Ортогональные векторные преобразования и фундаментальные свойства уравнения Навье Стокса и Эйлера для вихревых течений несжимаемоя жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том XXII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1991

№1

УДК 532.516.2 + 532.527

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА И ЭЙЛЕРА ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. Головкин ,

Для различных классов плоских, осесимметричных и трехмерных стационарных и нестационарных вихревых течений идеальной и вязкой несжн-маемой жидкости в поле потенциальных и непотенциальных массовых сил получены соотношения, позволяющие определить нзобарические поверхности или же семейства поверхностей уровня, вдоль которых фуикция Бернуллн сохраняется постоянной. Дано компактное представление таких уравнений движения через градиент от давления или от функции Бернулли и вектор завихренности. Найдено приращение потенциалов (давления и функции Бернулли) при переходе с одной эквипотенциальной поверхности на другую. Получено выраженне для силы давления, действующей на элементарный объем, вырезанный между изобарическими поверхностями, которое в плоском и осесимметричном случа ях аналогично формуле Н. Е. Жуковского для подъемной силы. '

В работах [1, 2] на основе специального представления ротора вектора завихренности найдены семейства поверхностей, вдоль которых в стационарных плоских и осесимметричных течениях вязкой несжимаемой жидкости в поле потенциальных массовых сил' функция Бернулли сохраняется постоянной, сформулированы условия поведения завихренности между этими поверхностями.

В предлагаемой работе найдены ортогональные векторные преобразования, позволяющие определить поверхности, вдоль которых функция Бернулли является постоянной или вдоль которых давление постоянно — изобарические поверхности, для различных классов плоских, осесимметричных и пространственных течений: стационарные и нестационарные течения вязкой или идеальной жидкости, как в потенциальном, так и в непотенциальном поле массовых сил. Найдено компактное представление для уравнений движения. Определены выражения для потенциалов — давления и функции Бернулли, и найдены выражения для приращений этих потенциалов при переходе с одной эквипотенциальной поверхности на другую. Исследовано поведение завихренности. Получено выражение для результирующей сил давления, действующей на элементарный объем жидкости, которое в плоском

и осесимметричном случаях аналогично формуле Н. Е. Жуковского для подъемной силы.*

В литературе по аэродинамике, включая монографии, посвященные уравнениям Навье — Стокса, например, [3—5], эти вопросы не излагаются, в связи с чем и приводится данная работа.

1. Исходные уравнения и их преобразование. В общем случае будут рассматриваться уравнения Навье — Стокса нестационарного движения вязкой несжимаемой жидкости в поле как потенциальных, так и непотенциальных массовых сил:

-aV + (а) Х V + vrot (а)-f =-'VH, ( 1.1)

div V = 0, = rot V, # = -L + J£l + . п, (1.2)

где V — вектор скорости, t — время, — вектор завихренности, v — кинематический коэффициент вязкости, р — давление, р — плотность жидкости, П — потенциал массовых • сил, f — вектор интенсивности непотенциальной части массовых сил, Н — функция Бернулли. Полученные ниже результаты будут, очевидно, применимы и для различных частных

пример: для уравнений Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости,

совпадающих с рассмотренной выше системой, если в (1.1) положить v = О;

для стационарных вязких и невязких течений, а также при наличии только потенциальной или только непотенциальной части массовых сил.

Входящие в (1.1) слагаемые будем обозначать Q(0:

■ QD =*L' QZ) = vrot 6), Q(3) = _f, Q(4) = 'V ¥-= V'V V,

Q(5) = 'Vn. ( )

Рассматриваются области течения, ■ где вектор завихренности не равен нулю, оа =1= О.

Плоские и осесимметричные течения. Будем использовать некоторую обобщенную ортогональную систему координат Omnk с единичными ортами по направлениям т, п, k, соответственно т, п, к. В этой системе входящие в (1.1), (1.2) операторы выражаются как

V = Vmm +. Vnn, ш = rot V = сок, со = I о>! = со*,

rot<i> = [fot<u]mm + [rot<e]„n, V=m—m+nJ—.

(1.4)

В гілоском течении будет также использоваться ортогональная- система координат Oxyz (Оху — плоскость течения), переход к которой от системы Omnk осуществляется заменой т, п, к, , т, п, k на i, j, к, х, у, z соответственно. В частности, вектор rot (а) (1.4) в системе Oxyz будет

а ды • ды • /і г \

rot “ = —,- — (15)

В осесимметричном течении будет еще использоваться цилиндрическая система осей координат Огг<а) (Ozr — плоскость течения), где z — осевое направление, r — радиальное, <а) — угловая координата, с единичными ортами

по указанным направлениям е2, ег, е6) соответственно. Переход от системы Omnk к системе Огг<а) осуществляется путем замен т, п, к, т, п, k ■ на

• Следует отметить, что подобное выражение для этой результирующей в' этих случаях другим путем было получеио ранее В. Э. Баскиным, но им не опубликовано.

