (3), недостижимое при конечных £ в силу единственности решения для неё задачи Коши. Из этого следует, что искомая траектория целиком лежит внутри первого квадранта, то есть функция и (£) является монотонно возрастающей.
На участках монотонности и(£) решения системы (3) удовлетворяют уравнению
dP
Ж1
c F (U)N(U)
D(U) D(U)P
(4)
полученному делением второго из уравнений (3) на первое, или эквивалентному ему
4Е (и,Р) Рс
соотношению -----777—- ~
аи
«энергии» Е(и,Р) = ^- + гДе
■ЩГ) Для Функции
J (U ) =
F{u)N{u)
D(u)
du
— функция потенциала, а слева в уравнении стоит полная производная в силу (4). Интегрирование по и на интервале (0,1) для случая решения Р = Р(и) типа бегущей волны с учётом Р(0) = Р(1) = 0 даёт
J (1)
Р{Ц)
D(U)
dU,
так что с учетом положительности подынтегрального выражения получаем sign c = sign J(1). Решения уравнения (4) мы в дальнейшем будем называть «траекториями» в отличие от «решений» системы (3).
IV. Асимптотические и накрывающие траектории
Поиск гетероклинических траекторий, соответствующих решениям задачи (3), удобно осуществлять по частям — сначала найти отдельно исходящие и входящие траектории (называемые далее асимптотическими), а затем условия, при которых они будут совпадать. Направления
l±(U)
dP (U )
dU
по которым асимптотические траектории Р±и(и) будут приближаться к положению
равновесия (II,0), таковы, что исходящему всегда соответствует наклон I+ ^ 0, а входящему I- ^ 0. Поскольку эти наклоны пропорциональны собственным значениям якобиана А (О):
l±(U) = N (U)X± (U) =
±/
2D( U)
c ±Jc2 - 4N(U)D(U)Fu(U)
_ (5)
то при U = 1 будет l (1) = lc (1), а при Ü = 0 соответственно l+(0) = l±(0).
Теорема 2. Асимптотические траектории P-i( U) и P+0( U) в триггерном случае существуют и единственны при любых c Е R. То же верно для PM U) и в колмогоровском случае при
с>Ст = 2д/N (0) D (0) Fu (0).
Доказательство. В случае Fu (U) = 0 положение равновесия ( U,0) системы в (3) не вырожденно в линейном приближении, так что при U = 1 существует траектория P-i(U), неограниченно продолжаемая в обратном времени. Для U = 0 в условиях теоремы l+(0) > 0, что обеспечивает наличие траектории P+0(U), неограниченно продолжаемой вперед по времени. В случае Fu(U) = 0 для проверки существования решений может быть использована следующая
Лемма 1. Пусть для некоторого е > 0 и Q£ = {y Е Rn,0 < \y\ ^ е} в
cl Q£ х I, где I = [0,1], cl Q£ — замыкание области Q£, задано семейство уравнений ^ = /(у,А), относительно правых частей которых предполагаются выполненными следующие условия:
1) аункция f(y,X) непрерывна по совокупности аргументов и равномерно по А Е I непрерывна по Липшицу по у;
2) f (0,А) = 0, А Е 1 ; f (У,А) = 0 при У Е Q£, А Е 1.
Тогда если для каждого положительного А Е I существует траектория y(t,X) указанной системы со значениями в Q£ такая, что ÿ(t,X) ^ 0 при t ^ и
vrai limA^+0 у(0,А) Е Е, то существует траектория y(t,0) со значениями в Q£ такая, что y(0,0) Е Е и y(t,0) ^ 0 при t ^ +то. Здесь множество Е С Q£ замкнуто, а
vrai limA^+0 vW = П A>0 cl U 0<^<A {v(v)} —
1
0
1
c
0
множество пределов всевозможных сходящихся подпоследовательностей функции •и(А) при А ^ +0.
Доказательство леммы. Пусть £ = £0 > £1 > £2 > ... > 0 — убывающая до нуля последовательность. В каждом из компактов Сг = с1^£—1 ), г = 1, 2, ...,
семейство функций f (у,А) равномерно отграничено от нуля, так что семейство локализованных в них отрезков траекторий у(Ь,А) определено на равномерно ограниченных отрезках времени, а также является равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным, что позволяет выделить из него равномерно сходящуюся при А ^ +0 подпоследовательность. В силу непрерывной зависимости решений системы от параметров и начальных условий предел этой подпоследовательности является решением системы при А = 0. Применение диагонального метода при возрастании г позволяет убедиться в том, что построенная на его основе при А = 0 траектория системы будет иметь непустое пересечение с каждым из Сг, а стало быть, удовлетворяет сформулированному асимптотическому условию.
Замечание. Условие локализации начальных условий Е С Q£ можно ослабить, заменив его на у(Е,Т,А) С Q£ для некоторого Т ^ 0 и всех А Е I. Здесь у(у0,Ь,А) -решение системы с начальным условием у(у0,0,А) = у0. Нетривиальным является случай 0 Е Е. К таковым относится, например, вариант с Е = {у0} при у0 = 0.
Продолжение доказательства теоремы 2. Для того чтобы воспользоваться леммой для доказательства существования искомого решения в случае Ги(и) = 0, остаётся вложить систему (3) в семейство, полученное из (3) заменой Г (и) на Г (и) + А(1 — и) в случае Р-1(и), а для Р+0(и) на Г (и )+Аи в колмогоровском случае и на Г (и) — Аи в триггерном случае. В последних двух случаях при использовании леммы следует изменить направление времени.
Для доказательства единственности можно воспользоваться следующими соображениями.
В случае 1+ (и) > I-(и) имеются ровно два собственных направления траекторий положения равновесия ( и,0) системы (3), так что это положение равновесия либо седло (в случае, когда траектории, под-
ходящие по этим направлениям к положению равновесия, достигают его при различных знаках возрастающего по абсолютной величине времени), либо узел (в случае одинаковых знаков). В последнем случае все траектории из его малой окрестности достигают узла, касаясь одного из двух направлений, причём большего по абсолютной величине касается только одна траектория, что обеспечивает её единственность. Именно такие направления выведены в формулировке теоремы.
Исключительная ситуация, не подпадающая непосредственно под её условия, соответствующая равенству 1+(и) = I- — (и), может возникнуть только в триггерном случае при с = Ги ( и) = 0. Но в этом случае (как, впрочем, и при с = 0,Ги( и) < 0) как входящая, так и выходящая из положения равновесия траектории связаны в области Р > 0 соотношением Р(11) = л/2^(й) — /([/)), полученным из Е(и,Р) = .]( и), что гарантирует их единственность. Заметим, что положительность выражения под знаком квадратного корня при и, близких к и, эквивалентна устойчивости положения равновесия и уравнения (2).
Из (5) находим, что для выполнения неравенства ( и) ¡йс > 0 достаточ-
но, чтобы выполнялось одно из условий: Ги (Щ < 0 либо Ги (Щ ^ 0 для
±с > 2^N (и) Б (Щ ^ (и).
Здесь выбор знака скорости во втором случае определяется знаком выбираемого направления: 1± ( Щ.
Отсюда с учётом монотонности решений уравнения (4) по параметру с следует
Теорема 3. Асимптотические траектории Р,}о(1г) и Рс1( и) являются соответственно монотонно возрастающими и монотонно убывающими по параметру скорости с.
Доказательство. Выпавший из рассмотрения вырожденный случай для Р~1 — ( и) при Ги (1) = 0 соответствует неподвижному по параметру входящему направлению. Строгая монотонность решений уравнения (4) по параметру исключает возможность совпадения Р—1( и) и Р-2 1( и) в некоторой окрестности точки и = 1 при с1 = с2. Нестрогое же взаи-
морасположение асимптотических траекторий Р- 1(и) и Р—1(и) в вырожденном случае наследуется из взаиморасположения аппроксимирующих их невырожденных асимптотических траекторий (эта аппроксимация непрерывна, как это видно из доказательства леммы 1, на каждом отграниченном от точки и = 1 интервале некоторой её окрестности).
Траекторию Р(и) будем называть накрывающей, если для любого 0 < и < 1 выполнено неравенство Р(и) > 0. Положим
= Є + 8Ир и €(0,1)
N(17) б (и) й
Бм = тах Б(Ш), и €[0,1]
с£ — 2л/ДмТг, с.м — ¿о-
Теорема 4. При с > см траектория Р+оО ) является накрывающей.
Доказательство. Фиксируем £ > 0 и с > 4. Пусть (О(£),Р(£)) — решение задачи
Р р (сР - ъЮ
М(иу 5 N(11)0(11) ’ (6)
р(£) = кШ(£), £
с краевым условием, задаваемым направлением
4,с = — (с + л/ с2 — АИм'Ує)
вдоль прямой 1е,с = {(и,Р) : Р = 1есШ}. Траектории решения (Ш(£),Р(£)) системы в (6) в положительном квадранте плоскости (Ш,Р) удовлетворяют уравнению
(ІР
1еШ
¿О Б(О) Б(О)Р’'
минорирующему уравнение (4). Но его траектории, имеющие точки выше прямой 1£,с, не могут пересекать её правее такой точки, ибо на самой прямой
СІР
№
1
Б(Ш)
С+ \/'-2 1/Лг
2Б
I
м
Б
м
с+ у/с2 - АБмЪ
при с ^ с£. Остается только заметить, что для любых £2 > £1 > 0 и с2 > с£2 найдется с1 Е (с£1 ,с2) такое, что 1£1,с1 < 1£2,с2, так что траектория системы в (6), выходящая по направлению 1£2 С2, будет оставаться выше прямой 1£1С1.
