CC BY
48
УЧЕНЫЕ' ЗАПИСКИ НАГИ Том XIX 19 8 8
№ 2
УДК 532.526
ОБ УРАВНЕНИИ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
М. А. Брутян, В. Н. Голубкин, П. JI. Крапивский
В поле осесимметричного течения вязкой жидкости найдено семейство поверхностей, вдоль которых функция Бернулли сохраняется постоянной, что является обобщением известных в гидродинамике идеальной жидкости теоремы и уравнения Бернулли на пространственные вязкие течения.
Рассмотрим осесимметричное ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в поле массовых сил, имеющих потенциал. Запишем уравнения Навье—Стокса в цилиндрической системе координат г, ф, 2 [1]
dV
+ и X V — — уН — v rot to;
dt
div К = 0;
V2
T0tV=eo о>; Я = fZ + П;
А Р
1/2 = V ■ V, V = ег
дг
ez
дг
(1)
I
Здесь использованы следующие обозначения: V—вектор скорости, р — давление, р — плотность, V — кинематический коэффициент вязкости, П — потенциал массовых сил, ег< ег — единичные векторы в радиальном, окружном и осевом направлениях соответственно, Я—функция (трехчлен) Бернулли.
Как нетрудно убедиться, для рассматриваемого течения ротация вектора завихренности выражается в виде векторного произведения
rot to = — to ха, а =_у In | <яг I.
Введем в рассмотрение вектор U, определяемый равенством
U = V— ш.
Тогда с помощью (2) уравнение (1) преобразуется следующим образом:
«Г + .хе.-тя.
Вычисляя ротацию от обеих частей этого уравнения, получим
(2)
д<а
dt
J- rot [to X U] = 0.
(3)
(4)
dt\ г \ г
Если использовать выражения дивергенции и ротора в цилиндрической системе координат, то второе слагаемое принимает вид
~rot [»X^J = е<р div ^ U j .
Тогда уравнение (4) записывается в эквивалентной скалярной форме
д + div(4 ^j = 0. (5)
Рассмотрим стационарные течения. Тогда, умножая обе части уравнения (3) скаляр-но на U, получаем
и-мН = 0.
Это означает, что функция Бернулли Н сохраняется постоянной вдоль векторных линий вектора U, в плоскости ф=const, а для течения в целом — вдоль поверхностей, образованных вращением этих линий вокруг оси симметрии. Назовем их {/-поверхностями.
Таким образом, приходим к обобщению известной для идеальной жидкости [1, 2] теоремы Бернулли.
Теорема 1. В стационарных осесимметричных течениях вязкой несжимаемой жидкости под действием потенциальных массовых сил вдоль U-поверхностей функция Бернулли сохраняется постоянной
Н — Хг + —+ П-= const. (6)
2 р
Для плоскопараллельных течений вязкой жидкости аналогичный результат получен ранее в работе [3].
Поверхности уровня функции Н называются [2] поверхностями ..Бернулли. Поэтому приведенную выше теорему можно переформулировать следующим образом: для рассматриваемого класса вязких течений U -поверхности совпадают с поверхностями Бернулли.
Из уравнения (5) следует важный результат, касающийся распространения завихренности.
Теорема 2. При тех же условиях, что в теореме 1, вдоль £/-поверхностей переносится завихренность вязкого течения, деленная на расстояние от оси симметрии.
Рассмотрим две {/-поверхности, находящиеся на малом расстоянии б друг от друга. Применяя формулу Остроградского—Гаусса к объему, ограниченному этими поверхностями и двумя поперечными сечениями z=const и учитывая, что уравнение (5) в стационарном случае дает
получим, что вдоль {/-поверхностей сохраняется «поток» величины т/г со «скоростью» и
2%гЪ • — {/= const или ы£/5 = const. г
Это и доказывает теорему 2.
Отметим, что при описании осесимметричного течения в сферической системе
координат R, 0, ? (§^ = 0) вект0Р U имеет вид
U = V — чу In | a>R sin g I;1
jL 4- fL — ^ (7^
v = eR dR R db'
В качестве примера, иллюстрирующего справедливость полученного уравнения (6), рассмотрим обтекание шара при малых числах Рейнольдса Re в отсутствие массовых сил. Хорошо известное решение этой задачи (например, [1, 4]) дает
3 г, 1 г sin 0 3 г-\ >7 cos 0
уЯ0УЖ_, р = vptfoV*, (8>
где рос—параметры набегающего потока, Яо — радиус шара.
8-- «ученые записки» № 2 99
В формуле (7) для U, по крайней мере, на конечных расстояниях от шара, отношение первого члена ко второму по порядку величины равно Re= V^Ro/v. Поэтому
в пределе при Re->-0 первый член можно опустить. Выражение (8) для р показывает, что то же самое можно сделать в формуле (6) для Н. Тогда с учетом (8) получим
U— — чу In | »/?sin 6 | = — 2ee ctg0); (9)
R
Н= P-. (10)
p
Из формулы (10) следует, что в данном случае поверхности Бернулли являются изобарическими поверхностями поля течения.
Нетрудно видеть, что такой же вид имеют и U-поверхности. Действительно, уравнение этих поверхностей
dR _ Rdb U9
с учетом (9) приобретает форму
*В. = — JL tg 0de
R 2 s
и легко интегрируется:
£^1 = const. (И)
Сопоставление (11) с формулой (8) для давления и с формулой (10) показывает, что £/-поверхности совпадают с поверхностями Бернулли в полном соответствии с доказанной выше теоремой 1.
В заключение отметим, что аналогично уравнению Бернулли в идеальной жидкости полученное" в данной работе его обобщение на течения вязкой жидкости может быть использовано для расчета распределения давления по известному полю скорости, а также для проверки точности численных расчетов осесимметричных течений вязкой жидкости на основе полных уравнений Навье—Стокса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука,
1986.
2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир,
1973.
3. Г о л у б к и н В. Н., Сизых Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости.— Изв. АН СССР, МЖГ,
1987, № 3
4. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир, 1967.
Рукопись поступила 25/XII 1986 г.