е., ег, еф, г, г, ф соответственно. Входящий в (1.4) вектор го^ в этом 'случае будет

го^=-—---- — --е, (1.б)

По . ходу изложения будут вводиться также, другие координатные системы.

Остановимся на некоторых преобразованиях, которые будут использоваться в дальнейшем. Раскрывая тройное векторное произведение, найдем для любых двух ортогональных векторов 1 и J тождество:

1 = - ^ JХ(JХ 1), 1 = Л. (1.7)

Плоское и осесимметричное течения характерны тем, что вектор ш ортогонален всем остальным векторам, входящим в уравнение (1.1). Поэтому каж-

дый такой вектор Q(|)

#‘>=0% т + д^п (1.8)

Может быть в соответствии с (1.7) представлен в виде

О(;) = (&) Х Ф°, (1.9) ,

0(,)=-^((&)Х ОИ) = -^(^т - О„п). . (1.10)

Выражения (1.9), (1.10) могут быть получены также в результате проектирования вектора Q(l) ,на' ортогональные векторы V и ш Х V. Для ' этого-вектор О(,) запишем в виде

— а(0\ 4- Ь^а х V, (1.11)

где согласно 0.4)

(&)Х V =м ( Утп - Уп т). (1.12)

Скалярные функции а(1) и Ь(,) определяются следующим образом. Подставим (1.12) и выражение для V из (1.4) в (1.11) и приравняем правые части (1.8) и (1.11). Приравнивая затем коэффициенты при соответствующих ортах, получим систему двух линейных уравнений относительно д(,) и Ь(‘>' разрешая которую, найдем

я . т пп. ьи) = -у2( 0Ц> Ут _ Уп).. (1.13)

Применяя к векторам V и ш тождество (1.7): V =--------(а)Х (« Х V)' и под-

ставляя выражение (1.13) в (1.11), получим (1.9), (1.10). Подобный прием оказался эффективным для трехмерных течений.

Перейдем теперь собственно к преобразованиям уравнения движения. Применим тождество (1.9) к слагаемым Qw (1.3), входящим в уравнение

(1.1). Вынося 0), запишем (1.1) в виде

з

V н = и Х 0), и = У+2 р10 (1.14)

1=1

или

5

о(|)

V Р = pW х Ф W = V + £ о - (1.15)

Уравнение движения в форме (1.14) (или (1.15» отражает фундаментальное свойство плоских или осесимметричных вихревых течений: в вихревом течении всегда может быть найден такой вектор U (или pW), что векторное произведение U Х CI) (или pW Х (1» ) будет равно градиенту функции ' Бернулли (или градиенту давления). По виду выражение (1.15) аналогично формуле Н. Е. Жуковского для подъемной силы и может быть в связи с этим названо уравнением движения в форме Жуковского.

Рассмотрим частные случаи плоского и осесимметричного стационарных течений в поле потенциальных массовых сил. В силу (1.3), (1.5), (1.6), (1.1О) в этих случаях U в (1.14) приобретает вид

U-V-v.J.(irl + -!ir<) О ЛИ)

U = V-4 (— «. + ------'r ) -V-V\71n 1 оог 1 .

Таким образом, (1.14) в этих случаях полностью совпадает с речул^ татами из [1, 2]. Уравнение (1.14) было получено в этих .статьях исходя из специального представления вектора rotw: rot — (а)Х V 1n 1(1) 1 — для плоского и rot (1)= — (ох \7 1п Iu>r|—для осесимметричного течений. Развитый в данной работе подходы позволили записать уравнение движения жидкости в виде (1.14) для более широкого класса течений, а также в виде (.1.15), аналогичном формуле Жуковского.

Трехмерные течения. Операторы, входящие в (1.1), (1.2), в системе координат Oxyz в этом случае имеют вид

V = VJ+VJ + кгк, = rot V = оох* + + U>zk,

’ av, avy _ av. av, _ avy av.

ду az ’ az . дх ' дх ду '

rot = [rotto]J-|-[rot«]J + [rottt]*k, = | — + j-dy- +k-’

г , da>z r „ , да, дю дю да,

[го*“Ь = -^---0Г’ [rot(l)]y = -5i- — --g;- [rot(l)] ^ = -д^--д-".

. При этом вектор fI) р общем случае не ортогонален векторам Qw. Поэтому

здесь при преобразованиях уравнения движения будем использовать прием,

продемонстрированный выше, основанный на проектировании слагаемых QCl)

(1.3) на ортогональные векторы.

