Устойчивость решений линейных уравнений Осколкова на геометрическом графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.957

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОСКОЛКОВА НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ

Г. А. Свиридюк, А. С. Шипилов

Южно-Уральский государственный университет,

454080 Челябинск, пр. Ленина, 76.

E-mails: [email protected], [email protected]

Изучена устойчивость и неустойчивость стационарных решений линейных уравнений Осколкова \ujt — Ujtxx = vujxx на геометрическом графе в зависимости от параметра А Є К.

Ключевые слова: уравнения Осколкова, геометрический граф, экспоненциальные дихотомии, фазовое пространство.

Введение. Система уравнений Осколкова [І]

моделирует динамику скорости V = (VI, у2,■■ ■, Уп), Vk = (ж, £), к = 1, 2,... , п,

и давления р = р(х, £) вязкоупругой несжимаемой жидкости. Прообразом такой жидкости служат высокопарафиновые сорта нефти, добываемые, в частности, на месторождениях Западной Сибири. Здесь параметры V € К+ и Л € К характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости, причем экспериментально замечено [2], что параметр Л может принимать отрицательные значения. Далее, х € П, П € Кп — область пространства Кп, п > 2, £ € К. Фазовое пространство однородной задачи Дирихле для уравнений (1) с разных точек зрения описано в [3,4]. Фазовое пространство задачи Бенара для двумерного аналога (1) — уравнения Осколкова — описано в [5]. Фазовое пространство задачи Дирихле для одномерного аналога системы (1) [6]

заданного на интервале, описано в [7]. Здесь параметры Л и V те же, что и в (1), но искомая функция р = р(х,£) уже отвечает не скорости, как в [1], а является функцией тока, как в [7]. Мы рассматриваем устойчивость решений линейных уравнений (2), заданных на геометрическом графе. С учётом вышеизложенного в статье изучается устойчивость в линейном приближении модели транспортировки нефти по трубопроводу.

Георгий Анатольевич Свиридюк (д.ф.-м.н., проф.), зав. кафедрой, каф. уравнений математической физики. Александр Сергеевич Шипилов, аспирант, каф. уравнений математической физики.

(Л — V2)vt = vV2v — (v ■ V)v — Vp, V ■ v = 0

(1)

Л^Pt Vtxx v^xx ^x ^,

(2)

Итак, пусть О = О(Ш, Е) —конечный связный ориентированный граф, где V = {У;} — множество вершин, а Е = {Е;} — множество ребер. Каждому ребру поставим в соответствие два числа Ц, ( € К+, обозначающие длину и площадь поперечного сечения ребра Ец соответственно. На графе О рассмотрим уравнения

Лиjt — и^хх = vujxx, для всех ж € (0, Ц), £ € К. (3)

Данные уравнения относятся к обширному классу уравнений соболевского типа, исследования которых в настоящее время переживают пору бурного расцвета. Уравнения, не разрешенные относительно выделенной производной, впервые появились в работе А. Пуанкаре в 1885 г. Однако начало систематических исследований таких уравнений было положено в работах С. Л. Соболева, выполненных в 40-х гг. прошлого века. К настоящему времени насчитывается более двух десятков монографий, полностью или частично посвященных уравнениям соболевского типа, а также сотни оригинальных статей.

Дифференциальные уравнения на графах — сравнительно новая часть математического знания. Первые публикации в этой области появились в последнее десятилетие прошлого века, первая монография в 2004 г. [8]. Уравнения соболевского типа на графах впервые были рассмотрены в 2002 г. [9]; первое диссертационное исследование в этом направлении было выполнено в 2002-2005 гг. [10].

Для уравнений (3) в каждой вершине графа зададим условия

^ ( ицх(0,£) — ^ 4 и,кх(1к ,£) = 0, (4)

Е €Е“(У;) ЕкеЕ"(У*)

иц(0,£) = ик(0, £) = ит(1т,£) = ип(1п(5)

где Ец, Ек € Еа(У;), Ет, Еп € Еш(У;), £ € К. Здесь через Еа(ш) (У;) обозначено множество рёбер с началом (концом) в вершине У;. Условие (4) обозначает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (5) — что решение и = (и1,и2,... ,иц,...) в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф О состоит из одного ребра и двух вершин, условие (5) исчезает, а условие (4) превращается в однородное условие Неймана.