V. Случай положительного источника
В случае положительного источника спектр значений скорости, допускающих решения типа бегущей волны, представляет собой замкнутую полупрямую.
Теорема 5. Если Г (О) > 0 при
О Е (0,1), то существует такое с* Е [ст,см], что для любого с ^ с* существует решение задачи (3).
Доказательство разбивается на несколько лемм. В каждой из них считаются выполненными условия теоремы.
Лемма 2. Если для некоторого с > 0 существует решение типа бегущей волны, то оно существует и для любого с> с.
Доказательство. Р+0(1) > 0
и область Кс (О) = {(и,Р) :
О Е (0,й),Р Е (0,Р+О(0))} инвариантна относительно системы (3) при убывании £, поскольку возможный выход через границу Р = 0 запрещён условием Г (О) > 0. С учётом знакопостоянства Р(£) и сокращения высоты области Кс(й) при й ^ +0 получаем, что всякая такая траектория, имеющая точку в этой области, стремится при £ ^ —ж к положению равновесия (0,0). Но траектория Р-1(О), входящая в положение равновесия (1,0), такие точки имеет.
Лемма 3. Для любого с > см существует решение задачи (3).
Доказательство. Согласно теореме 4 в этом случае Р+(1) > 0. Далее применяются рассуждения из доказательства леммы 2.
Лемма 4. При с < ст решений задачи (3) не существует.
Доказательство. Поскольку Г (О) > 0, то .] (1) > 0, так что в случае существования решения его скорость с > 0. При 0 ^ с < ст положение равновесия системы
с
с
(3) — фокус, что исключает существование монотонных исходящих траекторий, к числу которых относятся также и волновые решения.
Лемма 5. Нижняя граница с* значений скорости волновых решений достижима.
Доказательство. Применяя лемму 1 к системе (3) с А = с — с* в случаях Ь = —£ и Ь = £, получаем предельные траектории при с = с*. Если в качестве аппроксимирующих решений выбирать волновые для с > с* ив диагональной процедуре (см. доказательство указанной леммы) учитывать сходимость сразу в обоих направлениях, то и предельное решение также окажется волновым.
Следствие 1. В случае ст = см в условиях теоремы 5 волновое решение существует при всех с ^ ст.
Указанный случай имеет место, например, при выполнении условий
0(0) ^ 0(0), N (О) Г (О) ^ N (0)Ги (0)0, и Е (0,1).
Замечание. С учётом возможности замены переменной
w(u)
dv/D(v),
избавляющей уравнение (1) от внешнего коэффициента диффузии, может быть уточнена оценка
cm
\
и
sup N(U)F(U)/ U €(0,1)
dv/D(v),
так что первое из указанных неравенств может быть заменено более слабым:
и
dv/D(v), Ue (0,1).
Следствие 2. В случае Fu(0) = 0 выполнено неравенство c* > cm = 0.
Доказательство. Положительность следует из sign c* = sign J(1) > 0.
VI. Достаточные условия существования бегущей волны
Далее мы ограничиваемся случаем с ^ 0, поскольку случай с < 0 сводится к нему одновременной заменой
c = c,
U =1 U,
0(0) = 0(1 — 0), N (0) = N (1 — 0),
Г = —Г (1 — и) (7)
в уравнении (1) (при этом £ в системе (3) тоже меняет знак, что позволяет сохранить вид краевой задачи (3) для новых переменных).
Теорема 6. Для существования решения задачи (3) при некотором с ^ 0 достаточным является одновременное выполнение следующих двух условий:
1) для любого О Е (0,1) выполнено неравенство 1 (О) < 1 (1);
2) не существует устойчивого слева положения равновесия О Е (0,1) уравнения (2) такого, что 1 (О) ^ 0.
Замечания. 1. Более сильный вариант со строгим неравенством во втором условии также верен. Его проверку удобно проводить при исследовании систем волн.
2. Симметричные относительно замены (7) условия, гарантирующие существование волны с с ^ 0 в триггерном случае, получаются из приведённых здесь заменами указанных в условиях неравенств на 1 (О) < 0 и 1 (и) ^ 1 (1) соответственно, а слова «слева» в условии 2) на слово «справа».
3. В случае если на интервале (0,1) нет устойчивых положений равновесия уравнения (2), одно из достаточных условий (для с ^ 0 или для с ^ 0) будет выполнено.
Доказательство. Согласно теореме 4 существует см > 0 такое, что для с > см траектория Р+Я(И) является накрывающей, причём Р+0(1) > 0. Замена переменных (7) позволяет убедиться в существовании такого значения с'м > 0, что при с < см траектория Р+(И) не достигает прямой и = 1, поскольку оказывается ниже накрывающей асимптотической траектории Р~1(ц) с Р~1(0) > 0. Это означает в частности, что существует вещественное с* , служащее точной нижней границей для
и
0
0
0
тех значений скорости с, при которых траектория Р+(и) является накрывающей.
Случай с* < 0 исключен, поскольку иначе Ро+о(1) > 0, и входящая при с =0 в положение равновесия (0,Р) = (1,0) траектория Р^1(и) будет располагаться ниже траектории Р+(И), так что найдется О* Е (0,1) такое, что Р^1(0*) = 0 и Ро"1(и) > 0 при О Е (О*,1). Интегрирование (4) по О на интервале (О*,1) для Р-1(и) даёт 1 (О*) = 1 (1) в противоречии с условием п. 1).
Если же с* ^ 0 и для некоторо-
го О* Е (0,1) Р+,0(О*) = 0, то при Г * = Г (и *) = 0 поле направлений системы (3) в окрестности точки (и,Р) = (О*,0) будет невырожденным, поскольку в самой этой точке правая часть (3) (0,Г*) = 0. Эта невырожденность означает, в частности, смену знака у второй компоненты Р (£) решения задачи (3) для с = с* при £ = £ *, где £ * — такое конечное значение переменной £, что О(£*) = О*. В силу непрерывной зависимости решений от параметров такая же невырожденность будет иметь место и для значений параметра с, близких к с*, то есть Р (£) также меняет знак и при с> с*, что противоречит выбору с* .
В альтернативном случае Г (О *) = 0 при с ^ 0 функция Е(0,Р) = Р2¡2 + 1 (О) не убывает, так что в некоторой левой полуокрестности точки и* выполняется неравенство 1 (О) < 1 (О*), кото-
рое с учётом изолированности положения равновесия и* уравнения (2) влечет неравенство Г (О) < Г (О*) при
О < О *, достаточно близких к О *, что эквивалентно его левой полуустойчи-вости. При этом поскольку снова в силу неубывания Е(0,Р) на траекториях 1(0*) = Е(0*,0) ^ Е(0,0) = 1(0) = 0, то и* удовлетворяет исключающим условиям п. 2).
Наконец, при с* = ст условие 2) влечет выполнение неравенства Г (О) > 0 при и Е (0,1), ибо ближайшее к О = 0 положение равновесия уравнения (2) удовлетворяет условиям п. 2). Но для этого случая существование волнового решения доказано в теореме 5.
Единственной оставшейся возможностью оказывается с* ^ 0 при условиях
Р+,0(и) > 0 и Е (0,1) и Р+,0(1) = 0 что соответствует утверждению теоремы.
VII. Цепочки триггерных волн
Пусть 0 = и0 < и1 < ... < ик = 1 -устойчивые (кроме, быть может, нулевого) стационарные решения уравнения (2). Для каждой пары (иг,и^), г < ], из этой цепочки можно поставить задачу построения решения типа бегущей волны С(%,]) уравнения (1), которая заключается в отыскании такого значения (или набора значений) параметра с^ Е К, что для £ Е Я выполнены соотношения (3), в которых вместо с стоит с^, а вместо 0 и 1 в краевых условиях — соответственно иг и и^. причём И5(£) > 0, £ Е К, Здесь £ = х + с^Ь, а О(£) = и(£ — с^Ь,Ь) не зависит от Ь.
Возможное отсутствие решения С(%,]). связывающего два положения равновесия уравнения (2), может быть обусловлено существованием цепочки последовательных отстающих друг от друга волн, соединяющих положения равновесия, расположенные между двумя выбранными. Если исключить из рассмотрения негрубый случай наличия полуустойчивых (слева) равновесных состояний уравнения (2), то в цепочке волн лишь первая из них может оказаться колмогоровской, поскольку все остальные, соединяющие устойчивые положения равновесия, обязаны быть триггерными.
Отметим, что приводимые в этом разделе результаты элементарны и в основном повторяют аналогичные для случая постоянной диффузии (см. [7], а также [8] для сходимости на фазовой плоскости). Специальный случай колмогоровской передней волны будет разобран ниже, так что здесь мы ограничимся вариантом, когда все волны в цепочке являются триггерными.
Теорема 7. Пусть 0 ^ г < т < I ^ к и существуют две волны С (],т) и С (т,1) такие, что Cjm < сГП1. Тогда существует единственная волна С(],1) со скоростью
cjl Е (cjm,cml).
