CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №7-8_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
С.А.Алигаваров
ОБ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ УСЛОЖНЁННЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 13.03.2015 г.)
В заметке найдены оценки погрешности сверху усложнённых квадратурных формул для классов дифференцируемых функций, задаваемых интегральным модулем гладкости в пространстве Ьр, 1 < р < ж.
Ключевые слова: квадратурная формула, погрешность, модуль непрерывности, модуль гладкости.
1. В данной заметке мы уточним оценку погрешности усложнённых квадратурных формул для некоторых классов дифференцируемых функций, задаваемых модулями непрерывности и гладкости в пространстве Ьр [а, Ь], 1 < р функций с конечной нормой
1/1И1/
,[а,Ь]
j | f (x)|pdx, 1 < p < ю
a
sup{| f (x)|: a < x < b}, p = ю.
Приведём известные факты, нужные нам в дальнейшем. Для функции f(x), заданной и определённой на отрезке [0,1], введём в рассмотрение квадратурную формулу
1 n
j f (x)dx = YpJ(Xk) + Rn(f) := L(f ;0,1) + Rn(f), (1)
0 k=1
задаваемую векторами узлов X = \xk : 0 < xl < x2 < ... < xn , < xn < 1 \ и коэффициентов
P = {pk }П=1, R (f) := R (f; X, P) - погрешность формулы (1) на функции f (x) .
Требуется при помощи формулы (1) приближённо вычислить определённый интеграл
b
jf (x)dx.
a
С этой целью, разбивая отрезок [a, b] на n равных частей точками %к= а + к(Ь-а) / п (к = 0,1,..., п) и к каждому частичному отрезку =
применяя формулу (1), получаем усложнённую квадратурную формулу (см., напр., [1, c.38])
L
Адрес для корреспонденции: Алигаваров Сурадж Алигаварович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
J f(x)dx = ¿J f(x)dx := ¿¿(4-1,4; f) + R*(f). (2)
n y
к=1
При помощи формулы (2) получаем известные усложнённые квадратурные формулы прямоугольника
ь
J f(x)dx * ¿f ( а + Щ-1 (b - а) |, n k=1 v 2n
трапеции
b
J f (x)dx * La { f (а) + [а + k J + f b],
Симпсона
b
J f (x)dx * La jf (а) + 4— - а + ^ (b - а) J + 2— ^ а + k (b - а) | + f (b) \,
а также квадратурные формулы Котеса и многие другие. Равенствами
I b-h
1/p
c(f, t)p := c(f, t)p = sup j J | f (x +1) - f (x) |p dx , 1 < p < ъ
Сb-h 1 1/p
c(f,t)p := sup | J | f (x +1) - 2f (x) + f (x - t)lpdx l , 1 < p < ъ
определим соответственно интегральный модуль непрерывности и модуль гладкости функции f е L [а, b], а через W(r) Нср[а, b] и W(r) Ир2[а, b] обозначим классы функций f (x), у которых (r -1) -я производная соответственно удовлетворяет условия
c(f(r), t)p <^(t)p, c2(f(r), t)p <^2(t)p, 1 < p <ъ,
где c(t) и c2(t) - заданные в пространстве L [а, b] модули непрерывности и модули гладкости,
то есть неубывающие полуаддитивные на [0, b - а] непрерывные функции, в нуле равные нулю.
В монографии [1, с.41] доказано, что если усложнённая квадратурная формула (2) точна на множестве всех полиномов степени r, то для погрешности этой формулы на всём классе W(r)НС[а,b] имеет место неравенство
ПГа, b]) := sup{| R(f ) l: f е W( г)Я>, b]} =
b
а
а
и
Бир л е1Г (-) Н<[а,Ь]
Ь п
| f (х)& -„4; f)
а к=1
< (Ь -а)(г+1)С+-<— п \ п .
(3)
где
с := + (+ -1)!
1 Ь
1—\
-1М Л
^ -Ер . (х, - * )(г-1)
к=0
Ж, (хк - 0+ = [тах(0, х, - *)]
г—1
В работе [2] дано обобщение неравенства (3) для интегральных модулей непрерывности
<(f(+),*) и гладкости <а2(f(+),*) . Здесь мы дадим уточнение приведённых в [2] результатов для
К г )
классов Ж + Н<[а, Ь] и Ж + Н<2[а, Ь], используя некоторые новые свойства функции Стеклова.
