Матричный оператор Шрёдингера на полуоси: дифференциальное уравнение для обобщённых собственных функций непрерывного спектра относительно спектрального параметра и аналог уравнения Фройда Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 539.1+517.984.46+517.984.52+517.927.25 В. Ю. Страздин

МАТРИЧНЫЙ ОПЕРАТОР ШРЁДИНГЕРА НА ПОЛУОСИ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОБОБЩЁННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА ОТНОСИТЕЛЬНО СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА И АНАЛОГ УРАВНЕНИЯ ФРОЙДА

Введение. Рассмотрим матричное уравнение Шрёдингера на полуоси с матричным эрмитовым быстро убывающим потенциалом:

(1)

—Ф" + V(х)Ф = ХФ = к2Ф, х > 0,

°? N

V Є , V = V*, / (1 + і2) • V(і)| А < ж, V| = |г>ар\.

0 “ Р=і

Мы будем параллельно рассматривать два оператора Шрёдингера (с граничным условием Дирихле и Неймана):

Ь1уі = —у" + V(х)у, у(0) =0, х > 0,

Ь2у = —у" + V(х)у, У/(0) =0, х > 0.

Рассмотрим характерные решения Фі(х, к), Ф2(х, к) и Е(х, к) матричного уравнения Шрёдингера (1), которые определяются условиями:

Ф1(0, к) = 0, Ф1(0, к) = 1, Ф2(0, к) = 1, Ф2(0, к) = 0, Ііт в-ікх Е(х, к) = 1,

X—

здесь 0,1 Є MN - соответственно, нулевая и единичная матрицы.

Перечислим некоторые свойства решений Ф^-(х,к) и Е(х,к), на которые мы будем ссылаться ниже.

Решения Ф^(х, к), і = 1, 2, при каждом х ^ 0 являются целыми чётными матрицами-функциями параметра к, которые подчиняются оценкам:

віп кх Фі(х, к)---------— • 1

\ Ф2(х, к) — сов кх • 1 \ ^ С

е\1тк\х

1 + |А|2’

е\1тк\х

1 + |к|’

д

—— (Ф2 (ж, к) — соэ кх ■ 1) дк

е\1тк\х

1 + |А|2’

е\1тк\х 1 + 1*1'

(2)

(3)

Решение Е(х, к) при каждом х ^ 0 аналитично по к в верхней полуплоскости 1т к > > 0, непрерывно дифференцируемо по к вплоть до вещественной оси и удовлетворяет оценкам:

Е(х, к)е

-гкх

1

1 + |к| ’

д

— (Е(х,к)е-Ікх)

1

1 + |к|

1тк > 0.

(4)

© В. Ю. Страздин, 2009

При вещественных к выполняются соотношения

Фі(х,к) = —(Е(х, к)Е* (0, к) — Е(х, —к)Е* (0, —к)),

к (5)

Ф2(х,к) = -—(Е(х,к)Е*'(0,к) - Е(х, —к)Е*'(0, -к)).

2гк

Будем предполагать, что det Е(0, 0) = 0, det Е'(0,0) = 0, иначе говоря, к = 0 не является виртуальным уровнем оператора , і = 1, 2.

Спектр {X} оператора , і = 1, 2, состоит из конечного числа отрицательных собственных значений и компоненты N -кратного непрерывного спектра, заполняющей полуось X > 0. Чтобы укоротить изложение, будем предполагать, что для рассматриваемого потенциала собственные значения отсутствуют. При сделанных предположениях, функции det Е(0, к), det Е'(0, к) не имеют корней в замкнутой верхней полуплоскости. Столбцы матрицы Фj(х, к), і = 1, 2, являются обобщёнными собственными функциями непрерывного спектра оператора Lj, і = 1, 2. Они удовлетворяют следующим условиям ортонормированности и полноты:

СЮ

J aj (1)Ф (У,l)Фj (у,к)йу = 6(х - НО • ~1, і = 1 2 (6)

0

СЮ

J Фj (х, k)Oj (кЩ (у,к)ЗХ = 6(х - у) • 1, і = 1, 2, (7)

0

аі(» = ^[Е(0,к)Е*(0,к)]~\ а2{к) = ^[Е'(0,к)Е*'(0,к)]~\ \ = к2, \і = 12.