Наш подход заключается в редукции задачи (3)-(5) к абстрактному линейному однородному уравнению соболевского типа

Ьи = Ми (6)

и применении затем методов теории относительно р-ограниченных операторов [11, гл. 5].

Нашей целью является изучение устойчивости стационарных решений задачи (3)-(4). Заметим, что аналогичная задача была рассмотрена ранее [12]. Уравнения, рассмотренные там, отличаются от (3) слагаемым —виц, в € К+, в правой части. При редукции задачи (4), (5) для таких уравнений к (6) оказалось, что Ь-спектр ст^(М) оператора М не содержит точку нуль. Это обстоятельство делает возможным применение результатов об экспоненциальных

дихотомиях решений уравнения (6) [11, гл. 5]. В нашем случае 0 Є ),

однако возможно использование результатов [11, гл. 6].

Статья, кроме вводной части и списка литературы, состоит из трёх параграфов. В первом рассмотрена задача Штурма—Лиувилля на графе С с условиями (4), (5). Заметим, что наш подход имеет мало общего с результатами [8, гл. 5]. Заметим ещё, что более общая задача Штурма—Лиувилля рассмотрена в [13]. В п. 2 дана морфология фазового пространства задачи (3)-(5) и описан общий вид решения. В п. 3 содержатся результаты об устойчивости и неустойчивости стационарных решений задачи (3)-(5). Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь вкусы и пристрастия авторов.

1. Задача Штурма—Лиувилля на графе. На графе С рассмотрим уравнения

причём считаем, что их решения удовлетворяют условиям (4), (5). Для изучения задачи (7), (4), (5) введем в рассмотрение множество £2(0) =

В силу теорем вложения Соболева, пространство ^2(0, Ц) (с точностью до меры нуль) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит пространство Я корректно определено, плотно и компактно вложено в £2(0). Отождествим £2(0) со своим сопряжённым, а через $ обозначим сопряжённое относительно двойственности (•, ■) пространство к И. Очевидно, $ — банахово пространство, причём вложение И ^ $ компактно.

Формулой

при всех Л Є М+, и Є Я ив некоторых Ск Є М+, к = 1, 2, то линейный оператор А : Я ^ $ биективен и непрерывен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора А-1 : $ ^ Я. Поскольку вложение Я ^ $ компактно, то оператор А-1 Є £($) является компактным. Значит, спектр оператора А вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +го. Фиксируем Л Є М и построим оператор В = А — ЛІ. Справедлива следующая теорема.

ujxx

Ли,

(7)

Uj Є ^2 (О, ^) и выполнено (4)|. Множество ^2(С) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

а множество Я является банаховым пространством с нормой

определим оператор А : Я ^ $. Поскольку

Теорема 1.1. Оператор В Є £(Я; $), причём спектр а(В) оператора В неотрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +го.

Заметим, что первое собственное значение оператора В равно нулю, и это значение однократно. Действительно,

при всех u € U и равно нулю для таких u = (ui, u2,..., Ujчто u = u2 = = ... = uj = ... = const. Введём в рассмотрение нормированную в смысле L2(G) собственную функцию оператора B

отвечающую первому (нулевому) собственному значению. Через (Л&}£=2 обозначим семейство остальных собственных значений оператора В, занумерованное по неубыванию с учетом их кратности; а через (р}^=2 обозначим соответствующие ортонормированные в смысле £2(0) собственные функции. Заметим, что линейная оболочка 8рап(р^ : к € М} плотна в И, £2(0) и $.

2. Морфология фазового пространства. Пусть И и $ — банаховы пространства, операторы Ь, М € £(И; $). Рассмотрим абстрактное уравнение соболевского типа

Вектор-функцию и € Сте(М; И) назовём решением уравнения (8), если она обращает его в тождество. Решение и = и(£) уравнения (8) назовём решением задачи Коши

если оно удовлетворяет (9).