Доказательство. Без ограничения общности будем считать ] = 0,
I = к, с^ = с0, с^ = с1. Положим
Д+(с) = Pc,0(um), Д-(с) = Р-1(Пт). Из
теоремы 3 в условиях теоремы 7 получаем строгое монотонное возрастание Д+(с) от нуля при с = с0 до некоторого Д+ О > 0
при с = с1. Применением замены (7) получаем монотонное убывание Д_ (с) с ростом с от Д_(со) > 0 до Д_(с1) = 0. Величина Д(с) = Д+(с) — Д_(с) непрерывно и монотонно возрастает на интервале (с0,с1) от
—Д_ (с0) < 0 до Д+(с1) > 0, так что существует единственное значение параметра с Е (с0,с1) такое, что Д(с) = 0, то есть P+0(um) = P_1(um). Это равенство влечет совпадение асимптотических траекторий P+0(U) = Р_(и), которые в совокупности определяют волновое решение C(0,1).
Следствие 1. Теорема 6 может быть усилена заменой нестрогого неравенства в 2) на строгое.
Доказательство. Если полный набор устойчивых положений равновесия уравнения (2) 0 < uix < ... < uit < 1, для которых выполнены равенства J (uij) = 0, j = 1, ..., l, не пуст, то, во-первых, между соседними среди них существуют решения типа бегущей волны, имеющие нулевую скорость, а, во-вторых, в силу 1) и теоремы 6 существует решение C(il ,k) со скоростью с^к > 0. Согласно теореме 7 отсюда следует, что существует волна C(il_1,k) со скоростью с^_Е (0). Продолжая построение назад по цепочке, получим в конце волну C(0,k) со скоростью с0к > 0.
Будем говорить, что волна C(i,j) накрывает волну C(m,n), если i ^ m < n ^ j, и что цепочка волн C1 = {C1} накрывает цепочку волн C2 = {C2}, если для любой волны C2 Е C2 найдется накрывающая её волна Cj Е C1.
Из теоремы 7 вытекает, что «неправильные» цепочки, где существуют соседние пары волн, задняя из которых может догонять переднюю, со временем заменяются накрывающими их «правильными» цепочками волн, в которых волны, бегущие сзади, уже не догоняют передних. Поскольку для любых соседних устойчивых положений равновесия ui и ui+1 выполнены условия теоремы 6 (в положительном или отрицательном вариантах), так что всегда существует волна C(i,i + 1), то для любого полного (то есть не содержащего пропусков) набора устойчивых положений равновесия существует связывающая их (необязательно правильная) цепочка волн. Заменяя последовательно неправильные пары волн накрывающими их, устанавливаем
Следствие 2. Для любого полного на некотором интервале (и1,ик) набора {иг}: и1 < и2 < ... < ик — устойчивых положений равновесия уравнения (2) существует правильная цепочка волн: {С(ij,ij+^}; ц Е {1, ..., к}.
Оказывается, что независимо от порядка замены неправильных пар в исходной цепочке финальная цепочка получается одной и той же. Для проверки этого факта понадобится приводимый ниже результат. Далее Р^ (и) обозначает решение уравнения (4), получающееся из (3), где в краевых условиях вместо 0 рассматривается иг и Uj вместо 1.
Теорема 8. Пусть
0 ^ ] < т ^ п <1 ^ к,
и существуют волна С(],1) и одна из волн С(],т) или С(п,1). Тогда в первом случае для всех и Е (uj ,um) выполнено неравенство Рл(и) > Pjm(u), а во втором для всех и Е (ип,и1) — неравенство Pjl(u) > Рп1(и).
Доказательство вытекает из теоремы сравнения решений обыкновенных дифференциальных уравнений по параметру с для (4) с учётом начального наклона при и = Uj вперед по и для первого неравенства и назад от и = и — для второго.
Следствие 1. В условиях теоремы выполнены соответственно неравенства с,7 > с^ или с,7 < сп1.
Доказательство получается использованием теоремы 3.
Следствие 2. Правильная цепочка {С г ,ij+1)} является минимальной, то есть для любого ] не существует волны
С(ij ,ij+q), Я > 1.
Доказательство. В противном случае выполняются оба условия теоремы 8, что с учётом следствия 1 обеспечивает нарушение правильности цепочки.
Следствие 3. Пусть
0 ^ ^ т < п ^ I ^ к,
и существуют волна С(],п) и волна С(т,1). Тогда ^I > с^п.
Доказательство. Из теоремы 7 вытекает существование на интервале (um,un) правильной цепочки волн: {С(Рг,Рг+1)},т = Р1 < Р2 < ... < Рм = п
с невозрастающими значениями скорости, так что с^1 ^ стР2 и срм-1п ^ ^п, причём одно из этих неравенств выполняется
строго в силу неравенства т < п. С другой стороны, в силу правильности цепочки {С(Рг,Рг+1)} выполнены неравенства
ср1р2 ^ ср2р3 ^ ... ^ сРМ-1РМ , которые в
совокупности с предыдущими дают неравенство в утверждении следствия.
Следствие 4. Для любого набора {и}: и1 < и2 < ... < ик — устойчивых положений равновесия уравнения (2) существует единственная правильная цепочка волн:
{С(ij,г3+1)}, ij Е {1, ..., к}.
Доказательство. В случае неединственности с учётом следствия 2 найдутся
1 ^ Я < 3 < т < п ^ I ^ к такие, что существуют волны С(я,т) и С(т,1) из одного набора и С(3,п) — из другого. Но тогда с учётом следствия 3 ст\ > с)п > cqm в противоречии с правильностью первой из цепочек.
VIII. Цепочки колмогоровских волн
В колмогоровском случае скорость волны, распространяющейся из положения равновесия и0 = 0, может принимать значения из некоторого интервала. Так, если 0 < и1 < ... < ик = 1 — набор устойчивых стационарных решений уравнения (2), так что Г (О) > 0 при О Е (0,и1), то диапазон возможных значений скорости волны С(0,1) в соответствии с теоремой 5 составляет полупрямую 11 = [с*, + ж) для некоторого с* Е [ст,см]. Оказывается, что по мере увеличения числа промежуточных устойчивых положений равновесия диапазон возможных значений скорости волны сокращается, так что справедлива следующая
Теорема 9. В колмогоровском случае диапазон значений параметра с, доставляющих решение С(0,3) при 3 ^ 2 задачи (3) с Uj вместо 1, определяется индуктивно как I) = [с ,с?), где & — минимальная скорость в правильной цепочке набора {ир}: р = 1, ..., 3, а с Е 1)>, 3' < 3, причём из с > ст следует с > с > 0 при 3 > 3'. В частности, указанная задача не имеет решений, если указанный полуинтервал оказывается пустым.
Доказательство. Индукция по 3. Полагая с 1 = +ж, получаем утверждение для 3 = 1 (см. теорему 5).
В предположении справедливости утверждения для всех р < 3 докажем его для 3. Пусть С(р,3) — последняя из волн в цепочке набора {щ}, имеющая по предположению скорость &. При с ^ & траектория Р~и(О) не может достигать положения равновесия О = 0, поскольку в случае равенства она попадает при £ ж в точку с координатами О = ир, Р = 0, а при выполнении строгого неравенства уходит раньше, то есть пересекает ось Р = 0 в некоторой точке и > ир. Указанное ограничение высекает на полуинтервале 1г новую верхнюю границу &.
Для построения нижней границы рассмотрим два случая.
Первый. ср > ст. Тогда при
Дс,р = Р-п, (ир) — Р+о(иР) > 0 траектория Р^щ (О) в области О ^ ир остаётся выше
траектории Р+о(И ), то есть снова не попадет в положение равновесия и = 0. Во всех остальных случаях при с Е 1р она заключена между указанной траекторией и траекторией Р-ир(О), задающей траекторию С(0,р). Поскольку обе указанные траектории при и ^ +0 сходятся к нулевому положению равновесия системы (3), оставаясь положительными, то и траектория Р-щ (О) будет сходиться туда же. Случаю равенства Дср = 0 соответствует нижняя граница с = с) > ср.
Второй. ср = ст. Здесь возможны два варианта. В первом из них, когда для всех с > ст выполнено неравенство Дср < 0, нижняя граница, как это легко видеть из тех же соображений, что и выше, остаётся прежней: с3 = ст. Во втором варианте, если для некоторого с = с3 > ст будет выполнено равенство Дср = 0, то оно и будет задавать новую нижнюю границу возможных значений скорости.
Следствие. В случае Ги(0) = 0 выполнены неравенства с3 > с3 > 0 при 3 > 3'.
Доказательство. Положительность следует из с1 = с* > 0 (см. следствие 2 теоремы 5). Далее применяется теорема с учётом ст = 0.
Цепочка колмогоровских волн состоит из передней волны, описанной в теореме
9 и следующей за ней триггерной цепочки волн. Только в случае, когда каждая из последующих волн не догоняет предыдущую, цепочка сохраняет свою структуру. Такую цепочку мы будем называть пра-
вильной колмогоровской цепочкой. В частности, триггерная цепочка, остающаяся после удаления из правильной колмого-ровской цепочки передней волны, должна быть правильной триггерной. Для заданного диапазона значений и такая правильная колмогоровская цепочка имеет минимальное число звеньев, поэтому мы будем называть её минимальной (по отношению к диапазону) колмогоровской цепочкой.