Как следствие, ядро Е(х,у) оператора Е = Е(Lj) даётся формулой

СЮ

Е (х,у) = I Фj (х,к)Е (X) • Oj (к)Ф* (у,к)ёХ.

0

Теорема 1. При сделанных выше предположениях относительно потенциала V и спектральных свойств оператора Lj, матрица-функция Фj (х, X) = = (Ф^-(х, к), ф(х, к))т удовлетворяет уравнению

д ^

— Ф^-(жД) = и^(жД)Ф^(жД),

где

и (х х) = ( —(Mj)у(х,у,х)|y=x Mj(х,х,х) А

И(x, х) ^ Wj (х,х) — М )Ху (х,у, Х)|у=х М )х (х,у, X)|y=x ) ,

Mj(х, у, X) - ядро оператора Mj = Wj(Lj) • (Lj — X — І0)-1,

д / \

\ь = і2,

Wj (х,у) - ядро оператора Wj(Lj), і = 1, 2, функции Оі(к), о2(к) определены выше. Выполняется также соотношение - аналог уравнения Фройда:

~21х = І! І = 1’2'

Обратная задача рассеяния для матричного оператора Шрёдингера на полуоси была впервые рассмотрена в работах Аграновича и Марченко [2, 3]. В монографии [4] можно найти вывод уравнения Гельфанда-Левитана, которое играет важную роль при решении обратной задачи. Используя это уравнение, авторы доказывают равенство Парсе-валя для системы матриц-функций Ф1(х, к), равносильное разложению 5-функции (7). Мы представим другое доказательство разложения 5-функции (7), в котором будем интегрировать резольвенту оператора по контуру. Некоторые соотношения, которые нам потребуются, отсутствуют в работе [4], поэтому для полноты картины приведём здесь все необходимые формулы с доказательствами. Для сравнения наших формул с результатами работы [4] необходимо сделать следующие замены:

Как только докажем соотношение ортонормированности (6), мы сможем провести доказательство теоремы 1 аналогично тому, как это было сделано в работе [1] для скалярного оператора Шрёдингера.

Свойства решений Ф,,- (х,к) и Е(х,к). Доказательство свойств аналитичности, чётности и оценок (2)—(4) для функций Фj(х, к), Е(х, к) и их производных по к в скалярном случае N = 1 можно найти в работе [5]. В матричном случае всё происходит аналогичным образом - мы рассматриваем интегральное уравнение, эквивалентное матричному уравнению Шрёдингера с заданным начальным условием:

Если подставить ряд (9) в интегральное уравнение (8), то получим верное равенство. Условие, которое мы наложили на потенциал V(х), достаточно для того, чтобы можно было почленно дифференцировать этот ряд по к. Используя следующие свойства введённой нами матричной нормы:

ся, суммы рядов обладают необходимыми свойствами аналитичности, чётности, а также выполнены оценки (2). Аналогично доказываются свойства решений Ф2(х, к), Е(х,к) и оценки (3), (4).

к ^ X, Фі(х, к) ^ 0(х, X), Е(х, к) ^ Е(х, -X), 2ік Ф1(х,к) [Е* (0, к)]-1 ^ и(х, X).

X

, , ,, 8ІП кх

Ф !(х,к) = —— -1 + к

/

(8)

0

Напишем ряд теории возмущений для решения Фі:

(9)

X

1, Фі,п(х, к) =

0

ь

ь

\Л + Б\ < \Л\ + \Б\, \Л • Б\ < \A\-\B\,

а

а

можно показать, что ряды теории возмущений для Ф1 (х, к) и Ф1 (х, к) абсолютно сходят-

Фундаментальная система решений матричного уравнения Шрёдингера.

Лемма 1. При каждом к Є К, к = 0 функции Е(х, к) и Е(х, —к) образуют фундаментальную систему решений матричного уравнения Шрёдингера (1).

Следствие 1.

Фj(х, к) = Е(х, к)А2 (к) + Е(х, —к)А^ (—к), к Є М, і = 1, 2.

(10)

Доказательство леммы 1. Рассмотрим систему из N дифференциальных уравнений второго порядка, эквивалентную матричному уравнению Шрёдингера (1):

N

Уа + к Уа =>_' Vaв(x)Ув, а = 1, 2,...,N.

в=1

(11)

Из теории для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) знаем, что определитель, составленный из 2N решений (и их первых производных) системы ОДУ 2-го порядка, не содержащей слагаемых с первой производной, не зависит от х.

