Об уравнении Камасса-Холма с самосогласованным источником Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 2 (2011). С. 10-19.

УДК 517.946

ОБ УРАВНЕНИИ КАМАССА-ХОЛМА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ

И.И. БАЛТАЕВА, Г.У. УРАЗБОЕВ

Аннотация. Работа посвящена решению уравнения Камасса-Холма с самосогласованным источником специального типа методом обратной задачи рассеяния. Основной результат заключается в определении эволюции данных рассеяния для спектральной задачи, связанной с уравнением Камасса-Холма с самосогласованным источником специального типа. В отличие от классического уравнения Камасса-Холма, в рассматриваемой задаче собственные значения спектральной задачи являются движущимися. Полученные результаты полностью описывают эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для ее решения.

Ключевые слова: уравнения Камасса-Холма, обратная задача рассеяния, данные рассеяния, Пара Лакса, собственное значение, собственная функция.

1. Введение В данной работе рассматривается система уравнений

ut — uxxt + 2uux + 3uux — 2uxuxx — uuxxx =

N

= E (mx9kfk + 2(m + u)(gkfk)'x), (1)

< k=i (1)

gkxx = (1 + Ak(m + u)) gk,

, fkxx = (4 + Ak(m + u)) fk, k = 1, 2,..., N, x e R,

где u = u(x,t), m = u — uxx, u = const e R.

Пусть функция u = u(x,t) обладает достаточной гладкостю и достаточно быстро стре-

мится к своим переделам при x —> ±то,т.ч.

СЮ

I (1 + |x|)

— Ю

В рассматриваемой задаче gk = gk (x, t) является собственной функцией уравнения yxx =

(4 + A(m + u))y, соответствующей собственному значению Ak, а fk = fk(x,t) — линейно независимое с gk решение уравнения fkxx = (1 + Ak(m + u))fk, причем

W {gk ,fk } = gk fk x— g'kxfk = uk(t), k = 1,2,...,N. (3)

где Uk (t) — изначально заданные функции t.

В данной работе получены представления для решений u(x,t), gk(x,t), fk(x,t), k = 1,..., N задачи (1) в рамках метода обратной задачи для уравнения yxx = (4 + A(m + u)y).

I.I. Baltaeya, G.U. Urazboey, About the Camassa-Holm equation with a self-consistent source.

© БАЛТАЕВА И.И., УРАЗБОЕВ Г.У. 2011.

Поступила 28 декабря 2010 г.

k=l

dku(x, t) dxk

dx < oo.

Отметим, что уравнение Камасса-Холма без источника методом обратной задачи рассеяния наиболее полно решено в работе [1]. В работах [2-3] показано, что уравнение Кортевега-де-Фриза (КдФ) с самосогласованным источником может быть решено с помощью метода обратной задачи рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля, а в работе [4] решено уравнение эт-Гордон с самосогласованным источником, соответствующим движущимся собственным значениям оператора Дирака.

2. Задача рассеяния

Рассмотрим уравнение

Фхх = (1 + Нт + —)^ Ф, (4)

где т = и — ихх, \(к) = — 4(к2 + 4), с функцией и(х) , удовлетворяющим условию

СО

J ((1 + |х|)(|и(х)| + 1ихх(х)\)(1х < то. (5)

— О

В этом параграфе будут приведены необходимые для дальнейшего изложения сведения, касающиеся прямой и обратной задачи рассеяния для задачи (4-5). При условии (5) уравнение (4) обладает решениями Йоста со следующими асимптотиками:

ф1(х, к) = в—гкх + о(1), х —> +то,

ф2(х,к) = вгкх + о(1), х —> +то, (6)

р1(х,к) = е гкх + о(1), х —> — то,

р2 (х,к) = егкх + о(1), х —> —то. (7)

При действительных к, пары {р1,р2} и {ф1,ф2} являются парами линейно независимых решений для уравнения (4), поэтому

р1(х, к) = а(к)ф1(х, к) + Ь(к)ф2(х, к). (8)

Легко заметить,что

а(к) = — {ф2(х,к),Р1(х,к)}.