Введем ортогональную систему векторов

(1), в = (1)Х V, V = « X ((1) X V), (1.18)

тогда любой вектор Q(,) в (1.3)

Q(0 = Qfi + Q«j + Q«k, ! = 1, ... ,5, (1.19)

где Q^, Qy), Q*‘)—его проекции на оси х, у, z, может быть представлен

в виде

Q(0 = а(0цг _|_ ^(00 _)_ C(0W = в х Q(0 + c(‘V (1.20)

где QU) = afij Х V + b«V; оТ, Ь‘\ cw — скалярные функции, которые определяются по формулам перехода от системы координат Oxyz к системе

(1.18). Найдем эти функции. Согласно (1.17), (1.18)

0 = 0*1 + 0jJ + бгк, V= Wj + VJ + Ч^к, (1.21)

ю

( 1.17)

ГД6 0х — ЮуУг ЮгКу, 0у — ЮгКх ЮхVz, 0г — Фу^х!

Ч'у—шг0х — Шх0г, Ч'г—ЮхЭу — Шу0х. Подставим выражения для Ш (1.17) и (1.21) в (1.20), затем приравняем коэффициенты при одинаковых ортах в (1.19) и (1.20). Получим систему трех линейных уравнений относительно

а(0, Ь(1), сИ, разрешая которую найдем а(|) — -I!.—, 6м — -I!.—, С' — -—-* где

Д:- — ШхЭуЧ'г — ЭхЧ'уШг — Ч'хЮу0г + ш*Ч'у0г + 0хШуЧ'г + Ч'хЭуЮг. Величины Д« Д<°, Дз‘) находятся из соотношений, аналогичных Д, в которых соответственно

Ч'х, Ч'у, Чгг; 0х, 0у, 0г и Юх, Юу, Шг заменены на р(Х5, ри), Р(гО.

Записывая теперь слагаемые (1.3) согласно (1.20), представим урав-

нение движения жидкости (1.1) в виде

V Н = и Х ш + Яш (1.22)

или

VР = рЪ Х со + рСш, (1.23)

где

и —V + £ д"’ Я — - £ с*4; w' С —-55 с('). (1.24)

,=1 ,=1 ,=1 1=1

В отличие от плоского и осесимметричного случаев в (1.22) и , (1.23) входят члены Ош и рСШ, обусловленные проекциями векторов 0(О на и, которые в общем случае трехмерного течения не равны нулю.

2. Свойства уравнений плоского и осесимметричного течений. Исследуем свойства потенциалов Н и р. Для этого уравнение движения жидкости, представленное выражениями (1.14) и (1.15), запишем в виде уравнения

V Ей — ф' Х ", /—1, 2, (2.1)

где при / — 1 £0)— Н, ф0)— и, при / — 2 £(2) = р, ф(2)— рЪ.

Найдем эквипотенциальные линии потенциала Ей. Для этого умножим скалярно (2.1) на ф('). В силу того, что правая часть уравнения будет тождественно равна нулю, получим

ф0) • у£°) — О, /—1, 2, (2.2)

откуда, используя определение производной по направлению, будем иметь

Е')= сопэф), /—1,2, (2.3)

вдоль мгновенных векторных линий вектора ф°). Таким образом, эквипотенциальные линии потенциала Е') являются мгновенными векторными линиями вектора ф(/') в каждый фиксированный момент времени (. Этот же

результат может быть получен также несколько иным путем: умножим векторно (2.1) на ф{') Х ш, так как правая часть будет тогда тождественно

равна нулю, то Х (ф' Х ш) — О; раскрывая это тройное векторное

произведение и учитывая, что V£t/') •« — О и ф Ф О, получим (2.2), (2.3). Если положить / —1, то (2.3) приобретает вид

Я — ^ + У2- + П = сопst (<)

Р 2

вдоль мгновенных векторных линий вектора и. Это выражение можно трактовать как уравнение

ричных нестационарных течений как в поле потенциальных, так и непотенциальных массовых сил. В стационарном случае при потенциальных массовых силах это соотношение полностью совпадает с результатами, полученными в [1,2].

Если положить j = 2, то в силу (2.3)

Р = сопst (()

вдоль мгновенных векторных линий вектора W, т. е. они являются изобарами.

Потенциал в (2.1) в каждый фиксированный момент времени может быть найден через интеграл по любому пути:

£0) (Ц = £»)(£„) +5 ф» х , /=1, 2, (2.4)

£

где Цо — начальная точка пути, ^Ь = Ы£, Ь — единичный вектор касательной в любой точке пути Ц. Здесь и в дальнейшем понимается, если это не оговорено особо, что все функции и константы, входящие в (2.4), являются функциями времени !. Если N — единичная нормаль к Ь в плоскости течения в любой точке линии Ц, то в силу того, что Ь = N X—, и свойства

ш

скалярного произведения двух векторных произведений

ф/ Х Ю • Ь = (ф(') Х «) • (N Х ) = ыф(') • N. (2.5)

Подставляя (2.5) в (2.4), получим другое выражение для потенциала

(Ц) = Р» (Цо) +5 шфш • NdL, /=1,2. (2.6)

L

Выберем теперь путь интегрирования таким, чтобы он состоял из отрезка вдоль мгновенных векторных линий вектора фШ, единичный вектор вдоль