Матрица-функция Е(х, —к) является решением уравнения Шрёдингера (1) и удовлетворяет условию Иш вгкх Е(х, —к) = 1. Каждый столбец матриц Е(х, к), Е(х, —к)

X—

является решением системы (11). Вычислим определитель

Е11(х,к) ■ ■ ^ 1(х,к) 1е х, — ) )к —, (х, Е

1е ( х, к) )к ’ ’ Е )к —, . (х, Е1 )к —, . (х, Е

Е11(х, к) ■ ENі (х, к) Ец(х, —к) ■ ■ EN і (х, —к)

Еш (х,к) ■ ■ ENN(x,k) ElN (х, —к) ■ ENN(x, —к)

Ііт

X—

Е'(х,к) Е' (х, —к)

Е(х, к) Е(х, —к)

= (ік^ (вікх ^ (в-ікх ^

„ еікх Лкх

і

ке-ікх ■ і

0—ікх ^ і

і —і і і

=(ік)

N

і 0 і 2 і

= (2ik)N.

Этот определитель определён только при к € М. Поскольку он отличен от нуля для всех к = 0, то столбцы матриц Е(х, к) и Е(х, —к) линейно независимы, а сами матрицы Е(х, к) и Е(х, —к) образуют фундаментальную систему решений уравнения Шрёдингера (1). □

Вронскианные формулы. Связь решений на вещественной оси. Пусть У(х,к), Z(х,к) - два произвольных решения матричного уравнения Шрёдингера (1). Обозначим через вронскиан следующее выражение:

■»г{У* (х, к); Z(х, к)} = У*(х, k)Z'(х, к) — У*'(х, k)Z(х, к).

Заметим, что эта функция линейно зависит от каждого из своих аргументов.

Для нахождения коэффициентов Лу (к) в формуле (10), вывода соотношений ор-тонормированности и полноты (6), (7) и доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая

Лемма 2. Пусть потенциальная матрица V(х) в уравнении (1) эрмитова, У(х,к), Z(х,к) - два произвольных решения этого уравнения, тогда для всех х ^ 0

у=Ь

wr{У*(y, к); Z (у,к)} = 0 для любых 0 < а<Ь < то, (12)

у=а

X

wr{Фj *(х,1); фу (х,к)} = (12 — к2)! фу *(у,1)Фу (у,к)йу, э = 1, 2. (13)

о

Следствие 2. При всех х ^ 0, к € М имеют место равенства

wr{E*(x,k); Е(х,к)} = Е*(х,к)Е'(х,к) — Е*'(х,к)Е(х,к) = 21к- 1, (14)

wr{E*(x, к); Е(х, —к)} = Е*(х, к)Е'(х, —к) — Е*'(х, к)Е(х, —к) = 0, (15)

-V (Е'(х,к)Е*(х,к) - Е'(х, -к)Е*(х,-к)) = 1. (16)

2гк

Следствие 3. При вещественных к выполнены соотношения (5).

Доказательство леммы 2. Напишем дифференциальные уравнения для У*(у,1) и Z(у, к):

—У *"(у, 1)+У *(у,т (у) = I2 У * (у,1),

—Z"(y,k)+V(y)Z(у, к) = к2 Z(у, к).

Домножим первое равенство справа на матрицу Z(у, к), а второе равенство слева - на матрицу У*(у, I) и вычтем второе равенство из первого, получим

У*(у, 1)^'(у, к) — У*"(у, l)Z(у, к) = (I2 — к2) У*(у, I) Z(у, к).

Интегрируя это равенство по у на интервале [а, Ь], получим:

у=Ь

у=Ь

у=а

wr{У*(y, I); Z(у, к)} = (У*(у, l)Z'(y, к) — У*(у, l)Z(у, к))

у=а

Ь

= (12 — к2) I У*(у,1) Z(у, к)йу. (17)

Подставляя в равенство (17) I = к, мы получаем формулу (12).

Подставляя в равенство (17) У = Z = Фу, а = 0, Ь = х и учитывая начальные

условия $1(0, к) = 0, $2(0, к) = 0, мы получаем формулу (13). □

Доказательство следствия 2. Подставим в формулу (12): а = х, Ь =

= то, У (у, к) = Z (у, к) = Е(у, к), с учётом условий на бесконечности получим

wr{E*(x,k); Е(х,к)} = Иш (Е*(у,к)Е'(у,к) — Е*'(у,к)Е(у, к)) =21к- 1.

