Об одном свойстве сохранения для магнитогидродинамических течений вязкой несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XXXIX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 200 8

№ 1 — 2

УДК 538.4

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. БРУТЯН

В поле двумерных магнитогидродинамических (МГД) течений вязкой жидкости найдено семейство поверхностей, вдоль которых функция Бернулли сохраняется постоянной.

С ранних лет возникновения механики жидкостей хорошо известно, какую важную роль в теории идеальной несжимаемой жидкости играет уравнение Бернулли. Обобщение этого уравнения на более сложные гидродинамические течения [1 — 3] выглядит весьма интригующим.

В настоящей заметке мы вначале кратко обсудим найденные ранее в работах [1, 2] свойства сохранения, имеющие смысл обобщения теоремы Бернулли на случай плоских и осесимметричных течений классической вязкой жидкости, а затем получим соответствующие обобщения на случай двумерных МГД течений.

Рассмотрим течения вязкой несжимаемой жидкости, описываемые уравнениями Навье — Стокса:

Здесь V — скорость, й — завихренность, V — коэффициент кинематической вязкости, а B — функция Бернулли, равная

где р — давление, ар — плотность. Мы будем изучать только двумерные (плоские или осесимметричные) течения с двумя нетривиальными компонентами скорости

в ортогональной системе координат (, Я2, Яз )• Кроме того, считаем, что все функции, включая коэффициенты Ламе \, И и Из, не зависят от яз С учетом этих предположений имеем:

А х V = -V В -V гоШ,

(1)

= о.

(2)

V = (, ^, 0)

(4)

А = го^ = (0, 0, ю),

д ( ю ^ , , д ( ю ^

(5)

где завихренность ю дается выражением

ю =

(V V

V 1)

Для наших целей удобно ввести в рассмотрение векторное поле А:

_ (ю ^ д (ю ^ д (ю ^

А = У 1п — = К-----1п — , п2----1п — , 0 . (8)

V п3 ) |_ ^1 V п3 ) дЧ2 V п3 ) \

Объединяя (5), (6) и (8), приходим к следующему тождеству:

го1О = -ОхА. (9)

С учетом (9) исходное уравнение (1) в стационарном случае может быть представлено в форме

Ох и + УВ = 0, (10)

где

Из уравнения (10) следует, что

и = V ^А.

и УВ = 0.

(11)

(12)

Таким образом, приходим к следующей формулировке теоремы Бернулли для вязких течений: функция Бернулли В остается постоянной вдоль линий тока векторного поля и.

Как уже отмечалось, этот результат впервые был получен в работах [1, 2] соответственно для плоских и осесимметричных течений и затем был обобщен на произвольный пространственный случай течений классической вязкой жидкости в работе [3]. Приведенный в настоящей работе общий вывод удобен для дальнейшего обобщения на случай более сложных МГД течений вязкой жидкости.

Перейдем к изучению МГД течений. Уравнения Навье — Стокса в этом случае имеют вид [4]:

ОхV = -УВ-V гоШ-------— (ИхгоШ).

4пр

Действуя аналогично предыдущему, полагаем, что вектор магнитного поля Н имеет только две нетривиальные компоненты

И = (, Н2, 0).

Введем теперь в рассмотрение векторное поле А, удовлетворяющее соотношению

гоШ + -

1

4пц

•И х гоШ = -О х А,

(13)

где ц — коэффициент динамической вязкости, Ц = рV . Решая (13), имеем

J

А =У 1п

+ -

И.

V"?)

сцю

(14)

Здесь J — нетривиальная компонента вектора плотности электрического тока ]:

] = Сго1И = (0, 0, J),

4п

где с — скорость света. Легко убедиться, что с учетом (14) вычисления, подобные проведенным выше, вновь приводят к результатам (10) — (12). Это позволяет утверждать, что и в случае вязких МГД течений имеет место теорема Бернулли. Отличие всегда состоит в форме векторного поля и = V - vA. В некоторых случаях эта форма приобретает ясный физический смысл, например, в идеальной жидкости это, как известно, поле скоростей, а в вязких течениях Стокса, как показано в [2], это изобары.

В заключение отметим, что аналогично классическому уравнению Бернулли полученное в данной работе его обобщение на МГД течения может быть использовано для расчета распределения давления по известному полю скорости, а также для проверки точности численных расчетов двумерных МГД течений вязкой жидкости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Голубкин В. Н., Сизых Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987, № 3.

2. Брутян М. А., ГолубкинВ. Н., Крапивский П. Л. Об уравнении Бернулли для осесимметричных течений вязкой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 1988. Т. XIX, № 2.

3 Головкин М. А. Ортогональные векторные преобразования и фундаментальные свойства уравнений Навье — Стокса и Эйлера для вихревых течений несжимаемой жидкости // Ученые записки ЦАГИ. 1991. Т. XXII, № 1.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — М.:

Физматгиз, 1959.

Рукопись поступила 6/У12006 г.