Определение 2.1. Множество Р С И называется фазовым пространством уравнения (8), если

(1) любое решение и = и(£) уравнения (8) лежит в Р поточечно, т.е. и(£) € Р при всех £ € М;

(п) при любых ио € Р существует единственное решение задачи (8), (9).

Пусть далее пространства И и $ такие, как в п.1. Введем в рассмотрение операторы Ь = Л1 + В (здесь I : И ^ $ оператор вложения) и М = — .

Очевидно, Ь, М € £(И; $) при всех Л, V € М. Справедлива [8]

Лемма 2.1. При всех Л, V € М \ (0} оператор М (Ь, 0)-ограничен.

Из леммы 2.1 следует, что мы редуцировали задачу (3)-(5) к уравнению (8), и потому можем воспользоваться результатами [11, гл. 4].

Теорема 2.1. Пусть V € М\ (0}, тогда фазовым пространством уравнения (8) является

LU = Mu.

(8)

u(0) = u0,

(9)

U, если Л Є R \ {Лк }fc=1;

{u Є U : (u, ) = 0, k Є N \ {1}}, если Л = —Лк.

Доказательства леммы 2.1 и теоремы 2.1 можно посмотреть, например, в [10].

Из п. 1 и теоремы 2.1 следует, во-первых, что кег В = 8рап(р1}, а во-вторых, что подпространство кег В содержится в р. Положим Р1 = (и € Р : (и, р1) = 0}. Пусть и0 € Р, представим и0 = и^ + ар1, где и^ € Р1, а

р1 € кег В, а € М.

Следствие. При любых Л, V € М \ (0} и и0 € Р единственное решение и = и(£) задачи (8), (9) имеет вид и(£) = и1^) + ар1, где и± = и1^) есть решение задачи

Ы1± = Ми1, их(0) = и^ = и0 — ар1. (10)

Доказательство ввиду его простоты опускается.

Рассмотрим теперь случай Л = 0, V € М \ (0}. Здесь оператор М уже не будет (Ь, 0)-ограниченным, так как кег Ь = кег М = кег В = (0}. Значит, мы не можем применить результаты [11, гл. 4]. Однако и в этом случае удается полностью изучить задачу (8), (9). Введём в рассмотрение множество И1 = = (и € И : (и, р1) = 0}. Возьмём и0 € И и представим в виде и0 = и1 + а0р1, где а0 € М.

Теорема 2.2. Пусть Л = 0 и V € М \ (0}. Тогда для любого и0 € И существует решение и = и(£) задачи (8), (9), которое к тому же имеет вид и(£) = и1(£) + а(£)р1; где и1 = и1(£) —единственное решение задачи (10), а а = а(£) — произвольная достаточно гладкая функция, такая, что а(0) = а0.

Остальные случаи (Л = V = 0, Л € М \ (0} и V = 0) менее интересны и поэтому опускаются.

3. Устойчивость и неустойчивость решений. Пусть И, $ — банаховы пространства, операторы Ь, М € £(Я; $). Рассмотрим уравнение (8), и пусть Р — его фазовое пространство.

Определение 3.1. Множество I С Р называется инвариантным пространством уравнения (8), если для любого и0 € I решение задачи (8), (9) лежит в I поточечно.

В частности, фазовое пространство Р уравнения (8) является его инвариантным пространством, обратное же, вообще говоря, неверно.

Определение 3.2. Говорят, что решения уравнения (8) имеют экспоненциальную дихотомию, если

(1) фазовое пространство Р уравнения (8) расщепляется в прямую сумму двух инвариантных пространств, Р = Г Ф 3“, Г(и) = (0};

(п) существуют константы а, с5,сад € М+ такие, что при любом И0 € З5 (и0 € Зи) и любом £ € М+ ||и(£)||я ^ с8е-а*||и0||д (||и(£)||и ^ ||и0 ||и)-

В случае Р = З5 (Р = Зи) говорят об экспоненциальной устойчивости (неустойчивости) решений.