у—<х,

Подставляя в формулу (12) а = х, Ь = то, У (у, к) = Е (у, к), Z (у, к) = Е (у, —к), получим wr{E*(x, к); Е(х, —к)} = Иш (Е*(у, к)Е'(у, —к) — Е*(у,к)Е(у, —к)) = 0.

у—ж

Мы доказали первые два равенства следствия 2. Делая замену к ^ —к в равенствах (14), (15), можно получить ещё два равенства

Е*(х, —к)Е'(х, —к) — Е*'(х, —к)Е(х, —к) = —2гк ■ 1,

Е*(х, —к)Е'(х, к) — Е*'(х, —к)Е(х, к) = 0.

Если собрать все эти равенства в одно матричное равенство, то получим

Е*(х,к) -Е*'(х,к)\ ( Е'{х,к) Е'{х,-к)\ ( 1 0\

2гк V —Е*(х, —к) Е*'(х, —к)]' \ Е(х,к) Е (х, —к) ) V 0 1

Так как правая обратная матрица совпадает с левой обратной, то матрицы, стоящие в левой части равенства, можно поменять местами

2_( Е'{х,к) Е'(х,-к)\ ( Е* (х, к) -Е*'{х,к)\_( 1 0\

2гк ^ Е(х,к) Е(х,—к) ) у —Е*(х,—к) Е*'(х,—к) ) у 0 1 у

Расписывая почленно это равенство, получаем последнее утверждение леммы. □

Доказательство следствия 3. Подставим в формулу (12): а = 0, Ь = х, У (у, к) = Е(у, к), Z (у, к) = Фу (у, к). Используя равенство (10), линейность вронскиана, а также доказанные выше равенства (14), (15), получим

Е*(0,к)Ф'у(0,к)—Е*'(0,к)Фу(0,к) = wr{E*(0, к); Фу(0,к)} = wr{E*(x,k); Фу(х,к)} = = wr{E *(х, к); Е(х, к)} А у (к) + wr{E*(x, к); Е (х, —к)} А у (—к) = 2гк А у (к).

Выражение, стоящее в левой части этого равенства, можно вычислить, используя граничные условия в точке х = 0 для функций Фу(х, к). Таким образом, мы находим коэффициенты Ау(к) в формуле (10):

Мк) = ^кЕ*{°’к)’Мк) = “2^*,(М)-

□

Замечание 1. Если подставить в формулы (5) х = 0, то, используя начальные условия для функций Фу(х, к), получим

Е(0, к)Е*(0, к) = Е(0, —к)Е*(0, —к), Е'(0, к)Е*'(0, к) = Е'(0, —к)Е*'(0, —к). (18)

Дискретный спектр операторов Ь\, Ь2.

Лемма 3. Дискретный спектр оператора Ь\(Ь2) состоит из конечного числа отрицательных собственных значений X* = к2, к* = гк*, к* > 0, г = 1,...,п, п < то. Для точек дискретного спектра выполняется условие: det Е(0, к*) = 0 (det Е'(0, к*) = = 0).

Доказательство леммы 3. Точкам дискретного спектра оператора Ь\ (^2) соответствуют такие значения к*, для которых существует векторное решение уравнения Шрёдингера из Ь2(0, то), удовлетворяющее граничному условию Дирихле (Неймана) в точке х = 0. Такое решение существует тогда и только тогда, когда равен нулю определитель:

1. Дискретный спектр оператора Ь\\

Ф1 (х, кг) Е'(х, кг) Ф1 (0, кг) Е'(0, кг)

Ф1(х,кг ) Е(х, кг) Ф1 (0, кг) Е(0, кг)

det Е(0, кг) = 0,

2. Дискретный спектр оператора Ь2:

Ф2(х,кг) Е'(х, кг) Ф2(0, кг) Е'(0, кг)

Ф2(х, кг) Е(х, кг) Ф2(0,кг) Е(0, кг)

= (-1)" det Е'(0,кг) = 0.

Нетрудно заметить, что выражения, стоящие в правой части, допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость С+. Поскольку оператор Ь\ (Ь2) самосопряжён, то Хі = к\ Є М, поэтому кі = гк*, к* > 0, % = 1,..., п, п < оо. □

Вывод условий ортонормированности и полноты для функций Фу (х,к). Условие полноты для функций Фу (х,к) можно получить интегрированием ядра резольвенты Ну(X) = (Ьу — X ■ 1) —1 по контуру на комплексной плоскости X = к2.