Приведём свойства функции Стеклова, нужные нам в дальнейшем, из монографии [3, с.133-139]:
Пусть к > 0, f е ^ [а, Ь]. Функцией Стеклова первого порядка для функции f (х) с шагом к называется функция fh (х), определённая равенством
^ к/2
л (х)=-1 f (х+т.
к -к/2
(4)
Функцией Стеклова порядка 2 для функции Л(х) с шагом к называется функция, определённая равенством
-у к/2
Лш (х) = т I Л(х + *)Я.
к - к/2
В [3, с.137] доказано, что
Лы(х)=11{Л(х + *)+л(х - *1 - *)л
(5)
и, так как
21 (1 - *)*=•,
то используя равенство (5), имеем
1 к
Лы (х) - Л(х) = -1 {Л(х + *) - 2Л(х) + Л(х - 0*Й.
(6)
Применяя обобщённое неравенство Минковского [4, с.395], из (6) получаем следующее соотношение
II/- / йъСЛО,(1 ■-^л = )ф2{/,щр{\-
откуда для произвольной / е^(г)Нр2[а, Ь] получаем неравенство
1
о
Аналогичным образом, представляя функцию (4) в виде
^ А/2
/ (^ = 1 I ^(* + ^ + /(* " '№
А о
получим равенство
. А/2
/п (л) - /(х) = - | {/(х + Г) - 2/(х) + /(х - X А о
откуда снова применяя обобщённое неравенство Минковского, приходим к следующему неравенству
1 1 г
П о О
откуда, для любой / е Ж г) Н р [а, Ь] следует оценка
2 о 2 о Нам понадобятся ещё следующие два неравенства [4, с.225]
Щр<2со(/,к/2)р, \\/ш \\р<ИГ2со2(/,И)р. (9)
Наша задача состоит в том, что если М - некоторый класс функций, заданный и определённый на отрезке [а, Ь], то требуется оценить сверху величины погрешности усложнённой квадратурной формулы (2):
я:(М) = 8ир{|Я;(/)|: / е М}. (10)
Теорема 1. Если квадратурная формула (1) точна на множестве полиномов степени г, то погрешность усложнённой квадратурной формулы (2) на пересечении классов Жг)Н°р Г Ж)Н^2 допускает оценку
К(Ж{г)нр гЖ(г)НР2[а,Ь]) <
<
(Ь - а)
г+1/д
2п+
с(9) <
Ь - а Л . „ (а) ( Ь - а г I & + 2 с( 9 <
2п
^ 2п
(11)
где
1
(1 - *)+
-Ерк(хк- о
к=1
(+-1)
Теорема 2. Пусть квадратурная формула (1) точна на множестве многочленов степени г +1. Тогда для погрешности формулы (2) на всём классе функций Ж(+)Н<2[а, Ь] имеет место неравенство
К(Ж(г)Н<[а,Ь]) <
<
(Ь - а)
г+1/д
п
-( Ч )
| (1 - *)< 1 &+с(дд< Ь а
п
п
.1+1=1.
р д
(12)
Мы здесь приводим доказательство теоремы 2, поскольку доказательство теоремы 1 проводится аналогичным образом.