этих линий будем обозначать I = , и отрезка пи> по нормали п(,) = 1('; Х

до •

Х — = фХ — к ним. Введем для этого ортогональную координатную сетку

/Ш, пШ. Тогда, в силу того, что ф» Х « • ^|/ = О, здесь ^|/= или шф(')Х

Х №/°) = О, ^п('* = пЩп('), выражения (2.4) или (2.6) запишутся в виде

£Ш (гп) = Е (ТЦ}) + 5 ф»а^п(», / = 1, 2, (2.7)

где То1 = Цо = (/о'), по)) —начальная, 7~(,л = (/(/), п/)) —конечная точка отрезка пути, лежащего на одной мгновенной векторной линии; = Ц = = (/('), п0)) —конечная точка пути интегрирования, лежащая на другой мгновенной векторной линии вектора ф(').

Найдем приращение ДЕ» = Ер — Е(/) потенциала при переходе с одной эквипотенциальной мгновенной линии Е/) = COnstl (0, или векторной линии

вектора ф(р, на другую—Е(р = const2(t), или векторную линию вектора ф2). Для этого применим (2.4) или (2.6) к замкнутому контуру М('), образованному отрезками мгновенных векторных линий векторов ф/) и Фр) и некоторыми двумя произвольными, необязательно плоскими, сечениями Ц/) и Цр) этой векторной трубки. Будем для определенности здесь и в дальнейшем считать положительным обход контура по часовой стрелке. В силу того, что ' по определению потенциала в (2.4) или (2.6) интеграл по замкнутому контуру равен

нулю, и так как интегралы вдоль векторных линий вектора ф/ также равны нулю, получим

AE'j = j ф(/) Х fa) - dL(/) = j юФш • NdL(/) = j Ф X 6) • dLw> =

l\« Lyi lV

= j гоф( / )-Nd£( /), /-:-1,2.

LV

Так как последнее выражение может быть получено для любых сечений L-/) мгновенной векторной трубки вектора то его можно переписать в более общем виде

Др/ ) = j ф( /) Х о) • dL( /) = j гоф( / ) • NdL /) = const(t), / = 1,2; i= 1,2,3,... ,

L\n Llil

(2.8)

где Lf) — произвольные, в том числе пересекающиеся, необязательно плоские сечения мгновенной векторной трубки вектора Ф(/).

Если выбрать путь интегрирования вдоль координатных линий /</), n0), то имея в виду _ (2.7), выражение (2.8) можно записать в виде

ДЕ = j ф(/)юйп(/) = const (U), /=1,2; /=1,2,3.......... (2.9)

dji ■

где nj — сечения векторной трубки вектора Ф(') по направлению координатной линии n(/).

Для элементарной мгновенной векторной трубки вектора Ф(/) из (2.8) получаем

Д£(/) = ^^wa^os(Ф(^, N) = ф(/>юст$ = const(t), /=1,2 (2.10)

по сечениям этой векторной трубки; здесь аШ — текущее произвольное, а o^J — нормальное сечение мгновенной векторной трубки вектора ф\

Если теперь в (2.4) — (2.10) /= 1, то Е(|)=Я, ф(/)=и, и полученные соотношения представляют собой выражения в фиксированный момент времени для функции Бернулли Н и для приращения констант. Бернулли ДН = #2 — Н\ между двумя мгновенными линиями, вдоль которых' Н\ = = consti(/), #2 = const2(0 —мгновенными векторными линиями вектора U. Если в (2.4) — (2.10) / = 2, то Е2) = р, Ф(2)=рW, тогда эти соотношения дают выражения для давления р и приращения давления /j.p = p2 — pi между двумя изобарическими линиями, вдоль которых pi = consti(t), Р2 = const2(t) — мгновенными векторными линиями вектора W.

Итак, согласно (2.8) — (2.10) прирост констант Бернулли (или давления) при переходе с одной мгновенной векторной линии U, вдоль которой функция Бернулли постоянна (или линии W, вдоль которой давление постоянно), на другую, составляющие мгновенную векторную трубку вектора U (или W), равен потоку вектора roU (или proW) через сечение этой векторной трубки■ и постоянен вдоль этой трубки.