Лемма 4. Пусть дискретный спектр оператора Ьу отсутствует. Проведём разрез на плоскости X вдоль вещественной полуоси 0 ^ X < ж, на которой расположен непрерывный спектр. Тогда можно написать следующие выражения для предельных значений ядра резольвенты на верхнем и нижнем берегах разреза:

Н (х у) = Н а+ ,-0)(ху) = ^ ф1(х,к) ■ [Е*(0,тк)] ■Е*^,тк1 при х<у;

Н1±(х,у) Н1 (X ± і0)(х,у) I 77/ _|_ 7 \ \Т?(С\ -Ь/М-1 <Г\* ( ^

1 Е(х, ±к) ■ [Е(0, ±к)] ■Ф\(у,к), при х>у.

Н2±(х,у) = ± і0)(х,у) =

—Ф2(х, к) ■ [Е*'(0, ^к)] 1 ■ Е*(у, ^к), при х <у ;

—Е (х, ±к) ■ [Е'(0, ±к)]-1 ■ Ф2(у,к), при х>у.

Доказательство. Проверим формулу для й1 + (х,у). Нам требуется доказать соотношение (Ь1 — X ■ 1)Н1 + (х, у) = Ь(х — у) ■ 1. Наше первое наблюдение состоит в том, что если подействовать оператором (Ь — X ■ 1) по переменной х на функцию Й1+(х, у), то получим 0 для всех х = у, поскольку функции Ф1(х, к), Е(х, к) являются решениями уравнения Шрёдингера. Поэтому достаточно доказать, что скачок производной

Ііт

е\0

дП1+(х,у)

дх

Левая часть (19):

х=у+є

дП1+(х,у)

дх

= —1, Уу> 0 , з = 1, 2 .

Х=у—Єу

(19)

Е'(у, к) ■ [Е(0, к)]-1 ■ Ф1*(у, к) — Ф'(у, к) ■ [Е*(0, —к)]-1 ■ Е*(у, —к) =

= ~^Е'(У’ к) ' 1Е(°> кТг ■ (Е(0, к) Е*(у, к) - Е(0, -к) Е*(у, -к)) -~ ^(Е'(У> к) Е*(°> к) - Е'(у, ~к) Е*(0, ~к)) ■ [Б*(0, -її)}-1 ■ Е*(у, -к) =

= -^(Е'(у>к) Е*(у>к) - Е'(у, ~к) Е*(у, ~к)) +

+ 7^Е'(у> к) • ([Е(°> к)ГХ Е(0, ~к) - Е*(0, к) [Е*(0, -кГ1) • Е*(у, -к)).

Используя формулу (16), получаем, что слагаемое в предпоследней строке равно —1. Вычислим слагаемое в последней строке, упрощая выражение, стоящее в скобках:

[Е(0, к)]-1 Е(0, —к) — Е*(0, к) [Е*(0, — к)]-1 =

= [Е(0,к)]-1 ■ (Е(0, —к) Е*(0, —к) — Е(0, к) Е*(0,к)) ■ [Е*(0, —к)]-1 = 0 .

Здесь мы использовали формулу (18).

Аналогично можно проверить формулы для Й1_(ж,у), Д2±(х,у). □

Следствие 4. Функции Фу (х, к) удовлетворяют условию полноты (7).

Доказательство. Проверим условие полноты для функций Ф1(х, к). Используя соотношения (5), а также свойство чётности (18), можно получить следующую формулу, которая верна для вещественных к:

01(к)Ф* (у, к) =

= £ [Е(0, к)Е*(0, к)}-1 ■ [~^{Е{0, к) Е*(у, к) - Е(0, -к) Е*(у, -*))) =

= -^ • ([Е*(0, -к)}-1 ■ Е*(у, -к) - [Е*(0, к)}-1 ■ Е*(у, к)) . (20)

Проинтегрируем ядро резольвенты оператора Ь1 по контуру, охватывающему непрерывный спектр (мы предположили, что дискретный спектр отсутствует). Хорошо известно, что такой интеграл равен 5-функции:

СЮ

Ъ(х-у)-1 = ^— I (Й1 + (ж,2/) - Д1_(ж,2/)) сЖ =

о

СЮ

= 2^/ ф1 (х’к)-([Е*(0,-к)Г1-Е*(у,-к)-[Е*(0,к)Г1-Е*(у,к)')с1к =

о

СЮ

= У Ф1(х,к)01(к)Ф* (у,к)1К.