Доказательство теоремы 2. Пусть к = (Ь - а)/ п . Произвольную функцию
л е Ж(г)Н<2 [а, Ь] представим в виде
л (х) = л (х) - л к (х)]+л к ( х) = ^к (л, х)+л к (х) (13)
и разложим по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (см. [1 с.24])
1 1
л (х)=х( х)+——| (х - * х-1 ^г \/, * &+
(г-1)! о
1 1
I (х - * )+!+2) (*)&*,
(г + 1)! о
(14)
где \ (х) - некоторый полином степени г +1, линейно зависящий от производных г л, х) и
/ЛЛ' , гёМ. Подставляя равенство (14) в квадратурную формулу (1), после некоторых простых преобразований, для остатка формулы (1) получим
К (I ) = I л ( х)&х -Ел ( х, )
о к=1
: | ^ (ОЛк г)(1 , +1 ^ ^(ОКГ^Ж
(15)
В силу равенства (15) и формулы (6.13) из монографии [1, с.39], для произвольной функции л е Ж(г)Н<2 [а, Ь] погрешность усложнённой квадратурной формулы (2) представима в виде
<(/ ) = I л (х)&х -!,4; л)
а к=1
= кГ+1 Е|Л(и)^\/Дк + (и)Жи + к21 ^(и/к+Д + (и)&и (16)
к=1 [о 0 ]
Оценивая по абсолютной величине равенство (16) и применяя неравенство Гёльдера для интегралов, получаем
N1/9
^(.Жкг+1I\^(и)\д&и ( I ^(ЛД + ки)\рйи
к=1 IV 0
\1/Р
+
/1 \1/V1 р
+к21 II г+2)(и) \д &и | I \ /к(кг+2)(Ьк + ки) \ р &и
V 0 У V 0 у
= к
г+1--
\1/р
к=1 Д V дк-1
-гд)Е | \ г)(/,и) \ р &и + сд,Е \ \ /к(кг+2)(и) \ р &и
N1/р
к=1 Д V дк- 1
^ <
г+— < к д
Л д)
у/р
\Лй( г)(/, и) \р&и | е 1
к=1 д V ^=1
к=1Д V дк-1
1/д
+с( д к ^ с+2(
» д I17р / « л1/д
ЕЕ I \/кС(Т+2)(и) \р&и (етН
к=1 д V дк-1
^ <
Л=1
<к+~дпуд{с(д)\\^(г)\\^ +сг+2(2\\1к(;+2)\\^}, -+1=1, 1 <р<®.
—+1 р д
Учитывая, что согласно неравенству (7)
I йй
о \ п )р
(17)
(18)
а согласно второму из неравенств (9)
^2||/Г2)Ц <со2(Г\к)<со2(к)р=со:
(Г)
Ь - а
р - 2
п
Подставляя в правую часть неравенства (17) соотношения (18) и (19), приходим к неравенству
Ь
У
р
|Я*(/)1< - 0<Р * * СЙР2 }. (20)
Так как неравенство (20) имеет место для произвольной функции / еЖ(гНр2[а, Ь], то из (20) следует (12), чем и завершаем доказательство теоремы 2.
Следствие. В условиях теоремы 2, при р(Х) = Xа (0 < а < 1) имеет место неравенство
-
Я;(Ж(Г)ННа,Ь]) < (Ь а*а 9 _ч * с(
(b - а) q |_cjq)
p а b]) < nr+a [ (a + 1)(a + 2) ' Cr+2 f.
Поступило 20.03.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988, 256 с.
2. Алиев Р.М., Джафаров А.С. Об оценке погрешности квадратурных формул. - Известия АН Азербайджанской ССР. Серия физ.-тех. и матем. наук, 1965, №5, с.23-29.
3. Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. - Л.: Из-во ЛГУ, 1982, 386 с.
4. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965.
С.А.Алигаваров
ОИД БА БАХРДИХИИ ХАТОГИИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ МУРАККАБКАРДАШУДА БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЩОИ ДИФФЕРЕНСИРОНИДАШАВАНДА
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола масъалаи баходии аз боло хатогии формулахои квадратурии мураккабкардашуда барои баъзе синфи функсияхои дифференсронидашаванда, ки бо модули суфтагии интеграли дар фазои Lp, 1 <p < да дода шудаанд, хисоб карда шудааст. Калима^ои калидй: формулаи квадратуры, хатоги, модули бефосилаги, модули суфтаги.
S.A.Aligavarov
ABOUT THE ESTIMATE OF ERROR ON COMPLICATED QUADRATURE FORMULAS FOR SOME CLASSES OF DIFFERENTIABLE FUNCTIONS
Tajik National University
In the article error estimates from the above complicated quadrature formulas for sone classes of differentiable functions, which set by the integrated module of smoothness in the Lp, 1 < p < да. space are found.
Key words: quadrature formula, error, the modulus of continuity, module of smoothness.