Содержательный смысл величины 3м = тах{3 : I) = 0} определяется как высота передней (колмогоровской) волны, равная наибольшему возможному количеству положений равновесия, проскакиваемых передним фронтом волны. Очевидно, что правильная колмогоровская цепочка, у которой скорость передней волны минимальна (то есть равна с3м), является минимальной. При экологической интерпретации цепочек волн как элементов сукцессии, соответствующих заменам одних биологических фенотипов другими, высота передней волны характеризует предел мощности внешних факторов сукцессии, выраженной в терминах количества единовременно преодолеваемых последовательных ступеней развития системы. С практической точки зрения в терминах теории эволюционного отбора эта величина может быть сопоставлена границе, в пределах которой усилия по проведению мероприятий, связанных с искусственным отбором, могут быть оправданы.
IX. Сходимость к цепочкам волн
Об установлении бегущей волны можно говорить в смысле сходимости к ней решения уравнения с точностью до сдвига по пространственной координате. На фазовой плоскости зависимой переменной и её производной по пространственной переменной этому соответствует сходимость к гетероклиническим траекториям, определяющим решения типа бегущей волны. Нестационарное уравнение на этой плоскости имеет существенно больший набор решений, чем у исходного уравнения, поскольку, например, наряду с отдельными бегущими волнами включает также и цепочки волн. В такой трактовке становится
корректным понятие сходимости к ним фазовой траектории исходного решения.
В случае выполнения их(х,Ь) > 0
при х Е К положим Q(u) = их,
так что Р = QN, и продифференцируем (1) по х. Слева имеем дгхи = Qt + иЩ = Qt + и (DpuQ + Г), а справа
(ВРи + Г)х = Q (ВРиС) + Г)и =
= Я2 ВРи + ГП)и + (Ши ВРи + Г/Я),
так что
Qt = Q2 (В ^)и + Г/Ои =
= Q2 )и)и + ЗД — Щи. (8)
Это — вырожденное уравнение реакции — диффузии. Вырождение возникает при Q = 0, где единственность решения может теряться. Поскольку начальное монотонное ограниченное распределение и(х,0) соответствует обнуляющемуся за пределами области, ограничивающей и(х,0), начальному распределению Жи,0), то представляет интерес вопрос о корректной разрешимости уравнения (8). Оказывается, что он может быть решен построением взаимно однозначного соответствия между решениями уравнения (8) и семействами решений уравнения (1). Следующее утверждение служит основанием для этого построения.
Теорема 10. Решение задачи Коши для уравнения (1) с монотонно неубывающим начальным распределением и(х,0), удовлетворяющим краевым условиям и(—ж,0) = а < и(+ж,0) = в с а, в Е (0,1), является при Ь > 0
строго монотонно возрастающим по х от и(—ж,Ь) = и(а,Ь) до и(+ж,Ь) = и(в,Ь), где и(и0,Ь) — решения уравнения (2) с
и(и0,0) = и0.
Доказательство. Монотонность при Ь > 0 является следствием знакопо-
стоянства пространственной производной их(х,Ь) как решения относительно неё для продифференцированного по х уравнения (1) с фиксированной функцией и(х,Ь), входящей в коэффициенты этого уравнения (метод замороженных коэффициентов).
Для проверки выполнения краевых условий следует установить исчезновение при х ^ разностей 'ш-(х,Ь) = и(х,Ь) — и(а,Ь) и
/ш+(х,Ь) = и(в,Ь) — и(х,Ь). Это может
быть проделано, например, путём разбиения т-(х,0) на две составляющих: т- = /ш\ + /ш2 с /ш\(х,0) = тт{и—(х,0),е} для некоторого е > 0. Первая из них оценивается из соображений сравнения величиной и(а + е,Ь) — и(а,Ь), вторая — через оценку функции Грина в свёртке с обнуляющимся на одной из полуосей начальным распределением (для верхней оценки такого решения на полупрямой можно использовать решение краевой задачи с фиксированным значением на границе, нечётное продолжение которого относительно этого значения представляет собой решение задачи Коши на всей прямой для соответствующим образом подправленного уравнения). После построения оценок при фиксированном значении Ь > 0 следует выбирать е > 0 на основании произвольно задаваемого значения отклонения от нуля к данному и последующим моментам.
Теорема 11. В обозначениях теоремы
10 существует единственное решение уравнения (8), удовлетворяющее краевым условиям Жи(а,Ь),Ь) = Жи(в,Ь),Ь) = 0 и условиям расходимости интегралов
где ио Е (0,1),
и(а,£)+2
и((3,£)
и(а,£)
Q(u,t)
и
и(@^)-2
Q(u,t)
для некоторого е > 0 при Ь > 0 с непрерывным начальным распределением Жи,0), положительным при и Е (а(0),в(0)).
Доказательство базируется на установлении взаимно однозначного соответствия между решениями указанного вида и определёнными с точностью до сдвига по х монотонно возрастающими решениями уравнения (1), удовлетворяющими краевым условиям
и(—<х>,Ь) = и(а,Ь), и(+<х>,Ь) = и(в,Ь).
С учётом корректной разрешимости задачи Коши для (1) и теоремы 10 достаточно показать, как решение уравнения (1) можно восстановить по решению уравнения (8). Это можно сделать через обратную зависимость пространственной координаты от функции Ж(и,Ь):
х(и,Ь)
Q(v,t)
+ хо(Ь),
йх0 (Ь)
сИ
(и)) и —
Г(и)
и=ио
ио
Q(u,t).
Произвол выбора х0(0) (равно как и и0) определяет восстановление с точностью до пространственного сдвига. Расходимость интегралов обеспечивает неограниченную продолжаемость пространственной координаты в обе стороны.
Замечания. 1. Расходимость интегралов и выполнение краевых условий при Ь = 0 в условиях теоремы не требуется, поскольку в случае сходимости или разрывности Жг=о для установления соответствия с начальными условиями уравнения (1) остаётся возможность продолжения последних константой при х ^±сю.
2. Как видно из доказательства, решениям первой краевой задачи для уравнения (8) при положительных краевых условиях (например, Ж(и,Ь) = 7(Ь) > 0) для Ь > 0 можно сопоставить реше-
ния второй краевой задачи для уравнения (1) в области с подвижными границами (их(х,Ь)\х=х(-^ = *у(Ь) в указанном примере). При этом положительность граничного условия 7(Ь) влечет конечность расположения границы х(и,Ь), вычисляемой на основании уже известной функции Ж(и,Ь). В случае Г (и) = 0 сопоставление с решениями задачи Коши для уравнения (1) можно продолжить, полагая и(х,Ь) = и за пределами границы. Вместе с тем на самой границе х = х(и,Ь) производная их(х,Ь) будет разрывна, так что решение для (1) можно понимать лишь как обобщённое.
Более того, в случае, когда граничное условие не обращается в нуль лишь на одном из двух концов интервала (в предположении расходимости интеграла при Ь > 0 на другом), задачу существования решения для уравнения (8) можно свести к задаче существования решения однородной (при не ограничивающих общности предположениях и = 0 и В (и) = 1) первой краевой задачи для подправленного уравнения (1) на полупрямой. Поправка заключается в добавлении к правой части уравнения (1) слагаемого
(N(0) (1(Ь) — Ж(0,Ь)) — (Q(0,t)N(0))и) их.
и
В условиях корректной разрешимости такой задачи с фиксированной поправкой (можно использовать схему доказательства из [6], гл. V.8) вычисление коэффициента при ux можно производить последовательно, подставляя вместо Q(u,t) функцию Q(u,t — е) для £ ^ +0 с последующим использованием непрерывности Q(u,t) и Qu(u,t) по времени и по коэффициентам уравнения (1). Исчезновение первого слагаемого в поправке (что эквивалентно выполнению требуемого краевого условия) при таком предельном переходе будет следовать из баланса интеграла от u(x,t) по x на (предельно) больших интервалах.
3. Стационарное положительное решение Q(u) уравнения (8) является также решением уравнения (ср. с (4) для P = NQ)
D (Q(u)N(u))u + F(u)/Q(u) = c (9)
где параметр c, исчезающий при переходе от (9) к (8), различает решения по скорости, так что волновому решению, то есть решению уравнения (9) с нулевыми граничными условиями, соответствует вполне определённое его значение.
X. Правильные решения и сходимость по форме
Далее под правильными решениями Q(u,t) начально-краевой задачи для уравнения (8) на интервале u Е (0,1) будут пониматься такие непрерывные неотрицательные функции, всюду, за исключением, быть может, некоторого дискретного (то есть локально конечного) множества, удовлетворяющие в классическом смысле этому уравнению, у которых носитель S(t) = supp Q(u,t) = {u Е (0,1) : Q(u,t) > 0} со временем не убывает
(t2 > t\ ^ S(t\) С S(t2)), причём на тех границах этих интервалов, где при t > 0 решение обращается в нуль, предполагаются выполненными условия расходимости интегралов, сформулированные в теореме 11. В силу теоремы 10 только в случае связности носителя для решений с нулевыми краевыми условиями имеется непосредственная связь с решениями уравнения (1). С учётом инвариантности последних относительно пространственного сдвига решениям с носителями на смежных непересекающихся интервалах умест-
но сопоставлять упорядоченные (согласно порядку интервалов) комбинации решений уравнения (1), разнесенных в пространстве друг относительно друга на бесконечное расстояние.
Поскольку на участках положительности правильные решения являются локальными классическими решениями уравнения (8), то для них будут выполнены аналоги многих утверждений классической теории сравнения решений параболических уравнений второго порядка (см., например, [9]), включая теорию суб- и суперрешений.