Функция а(к) допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость и имеет там конечное число нулей к = гкп,кп > 0, причём

Хп = — — ^—кП +4^ , п = ^-, Г2, .“,> ^,

является собственным значением уравнения (4), так что

Р1(х, гкп) = Ьпф2(х,гкп), п =1, 2,...,Н. (9)

Кроме того, для коэффицента а(к) имеет место следующее разложение в полуплоскости 1тк > 0 :

N О

к — гкп 1 /* 1п(1 — |Я(к' )|2)„,

1па(к) = —гак + \1п ---------------------------------------—---<!к ,

К ! ^ к + гк.. огП к - к ’

к + гкп 2гп I к' — к

п=1

где

а =1 \\п+т^—о жк)=ак.

Набор {Я(к), к Е Я, кп, Ьп, п = 1, 2,..., N} называется данными рассеяния для уравнения (4). Обратная задача рассеяния состоит в восстанавлении по данным рассеяния функции т(х), следовательно и(х), уравнения (4).

Обратная задача востанавление функции и(х) по данным рассеяния, решается посредством следующих уравнений [1]:

1 СО N

£(хЛ 1 , [ о/.А-Г/ И\\£( \}2гк' йк' , ^ Ьп[£(х)}—2кпф1(x, —гкп)

ф1(х,к)=[ —— 1 + Я(к')ф2(х,к')[£ (х)]2гк' —------ + ^

\£'(хУ } к' — к а(гкп)(к — гкп)

— О

р = 1, 2,...^,

1 о N

~Г/ ■! \ (£(х)\5 , [ Г>п/\~гг \л2гк' йк' ^ Ьп[£(х)]—2кпф1(х, —гкп)

ф1(х, —гкр)=[^) + Я(к')ф2(х,к'Шх)Гк ,,, + Л ,,, ' ^- :

\£'(х)/ 3 к' + гкр п=1 а(гкп)(кр + кп)

— О

1 со N

е—чох)}| - (Ц5)'+/ тяычмГк+л+г Е .

— О

где

£(х) = ехр{х + I ( \/т(у—+ — — 1 ] dy},

ф1(х,к) = ф1(х,к)[£(х)]гк,

х

<Р1(х,к) = <р1(х,к)ехр{гк(х + / ( \/т(у—+ — — 1 )йу)},

Р1(х,к) —

егака(к)

ф1(х, к) + Я(к)ф2(х, к)[£(х)}

2гк

Отметим, что функции кп, определяемые с помощью равенств

кп (х)= Ж(р1 — Ьпф2)\к=гкп , п =1^ 2,...^, (10)

а(гкп )

где р1п = р1(х,гкп),ф2п = ф2(х,гкп),п = 1,2,...^, являются решениям уравнений кпхх = (1 + Ап(т + —))кп, причем для них справедливы асимптотики

кп ~ —Ьпе—кпх при х —> —то, ( )

кп ~ е—кпх при х —> +то. ( )

Согласно (9), (6), (11) выполняются равенства

{р1n, кп} = р1пкп р1пкп - 2кпЬп, п -- 1, 12, ..., N. (12)

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма

Лемма 1.Если функции f и д являются решениями уравнений

!хх = + А1(т + —)^ f,

дхх = (1 + А2(т + —)^ д, то для них справедливо следующее равенство

(т+—^д = 1;—т2 {д^}

х

Справедливость этой леммы доказывается непосредственной проверкой.

Лемма 2. Справедливо следующее равенство

СО

а(гкп) = — (т + —)р1пф2пйх, (13)

г—

— О

где а(гкп) = \к=гкп, п =1, 2,..., N.

Доказательство. Дифференцируя по к уравнения

Р1хх(х,к) = {\ + А(к)(т(х) + — и ф1(х,к),

Ф2хх(х,к)= [1 + А(к)(т(х)+ —Л Ф2(х,к),

получим

Ф 1хх(х, к) = + А(к)(т(х) + —)^ ф1(х, к) + А(к)(т(х) + —)ф1(х, к),

ф2хх(х, к) = (1 + А(к)(т(х) + —)^ ф2(х, к) + А(к)(т(х) + —)ф2(х, к).

Из этих равенств легко заключить, что

Ф2ф1хх — Фф 2ххф1 = —А(к)(т(х) + —)ф1ф2, ф2ф 1хх — ф2ххф 1 = А(к)(т(х) + —)ф1 ф2.

Из этих равенств следует следующее равенство:

СО

2гк {'

№ {Фф 2п,ф1п} + № {ф2п,ф 1п} =------п (т + —)ф1пф2пйх.

