Об устойчивости решений уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной на геометрическом графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БАРЕНБЛАТТА - ЖЕЛТОВА - КОЧИНОЙ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ

А. С. Шипилов

Описаны экспоненциальные дихотомии решений уравнений Барен-блатта - Желтова - Кочиной, определенных на геометрическом графе.

Ключевые слова: уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной, геометрический граф, относительно р-ограниченные операторы, экспоненциальные дихотомии.

Введение

Пусть С = С(Щ; <Е) - конечный связный ориентированный граф, где 93 = {1^} - множество вершин, а 6 = {Е^} - множество ребер, причем, каждому ребру сопоставлены

два положительных числа € К+, которые удобно трактовать как длину и площадь поперечного сечения соответственно. Такой граф в предложено называть геометрическим графом [1]. Пусть на каждом ребре Е^ задано уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной

и^хх = аи]хх (0-1)

где производные берутся по х € (о, 1г) и £ € Ж. В каждой вершине Уг зададим условия непрерывности

Uj{0,t) = 14^(0,£) = ит(1т^) =ип(/п,4), /„ ^

Е^Ек е Ет,Еп € 1 '

и условия баланса потоков

й^и^х{0,Ь) — / у (^ки^х^к, £) = 0, (0-3)

Е,ееа(У{) Еке£ш(Ъ)

где через <£а{Уг) и <£ш(Уг) обозначено множество ребер, «выходящих» из вершины Ц, и, соответственно, «входящих» в вершину Уг. Физический смысл задачи (0.1) - (0.3) объяснен в [2]. Кстати сказать, термин «отсутствовать» в контексте условий непрерывности не означает «быть равным нулю». Скажем, если из вершины Уг не «выходит» ни одно ребро, то первые два равенства в (0.2) именно «отсутствуют», а не «равны нулю». Более того, если в вершину Уг «входит» (или «выходит» из нее) только одно ребро, то условия (0.2) для этой вершины «отсутствуют».

Впервые уравнения в частных производных на геометрических графах начали изучаться в конце прошлого века в связи с моделированием процессов «реакции-диффузии» в трубчатых реакторах, а также динамики давления и влагопереноса в «тонких» областях. Первая монография [1] по классическим уравнениям на геометрических графах вышла в 2004 г. Первая статья [3], в которой рассмотрены неклассические уравнения - уравнения соболевского типа, появилась в 2002 г. Первая диссертация [4], в которой описаны фазовые пространства некоторых уравнений соболевского типа, защищена в 2005 г. В данной статье впервые исследуется устойчивость и неустойчивость (в зависимости от параметров

А,а,/3 € Ж) решений задачи (0.1) - (0.3). Статья, кроме вводной части и списка литературы, сдержит два параграфа. В первом приводятся вспомогательные сведения о дихотомиях решений уравнений соболевского типа, почерпнутые из гл.7 [5], куда они попали из [6]. Во втором параграфе описываются дихотомии решений задачи (0.1) - (0.3).

1. Инвариантные пространства и дихотомии решений

Пусть Я и $ - банаховы пространства; операторы Ь,М € £(11,#), причем, оператор М (Ь, р)-ограничен, р € {0} и N (т. е. М (Ь, а)-ограничен, и сю - несущественная особая точка //-резольвенты оператора М; если р £ М, то р - порядок полюса в оо, а если р = 0, то оо -устранимая особая точка).

Рассмотрим уравнение

Ьй = Ми. (1.1)

Вектор-функцию и € С'°°(М; Д), удовлетворяющую ему (1.1), назовем решением. Решение и = и(£) уравнения (1.1), удовлетворяющее еще и начальному условию Коши

и(0) = по, (1.2)

назовем решением задачи (1.1), (1.2).

Определение 1. Множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (1.1), если

(г) любое решение и = и(Ь) уравнения (1.1) лежит в ф поточечно, т. е. и(£) Е ф, Ш е Ж;

(и) для любой точки щ € ф существует единственное решение задачи (1.1), (1-2).

Если существует оператор Ь~1 € £(#,11), то фазовым пространством уравнения (1.1) служит пространство Д. Если оператор Ь необратим, в частности, кегЬ ф {0}, то описание фазового пространства — нетривиальная задача.