Теорема 3.1. Пусть оператор М (Ь, 0)-ограничен, и

сть(М) П Ж = 0. (11)

Тогда если

(г) ст^(М) С С- = (^ € С : И,е^ < 0}, то решения уравнения (8) экспоненциально устойчивы;

(гг) ст^(М) С С+ = (^ € С : И,е^ > 0}, то решения уравнения (8) экспоненциально неустойчивы;

(ггг) (а^(М) ПС- = 0) Л (сть(М) ПС+ = 0), то решения уравнения (8) имеют экспоненциальную дихотомию.

Доказательство более общей версии теоремы 3.1 см. в [11, гл. 5].

Далее, пусть пространства И и $ такие, как в п. 1, а операторы Ь, М такие, как в п. 2. В силу леммы 2.1 оператор М (Ь, 0)-ограничен. Однако Ь-спектр аь (М) оператора М есть замыкание множества точек вида

^к = ~~Г”|—= }5

Л + Лк

и поскольку Л1 = 0, то ^1 = 0, и значит, сть(М) П гМ = 0.

Итак, условие (11) нарушено, и значит, непосредственно применить теорему 3.1 к уравнению (8) в данном случае невозможно. Тем не менее, опираясь на нее, можно достаточно полно изучить устойчивость и неустойчивость решений уравнения (8).

Прежде всего отметим, что при любых Л, V € М \ (0} множество стационарных решений уравнения (8) совпадает с пространством кегВ = 8рап(р>1}. Введем в рассмотрение пространства И1 = (и € И : (и, р1) = 0} и $1 = = (/ € $ : (/, р1) = 0}. Очевидно, И = кег ВФИ1 и $ = кег ВФ$1. Обозначим через Ь1 (М1) сужение оператора Ь (М) на И1.

Лемма 3.1. При любых Л, V € М \ (0} операторы Ь1, М1 € ^(И1; $1), причём оператор М1 (Ь1, 0)-ограничен и Ь1 -спектр аь~ (М1) оператора М1 совпадает с замыканием точек вида

Ц-к = г .—г-) к € N \ ({1} и {I € N : Л = —Лг}).

Л + Лк

Для доказательства заметим, что (Ьи, р1) = Л (и, р1) = 0 при любом и € И1, а также (Ми, Р1) = (и, Мр1) = 0. В остальном доказательство не отличается от доказательства леммы 2.1. Далее аналогично (8) рассмотрим уравнение

Ь1 И1 = М1 и1, (12)

решением которого будет вектор-функция и1 € Сте(М;И1), обращающая его в тождество. В силу теоремы 8 и следствия справедлива

Лемма 3.2. При любых Л, V € М\(0} фазовым пространством уравнения (12) является подпространство Р1.

Далее к уравнению (12) применим теорему 3.1. Справедлива следующая лемма.

Лемма 3.3. При любых V € М+ и (г) Л € [—Л2, +го) решения уравнения (12) экспоненциально устойчивы.

(гг) Л € [—Лк+1, —Лк), если к ^ 2 и Лк = Лк+1, решения уравнения (12) имеют экспоненциальную дихотомию, причём

З5 = 8рап(рг : Лг € (Л2, Л3,..., Лк}}.

Доказательство леммы аналогично доказательствам теорем 6-8 из [12] и поэтому опускается. Теперь у нас всё готово для изучения устойчивости и неустойчивости решений уравнений (8). Условимся решение и = и(£) задачи (8), (9) обозначать следующим образом: и = и(£,и0).

Определение 3.3. Стационарное решение £ € И уравнения (8) назо-

вём 'равномерно устойчивым, если и(£, и0) ^ £ при и0 ^ £ равномерно по £ € М+. Решение £ называется 'равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво и существует окрестность О С И такая, что

и(£, и0) ^ £ при £ ^ равномерно по и0 € О.

Теорема 3.2. При любых V € М+ и Л € [—Л2, +го) \ (0} любое стацио-

нарное решение уравнения (8) равномерно устойчиво.