Соотношения (2.8) — (2.10) могут быть получены также из уравнения типа Гельмгольца — Фридмана для завихренности, которое образуем, взяв операцию ротора от (2.1)

rot [Ф(/) Х (&)]= О, /= 1,2. (2.11)

При этом уравнения при / = 1 и 2 адекватны, так как в правой части уравнения (1.15) содержатся потенциальные векторы Q(4) и Q(5), взятие операции ротора от которых приводит к уравнению (2.11) при /=1, т. е. rot [U Х CCJ] = О. Применяя формулу Стокса к введенному выше замкнутому контуру с учетом того, что в соответствии с (2.1) циркуляция ■ вектора ШЯ Х ta) по такому контуру равна нулю и что интегралы вдоль век-

торной трубки также равны нулю, получим (2.8) — (2.10). Те же результаты могут быть получены аналогично [1, 2]: в плоском случае (2.11) вследствие независимости Ф(') Х « от координаты г может быть представлено в скалярном виде ^ (иФ°')) = О, а в осесимметричном вследствие равенства

[Ф(/) X «] = — еф^ ( в виде ^ ( -^ф(/)) = О; тогда применяя

формулу Остроградского — Гаусса к элементарным объемам в сечении с контуром Ми протяженностью в плоском случае вдоль оси г, равной единице, а в осесимметричном вдоль окружности радиуса г, равной гф, где — малый угол, прилегающий к плоскости Ои, опять получим (2.8)— (2.10).■ Причем для элементарной мгновенной векторной трубки вектора ф(;) в осесимметричном случае при рассмотрении кольцевого объема выражение (2.1 О) может быть записано в других эквивалентных формах

г фо^ уФ(Л = сопэф), 2лго$ у Ф(/) = сопэф), / = 1,2,

которые аналогично [2] могут также трактоваться как сохранение потока вектора У фШ через сечение гфо^ или 2лго<^) такой векторной трубки.

3. Свойства уравнений пространственного течения. Запишем (1.22), (1.23) в виде

£(/) = ф(і) х + £««, / = 1, 2, (3.1)

где при /'=1 £(|}= Н, фО = и, £(|} = Я, а при / = 2 £(2) = р, ф(2) = pW, р(2) = рС. Исследуем свойства функции Бернулли Н и давления р.

Найдем эквипотенциальные поверхности потенциала £('). В (3.1) вектор ф(/) Х ю ортогонален вектору (а) по определению векторного произведения. Введем еще в рассмотрение вектор |(') = (ф^5 X 11)) Х 6), ортогональный векторам ф(}) Х 11) и ш, который в силу свойств двойного векторного произведения может быть представлен в виде

|(', = |фйхш)хш = й(и'ф(',)—фи)ші, і = 1, 2. (3.2)

Правая часть уравнения (3.1) представляет собой линейную комбинацию векторов ф(/) Х (.1) и "', и, следовательно, вектор (3.2) ортогонален вектору

V £(') (3.1). Получить вектор (3.2), ортогональный векторам Ф(/) Х (.1) и (а), а следовательно, и V £('). жим его векторно на ш или ф(') Х », а затем на « Х V £*'), или, соответственно, на (фШ х и) Х V £(Ш в результате получим тождества ((8) х V £Ш) Х Х [(ф(') Х ») Х ш] = О или [(ф(') Х (8)) Х £Ш] Х [(ф(/) Х ■ «) Х со] = О, j = = 1,2, каждое из которых дает вектор 1(') (3.2).

Образуем еще вектор ^(') = 1(/) Х V Е*\' ортогональный І^ и ■ V £(Ш преобразовав его с учетом (3.1), (3.2) и свойств, двойного векторного произведения к виду

т(/) = |(/) х ЕП = — «(« • Ф(/))2 - фШ х «£Шю2. (3.3)

Очевидно, что линейная комбинация из векторов (3.2), (3.3)

ф(П= а|0) + рт(» /=1,2, (3.4)

где а и р — некоторые числа, также будет ортогональна вектору V £Ш (3.1). Если в (3.4) а и р — любые числа, то семейство векторов (3.4) определяет поверхность, ортогональную вектору V £/ Следует отметить, что в качестве базовых векторов в (3.4) могли бы быть взяты векторы, аналогичные (3.2), (3.3), выраженные через единичные векторы щ,»)х -1 ;

для этого можно\ например, поделить (.3.2) на 002| ф/ 1, а (3.3) на 00 |ф/ Х ш |". Для нахождения семейства векторов (3.4) достаточно найти' по известным соотношениям мгновенные векторные линии векторов (3.2) и (3.3).

Умножив скалярно (3.1) на (3.4), увидим, что правая часть тождественно обращается в нуль: фШ. (фО) х (J) + F(/) оо) = О, и, следовательно,

ф/ •V Еш = о, j = 1,2, , (3.5)

откуда по . определению производной по направлению ;

Еш =const (1), (= 1,2 ' , (3,6)

вдоль мгновенных поверхностей, определяемых семейством мгновенных векторных линий вектора фШ.

В случае ортогональности вектора ш векторам V и Q/ (i = 1, 2, .". . ,5)

(1.3) , что всегда имеет место в плоском и осесимметричном течениях, поверхность уровня (3.4) с учетом. того, что входящие в (1.20) функции = О, преобразуется к виду Ф(й = аФ(/) + p(a), j = 1, 2. Этому выражению соответствуют полученные выше линии уровня ф/ в (2.2) и (2.3).