Так, правильные решения уравнения (8) монотонны по своим начальным и краевым распределениям, то есть из неравенств Ж1(и,0) ^ Ж2(и,0),
Жг(0,Ь) ^ Ж2(0,Ь), Ж1(1,Ь) ^ Ж2(1,Ь) следует неравенство Ж1(и,Ь) ^ Ж2(и,Ь). Более того, если при этом для некоторого и Е (0,1) выполнено неравенство Ж1(и,0) = Ж2(и,0), то при Ь > 0 из Ж1(и,Ь) > 0 в случае локализации и и и в одном и том же минимальном интервале, содержащем одну из связных компонент носителя функции Ж1(и,Ь), следует Ж1(и,Ь) > Ж2(и,Ь). С учётом возможности использования метода вариации постоянной отсюда следует монотонность по правой части, так что если для некоторых значений и Е (0,1) и Ь > 0 выполнено неравенство йЖ1(й,1)/йЬ > йЖ2(й,1)/йЬ, то последнее неравенство будет выполнено при всех Ь ^ ¿.
Напомним, что регулярным субрешением (соответственно суперрешением) уравнения (8) называется функция Ж(и,Ь), удовлетворяющая неравенству, получаемому из (8) заменой знака равенства на ^ (соответственно ^). При этом предполагается, что на границе (если таковая имеется) эта функция удовлетворяет неубывающим (соответственно невозрастающим) граничным условиям первой краевой задачи. Локальными регулярными являются регулярные на меньших областях. В общем случае суб- и суперрешений берутся соответственно максимумы и минимумы локальных регулярных.
Если Ж (и) ^ 0 — строгое стационарное субрешение уравнения (8) (то есть не являющееся его решением), а Ж(и,Ь) — его решение с Ж(и,0) = Ж (и), то Ж(и,Ь) монотонно не убывает по времени, строго возрастая на уже сформировавшихся связных компо-
нентах носителя. То же верно с заменой субрешений на суперрешения и неубывания (возрастания) на невозрастание (убывание). Отсюда следует, что при каждом фиксированном значении Ь > 0 построенное таким образом решение Ж(и,:Е) является регулярным стационарным субрешением уравнения (8).
Так же, как и в невырожденном случае, проверяется, что если существует стационарное суперрешение Ж(и) ^ Ж (и),
то Ж(и,Ь) с Ж(и,0) = Ж (и) равномерно сходится на связных компактах, локализованных в компонентах носителя Ж(и,:Е) для некоторого Ь > 0, к положительному стационарному решению уравнения (8). То же утверждение верно и для Ж(и,Ь) с Ж(и,0) = Ж(и). Отсюда, в частности, следует, что если Ж(и) ^ Ж(и,0) ^ Ж(и) и между Ж(и) и Ж (и) существует единственное стационарное решение уравнения (8), то такая же сходимость к нему будет иметь место и для Ж(и,Ь). Такую покомпактную сходимость на фазовой плоскости будем называть сходимостью по форме.
XI. Построение ограничивающих решений
Обоснование сходимости монотонного распределения к системе волн базируется на построении ограничивающих его сверху и снизу решений, сходящихся по форме к одному и тому же стационарному решению уравнения (8). Поскольку решения выбираются из числа правильных решений уравнения (8), то класс исходных начальных распределений приходится ограничивать. В частности, предполагается, что носитель Б(0) = (а(0),в(0)) ограничен, так что внутри него выполнено строгое неравенство Ж(и,0) > 0 (ограничение можно несколько ослабить), и выполняются неравенства О (а(0)) ^ 0 и
О (в(0)) ^ 0. В силу теоремы 10 в этом случае Б(Ь) = (а(Ь),в(Ь)) при Ь > 0, где без ограничения общности считаем для решений уравнения (2) а(Ь) ^ 0, в(Ь) ^ 1 при Ь ^ +то, причём в колмогоровском случае а(Ь) = 0.
В качестве мажоранты следует выбирать решение уравнения (8), имеющее начальным распределением его стационарное суперрешение. Миноранту в свою оче-
редь следует выбирать из числа стационарных субрешений.
Положим M > supM max{Q(u,0),Qi(u)}, где Qi(u) — всевозможные волновые решения на интервале (0,1), и
где
Q(u) = A
P (u) = M +
P(n)
N(u)
1 — V
W>
dv,
a A настолько велико, что выполняется неравенство
F (u)N (u)/Q(u)
Функция Ж(и) является строгим стационарным суперрешением уравнения (8), так что решение Жм (и,Ь) с Жм(и,0) = Ж(и) и краевыми условиями Жм(0,Ь) = Жм(1,Ь) = 0 при Ь > 0 является монотонно убывающим.
Схема построения минорирующих субрешений такова. На первом шаге Б(0) разбивается на зоны знакопостоянства функции О (и). В каждой из этих зон осуществляется построение «базовых» стационарных минорирующих субрешений. На втором шаге между зонами над положениями равновесия уравнения (2) строятся перемычки, делающие субрешение положительным внутри своего носителя. При этом момент построения перемычек над устойчивыми положениями равновесия может быть отложен на более позднее время.
XII. Построение базовых субрешений
Построение стационарных субрешений Ж (и) для каждой области П = (ш1,ш2) между двумя соседними нулями ш1 < ш2 функции О (и) осуществляется по следующей схеме. Выбираем произвольное ш Е (ш1,ш2) и полагаем П = (ш1,ш) в случае О(ш) > 0 и П = (ш,ш2) в случае О(ш) < 0. В области П'\Б(0) считаем Ж(и) = 0. В области П П Б(0) функция Ж (и) > 0 строится следующим образом.
В случае О (ш) < 0 положим
Ф(и) = еР(и)(ш — и) для и Е П, где
U
и
и
е > 0 достаточно мало, с тем чтобы, с одной стороны, обеспечить положительность правой части в (8) на П, ас другой — чтобы функция Ф(и) служила подходящей минорантой начального распределения на П П Б(0). Построенная функция Ж-(и) = шах{0,Ф(и)} является стационарным субрешением уравнения (8) на П'.
В случае О(ш) > 0 при ш1 = 0 (более тонкий случай ш1 = 0 будет рассмотрен особо) среди траекторий, выходящих из положения равновесия (ш1 ,0) системы в (3) для любого е > 0 в силу непрерывности окажется и такая траектория Р£(и), что Р£(и) > 0 при и Е (ш1,ш1 + ие), и Р£(ш1) = Р£(ш1 + и£) = 0 для некоторого и£ Е (0,е), причём шахие(о,и£) Р^и) < е. Выберем е > 0 так, чтобы удовлетворить требованиям минорирования исходного начального распределения уравнения (8) траекторией Ж£(и) = Р£(и)/М(и).
Функция Ж£(и) является стационарным решением уравнения (8), так что функция
Ж+(и) = {Ж£(и),и Е (ш1,ш1 + и) ;
0,и Е (ш1 + и£,ш2)},
имеющая вид максимума двух стационарных решений, представляет собой строгое стационарное субрешение.
XIII. Перемычки над неустойчивыми положениями равновесия
Перемычки требуются для того, чтобы отсечь неправильные цепочки, попадающие в диапазон между начальными ограничивающими распределениями.
Перемычкой над стационарным решением и Е (0,1) точечного уравнения мы будем называть такое стационарное субрешение уравнения (8), которое положительно в некоторой окрестности О (и) точки и и меньше построенных по обе стороны от этой точки базовых субрешений в О (и )\е1О'(и ) для некоторой замкнутой окрестности о1О'(и) С О (и).
Построения для случаев устойчивого и неустойчивого положений равновесия и существенно различаются. Начнём с более простого неустойчивого случая.
Задаваясь 8 > 0, подберем настолько малое е > 0, чтобы длина интерва-
ла I(и,е), содержащего положение равновесия и и состоящего из точек и, удовлетворяющих неравенству
1 (и) ^ 1(и) < 1(и) + е,
была меньше 8. Поскольку и является точкой изолированного локального минимума функции 1 (и), то такое построение возможно. Собственно малость 8 нужна лишь для того, чтобы значения и ± 8 оказались локализованными в примыкающих к и интервалах знакопостоянства функции О (и). Более существенной является малость величины е > 0, обеспечивающая малость значений функции
(д(и,й,е) = (г/.),
являющейся на интервале I(и,е) стационарным положительным решением уравнения (8). Малость последней выбирается из соображений минорирования ею на этом интервале начального распределения уравнения.
Функция Ж(и,и,е) является перемычкой между Ж- (и) и Ж+(и), так что вычисляемый по этим трём функциям максимум является стационарным субрешением уже на интервале, объединяющем оба примыкающих к и интервала.
Построенные субрешения охватывают расширяющиеся во времени интервалы, границы которых будут расходиться в разные стороны, устремляясь к соседним устойчивым положениям равновесия ш1>2 точечного уравнения. С учётом единственности на интервале (ш1 ,ш2) положительного стационарного решения уравнения (8) с нулевыми краевыми условиями и наличия суперрешения получаем вывод о равномерной сходимости к нему на каждом отрезке, локализованном строго между ш1 и ш2, правильных решений уравнения (8), имеющих в качестве начальных построенные субрешения, а следом за ними и сходимость по форме в простом (то есть при к =1) триггерном случае.