о

Здесь мы подставили выражение для Й1±(х, у) при х < у и использовали формулу

(20). То же самое выражение получится, если подставить выражение для Я,1±(х,у) при х > у.

Аналогично доказывается условие полноты для функций Ф2(ж, к). □

Лемма 5. Функции Фу(х,к) удовлетворяют условию ортонормированности (6).

Доказательство. Докажем условие ортонормированности для функций Ф1(х, к), используя следующие формулы из теории обобщённых функций:

1 1

Ит ----------=0, Ит -----------------= ±Ь(к). (21)

N2пг к ± гг N2пг к ^ гг

Преобразуем выражение, стоящее в левой части равенства (6), используя формулу (13):

сю N

I О! (/)Ф*(у,/)Ф1(у,к)йу = дИшоУ 01 (/)Ф*(у,/)Ф1(у,к)йу =

оо

т фш I)Ф'(ЛГ, к) - ФГ(Я, /)Ф1(ЛГ, к)

= ^Тоо °1(/) -------------------------- =

= Ит а1щщф1т_ Ит о^фг^оф^,*)

N ——^ю I2 — к2 — г0 N —>^ю I2 — к2 — г0

В последнем равенстве мы использовали регуляризацию (I2 — к2)-1 = (I2 — к2 — г0)-1, чтобы каждое слагаемое по отдельности было определено. Продифференцируем по у формулу (20), получим

а^к)ФГ(у, *) = 2^‘ ([Я*(°, -^Г1 ' Е*\у, -к) - [£*(0, к)]-1 • £*'(у, к)) . (23)

Подставляя в формулы (20), (23) у = Ж, к = I, упростим правую часть (22). Заметим, что под знаком предела Ит можно сделать следующие замены:

N —►Ю

Е(Ж, к) ^ е^ ■ 1, Е'(Ж, к) ^ гк ■ 1,

Е*(Ж,1) ^ е-ш ■ 1, Е*'(Ж, I) ^ —Не-ш ■ 1,

Ф1(ЛГ, к)» — (е1ШЕ*( 0, к) - е~1ШЕ*( 0, -*)) ,

2гк

ФлШ,к) — (гке1ШЕ*(0,к) + гке-1ШЕ*(0,-к)) .

1 2гк

о1(/)Ф|(ЛГ,/)Ф'1(ЛГ,*:) _

12-к2 - гО

1 ггке«к-№ [Е*(0,1)]-1 Е*(0,к) гке-^к+'^ [Е*(0,1)]-1 Е*(0, —к))

---- Ит

2пг N—ю

+

2гк(к2 — I2 + г0) 2гк(к2 — I2 + г0)

гкеЛк+,-')М' [Е*(0, —I)]-1 Е*(0,к) гке-^к-1^ [Е*(0, —I)]-1 Е*(0, —к))

2гк(к2 — I2 + г0) 2гк(к2 — I2 + г0)

0,(1)^'к) _

I2 — к2 — Ю

--- Ит

2пг N—ю

—Ие*(к-№ [Е*(0,1)]-1 Е*(0, к) ile-i(k+l)N [Е*(0,1)]-1 Е*(0, —к))

+

2гк(к2 — I2 + г0) 2гк(к2 — I2 + ю)

Ие^к+1^ [Е*(0, —I)]-1 Е* (0,к) ие-(к-№ [Е*(0, —I)]-1 Е*(0, —к))

+

2гк(к2 — I2 + ю) 2гк(к2 — I2 + г0)

Таким образом, правая часть (22):

1 1 - г------ „,-1^,, е^к-1^ , 1,1_1™,п ,,, e-i(k+г)N

— •-------- Ит

2к 2пг N—ю

[Е*(0, /)] Е*(0, к) ----- ----- + [Е*(0, /)] Е*(0, —к)) ■

(к — 1) + г0 ’ ’ (к +1) ± г0

Лк+1)м р-1(к-1)м

- -О]"1 ^*) (^Т7)±ю - ^°’^ ^°’“*» (аГЛУТю]

Используя формулы (21), мы видим, что первое слагаемое в скобках равно нулю, второе и третье слагаемые дают либо ноль, либо 6(к + /). Но так как к > 0, / > 0, то вклад от этих слагаемых также равен нулю. Остаётся четвёртое слагаемое, которое даёт вклад т^; • 5(к — I) ■ 1 = д(Х — ц) • 1.