Приведём набросок доказательства. В силу теоремы 2.1 при Л € [Л2, +го) \ (0} фазовое пространство Р уравнения (8) содержит подпространство кег В. Пусть £ = п^1 € кег В - некоторое стационарное решение уравнения (8). В силу следствия теоремы 2.1 любое решение и = и(£) уравнения (8) имеет вид и(£) = ар1 + и1(£), где и1 = и1(£) - решение уравнения (12). В силу леммы 3.3 (1) и1(£) = и1(£,и0) ^ 0 при £ ^ равномерно по И0. Отсюда легко вытекает утверждение теоремы.

Замечание 3.1. Любое стационарное решение уравнения (8) не будет равномерно асимптотически устойчивым при любых V € М+ и Л € [—Л2, +го)\ \(0}. Действительно, в любой окрестности стационарного решения £ = пр4 существует другое стационарное решение а = гр1, т = п

Замечание 3.2. При любых V € М+ и Л € [—Лк+1, —Лк), к ^ 2, Лк+1 = Лк, в силу леммы 3.3 (11) уравнение (8) имеет конечномерное экспоненциально неустойчивое инвариантное многообразие З5.

Замечание 3.3. При любых V € М+ и Л = 0 в силу теоремы 2.2 решение может быть как устойчивым, так и неустойчивым.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Осколков А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1991. - Т. 198. - C. 31-48.

2. Амфилохиев В. Б., Войткунский Я. И., Мазаева Н. П., Ходорковский Я. С. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений // Тр. Ленингр. кораблестроительного ин-та, 1975. — Т. 96. — C. 3-9.

3. Свиридюк Г. А. О многообразии решений одной задачи динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения, 1988. — Т. 24, № 10. — C. 1846-1848.

4. Свиридюк Г. А. Об одной модели слабожимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. вузов. Математика, 1994. — №1. — C. 62-70.

5. Свиридюк Г. А., Якупов М. М. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова// Дифференц. уравнения, 1996. — Т. 32, №11. — C. 1538-1543.

6. Осколков А. П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / В сб.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 9 / Зап. научн. сем. ЛОМИ. — Л.: Наука, Ленинград. отд., 1976. — Т. 59. — C. 133-177.

7. Свиридюк Г. А., Анкудинов А. В. Фазовое пространство задачи Коши—Дирихле для одного неклассического уравнения// Дифференц. уравнения, 2003. — Т. 39, №11. — C. 1556-1561.

8. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. — М.: Физматлит, 2004. — 272 с.

Q. Свиридюк Г. А. Уравнения соболевского типа на графах / В сб.: Неклассические уравнения математической физики. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. — C. 221-225.

10. Шеметова В. В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02: защищена 27.12.05: утв. 10.05.06. — Магнитогорск, 2005. — 10Q с.

11. Sviridyuk G. A., Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. — Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VsP, 2003. — 216 p.

12. Шипилов А. С. Об устойчивости решений уравнений Баренблатта—Желтова—Кочи-ной // Вестн. Южно-Уральского гос. ун-та. Матем. моделирование и программирование, 2008. — №1. — C. 106-110.

13. Свиридюк Г. А., Баязитова А. А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 200Q. — №1(18). — C. 6-17.

Поступила в редакцию 04/IX/200Q; в окончательном варианте — 13/X/200Q.

MSC: 35B35, 35K70

STABILITY OF SOLUTIONS OF OSKOLKOV LINEAR EQUATIONS ON A GEOMETRICAL GRAPH

G. A. Sviridyuk, A. S. Shipilov

State University of South Ural,

76, pr. Lenina, Chelyabinsk, 454080.

E-mails: [email protected], [email protected]

Stability and unstability of steady-state solutions of Oskolkov linear equations Aujt — — ujtxx = vujxx on a geometrical graph depending on parameter A G R are studied.

Key words: Oskolkov equations, geometrical graph, exponential dichotomies, phase space.

Original article submitted 04/IX/2009; revision submitted 13/X/2009.

Georgy A. Sviridyuk (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Mathematical Physics Equations. Alexander S. Shipilov, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Physics Equations.