Исследование устойчивости одной системы дифференциальных уравнений с четырьмя параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:57

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧЕТЫРЬМЯ ПАРАМЕТРАМИ

Е, Т. Софронов

В статье рассматривается система уравнений вида

X = х(1 — х — Ьх — ах), X = х(1 — Ьх — х — ах), X = —— сх — Ьх — хз),

где а, Ь, с, к — положительные постоянные, и изучается устойчивость или неустойчивость состояния равновесия М с положительными координатами. Состояние равновесия М(х^, х2,х2) находится из системы уравнений

х + Ьх + ах = 1,

Ьх х ах ,

сх + Ьх + хз = к.

Здесь

*-

Д '

где

— Ь Ь — аЬ — ас , — Ь — ак ,

ак

А3 = (1 — Ь)[-Ь — с+к(1 + Ь)], х- х1 = 1Т1—ь—,

2 _ —Ь — с+ к(1 + Ь) Ь — аЬ — ас

© 2006 Софронов Е. Т.

Сделаем замену переменных х^ = х* + у^ (г = 1,2,3). Тогда получим систему уравнений

У1 = (х* + у{)(-у! - Ъу2 - ау3), У2 = (х* + уг)(-Ъу! - У2 - ау3), (2)

Уз = (х* + уз)(су1 + Ъу2 + у3). Характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы уравнений можно представить так:

А3 + ^А2 + агА + аз = 0,

где

^ = 2х* - х*, а,2 = (1 - Ъ2)х*2 + (аЪ + ас -2)х*х*

а - х* х* .

хз-

Из дальнейшего рассмотрения исключаются случаи, когда х* ^0, а3 < аЪ

Кроме того, предполагаем, что с ф а, с ф Ъ. Возможны следующие случаи:

Ъ < Ъ - а Ъ с <

2) Ъ> 1, 1 + Ъ - а(Ъ+с) >0; Ъ

Ъ < Ъ - а Ъ с <

Теорема 1. Пусть

Ъ<1, 1 + Ъ - а(Ъ + с)<о, а< (3)

а(1 + Ъ)(1 + а) 1 + Ъ

Тогда существует состояние равновесия М с положительными координатами и оно асимптотически устойчиво.

х* > х* >

а > а >

2 + Ъ + с - к(1 + 2а+Ъ) , 2 + Ъ + с = -:-;-г,-:- > 0 при к >

1 + Ъ - а(Ъ+с) 1 + 2а+Ъ'

Но

Ь с с Ь

,—«-т^^—гтг;-г или ! — Ь)[1 + Ь —

а Ь Ь а

Теперь покажем, что ^^ — > 0. Подставляя вместо а,2 и аз их значения, получим

а а — а х2 Ь х2 — х — Ь х2 ас аЬ — х2 .

В этом выражении (1 + Ь)х2 — х2 > 0, что следует из (3). Если ас + аЬ — 2 ^ 0, то а\а2 — > 0. Пусть теперь ас + аЬ — 2 <0. Покажем, а>

(1 — Ь2)( 1 — ак) + (аЬ + ас — 2)[—Ь — с + к{1 + Ь)] <0,

или

— Ь — Ь с аЬ ас —

к>

а(1 — Ь2) — (1 + Ь)(аЬ + ас — 2)'

Но

— Ь — Ь с аЬ ас — с Ь

< -7 ч /„-тт < к.

а — Ь — Ь аЬ ас — Ь Ь

Такое неравенство возможно, если

(аЬ+ас—2)[1 + с+2Ь—(1 + а)(1 + Ь)] + ( 1—Ь)[(1 + Ь)(1 + а) — а(1 + с+2Ь)] < 0, или

Ь — ас — аЬ аЬ ас — — Ь < .

а>

2(1 — Ь)х2 + (аЬ + ас — 2= (1 — Ь2)х2 + (аЬ+ас — 2)х*3 + (1— Ь)2х2 > 0.

Отсюда следует, что а^2 — аз > 0, и состояние равновесия М с положительными координатами асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Пусть

Ь с Ь с

Ь<1, 1 + Ь — а(Ь+с)<0, -<к<^———<——.

а (1 + Ь)(1 + а) 1 + Ь

М

датами и оно неустойчиво.

Доказательство. Если

Ъс

к <

аЪ

а < М а >

- Ъ - Ъ с аЪ ас -

к < т,-,чг /,-г;-П-^ ПРИ аЪ+ ас -2 < 0,

Ъ а - Ъ - аЪ ас -

то а2 < 0 и а1а2 - а3 < 0. Если аЪ+ас-2 ^ 0, то а? > 0, но а^2 - а3 < 0 в силу неравенства

Ъ х* - х < .

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть

Ъ с Ъ с

Ъ<1, 1 + Ъ - - <^= тт—гттт—-г < т—г- 5

а (1 + Ъ)(1 + а) 1 + Ъ

М

датами и оно устойчиво.