Если j= 1, то из (3.1) — (3.6) получим Ф(|)-УН = О и

н ■ Р I -

Н = - + — ' ' ' ' (3-7)

вдоль мгновенных пов^хностей, определяемых семейством мгновенных векторных линий вектора фО; Выражение (3.7) можно трактовать как уравнение Бернулли для общего случая пространственных нестационарных течений вязкой или невязкой жидкости как в поле потенциальных, так и непотенциальных массовых сил. г

В частном случае стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости при наличии только потенциальных_массовых сил фО = U = V, = О, тогда вектор Ф(|') (3.4) Приобретает вид Ф(') = a,'V + |}'о>, где а,' ,и Р' ■—любые числа. Таким . образом, такое семейство векторов определяет поверхность, ортогональную вектору V Н = V XQ), вдоль которой, как известно,

р V2

выполняется уравнение Бернулли Н = Р- + "2 + П = const.

Р ■

Если в (3.1)—(3.6) j=2, то получим Ф(2)- \lp = O и ■

р = const (/) (3.8)

вдоль мгновенных поверхностей'

торных линий вектора Ф(2). Таким образом, семейство мгновенных векторов Ф(2) определяет согласно (3.8) мгновенные изобарические поверхности.

Потенциал^Е(/) в (3.1) в каждый фиксированный момент 1 может быть представлен через интеграл по любому пути

£</>(£) = E/)(Lo) +\(Ф{п Хо) + P/JlJ)) • dL, j = 1,2, ' (3,9)

■ . L , ' -• где Lo — начальная' точка пути, dL = LdL, L — единичный вектор касательной в любой точке пути L. Здесь подразумевается, что все величины, входящие в (3.9), являются функциями времени.- Введем ортогональную криволинейную координатную. сетку /(1), т(}), с единичными векторами

Ю) ■ ■ -rn ' тТ -ш' ’ пЦ) • . п т ■

1 ^ т— |т;;)| . п '= J — 1; 2, где пш по определению векторов

J® (3.2) и m(,) (3.3) будет равен nw = |/) х тШ = £(/). Выберем в (3.9)

путь интегрирования таким образом, чтобы он всегда проходил по эквипотенциальной поверхности, определяемой выражением (3.4), и по нормали 1 к 'Таким' поверхностям. Тогда, вводя обозначения dj\y) = j\')d/(/), drfi(y) = rfi(/)dm(,),

^п(/) = п(')^п(й, учитывая, что "VР . = О, "УЕ' • ^т(/) = О, V Е(;) • "УЕ' =

= (ф{')ш) 2 —(ф(,) • ы)2 + (Е'Ло), выражение (3.9) запи'шем в виде

Т<П 2 2 2 £»(« = £<»(П») + ^ Л“и’, '=', 2. (3.10)

' ту)

Здесь Т(0')= £о = (/^, т(0'), п(0'») —'точка начала, а Г(|') = И/), • т' ■ п(/)) — точка конца отрезка пути, лежащего на одной эквипотенциальной поверхности, Г' = £ = п(П) — текущая точка конца пути интегрирования, лежа-

щая на другой эквипотенциальной поверхности. ,

Найдем приращение потенциала ДЕ') = ЕР — Е, при переходе с одной эквипотенциальной поверхности Ер = сопвЬ (/) или с семейства мгновенных векторных линий вектора ф(/), на другую £2 =COПSt2(t), или семейство фр). Для этого применим (3.9) к замкнутому контуру образованному двумя произвольными отрезками линий, лежащими на фр и ф^, и двумя произвольными . линиями Е' и Е2Й, соединяющими эти отрезки. Обход контура по часовой стрелке будем считать положительным. Так как по определению потенциала интеграл по М' равен нулю, и так как будут равны нулю и интегралы вдоль ФУ и фр), то

\ (ф(;) Х ш + Е'>») • ^(') = \ (Ф(/) Х а + Р')») • Л(,), /=1,2. ц/| ^у,

Так как последнее выражение может быть получено для любых таких линий !.,• , / = 1,2,3,..., то его можно переписать в более общем виде

Д£«) =5 (ф) х • + ') • Л«) = сотф), /= 1,2; /=1,2,3, ... , (3.11)

ЦП

здесь Цп— произвольные линии, соединяющие пове_рХНОСТ^ ф(/) и Фг').

Если выбирать путь интегрирования вдоль ф^ и Ф^ и по нормали к ним, то, имея в виду (3.10), выражение (3.11) можно переписать в виде

п 2 2 2

(ф>ш) -(фШ •• + (рпю)_^п/) = сом^),

|*«Х + Р',«! 1

.

/= 1,2; /=1,2,3...... (3.12)

где Г/)= (^Л т\'), п-')) — точка начала пути, лежащая на ф(/),

ГР = (/2), т2), п'») — точка конца пути, лежащая на Ф^.