Аналогично доказывается условие ортонормированности для функций Ф2(х, к). □

Спектральное разложение функции ^ Фу (ж, к). Теперь приступим к доказательству теоремы 1. Всё будет аналогично скалярному уравнению Шрёдингера. Нужно только следить за тем, чтобы подынтегральные множители стояли в правильном порядке.

Умножим обе стороны соотношения ортонормированности (6) слева на матрицу функцию Ф^(х, I) и проинтегрируем полученное соотношение по [1 по полуоси [1^0:

СЮ

д !'

— Ф у(х,к) = Су(х,у)Фу(у,к)с1у,

0

где

СЮ

д

с^у) = /^(ф^о) -аде/ЫН*- (24)

0

Рассмотрим граничное условие Дирихле (у = 1), сделаем замену переменной интегрирования ц = /2, а затем воспользуемся чётностью подынтегральной функции относительно / и распространим интеграл на всю ось:

Сг(х, У) = и Ы*, 1)°1№1(У, № ■ (25)

К

Здесь использовано обозначение Ф\{х, I) = -§[ ^Ф1(ж, /)^ .

Чтобы убедиться в том, что С\ (х,у) является функцией точки (т. е. не имеет компонент, которые были бы сингулярными обобщёнными функциями), подставим в по-

следний интеграл вместо подынтегральной функции её асимптотическое выражение при / ^ ж:

к

Сингулярная компонента последнего интеграла совпадает с сингулярной компонентой функции С\{х, у). Нетрудно убедиться, что выписанный интеграл есть непрерывная матрица функция х, у.

Следующее наблюдение состоит в том, что С1 (х, у) = 0 при у > х. Чтобы увидеть это, воспользуемся формулой (20), получим:

С\(х,у) = -^- ( Ф1(х,1)[Е*(0,1)Г1Е*(у,1)(11 +

+ -^ / Ф].(ж, /) [Е*(0, О]-1 Е*(у7 1)с11.

Во втором интеграле сделаем замену I ^ —. Так как Ф1(х, I) - нечётная функция I, то

С'!(х,У) = -^11

к

Напомним, что функция Ф1(х, I) - целая чётная функция I, а [Е*(0,1)]-1Е*(у, I) ана-литична в нижней полуплоскости. Деформируя контур интегрирования в нижнюю полуплоскость, мы видим, с учётом оценок (2), (4), что при у > х интеграл обращается в нуль.

Аналогично можно показать, что С2(х, у) = 0 при у > х.

Таким образом,

X

д !'

— Ф у(х,к)= Су(х,у)Фу(у,к)с1у.

0

При у < х функция С (х, у) допускает дальнейшие преобразования. Выполним интегрирование по частям в формуле (24), получим

1=ю г д / \

Су{х,у) = [Фу{х,1)-Оу{1)Фу*{у,1)} ;=о -у Ф3-(х,/).о3-(/)—

0

сю

Ф3-(х,/)—(о3-(/))ф/(г,,/)ф =

0

сю

1=ю /* д / \

= [Фу{х,1)-оу{1)Фу*{у,1)} ;=о -с*(у,х)~ I Ф3-(*,/).—(о^/))ф/(ї/,0Ф-

0

Замечание 2. Мы предположили, что к = 0 не является виртуальным уровнем оператора Ь1 (Ь2), а значит det Е(0,0) = 0 (det Е'(0,0) = 0). В этом случае оу(0) = 0, следовательно внеинтегральный член в нуле исчезает.

Замечание 3. Используя оценки (2)—(4) для функций Фі(х, к), Ф2(ж, к), Е(х,к), легко видеть, что Ііт [Фу(х,1) ■ (1)Фу*(у,/)] = 0, і = 1, 2. Следовательно вне-

I—►ю

интегральный член на бесконечности тоже исчезает.

В силу доказанного выше, С* (у, х) = 0 при у <х, поэтому

сю

Сй{х,у) = - I Фй{х,1) • |-(ау(0)ф/(у,0Ф-

0

Дифференциальное уравнение относительно переменной К для Фу (х,к).