Доказательство. При выполнении неравенств (5) имеем

* * *

хх

(1 + Ъ)(1 + а)' 3 1 + а' а! = (1 - ^х*, а2 = (1 + Ъ)(аЪ + ас - 1 - Ъ)х*2, - а3 = 0, А\ = (Ъ - 1 )х*, А,з = в = л/^-

Сделаем преобразование:

в 1 + Ъ ^ х= —*У2, у =-У2 + УЗ, г = уг - у2.

ах а

Тогда получим систему уравнений

х = -ву - аху - г( Ъх-|--в* ) ,

ах*

у = вх - х2 + у2 + ^х^ + г¥(х, у), (6)

. А ( , а(3 + Ъ) *

г = А12: - - ау Н----х,х

в

Для системы уравнений (6) г = 0 — интегральная плоскость. На этой плоскости лежат замкнутые траектории. Поэтому [1] состояние равноМ

Ь > Ь— а Ь с >

Теорема 4. Пусть

Ь>\, 1 + Ь — а(Ь + с)>0, ^-с<к<~.

Ьа

М

датами и оно неустойчиво.

Доказательство. Если аЬ + ас — 2 < 0, то а2 < 0 и состояние равновесия М неустойчиво. Пусть а2 > 0 и

+ < к <-.

Ьа

Если

к ^ 1 + 2а+Ь'

а < М а > а > а >

следует, что

Ь2 — 1+ (Ь+с)(аЬ + ас — 2) , 2 + Ь+с

(ттда^жа^с^] < < 1 + +Ь . ^'

Покажем, что этого быть не может. Действительно, это неравенство возможно, если

аЬ ас — Ь с а Ь — Ь Ь с

+ (Ь2 — 1)[1 + 2а + Ь — а(а+Ь+с)]<0.

Но

аЬ ас — аЬ ас — — Ь Ь — Ь — аЬ — ас

= (1 + Ь — аЬ — ас)[2(1 + Ь — аЬ — ас) + (Ь — 1)] > 0, что противоречит предыдущему неравенству. Следовательно, неравен-

М

доказана.

Случай 3: Ь = 1, а + ас — 2 > 0. Если а + ас — 2 < 0, то а2 <0и

М

Теорема 5. Пусть

сс

Ъ=\, а+ас -2 > 0, - < < ——. (8)

аа

Тогда существует состояние равновесия М с положительными координатами и оно устойчиво.

Доказательство. При выполнении неравенств (8) х* > 0, ^ > 0,

а>

с - к а с а1 = —^-т,-ч— > 0 при к > —-- -

- а с а

Характеристическое уравнение имеет корни

А = 0, Т1е А,з < 0,

и существуют состояния равновесия, определяемые системой уравнений

х х ах , сх х х к.

М

Теорема 6. Пусть

Ъ=1, ~ < =к<^т-, а + ас -2 > 0, сф\. (9)

аа

М

датами и оно неустойчиво.

Доказательство. При выполнении неравенств (9) имеем

хх

2(1 +а)' 3 1 + а

а + ас — 2

в = ^/02, а2 =

А1 = 0, А,з = ±вг,

а

Сделаем замену переменных:

х = -в{с1у1 + с2у2), у = у!+у2 + ау3, г = у! - у2,

где

а — 1

Тогда получим систему уравнений вида х = ву — xy,

у = — вх--X -I—у2 + dxy + F(x, у, z),

1

(10)

аа

z = — yz.

Здесь d — const, F(x, у, z) — однородный многочлен второго порядка и F(x, у, z) = (Ъ\х + b2^z.

z

[2] в окрестности точки с координатами х = 0, у = 0. Имеем интегральные плоскости ^ = (в — х)с3, где сз — const. Поэтому для системы

z

где /(х, у) — голоморфная функция, разложение которой в сходящийся ряд по целым положительным степеням начинается с членов не ниже третьего порядка.

М

функцию

такую, что ее производная, вычисленная в силу системы уравнений (10), имеет вид

где многоточием обозначен ряд, начинающийся с членов не ниже третьего порядка; К(х, у) — голоморфная функция, разложение которой в ряд начинается с членов второго порядка. В выражении (10)

У(х, у) = х2 +у2 + f(x, у) =

(П)

dV1 ~dt

[q(x2 + у2)+ .. .]z + R(x, у)Х,

2(1+ а)в' 2 ас+а — 2 '

— с с— а :-Ъ2 — --—

откуда Г(х, у, г) = 0 при с = 1. Если выберем

¿з = 0, = - ¿2 = -

вв

то

_ (с - 1) (а+ 1)

(а + ас -2 )в-

На интегральной плоскости г = (в - х)сз находится состояние равновесия с координатами хо = уо = 0, г = £о ^ 0. Тогда если с > 1, го > 0, то траектории пересекают поверхность V = ^ изнутри при £ > ¿0) а

г<

весия в одном случае неустойчивый фокус, а в другом — устойчивый

г

[3], завершаем доказательство теоремы.

сМ с > х х

чества особей всех видов, а в случае х < х2 количество особей всех видов стремится к определенному числу. Аналогичный вывод можно с<

ЛИТЕРАТУРА

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

2. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

3. Софронов Е. Т. Устойчивость автономных систем в критических случаях. Новосибирск: Наука, 2000.

г. Якутск

18 мая 2006 г.