Теорема 12. В простом триггерном случае решения задачи Коши для уравнения (8) с начальным распределением, соответствующим возрастающему начальному распределению и(х,0) Е [0,1] уравнения
(1), такому, что ±и(±то,0) > ±и (единственный внутренний на интервале (0,1) корень функции О (и)), сходятся по форме к решению типа бегущей волны.
XIV. Сходимость по форме и сходимость к волновому решению
Приводимый далее результат, несмотря на самостоятельный интерес, играет здесь вспомогательную роль, являясь основанием для построения перемычек над устойчивыми положениями равновесия точечного уравнения.
Теорема 13. Если неотрицательное решение уравнения (8) Q(u,t) сходится равномерно на отрезке [a,ß] с F(a) = F(ß) = 0 при t ^ к по-
ложительному решению уравнения (9) Q(u), имеющему нулевые граничные условия, то для соответствующих им решений уравнения (1) u(x,t) и U(£) имеет место равномерная по x Е R сходимость u(x,t) — U(x + ct + s(t)) ^ 0 с некоторой замедляющейся (ds(t)/dt ^ 0 при t ^ +то) функцией сдвига и с из (9).
Замечание. В буквальном смысле утверждение теоремы справедливо при нулевых граничных условиях для Q(u,t). Отказ от них приводит к первой краевой задаче для Q(u,t), для которой соответствующие решения понимаются в обобщённом смысле (см. замечание 2 к теореме 11).
Доказательство. Зафиксировав
u Е supp Q(u), определим функцию x(t) условием u(U(t),t) = u и положим s(t) = U-1(U) — (x(t) +ct). Дифференцирование даёт
st + с = ut/ux = D(NQ)UQ + F/Q ^ с
в силу условия теоремы и (9). Полагая далее
C(u,t) =
du/Q(u,t),
получаем на каждом компакте
u Е [a,b] С supp Q(u)
равномерную сходимость
du/Q(u),
а значит, в силу равномерной двусторонней ограниченности логарифма производной Ж(и) на [а,Ь] и равномерную сходимость обратных функций и(^,1) — и(^) на компакте [и-1(а),и-1 (Ь)]. Сходимость вне его обеспечивается монотонностью и расширением компакта [а,Ь].
XV. Перемычки над устойчивыми положениями равновесия
Построение перемычек над устойчивыми положениями равновесия точечного уравнения можно провести по следующей схеме. Пусть и- < и < и+ — идущие подряд устойчивые положения равновесия точечного уравнения, Ж-(и) и Ж+(и) — соответствующие интервалам (и-,и) и (и,и+) положительные волновые решения уравнения (9) со значениями параметра скорости с- < с+. Для р ^ 0 обозначим через Ж±(и) = Р±±тр,й(и)/И(и) асимптотические при ± (и — и) > 0 траекто-
рии, то есть решения уравнения (9) при с = с± ^ р соответственно. Обозначим Жр(и) = шах^Ж^и)} при ± (и — и) > 0, р ^ 0.
Лемма 6. При с- < с+ и Ж(и,0) > 0 найдется окрестность О (и,0) на плоскости (и,Р) такая, что для некоторого Т > 0 будет {(и,Ж(и,1)) ,Ь > Т}П О(и,0) = 0.
Доказательство. В противном случае для некоторой последовательности
— +то будет выполнено условие сходимости
Ж(и ,Ь) —— +0. (10)
Действительно, иначе Ж (и ,Ь) > > 0,
так что существует последовательность ип — и такая, что Ки(ип,Ьп)| — то. Поскольку ихх(х,Ь) Жи(и(х^) ^)Ж(и(х^) ^,
то отсюда получаем существование последовательности {хп} такой, что и(Хп,Ьп) — и и 1ихх(Хп ¿п )| — то, что исключается соображениями, основанными на построении внутренних гельдеровых оценок производных решений уравнения
(8) через значения самих решений (см., например, [10], гл. VII).
Выполнение же условия (10) означает, что для каждого из интервалов (и-,и) и (и,и+) можно построить мажоранту, ограничивающую единственное
U
U
соответствующее ему волновое решение. Для этого в качестве начального распределения можно снова взять мажоранту Qм(и,0), а в качестве граничных условий — стремящиеся к нулю функции, причём Q(U,і) ^ Qм(й,і) ^ +0. В результате (см. для случая постоянной диффузии [8]) для каждого из указанных интервалов условия теоремы 13 оказываются «почти» выполненными. Разница заключается лишь в замене условия (10) на тождественное равенство. Применяя рассуждения, использованные при доказательстве этой теоремы, находим, с одной стороны, что расстояние
него можно строить новую верхнюю оценку с нулевым при и = и и Ь > Ь граничным условием. По поводу существования таких решений см. замечание 2 к теореме 11.
Теорема 14. Решение Жи,Ь) уравнения (8) с нулевыми граничными условиями на концах интервала, ограниченного устойчивыми положениями равновесия точечного уравнения и- и и+ и имеющего единственное промежуточное устойчивое положение равновесия и Е (и-,и+) такое, что:
и+
1)
Q(u,0)du > 0 и
Q(u,0)du > 0,
5(а,Ь,і) =
du
между точками прохождения решением двух значений а Е (и-,и) и Ь Е (и,и+) неограниченно возрастает, а с другой — сокращается в силу установленной в теореме 13 сходимости и соотношения между скоростями предельных волн.
Замечание. В доказательстве леммы можно обойтись без предположения о существовании решения Жм(и,Ь) первой краевой задачи для уравнения (8) при двусторонних положительных граничных условиях. Действительно, локально, то есть на некоторое малое время, решение такой задачи с начальным стационарным суперрешением Жм (и,0) можно продолжить, рассматривая её как регулярную (то есть с отграниченным от нуля коэффициентом диффузии, см. [6], гл. V) задачу. С учётом ограниченности снизу положительным стационарным решением уравнения (8) (для случая правильных цепочек волн для последнего может допускаться обращение в нуль в некоторых из устойчивых положений равновесия уравнения
(2) — в этом случае схема рассуждений остаётся прежней) единственным вариантом исчезновения решения при некотором конечном £ > 0 может быть вслед за исчезновением регулярности обращение в нуль на одном из концов и = и с О (и) =0 (то есть Жм(и,Ь) — +0 при Ь — Ь — 0). Но это означает в частности, что для оцениваемого при Ь ^ £ правильного решения Ж(и,Ь) ^ Жм(и,Ь) будет выполнено равенство Ж (и ,) = 0, так что в момент Ь для
2) с- < с+ (параметры решений уравнения
(9) С (и-,и) и С (и ,и+)) сходится по форме при Ь — +то к его же решению С(и-,и+) с параметром с Е (с-,с+).
Доказательство. Поскольку в силу теоремы 3 асимптотические траектории РМи) и Рс 1(и) монотонны по параметру с, то неравенство (и) > Жр(и) выполнено для р > 0 при и Е (и-,и) и (и,и+), так что в силу теоремы 12 для некоторого Ьп > 0 будет выполнено неравенство Ж(и,Ьп) > Жр(и) при и Е (и-,и+) и некотором р > 0. Фиксируем произвольное значение с Е (с- + р,с+ — р) и для достаточно малого е > 0 построим проходящие через точки (и ± еЖ^и ± е)^ решения Ж±(и,и,е) уравнения (9) при с = с. Монотонная зависимость решений уравнения (9) от с гарантирует в силу неравенства с- < с < с+ выполнение неравенств Ж±(и,и,е) > 0. Обозначим через Ж(и,и,е) то из решений Ж±(и,и,е), для которого указанная величина Ж±(и,и,е) окажется меньше. Снова, применяя соображения монотонности, убеждаемся в существовании таких е± Е (0,е] (одно из них совпадает с е), что Ж (и ± е,и,е) = Же±(й ± е), причём Ж(и,и,е) > 0±(и) при ± (и — и) Е [0, ± е±) соответственно. В силу равенства Ж± (и) = 0 и непрерывной зависимости Q(u,U,е) от е можно выбрать е > 0 настолько малым, чтобы, с одной стороны, выполнялось неравенство Q(u,U,е) < Жи,Ьп) при и Е (и — е-,и + е+), а с другой — чтобы Жи,и,е) при тех же значениях и локализовалась в О(и,0). С учётом существования единственного решения уравнения (9)
П—
Ь
а
С(и-,и+) в случае с- < с+, имеющего значении скорости С Е (с-,с+) (см. теорему 7), к которому в случае построенной выше перемычки могут быть применены рассуждения из доказательства теоремы 13, остаётся только перенести время оценивания решения к моменту Ь = Ьп и воспользоваться леммой 6.
Переход от сходимости по форме к равномерной сходимости в движущейся системе координат осуществляется так же, как и выше.
Следствие. В условиях теоремы 14 в отношении рассмотренной в ней сходимости имеет место утверждение теоремы 13.
XVI. Сходимость к триггерным цепочкам волн
Теорема 15. Если в триггерном случае непрерывное распределение Ж(и,0) положительно на интервале (а,в) С (0,1), где О (а) ^ 0 и О (в) ^ 0, и обращается в нуль за его пределами, то правильное решение уравнения (8) Ж(и,1) сходится по форме при Ь — +то к минимальной цепочке волн интервала (и-,и+), где и- и и+ — устойчивые положения равновесия точечного уравнения, не отделенные соответственно от а и в другими нулями функции О (и).