Для двух эквипотенциальных поверхностей, отстоящих на малое расстояние оу) из (3.11) или (3"12) получим

ДЕ« = (ф,1м)| ~(^;1 -..Р +. (Я',^/ о«> cos («<«, -

|Ф">Х о) + Р" «I 4 ’ '

'Х о) + Р'> «I ' ^Х • + р0 «I "

= coпst (/), / = 1,2, (3.13)

здесь о(') — отрезок любой линии, секущей Фр и ф2), расположенный между Ф(').и ф2), ) —угол между 0(') и 0$.

Если /=1, то соотношения (3.9) — (3.13) дают соответствующие выражения для функции Бернулли Н и для приращений констант Бернулли ДЯ при переходе с одной мгновенной поверхности Н1 = coпstl (/), то есть Ф, , на поверхность #2=coпst2(/), т. е. Ф(2 . При / = 2 (3.9) — (3.13) дают

формулы для давления р и для приростов давления Др при переходе с одной мгновенной изобарической поверхности pi = ^nsti (t), определяемой семейством векторов Ф(2), на другую р2 = const2(t), ф(22).

В случае плоского и осесимметричного течений F(/)= D = С = О, вектор (.о ортогонален Ф(/), т. е. U и W, и полученные выражения приводятся к соотношениям раздела 2.

Выражения (3.11) — (3.13) могут быть также получены. из уравнения типа Гельмгольца — Фридмана. Возьмем операцию ротора от (3.1), получим

rot (Ф(/)Х e + F(/)«) = 0, /=1,2. (3.14 )

При этом уравнения (3.14) при /= 1. и / = 2, как и в разделе 2, адекватны. Применим формулу Стокса к замкнутому контуру М(/). Тогда, так как согласно (3.14) циркуляция вектора Ф(/) Х с.а + по_М(/) равна нулю, а интегралы по отрезкам контура, лежащим на Ф(/) и Ф^, также равны нулю, получим (3.11) — (3.13).

4. Результирующая сил давления. Рассмотрим сначала плоское и осесимметричное течения. Вычислим результирующую сил давления, щую на объем, вырезанный двумя сечениями в элементарной мгновенной векторной трубке вектора W. Верхнюю грань такого объема, образованную векторной линией вектора W, обозначим ' d/i, нижнюю d/2. Боковые грани сечений, проходящие по координатным линиям л(2\ обозначим через dni и dn2. Введем местную декартову прямоугольную систему координат Oxiyi такую, что оси Х| и yi являются касательными соответственно к /^ и n(2 в точке (/q2), П2») пересечения граней d/i и dni. Будем в общем случае полагать, что уравнения линий /^ и n^ в окрестности точки О представимы соответственно в виде yi ж ai^i+I'1, xi ж a2yj+|,2, где ",;>0, а,(г = 1, 2) — некоторые константы; в случае конечной кривизны этих линий ^ 1. Тогда дифференциалы длин дуг d/i и dni выразятся как d/i ж dxi + 0(d.Xi)21'i+l, dni ж dyi + 0(dyi)21'2+1. Элементарный объем в жидкости может быть выбран так, чтобы d/i ж dni ж dR, где R —некоторый характерный размер, и тогда d/2 ж d/i, dn2 ж dni.

Результирующая сил давления, действующая на объем жидкости, равна Р = $ pNdS, где N — нормаль к замкнутой поверхности S, которую будем

считать направленной внутрь объема.

Рассмотрим сначала плоское течение. Применим выражение для Р к элементарному объему единичной протяженности вдоль оси г, при этом будем использовать формулу для давления (2.7):

1(2) ' р(Т<2) = р(7|) + р\ W<udn(2),

7)2)

где Т2> =(/?>, n<2>).

Получим следующее. Интеграл от константы р (То ) по замкнутому контуру равен нулю. Конечные суммы по боковым граням dni и dn2 с точностью до величин О [N (dR)21'2+2] взаимно уничтожаются, а суммы по граням d/i и d/2 с учетом направления нормалей к ним дают выражение

dP = р Wwd*idyiN2 + О [N (dR)21'+2], (4.1)

здесь О [N(dR)21'+_2] =0 [N(dR)21'2+2] +0 [N2(dR)21'2+2] +0[N2(dR)21'i+2], N2-

нормаль к d/2, N — произвольный единичный вектор. Введем по формуле Стокса циркуляцию по замкнутому контуру

V ■ (dli + dni + dl2 + dn2) = <udx1dyi + 0(dR)21'+2, где 0(dR)21'+2 = О^)21'1+2 + О (dR)21'2+2, d| = 1,-d/i, dn, = mdrn, i = 1, 2. .

Тогда

dP = pWXdr + 0[N(dtf)2'*+2]) (4.2)

где- циркуляция скорости dr = a)dx1dYi, а вектор dr = dT-“ . В проекциях на оси х, у (4.2) можно представить в виде

dPx = — р WdT sin (W, i) + О [N(dR)2>l+2], dPy=pWdTcos (W, i) +0[N(dR)2^+2].