—

— О

С другой стороны, дифференцируя по к равенство

а(к) = — {ф2(x,k),фl(x,k)},

и подставляя в место к = гкп, имеем

2кпа(гкп) = №{Фф2п, ф1п} + №{ф2п, ф 1п}.

Следовательно,

СО

а(гкп) = — (т + —)ф1пф2пйх.

г—

Лемма 2 доказана.

3. ЭВОЛЮЦИЯ ДАННЫХ РАССЕЯНИЯ

Пусть функция п(х,Ь) в уравнения (4) является решением уравнения

п — пхх^ + 2шпх + 3ппх — 2пхпхх — ппххх = С, (14)

где функция С = С(х,Ь) обладает достаточной гладкостью и С(х,Ь) = о(1) при

х ^ ±то, Ь > 0.

Лемма З.Если функция п(х,Ь) является решением уравнения (14) в классе функций (2), то данные рассеяния задачи (4) с функцией п(х,Ь) зависят от Ь следующим образом :

Ж = -ЖЇ1Е — ши+Щ I {1,пк = 0)

аЬп 4икп , 1 — 4.кП

ОС

Ьп + 0 ,П Сф1пК<Іх,

СЮ

агп=г ^ [ °^их.

аЬ 8икпЬпа(гкп) }

— Ю

Доказательство. При действетельных к будем искать пару Лакса для уравнения (14) в виде :

ф1хх =(1 + А(т + Ш))ф1, (15)

1 и

фи = — и)^1х + ~хф1 + 7ф1 + Р(х, к, Ь), (16)

где т(х) = и — ихх,а ф1(х,к,Ь) решения Йоста уравнения ф1хх = (1 + \(т + ш))фі с

асимптотикой (7). Используя равенство ф1ххг = фцхх, на основании равенств (14), (15) и

(16) получим

Рхх— ^4 + а(т + р = хСфі. (17)

Будем искать решение этого уравнения в виде

Р(х, к, Ь) = А(х)ф1(х, к, Ь) + В(х)ф2(х, к, Ь), тогда для определения А(х) и В(х) получим систему уравнений

Ахф1 + Вхф2 = 0, (18)

Ахф1х + Вхф2х = ХСф1.

Используя асимптотику функции ф1(х,к,Ь) и (2), перейдем в равенстве (16) к переделу при х —> —то. В результате передельного перехода получим

Р(х,Ь) —> 0 при х —> —то.

Следовательно, решение системы уравнений (18)имеет вид:

х

АС гк

А(х) = — ш .1 вф1ф2Іх + (Та — 1

— Ю

х

В(х) = [ °ф21ах.

Следовательно, в этом случае, второе уравнение пары Лакса имеет вид

(х \ х

— 2к / С^1 ^2^х + (2Л — ^)/ ^1 + 22/к / G,ф22dx,ф2, (19)

— Ю / — Ю

Переходя в равенстве (19) к переделу х —> то в силу (2), (6), (8) и подставляя в место 7 = 2^, получим

СЮ СЮ

а = —[ Оф1ф2<1ха(к,1) + [ Сф\с1хЪ(к,Ь), (20)

2гк ,/ 2гк ,/

—Ю —Ю

Ю Ю

• 7 л л л л

Ь = г^Ь(к,Ь) — Сф1ф2<ЛхЬ(к,1) + 7:гк Сф\<ха(к,1). (21)

—Ю —Ю

Умножая (21) на а и вычитая из него равенство (20), умноженное на Ь , используя определение функции К(к) и подставляя в место Л = — 4 (к2 + 4), получим

Ю

<К 4гки „ 4к2 + 1 [ ^ 2

2

R — Gv\dx.