Вернёмся к спектральному представлению функции Л Ф^(ж, к):

^-Ф з(х,к) = ~1 Ф 5-(ж,/) ^(а,-(/))ф У Ф*(у,1)Фу(у,к)с1у.

00

Используя вронскианную формулу (13), получаем

X

д^, ,л_ п д ( /,Л та{Фу *(х, I); Фу (х, к)}

дХ Ф^Х> - I Ф*(Х’1)др (°3'( V /2 - *2 Ц "

0

= -/ ф>(1’'>а^(°>(,))------------------------------------*

0

Два появившихся здесь интеграла можно расчленить, если подходящим и одинаковым образом интерпретировать в обоих слагаемых, которые должны при этом возникнуть, сингулярный знаменатель (ц — X)-1. Мы будем в дальнейшем использовать конкретную регуляризацию (ц — X)-1 = (ц — X — г0)-1.

С этой договорённостью

д

— Фу{х,к) = Му (ж, х, Х)Ф'-(ж, к) - (Му)у(х,у, \)\у=хФу(х, к), (26)

где

СЮ

Му(х,у,Х) = I Фд-(х,г) ,0 • \¥^) ■ Оу(/)Ф^,/)ф,

Щ(\^) = -^(ьо^/)), \1 = 12.

д_ д\1

Ясно, что Му(х, у, X) можно записать как ядро оператора Му = Шу(Ьу)-(Ьу —Х—Щ-1. Для завершения доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая

Лемма 6.

— (Му)уу(х, у, X)|у=х = Шу (х,х) + Му (х, х, Х)(Х • 1 — V(х)), (27)

— (МУ)xx(x,y, ^^=х = Шу(х,х) + (Х, • 1 — V(х))Му(x,x, X). (28) Доказательство леммы 6.

СЮ

-(Му)уу(х,у,Х)\у=х = I 0 _ I _ г0 ■ ЩМ ■ Од (0 (~ФГ(+ 0)ф =

0

СЮ

/ ^ • о3-(/)Ф5(х,/)((ц - X) • 1 + (X • 1 - У(х)))ф =

0

= Шу (х, х) + Му (х, х, X)(X • 1 — V(х)).

Второе утверждение доказывается аналогично. □

Чтобы получить замкнутую систему для матрицы Фу(х, X) = (Фу(х,к), Фу (х, к))т, продифференцируем уравнение (26) по х и исключим из полученного соотношения производную Фу(х, к), используя уравнение Шрёдингера и формулу (27). Результат можно записать как уравнение для Фу (х, X):

д

д\

— фу (ж, X) = Шу(ж, Х)фу(ж, X), (29)

где

и (х ^) = ( ~(М3 )у (х,у, Х)|у=х Му (х,х, X) \

^(х,Л) ^ Жу (х,х) - (Му )ху (х,у, Х)|у=х (Му )х (х,у, Х%=х ) •

Аналог уравнения Фройда. В виде аналогичной системы можно записать и само уравнение Шрёдингера

д

— Ф7-(ж, X) = У(х, Х)Ф7-(ж, X), (30)

дх

где

її., *>=( ^(х) - ^!;) • (31)

Условие совместности уравнений (29) и (30) имеет вид ^ + [V, Юу]. Используя

формулы (27), (28), можно упростить условие совместности. При этом, только элемент

[21] этого матричного условия ведёт к содержательному соотношению: -2-^ ]¥у(х, х) = = 1. Мы доказали все утверждения теоремы 1.

Литература

1. Буслаев В. С., Страздин В. Ю. Одномерный оператор Шрёдингера на полуоси: диф-

ференциальное уравнение для собственных функций относительно спектрального параметра и аналог уравнения Фройда // Функц. анализ. 2007. Т. 41. № 3. С. 84-88.

2. Агранович З. С., Марченко В. А. Восстановление потенциала по матрице рассеяния

для системы дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113. № 5. С. 951-954.

3. Они же. Восстановление потенциальной энергии по матрице рассеяния // Усп. матем. наук. 1957. Т. 12. Вып. 1(73). С. 143-145.

4. Они же. Обратная задача теории рассеяния. Харьков, 1960. 268 с.

5. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // Усп. матем. наук. 1959. Т. 14. Вып. 4. С. 57-119.

Принято к публикации 1 июля 2009 г.