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0}иМ. Тогда фазовым пространством уравнения (1.1) является образ 1тР проектора

р=Ь/

7

Здесь Я%(М) = {цЬ — М)~1Ь — правая -С-резольвента оператора М, а контур -у С С ограничивает область, содержащую Ь-спектр оператора М.

Заметим, что если оператор Ь : Я —» {0}, то фазовое пространство ф = {0}, поскольку в этом случае оператор М непрерывно обратим.

Определение 2. Множество 3 С ф называется инвариантным пространством уравнения

(1.1), если для любого щ € 3 решение задачи (1.1), (1.2) лежит в 3 поточечно.

В частности, фазовое пространство является инвариантным пространством, однако обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р € {0}1Ж. Пусть Ь-спектр аь(М) оператора М расщепляется на две компоненты аь(М) — <7д (М) иа\(М) так, что существует контур 70 С С, ограничивающий область, содержащую а^(М), причем, уо Г) а^(М) = 0.

Тогда существует инвариантное пространство Jo уравнения (1.1), совпадающее с образом ImPo проектора

p° = h!

70

Определение 3. Говорят, что решения уравнения (1.1) имеют экспоненциальную дихотомию, если

(г) фазовое пространство ф уравнения (1.1) расщепляется в прямую сумму двух инвариантных пространств, ф = 3s ф 3й;

(И) существуют константы а, С € К+ такие, что при любом щ £ 3s (щ € 3й) и любом t € Ж+ (t € М_)

IK<)||u < Ce-at\\mh (ll«(t)||a < Ceat\\uо||д).

Термин "«дихотомия» предполагает некоторую «раздвоенность» фазового пространства. Однако в приложениях нередко возникает ситуация, когда либо ф = 3s, либо ф = 3й. Поэтому в таких ситуациях мы будем говорить либо об экспоненциальной устойчивости решений, либо об их экспоненциальной неустойчивости соответственно.

Теорема 3. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, и

aL{M) П Ж = 0. (1.3)

Тогда если

(г) аь{М) С {Rep, < 0} = С_, то решения уравнения (1.1) экспоненциально устойчивы, (п) оь(М) С {.Re// > 0} = С+, то решения уравнения (1.1) экспоненциально неустойчивы.

(in) (aL(M) П С_ ф 0) Л (<jl{M) П С+ ф 0) Л (aL(M) П Ж = 0), то решения уравнения

(1.1) имеют экспоненциальную дихотомию.

2. Устойчивость и неустойчивость решений

Здесь мы редуцируем задачу (0.1) - (0.3) к уравнению (1.1), а затем применим результаты из п. 1. Для этого согласно [2], введем в рассмотрение гильбертово пространство Ьг(С) = {д = (<7ъ52) • • • ,9], • • •) : 9з € 1*2 (-К,)} со скалярным произведением

о

и банахово пространство Я = {и = -..) : и3 6 \У^ {Е0) и выполнено (0.2)} с

нормой

Ь

= 2 Л3 [(и% + и^йх-

Очевидно, вложение Я С Ьг(в) плотно и компактно, поэтому обозначим через 3" сопряженное к Я относительно двойственности < •, • > пространство.

Формулой

ь

lull2

J2d3 VjxdX' U'VEii

Г?. /-at J

Е,е£

зададим оператор А £ £(Я; 3"), чей спектр а (А) неотрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к точке +оо. Обозначим через {Л^} собственные значения оператора А, занумерованные по убыванию с учетом кратности. Заметим, что первое собственное значение Ах = 0 однократно, причем соответствующий нормированный (в смысле Ьг(С)) собственный вектор имеет следующий вид:

в,-ее

Далее построим операторы < Ьи, V >= А < и, V > + < Аи, V > и < Ми, V >= —а < Аи, V > —/? < и, V > . По построению операторы Ь,М € £(Я, 5").

Лемма 1. Пусть а,/3,7 € Ж, и выполнено одно из следующих условий:

(г) при всех к € N А ф —Хк,

(И) существует что А = А*, но /3 ф аХ.

Тогда оператор М (Ь,0) -ограничен.