<И 4к2 + 1 8гкша2(к)

— Ю

В общем случае собственные значение уравнения ухх = (1 + Л(т + &))у зависят от времени, поэтому, дифференцируя равенства

Ф1(х,гкп,г) = Ьп(г)ф2(х,гкп,г), п =1,...,м, (22)

по Ь получим

Зф1п 8<Р1 <(гкп) _ <Ьп (0ф2п , дф2. <(гкп)

+ \к=гкп 17---- = ~ГТ Г2п + Ьп ^ТГ + ^ГГ\к=гк,

at дk 'k=ikn dt dt ^2n n\ ди ^k 'k=ikn dt

т.е. согласно обозначению (10)

д^а _ bn , .ri s, d(iK) . , дф2-а

~W = ШФ'2"— a{tkn )KSr + bn~W. (23)

Анологично непрерывному спектру в случае дискретного спектра будем искать пару Лакса в виде:

Vlnxx = (1 + An(m + ^))Vln, (24)

Vint = (2A — u)Vlnx + Vln + YVln + Fn. (25)

Тогда для определения Fn(x,t) получим уравнение

Fnxx — (4_ + An(m + ш))Fn = AGVln. (26)

Будем искать решение (26) в виде

Fn (x, t') An(xi t)vln + Bn(x')hn.

Для нахождения An(x,t) и Bn(x,t), точно также и в случае непрерывного спектра, получим систему уравнений решая которую получим

x

An(x,t) = — 1 -ттп- [ Gvinhndx + (2A- + y)

2knbn J 2An

— oo

x

Bn(x) = -ГЛТ [ GVlndx.

2knbn J

— oo

Таким образом, на основании (23), второе уравнение пары Лакса в этом случае имеет вид: Vlnt = (2ХП - u)^inx + ^1п + - ( 2кПьП / Gipinhndx + (2^ + 7Л ф1и+

\ -ж / ^27)

x

^n Г Ґ"1 ,^2

2knbn

J Gp2lndxhn.

Переходя в этом равенстве к переделу при х —> то и используя асимптотики (2), (11), (22) и (7), получим

СЮ

- -A~bne—knx - I WTT f GVinhndx + -A. I bne-knx + -Ab- f G p2jxeknx =

2An \ 2knbn j 2An 2knbn j

— Ю / — Ю

= dbn e—knx - ^г^) ЩАeknx_

dt n dt

(_ k2 + 1 Ш ( kn + 4

Подставляя в место An = -1 (-kn + 1) и сравнивая коэффициенты при экспонентах,

получим

сю

dbn 4ukn 1 - 4k2n r

dt 1 — 4kn 8vk

bn + 0 ,n GVinhndx,

n

— СЮ

Ю

<кп = . 4к1, — 1 [ С 2 <

8икпЬпа(гкп) ] ^1п

— ю

Лемма 3 доказана.

Так как функция Нп является решением уравнения Нпхх = (4 + Лп(т + ш))Нп, для нее справедливо представление

hn . / \ '-Pin + an fn, n 1, >2, ..., N.

a^kn)

Согласно (11) имеем ап = 2кпЬпЛп, где йп определяется из равенства дп = йпф 1п.

Кроме того, из (3) следует, что

№ [К,!п} = .вп иГ, , П =1, 2,...,М. (28)

а(гкп)ап

Применим результат леммы 3 при

N

С = ^2(тх9к Iк + 2(т + и)(дк ік )'х). к=1

Воспользовавшись леммой 1 при к = п, получим

СЮ СЮ

/ (2((т + и)/кдк)х — тхдк!к)ф 1пах = / (((т + и)1кдкУх — тхдкД)ф 1пах+

+(m + v)fkqkvlJ^ - / (m + v)fkqk(V2iJxdx = / (m + ^)(fLqkvL + fkq'kxvin-

—2!кдкф1пф1пх)ах = ] (т + и)(дкф1п(Ґкхф1п — ф'шхїк) + Лф1п(д'кхф1п — ф'^дк))ах

—Ю

СЮ

аа

{ф1п,дк}№{ф1п, 1к} + ~т№{ф1п, 1к}№{ф1п,дк} ах =

Ак — Ап 1 \0х ^1пакі ^1п^^ ах

—Ю

1

Ак — Ап

Согласно (3) имеем

№ { фЫ,дк }№ { ф1п,1к }Ю = 0.

(2((т + и)дп!п)'х — тхдпїп) ф 1пах = (т + и)(дп ф 1п( фЬпйх — !п ф1пх) +

+ !пф1п(ф1пдпх дпф1пх)')ах I (гт + и)дпф 1п^^{ф1n, 1п}ах

= J (т + и)ф2ыШ{дп,1п}ах = ип J (т + и)ф2ыах.

