CC BY
20
УДК 517.9
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА ГРАФЕ
П. О. Пивоварова
Исследована устойчивость и разрешимость задачи Коши для уравнений \ujt_ — и^хх = 0и]ХХ — аиухххх + 7и^, заданных на конечном связном и ориентированном графе с условиями непрерывности и баланса потока в его вершинах.
Ключевые слова: уравнение соболевского типа, граф, фазовое пространство, дихотомии решений
Введение
Пусть в = в(93; €), где 9? = {У{} - множество вершин, а £ = {Е^\ - множество ребер, в - конечный связный ориентированный граф, причем каждое его ребро Ег имеет длину 1г € М+ и площадь поперечного сечения й3 € М+. На графе С рассмотрим линейные уравнения в частных производных
иЦхх = Ри]хх ОШ^хххх "Ь 1и3- (0-1)
Эти уравнения описывают эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости (см. [1] и библиографию там). Они относятся к обширному классу уравнений соболевского типа, которые в последнее время активно изучаются в различных аспектах. Изучение
дифференциальных уравнений на графах началось в конце прошлого века (см. [2] и библио-
графию там). Первая работа по уравнениям соболевского типа на графах [3] вышла в 2002 г., первая диссертация по данной проблематике [4] защищена в 2005 г. Однако прежде во всех работах по уравнениям соболевского типа на графах изучались только динамические уравнения (см. классификацию по Г.А. Свиридюку [5]). Данная статья содержит исследование эволюционных уравнений соболевского типа на графе.
Нас интересуют решения уравнений (0.1), удовлетворяющие следующим условиям:
= и*; (0,2) = ит(1т, £) = ип{1п,£), (0-2)
где Е3,Ек е Еа(Щ,Ет,Еп е Е“(Уг)(ЕаИ (К) - множество ребер с началом (концом) в вершине V*); а также
^ ^ ^Изх(0,^ ^ ^ Лкикх{}к1^ = 0. (0-3)
Е^бЕа(К) Ек£Е“(уг)
Условия (0.2) требуют непрерывности решений в вершинах графа, причем в этих условиях термин «отсутствовать»®; значит «быть равным нулю». Скажем, если в вершину Уг все ребра «входят», то первые два равенства в (0.2) именно «отсутствуют», а не «равны нулю». Если, к примеру, граф состоит из одного ребра и двух вершин, то условия (0.2) отсутствуют, а условия (0.3) превращаются в условия Неймана. Если же вершина у графа одна и ребро тоже одно, то условия (0.2), (0.3) превращаются в условия согласования.
Наш подход заключается в редукции задачи Коши
(0.4)
для уравнений (0.1) к задаче Коши
и( 0) = п0
для абстрактного линейного эволюционного уравнения соболевского типа
(0.5)
Ьй = Ми
(0.6)
и применении затем методов теории относительно р-секториальных операторов (см. [6], гл. 5). Кроме того, нас интересует устойчивость решений уравнений (0.1), которую мы будем изучать в терминах дихотомий решений ([6], гл. 6). Поэтому статья кроме вводной части и списка литературы содержит две части. В первой проводится редукция задачи (0.1) - (0.4) к задаче (0.6), (0.5), а во второй содержится основной результат статьи.
1. Постановка задачи
Чтобы редуцировать задачу (0.1) - (0.4) к задаче (0.5), (0.6), введем в рассмотрение следующие пространства: $ = {д = (91,52,-,^,-) : 93 € Ь2(0,/7)} и 9? = {и = (г71,и2,...,^-,...) : Ч? ^ Ил21(0,13) и выполнено (0.2)}. Пространство $ - гильбертово со скалярным умножением
Заметим, что в силу теорем вложения Соболева функции из И^(0,13) абсолютно непрерывны, поэтому пространство 93 определено корректно.