Доказательство леммы 1 принципиально не отличается от доказательства леммы (3.1) [2]. Заметим лишь, что в данном случае £-спектр оператора М состоит из объединения точек вида

^ = _Т+^Г’ к е : А = _Аг}- (2-1}

Обозначим через {<рк} множество ортонормированных (в смысле Ьг(С)) собственных векторов оператора А.Тогда в силу теоремы 1 справедлива

Теорема 4. Если выполнено условие (г) леммы 1, то фазовым пространством задачи (0.1)

- (0.3) служит все пространство Я. Если выполнено условие (гг) леммы 1, то фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) служит образ проектора

Р = I- ^2 <-,<Рк><Рк-А=-А*

Перейдем к изучению устойчивости решений задачи (0.1) - (0.3). Для этого потребуем, чтобы параметры а и /3 были положительны, это хорошо согласуется с физическим смыслом задачи. Кроме того, положительность этих параметров обеспечивает выполнение условия <ть(М) П Ж = 0. Теперь применим теорему 3, разбив ее на четыре части для того, чтобы снабдить каждую часть некоторыми комментариями.

Теорема 5. Пусть а, /3,7, А £ Ж+, тогда фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) служит пространство Я, причем, решения этой задачи экспоненциально устойчивы.

Действительно, при любом щ = («ю, Що,..., Ujo, •. •) € Я существует единственное решение задачи (0.1) - (0.3) с начальными данными Коши, которые здесь имеют вид

щ(х, 0) = %о(ж), ж € (0,1]). (2.2)

Решение к тому же имеет вид и(х, Ь) = ^к=1 < «О; ¥к > фк{х)- Экспоненциальная

устойчивость таких решений в силу теоремы 5 очевидна.

Теорема 6. Пусть а,/3,7 £ Ж+ и А = 0. Тогда фазовым пространством задачи (0.1) -(0.3) служит множество ф = {и € Я :< и,ср\ >= 0}, причем, решения этой задачи экспоненциально устойчивы.

Фазовое пространство находим из теоремы 4. Ввиду однократности первого собственного значения оператора А оно действительно ортогонально вектору Аналогично предыдущему, решение задачи (0.1) - (0.3) при любом г«о € ф имеет вид

ОО

м(М) = < Щ,(рк > <Рк(х),

к=2

и оно, очевидно, экспоненциально устойчиво.

Теорема 7. Пусть а,/ЗЕ К+ и А € М_\{—Л^}. Тогда фазовым пространством задачи (0.1)

- (0.3) является Я, причем, решения этой задачи имеют экспоненциальную дихотомию.

Пусть «о € Я, тогда единственное решение задачи (0.1) - (0.3), удовлетворяющее 5, имеет вид

“ОМ) = ( X + 2 )ехр(—‘ТТТ^) < щ^к > Рк(х)- (2.3)

А*>-А Ац.<—А А + Ай

Устойчивые 3* и неустойчивые 3й инвариантные пространства ортогональны в смысле Ь2(С), причем, 3й = зрап{(рк : Хк < —Л}, т. е. конечномерно.

Теорема 8. Пусть а,/ЗЕ и существует натуральное число I > 1 такое, что А = —Л^. Тогда фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) служит множество ф = {и € Я :< >= 0, А& = —А}, причем, решения имеют экспоненциальную дихотомию.

Этот, на вид самый трудный, случай исследуется аналогично предыдущему. Инвариантные пространства здесь имеют следующий вид: З3 = {и € Я :< и, щ >= 0, < —А}, 3й =

8рап{(рк : Хк < —А}. Они, очевидно, ортогональны, причем, 3* ® 3й = ф. Любое решение задачи (0.1) - (0.3) имеет вид б, где щ € ф.

Литература

1. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др. - М.: Физматлит, 2004. - 272 с.

2. Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной на графе / Г.А. Свири-дюк, В.В. Шеметова // Вестн. МАГУ. Сер. Математика - 2003. - №4. - С.129 - 139.

3. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах. / Г.А. Свиридюк // Некласс. уравн. матем. физики - Новосибирск, 2002. - С. 221 - 225.

4. Шеметова, В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах дис.... канд. физ.-мат. наук / В. В. Шеметова. - Магнитогорск, 2005.

5. Sviridyuk G.A., Fedorov V.T. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk , V.T. Fedorov. - Utrect, Koln, Tokyo: VSP, 2003. - 216 p.

6. Свиридюк Г.А. Инвариантные пространства и дихотомии одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.В. Келлер // Изв. вузов. Математика. - 1997.

- №5. - С. 60 - 68.

Кафедра математического анализа Южно-Уральский государственный университет [email protected]

Поступила в редакцию 5 марта 2008 г.