—Ю —Ю

На основании равенства (13) уравнение для кп в лемме 3 может быть переписано в виде:

акп = 1 — 4% и (29)

Л 8кп ( )

Согласно (3) для функций /п(х,Ь) справедливы асимптотики

/п ~ —екпх, при, х —> то, (30)

2Спк',

-п1Х,п

1п-----0^П, е кпх, при, х —► —то. (31)

2<пкп

где сп определяется из равенства дп = спф2п. Используя лемму 1 и асимптотики (11), (30), (31) при к = п имеем

Ю СЮ

/ (2((т + и)/кдк)'х — тхдк/к)фыК<х = / (((т + и)/кдк)х — тхдк/к)ф1пК<х+

+(т + и)/кдкфыК^ю — у (т + и)/кдк(фыКУ^Ах = J (т + и)(/кхдкфыК + !кд'кхфыК—

-Ю -Ю

СЮ

—!к дк фыКх— /к дк ф\пх]іп)ах = J(т+и)(!к ф1п(д’кхКп — К^дк)+дк К(1кх ф1п — ф\пх!к ))ах =

-Ю

СЮ

1 а а

{ф1п,/к}№{Кп,дк} + ~т№{Кп,дк}№{фЫ, /к} ах =

АЛ І I 7 ' ' I Т 1п ) </ к І ' ' I • '■''п ) 3 к І і 7 ' ' I • ^п

к — Ап1 \ ах ах

Ак — Ап

{ ф1п,/к }№ {Кп,дк }Ю = 0.

В соответствии с (28)

СЮ СЮ

J (2((m + u)gnfn)'x - mx9nfn)Vlnhndx = J (m + —)(9nVln(hnfL - fnh'nx) +

-Ю -Ю

СЮ

+fnhn(<Ping'nx - gnVinx))dx = j (m + u)gnVinW[hn, fn]dx =

-Ю

СЮ

Pn—n f / \ 2

(m + u)v1ndx.

a(ikn)

-Ю

Из последних двух равенств и формулы (13) заключаем, что

СЮ

I G(flnhndx i^ftnbn^n-)

следовательно,

dbn _ 4—kn , . .1 - 4klah о АТ

dt = 1 - 4k2 n + i -kn Pn bnUn,n -1, 2,...,N. (32)

Анологичном образом, используя определение решений Йоста, лемму 1 и асимптотики (11), (30), (31), можно показать, что

N {

Gv\dx = ab— М

n=1 n

N —n (, kn - k2

k \ k2 + k2

kn \ kn ”+ k

n— i

-Ю

поэтому

— 4k— 4k2 + 1 ^ —n Л kn - k2\\ D

dt l\ 4k2 + 1 8k ^kn V k2 + k2)) R. (33)

Объединим (29),(32) и (33) в следующее утверждение.

Теорема. Если функции u(x,t),gk (x,t),fk (x,t),k = 1, 2,...,N являются решением задачи (1-3), то данные рассеяния для уравнения (4), с функцией u(x,t) меняются по t следующим образом:

dR . ( 4k— 4k2 + 1 ^ —n Л ft - k2 \\ R ,, ,

-dt = -1\WTI^- ki-ki)) R' (Imk = 0)’

dkn 1 - 4k1

dt 8k

n

—n

<Ьп _ 4икп и , .1 — 4к1а ^ о ЛГ

<1=1 — 4кп п + г —кп вп пШп,П =1, 2,.“,К

Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (1 — 3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. A. Constantin, V. Gerdjikov and R.I. Ivanov Inverse Scattering Transform for the Camassa-Holm equation. Inverse problem (2006)22:2197.

2. Хасанов А.Б., Уразбоев Г.У. Интегрирование общего уравнения КдФ с правой частью в классе быстроубывающих функций // Узб. матем. журнал. Ташкент. 2003. № 2. С. 53-59.

3. V.K. Melnikov Integrable and nonintegrable cases of the Lax equations with a source // Theoret and Math.Phys. 1994. № 3. P. 733-737.

4. Хасанов А.Б., Уразбоев Г.У. Обуравнении sin-Гордон с самосогласованным источником // Мат. труды. 2008. Т. 11, № 1. С. 1-14.

Ирода Исмаиловна Балтаева,

Ургенчский Государственный университет, ул. Х.Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: iroda-b@mail .ru

Гайрат Уразалиевич Уразбоев,

Ургенчский Государственный университет, ул. Х.Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]