Доказательство. Если какое-либо из положений равновесия и- или и+ не совпадает с границей интервала (0,1), то мажоранту можно сузить до Жм(и,Ь) с Жм(и,0) = Ж(и) и краевыми условиями ЖМ(и±,Ь) = 0 при Ь > 0. В результате ниже неё в качестве максимального стационарного решения уравнения (8) окажется минимальная цепочка, соответствующая интервалу (и-,и+). К ней и будет сходиться мажоранта Жм(и,Ь). Миноранты же конструируются индуктивно в соответствии с порядком, задаваемым цепочками волн. При этом шаг индукции, определяемый наличием неправильной пары смежных волн, осуществляется построением перемычки в соответствии с теоремой 14. Дальнейшие рассуждения повторяют её доказательство.
XVII. Сходимость к колмогоровским цепочкам с минимальной скоростью
Для начального распределения Q(u,0) в случае выполнения условий теоремы 15 считаем а = 0, 0 < u1 < ... < uk = u+ -набор устойчивых положений равновесия, так что F(u) > 0 при u Е (0,ui). Перепишем характеристическое уравнение для якобиана системы (3) в положении равновесия (0,0) в виде
с = с(Л) = XD(0)N (0) + Fu (0)/Л, (11)
где Л — наклон проходящего через (0,0) решения Qx(u) уравнения (9) с параметром с из (11). Положим Л(с) = шт{Л > 0 : с(Л) = с} при Fu(0) > 0 и Л(с) = 0 при Fu(0) = 0. При Л > 0 функция с = Л(Л) > 0 достигает минимума при Л = Л = \/F„(0)/(B( 0)ЛГ(0)),
равного ст. Пусть минимальная скорость волны между 0 и ui равна с* ^ ст (см. теорему 5). Обозначим
A(G(u),H(u)) = liminfU^+0 G(u)/H(u).
Теорема 16. Пусть Fu(0) > 0 и неотрицательное непрерывное распределение Q(u,0) положительно на интервале (0,ß), где F (ß) > 0, либо ß Е {ui}, i = 1, ..., k. Тогда при выполнении неравенства
Ä(Q(u,0),u) ^ \(с*) (12)
правильное решение Q(u,t) уравнения (8) сходится по форме при t ^ +то
к минимальной правильной колмогоров-ской цепочке волн интервала (0,u+), где u+ = minui ^ ß,i = 1, ..., к, с минимальной скоростью передней волны, равной с3м.
Доказательство. Поскольку обозначенная в формулировке цепочка представляет собой максимальное (по величине Q) стационарное решение уравнения (8) на интервале (0,u+), то для построения и проверки сходимости верхних оценок можно использовать рассуждения из теоремы 15.
Для построения нижних оценок можно без ограничения общности считать A(Q(u,0),u) = Qu(0,0) = q > 0 (иначе в качестве начального распределения выбираем подходящую миноранту для Q(u,0)).
Далее следует несколько подправить рассуждения раздела 12, касающиеся построения базовых субрешений на интервале положительности F(u). Построенную там траекторию P£(u) будем теперь выбирать с таким расчётом, чтобы отсечь сверху по Q в некоторой окрестности начала (u,Q) = (0,0) все возможные решения Q(u) уравнения (9) с с > с* + е и A(Q(u),u) = Л(с). То, что это можно сделать, следует из строгого монотонного убывания Х(с) при Fu(0) > 0 и асимптотики начального распределения. (Для Qe(u) = P£(u)/N(и) можно полагать, например, A(Qe(u),u) = Л (с* + е/2).) Траекторий с такой асимптотикой бесконечно много, а среди них выбор можно осуществить, как и раньше, предполагая в частности, что Pe(u) = 0 при u > е.)
Задавшись последовательностью
еп ^ +0, положим Q(u) = max {0,Qen(u)} (максимум достижим, поскольку носители стягиваются к нулю). Функция Q(u) является стационарным субрешением уравнения (8), причём между ней и построенным в теореме 15 стационарным суперрешением нет других стационарных решений, кроме обозначенного в условии теоремы. Действительно, те из них, которые выходят из начала по нижнему направлению, отсекаются согласно приведённому выше построению, а выходящие по верхнему, но не составляющие часть минимальной правильной колмогоровской цепочки, отсекаются через конечное время перемычками над устойчивыми положениями равновесия (см. доказательство теоремы 15).
Следствие. В случае монотонно возрастающего начального распределения u(x,0), обнуляющегося при некотором конечном x с ux(X,0) > 0 либо с ux(x,0) > 0 и uxx(x,0) ^ —6 при X Е (X,x + е) для некоторых е,6 > 0, скорость передней волны будет минимальна, то есть равна с?м.
Доказательство. В первом случае A(Q(u,0),u) = +то. Во втором при
ux(x,0) = 0 кривая Q(u,0) на плоскости (u,Q) в области u Е (0,u(e)) с u(e) = u(x + е,0) > 0 не может для достаточно малых е > 0 оставаться выше прямой Q = ¡1u с некоторым ¡1 > 0, ибо в противном случае в нуле будет расходить-
ся интеграл
и(е)
¿и
я {и)
+0
(здесь Ж(и) = Ж(и,0)), что противоречит конечности х). Если же она располагается выше прямой Ж = ¡2и с ¡2 = \(с*), то условие (12) оказывается выполненным. Выбирая ¡1 > ¡2, получаем в качестве единственной альтернативы бесконечное число переходов кривой при и — +0 через область ¡2и < Ж (и) < ¡1и. При этом поскольку выполнено 2ихх(х,0) = 2QuQ = Ж2)и > —28, то при каждом из переходов на участке и Е (и1,и2) с Ж (щ) = ¡2и2 и
и1(11 + 8) = и2(12 + 8) будет выполнено неравенство Ж2(и,0) ^ Q2(u2,0) + 28(и2 — и), а значит, и Ж(и,0) ^ Ж(и2,0) + 8(и2 — и). Прямая в правой части пересекает обе прямые в точках с и = и1}2, причём поскольку
7Йг'2, ТО
Q (u) < ¡1u2 и u2 — щ
U2
du
¡1 — ¡2
Q(u) ¡1 (¡1 + 6)
для каждого из переходов. В предположении бесконечного их числа получаем расходимость интеграла в нуле.
Замечание. Описанный в следствии случай включает результат из [1], где
сЗЫ —— с ^ - ^Ш'
Теорема 17. В предположении О (и) > 0 при и Е (0,и1) утверждение теоремы 16 будет выполнено при Ги(0) = 0 и выполнении остальных её условий, среди которых неравенство (12) заменено на А(Ж(и,0),Р(и)) > 1/с*.
Доказательство. С учётом следствия теоремы 9 получаем, что для любой бегущей волны типа С(0,]) выполнено неравенство с > 0. Являясь решением уравнения (9), она может выходить из точки (0,0) по одному из двух направлений с Жи(0) = \1,2, где \1 = с/(И(0)в(0)) > 0, \2 = 0, причём по первому из них при каждом значении с > 0 только в случае минимальности этого значения с = сЗ для волны типа С(0,]). В случае с > сЗ решение касается оси Ж = 0, то есть Жи(0) = 0. В таком случае из (9) получаем Ж(и) = О(и)/с + в(Г(и)) при и — +0. Поскольку О (и) > 0 при и Е (0,е) для е < и1,
то в качестве нижней оценки можно выбрать Q(u) = max{0,Qe(u)} с решением Qe(u) уравнения (9) для
с= Е
c*=1,A(Q(u,0),F (u))
имеющим носитель в и (0,е) и минориру-ющим Ж(и,0). Такое решение существует в силу условия теоремы. При этом оно будет отсекать сверху в окрестности нуля все решения с Жи(0) = 0, поскольку для них должно выполняться неравенство с > с*. Неотсеченные решения с Жи(0) = Л1 > 0 являются началами цепочек, из которых отбирается минимальная правильная кол-могоровская в соответствии с применявшейся выше схемой.
XVIII. Сходимость к колмогоровской волне с неминимальной скоростью
Условия теорем 16 и 17 предполагают наличие достаточно жёстких ограничений на асимптотику Ж(и,0) при и — +0, нарушение которых может коренным образом изменить характер поведения решений уравнения (8) при Ь — +то. Так, например, в случае единичной колмогоров-ской волны (к = 1) при выполнении всех условий теоремы 16 за исключением неравенства (12) в число допустимых начальных распределений попадают стационарные решения уравнения (8), соответствующие волне, бегущей с неминимальной скоростью. Оказывается, что такие стационарные решения в определённом смысле устойчивы — к ним сходятся решения уравнения (8) с начальным распределением, имеющим ту же асимптотику, что и предельное стационарное. Предлагаемый ниже результат является, однако, существенно более слабым, чем приведённый выше для случая минимальной скорости — во-первых, представляется неоправданным чрезвычайно жёсткое требование на положительность источника, а во-вторых, топология, в которой для верхних оценок доказывается сходимость на фазовой плоскости, является весьма слабой.
Далее в этом разделе будем рассматривать случай одиночной колмогоровской волны, так что О (и) > 0 при и Е (0,1),
О (0) = О (1) = 0.
Решения уравнения (9) типа бегущей волны в случае неминимальной скорости с > с* однозначно определяются параметром с, причём в случае Ки(0) > 0 вместо него можно использовать значение монотонной в этой области функции \(с), обратной к функции (11). Такое решение мы будем обозначать С (и).