Обозначим через 93* сопряженное к 93 относительно двойственности < •, • > пространство и формулой
зададим оператор А Є £(93,93*). В [7] показано, что его спектр а(А) неотрицателен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо. Занумеруем собственные значения {А^} оператора А по неубыванию с учетом их кратности. Тогда ортонормированное (в смысле
странства 93 в силу плотного и непрерывного вложения 93 С
Введем в рассмотрение еще одно банахово пространство И = {и = (щ,и2, ...) : и3 €
Ж|(0,д, и выполняются (0.2), (0.4)} с нормой
а пространство 93 - банахово с нормой
ь3
'3
30 семейство соответствующих собственных функций {ц>к} оператора А образует базис про-
В силу уже упомянутых теорем вложения Соболева первые производные функций из (О, I]) абсолютно непрерывны, поэтому корректность определения пространства Я обеспечена. Нетрудно заметить, что {<Рк} С И, а в силу плотности вложения 11 С 5 семейство {(рк} образует базис в 11. Формулой В : и —ь (—щхх, —и2ХХ, • ••, —изхх, •••) зададим оператор В : Я —)• Очевидно В £ £(11,3") и Ви = Аи при всех и £ Я, поэтому сг(В) = сг(А). Возьмем Л 6 К и построим оператор Ь = А + В. По построению оператор Ь £ £(11; 3), а его спектр а(£') = {А + А/;}.
Наконец, введем в рассмотрение последнее в данной статье банахово пространство йотМ = {и £ И: щ £ (0,13) и
и]хх{^1^) = икхх($1^) = итхх{]"гп1^ = ипхх{^п^)^ (2*1)
где Е3,Ек £ Еа№,Ет,Еп £ Еш(Уг);
^ ] ^и]ХХх{0^) ^ , ЛкикхххО’к^') = 0} (2-2)
£,-е£“(К) ЕкеЕ“№)
с нормой
Ь
(и]ХХХХ и]ХХХ "I- и]ХХ и]Х и] ) (^Х■
о
Сделаем по условиям (2.1), (2.2) те же замечания, что и по условиям (0.2), (0.3) и, аналогично сказанному выше про пространство Я, установим корректность определения пространства еЬтМ. Заметим еще, что поскольку {</?&} С йотМ, а вложение йотМ с Я плотно и непрерывно, то семейство {щ} является базисом в йот,М. Далее, формулой С : и —> (Щхххх,и2хххх, -;Щхххх, •■■) зададим оператор С : йотМ Зг, причем С £С(с1отМ;$) и а(С) = {А|}. Возьмем а,/3,7 € М и построим оператор М = —/ЗВ — аС + 7. По построению оператор М £ £,(йотМ• #), а значит М £ С1 (Я; 5).
Итак, Я и $ - банаховы пространства, а операторы Ь £ £(Я;#),М € С1(Я;#). Редукция задачи (0.1) - (0.4) к задаче (0.6), (0.5) закончена.
2. Корректность задачи
Пусть Я и 3' - банаховы пространства, а £ £ £(Я, 3)иМе С1( Я, 3) - операторы, построенные в п.1. Нашей целью является доказательство существования единственного решения задачи (0.6), (0.5), а также исследование устойчивости решений уравнения (0.6). Начнем с установления сильной (£,0)-секториалъности оператора М.
Лемма 1. При любых а € М+ и /3,7, А € Ж таких, что либо —А ф а (А), либо —А € сг{А) и —А не является корнем уравнения аа2 + /3а — •у = 0, оператор М сильно (£,0)-секториален.
Действительно, из формулы
(„г - Л/Л-1 - V <•>¥*> <рк
_^/х(А + Ай) + аА|+^-7
вытекает, что £- спектр оператора М имеет вид
аь(М) = = ~аХ\~+^кк+1 ■ к£Щ{1 : А + Аг = 0}|
«На = XI А3 ]
вещественен, дискретен и сгущается только к = оо. Далее из формул
00 ^
ДЬ _ < •) фк > фк
(р£ - М)~хЬ{у1 - М)-1 = ^
< -,<Рк> (рк
^ (а* - М*0(1/ - Ы(Л + АЛ)
аналогично ([6], гл.5), нетрудно установить сильную (Ь, 0)-секториальность оператора М.
Перейдем к рассмотрению вопроса о разрешимости задачи (0.6), (0.5). Вектор-функцию и £ С°°(М-|_; к), удовлетворяющую уравнению (0.6), назовем решением этого уравнения. Решение и = м(£),£ £ Ж+, уравнения (0.6) называется ослабленным решением (в смысле С.Г. Крейна) задачи Коши (0.5) для уравнения (0.6), если ^Ит н(£) = щ.