В осесимметричном случае, принимая протяженность объема с гранями d/i, dni, d/2, dn2 равной гр, где r — расстояние от оси симметрии до начала системы коо рдинат Oxiyi, — малый угол, примыкающий к плоскости Ozr системы координат Ozr<p, аналогично получим

dP = pWwdxidyiN2r<p + О [N(dR)2^+2], dP = pW Х drr<p + О [N(dR)2^+2], dPx =■ — р WdTr<p sin (W, ez) + О [N(dR)2^+2], (4,3)

dPy = P Wdrr<pcos(W, ez) + О[ N(dR)2|l+2] .

Итак, на объем жидкости, вырезанный в элементарной мгновенной векторной трубке вектора W. действует результирующая сил давления (4.1),

(4.2) или (4.3), главный член которой аналогичен силе Н. Е. Жуковского.

Рассмотрим пространственное течение. Введем ортогональную криволинейную координатную сетку /, т, n такую, что линии /, т лежат на- изобарических поверхностях, а n ортогональна им. В частном случае эти лин^

i(2\ (2\ (2\

могут совпадать с введенными ранее линиями 1У), т^), n^) с единичными векторами i\2), ш(2), п(2). Расположим в точке. (/о, то, по) местную прямоугольную систему координат OxiyiZi, направив оси Xi, yi, Zi соответственно по касательным к /, n, т. Будем считать, что в окрестности точки О уравнения линий /, т, n можно представить с точностью до малых более высокого порядка в виде

/: yi.« aixi+ii1, Zi ж a2xi+|i2; т : xi ж. азг1^3, yi ж a4zi+i‘4;

n : xi ж asy'+i5, Zi ж a^l+i*6; '

где ц,- > О, а, — некоторые константы; если /, т, n имеют- конечную кривизну, то l-'-i ^ 1. Выберем в окрестности точки О элементарный криволинейный параллелепипед с ребрами, образованными линиями /, т, n. Ребра, проходящие через О, обозначим d/, dm, dn и введем некоторый характерный размер R, такой что d/ ж dm ж dn ж dR.

Применим введенную выше формулу для вычисления силы Р к этому параллелепипеду. Подставим в нее площади граней параллелепипеда, вычисленные через коэффициенты первой дифференциальной формы Гаусса, и выражение для давления (3.10):

7'<2)

ptrt-pTO + pJ -“‘‘l- xW+,cJ(C“)' dn™ ,

где Tq2) = (/о, то, по). Тогда получим следующее: интеграл от константы по замкнутой поверхности равен нулю, конечные _суммы по противоположным боковым граням с точностью до величин О [N 2 (dR)2^+3] взаимно

i-i.2. 5.6

уничтожаются, в итоге с учетом направления нормалей имеем

dP = р WrT ^+(g“)2 N2dldmdn + О [ N (dR)2^3} ,

где

О [ N (</Я)21'+3] = О [ N £ ^яГ'+1 + О[ N2 £ ( </Я)21''+31 ,

I- *= 1,2.5,6 J I- |=1 J

I

^—нормаль к нижней поверхности, N — произвольный единичный вектор.

В частных случаях плоского или осесимметричного течений при выборе линий /, т, п таким образом, чтобы . они совпадали с /(2), т(2\ п(2), с учетом того, что в этих случаях С = О, а ш и W ортогональны, последнее соотношение приводится к (4.1) — (4.3).

Те же результаты для плоского, осесимметричного или трехмерного течений могут быть получены из рассмотрения элементарных параллелограмма или параллелепипеда, у которых боковые стороны или грани неортогональны изобарическим поверхностям.

Если течение стационарно, то все функции и константы в рассмотренных выше разделах не зависят от времени. ^

Следует отметить, что выражения для давлений и сил, действующих на элемент жидкости, являются по сути проинтегрированными по пути или площади уравнениями движения жидкости и их порядок ниже, чем исходных уравнений движения.

Все выводы и соотношения, очевидно, применимы и при стремлении со стороны области, где ш О, к отдельным точкам, линиям, поверхностям или областям, в которых ш = О.

Полученные результаты и аналитические соотношения могут быть применены как для проверки численных решений уравнений Навье — Стокса и Эйлера, так и при построении новых методов расчета таких уравнений. Автор благодарит В. Э. Баскина за полезное обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г о л у б к и н В. Н., С изы х Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, № 3.

2. Б р у т я н М. А., Г о л у б к и н В. Н., К рапи в с к и й П. Л. Об урав-ненни Бернулли для осесимметричных течений вязкой 'Жидкостн."" Ученые записки ЦАГИ, 1988, т. 19, №» 2.

3. Т е м а м Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ.— М.: Мир, 1981.

4. Л а д ы ж е н с к а я О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.— М.: Физматгиз, 1961.

5. Б е л о н о с о в С. М., Ч е р н о у с К. А. Краевые задачи для уравнений Навье —Стокса.— М.: Наука, 1985.

Рукопись поступила 8/1 1990 г.