Теорема 18. Пусть Ри(0) > 0. Предположим, что для начального распределения имеет место равенство Ж(и,0) = и(д + д(и)) с д Е (0,А(с*)) и непрерывной на [0,1] функцией д(и) = о(1), имеющей сходящийся интеграл
g(u)
du.
u
+0
Тогда правильное решение Ж(и,Ь) уравнения (8) сходится к Сс(д) (и) при Ь — +то в следующем смысле. Существуют функции Ж±(и,Ь) такие, что
0 ^ Ж-(и,Ь) ^ Ж(и,Ь) ^ Q+(u,t), (13)
причём Ж- (и,Ь) ^ Сс(д) (и) сходится
к Сс(д)(и) равномерно на компактах
I С (0,1), а для Ж+(и,Ь) ^ Сс(д)(и) в метрике
pt(Qi,Q2)
+сю 1
■* F(u) 1 1
О (и) Ql(u,r) Q2(u,t)
dudr
D(u) Qi(u,T) Q2(u,t)
t0
имеет место сходимость pt (Q+(u,t),Cc(g)(u)) ^ 0 при t ^ +TO.
Замечания. 1. Утверждение о сходимости можно усилить (см. ниже доказательство). Имеет место двусторонняя ограниченность решения не только на фазовой плоскости, но и в исходных переменных (x,u) соответствующими (с подходящими сдвигами по x) решениями уравнения (1):
u-(x,t) ^ u(x,t) ^ u+(x,t). (14)
2. В условиях теоремы существует производная
Qu (u,0)
q-,
и=+0
что означает, в частности, экспоненциальную (с показателем д > 0) асимптотику и(х,0) при х — —то. Это — весьма сильное требование (для случая минимальной скорости оно, как это было видно из предыдущего раздела, существенно ослаблено).
1
Оно является определяющим в выборе значения скорости предельной волны. Сходимость интеграла будет вместе с тем иметь место, например, для любого начального распределения Ж(и,0) с непрерывной по Гельдеру в нуле производной.
Доказательство. Выберем в качестве Ж- (и,Ь) и Ж+(и,Ь) правильные решения уравнения (8) с
Ж-(и,0) = ш1п{(А(и,0),Сс(д)(и)}
и
Ж+^А) = шах{(А(и,0),Сс(д)(и)}.
В силу монотонности правильных решений по начальным условиям для них будут выполнены неравенства (13). Более того, если для некоторых соответствующих им решений уравнения (1) при некотором х = х выполнены неравенства (14), то они будут выполнены и для всех х > х. Возможность продолжения этих неравенств в область х < х обеспечивается сходимостью интеграла в условиях теоремы.
Действительно, положим
и(х,0) = и Е (0,1),
так что в силу монотонности выполнены неравенства х+ ^ х ^ х- для х± таких, что и±(х±,0) = и. Из представления для СА(и,0) находим
1п и(х,0) ¿х
д + g(u(x,0)),
так что
1пи(х,0) = 1пи + д (х — х) + Последний интеграл равен
д(и(£,0))^.
д{у)
д(г;,0)
¿V,
что в силу асимптотики для СА(и,0) при и — +0 и условия сходимости не превышает для всех х ^ х по модулю некоторой постоянной С. Это означает, что на плоскости (х, 1пи) кривая (х, 1пи(х,0)) заключена (по крайней мере, в третьем
квадранте, а также во втором и четвертом с учётом компактности пересечения с последними двумя) между двумя прямыми (х,дх + С1}2). Заметим, что любую из констант С1}2 можно менять произвольно за счёт сдвигов и(х,0) по х. При этом вторая постоянная будет подстраиваться под первую для сохранения неравенства дх + С1 ^ 1п А(х,0) ^ дх + С2 в области дх + С2 ^ 1п и.
Точно такие же результаты со своими функциями д± (и) (для СС(д)(и) сходимость интеграла в условии теоремы следует из асимптотики Сс(д) (и) = ди + О(иа), где а = ¡+/¡-, с ¡± = ¡±ч)(0) > 0 из (5), так что ¡+ > ¡- = д > 0), удовлетворяющими точно таким же условиям, и заменами в формулах х на х± имеют место для функций и±(х±,0): дх + С± ^ 1пи±(х±,0) ^ дх + С±. Не трогая оценочные постоянные С1}2 для 1п А(х,0) (функцию А(х,0) можно считать заданной изначально) и выбирая С- < С1 <С2 < С+, получаем в области х ^ х неравенства
и-(х,0) ^ А(х,0) ^ и+(х,0),
что с учётом доказанного для х ^ х и монотонности влечет (14).
Докажем теперь заявленную в теореме сходимость оценочных функций к Сс(д)(и). В силу стационарности последней по построению имеем при Ь ^ 0:
Ж-ЩЬ) ^ Сс(д)(и) ^ Ж+ (и,Ь). (15)
Сходимость Q-(u,t) может быть доказана точно так же, как и в случае с минимальной скоростью, поскольку сама функция СС(д)(и) служит верхней оценкой. При этом следует, как и прежде, выбрать отсекающую последовательность дп — д — 0 и в качестве стационарного субрешения взять шах^Ж^и)} с Ж^и) ^ Жи^) — решениями уравнения (9) для параметров с = А(дп) и носителями (0,еп) при еп — +0.
Более нетривиальной оказывается проверка сходимости Q+(u,t).
Применяя предыдущие рассуждения к Сс(д)(и) вместо (А(и,0), из (14) при достаточно большом — х+ получаем
(16)
где и0(х,Ь) — бегущая волна в исходных переменных, то есть решение уравнения (1), соответствующее Сс(д)(й) с и0(0,0) = А.
х
Введём для обратных функций обозначения А0(и,Ь) и х1(и,Ь), так что при всех и Е (0,1) и Ь ^ 0 будут выполнены равенства
и0(х0(и,Ь) ,Ь) = и+(х1 (и,£),£) = и. (17)
С учётом монотонности из (16) находим ¡(и,Ь) = х0(и,Ь) — х1(и,Ь) ^ 0, причём интеграл
L(t)
l(u,t)/D(u)du
сходится при всех Ь ^ 0. Сходимость интеграла следует из того, что на плоскости (х,и) он с точностью до множителя Р-1 оценивается сверху площадью, заключённой между кривыми и0(х,Ь) и и+(х,Ь), имеющими не менее чем экспоненциальную сходимость к одинаковым пределам при х — ±то. Действительно, поскольку функция Сс(д) (и) асимптотически линейна на концах интервала (0,1), то с учётом (16) можно установить, что в проверке нуждается лишь асимптотическая линейность Ж+ (и,Ь) при и — +0 для Ь > 0. Для проверки положим д(и,Ь) = dQ+(u,t)/du, так что д(0,Ь) = д. Уравнение для д(и,Ь) получается дифференцированием уравнения (8) по и, из которого видно, что д(0,Ь) = д, а это в силу единственности правильного решения доказывает сохранение линейной асимптотики.
Дифференцирование (17) по Ь даёт, например, для случая и+ равенство
Q+(u,t)Хlt(u,t) + О(и)(И (и^+^^и* хЖ+ (и,Ь) + О (и) = 0,
так что
¡г(и,Ь) = 0(и) (М(и) (Ж+(и,-Ь) — Сс(д)(й)))и +
+ О(и) (1/Q+(u,t) — 1/Сс(д)(и)) ,
и с учётом краевых условий 1
dL(t.)
dt.
1
1
F{u)
D(u) \Q+(u,t) Cc(q) (u)
du.
В силу (15) и асимптотической линейности функции С с(я)(а) на концах интервала (0,1) интеграл сходится, не положителен и обращается в нуль только в случае
Ж+ (и,Ь) = Сс(д)(и).
Ограниченная неотрицательная убывающая функция L(t) асимптотически выходит на константу, откуда следует, что интегралы от её производной стремятся к нулю, что и завершает доказательство теоремы.
Работа выполнена при поддержке РФФИ. Код проекта 09-07-00398.
Литература
1. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме / / Бюлл. МГУ. Математика и механика. — 1937. — Т. 1, № 6. — С. 1-26.
2. Канель Я.И. О стабилизации решений задачи Коши для уравнений, встречающихся в теории горения // Мат. сб. — 1962. — Т. 59, доп. (101). — С. 245-272.
3. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и волны в экологии. — М.: Наука, 1987. — 366 с.
4. Вольперт А.И. О распространении волн, описываемых нелинейными параболическими уравнениями // И.Г. Петровский. Избранные труды. Дифференциальные уравнения, теория вероятностей. — М.: Наука, 1987. — С. 333-358.
5. Разжевайкин В.Н. Диффузионная модель генных волн // Исследование операций. — М.: ВЦ РАН, 2007. — С. 23-28.
6. Ладыженская О.А., Солонни-ков В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — 736 с.
7. Fife P.C., McLeod J.B. The approach of solutions of nonlinear diffusion equations to travelling front solutions // Arch. Rational Mechanics & Analysis. -1977. — V. 65, N. 4. — P. 335-361.
8. Fife P.C., McLeod J.B. A phase plane discussion of convergence to travelling fronts for nonlinear diffusion // Arch. Rational Mechanics & Analysis. — 1981. — V. 75, N. 4. — P. 281-314.
9. Fife P.C. Mathematical aspects of reacting and diffusing systems. Lecture Notes in Biomathematics. V. 28. — Berlin: SpringerVerlag, 1979. — 192 p.
10. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — М.: Мир, 1968. — 428 с.
Поступила в редакцию 15.09.2009.
1
0
0