Определение 1. Множество ф С Я называется фазовым пространством уравнения (0.6), если
(г) любое решение и = и(Ь) лежит в 95 как траектория, т.е. и(Ь) £ 95 при всех I £ Ж+; (гг) при любом по € 95 существует единственное ослабленное решение задачи (0.6), (0.5).
Теорема 1. Пусть а £ М+,/3,7
(г) —А € М \ сг(А). Тогда фазовым пространством уравнения (0.6) служит все пространство Д.
(И) —А 6 сг(А). и —А не является корнем уравнения аа2+/3а—7 = 0. Тогда фазовым пространством уравнения (0.6) является пространство Я1 = {гг £ Я : (и, (рк) = 0, —А = А&}.
Итак, вопрос о существовании единственного решения задачи (0.6), (0.5) решен. Заметим, что одновременно решен вопрос и о несуществовании решения задачи (0.6), (0.5), ибо если по Я1 в случае (11) теоремы 2.1, то решения задачи (0.6), (0.5) не существует. Перейдем к вопросу об устойчивости решений уравнения (0.6).
Пусть ф - фазовое пространство уравнения (0.6). Множество 3 С 95 называется инвариантным пространством уравнения (1.1), если для любого щ £ 3 решение и = и(Ь,щ) задачи (0.6), (0.5) лежит в 3 как траектория (т.е. и = и^,щ) £ 3 при всех £ £ К+).
Определение 2. Говорят, что существует экспоненциальная дихотомия решений уравнения (1.1), если существуют такие инвариантные пространства 33,3и С 93, что 95 = З3 ф 3й; и если существуют такие к, С3,Си £ М+, что для любых ио £38 и и)$ £ 3й имеют место неравенства ||п(£, но)|| < е-^С^Н^оИ? £ £ Е+ и ||п(£,10о)|| < еаЬСи\\и]о||,4 € М_. Если 95 = 3я (95 = Зи), то говорят, что решения уравнения (0.6) экпоненциально устойчивы (экспоненциально неустойчивы).
Теорема 2. Пусть а 6 М+,/3,7 € Е, причем Аа'у < — /З2. Тогда
(г) если А > —Ах, то решения уравнения (0.6) экспоненциально устойчивы.
(и) если А < —Ах, то существует экспоненциальная дихотомия уравнения (0.6).
Доказательство. По теореме 2.1 фазовое пространство ф уравнения (0.6) выглядит следующим образом:
„ _ Г Я, если выполнено условие (1) теоремы 2.1,
\ Я1, если выполнено условие (11) теоремы 2.2.
Если 4«7 < —/З2, то уравнение аА| + /ЗАк — 7 > 0 при всех А^, и потому если А > —Ах, то все Цк < 0, и значит, 3е = ф.
Если же А < —Ах, то существует подпространство 3й = span {ip^ : А < — А&}, а подпространство 3й = {« € ф : (и, <pk) = О, А < —Ак}. □
Заметим, что в силу условия а € М+ ситуация, когда решения уравнения (0.6) экспоненциально неустойчивы, возникнуть не может.
В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить свою искреннюю благодарность профессору Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес к работе.
Литература
1. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи Коши для линейных сингулярных уравнений эволюционного типа / Г.А Свиридюк, М.В. Суханова // Дифференц. уравнения. - 1992. -Т. 28, №3. - С. 508 - 515.
2. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, B.J1. Прядиев. - М.: Физматлит, 2004.
3. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск, 2002. - С. 221 - 225.
4. Шеметова, В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах: дис.... канд. физ.-мат. наук / В.В. Шеметова. - Магнитогорск: МаГУ, 2005.
5. Свиридюк, Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР. - 1989. - Т. 304, № 2. - С. 301 - 304.
6. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equtions and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk., V.E. Fedorov - VSP: Utrecth-Koln-Tokyo, 2003.
7. Свиридюк, Г.А. Уравнения Хоффа на графах / Г.А. Свиридюк., В.В. Шеметова // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т. 42, № 1. - С. 126 - 131.
Кафедра математического анализа,
Магнитогорский государственный университет analysis@masu .ru
Поступила в редакцию 7 марта 2008 г.
