Об оптимальных квадратурных формулах для вычисления криволинейных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №2_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов

ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан

Рассматривается задача оптимизации погрешности квадратурных формул для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода на классах функций и кривых, задаваемых модулями непрерывности. Даётся точное решение этой задачи на широких классах функций m переменных, определённых вдоль кривой интегрирования.

Ключевые слова: криволинейные интегралы первого рода - кубатурная формула - вектор коэффициентов и узлов - модуль непрерывности - оптимальная квадратурная формула - погрешность.

В работе рассматривается задача о приближённом вычислении криволинейных интегралов первого рода для некоторых классов функций и классов пространственных кривых, задаваемых модулями непрерывности.

Пусть функция f (M) = f (x,X,...,Xm) определена и интегрируема вдоль кривой Г^Rm и

J(f ;Г) := J f (M)dt = J f (x,,x2,...,Xm)dt. (1)

Г Г

Предположим, что на кривой Г установлено положительное направление так, что положение точки M = M (x, x2,..., Xm ) на кривой может быть определено длиной дуги t AM, отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая Г параметрически выразится уравнениями

X = Pi(t), X2 = p2(t),..., Xm = (рт(t), (0 < t < L), (2)

а функция f (x,, x2,..., Xm), заданная в точках кривой, сведётся к сложной функции f (p(1(t),.■■,(pm(t)) от переменной t. В этом случае интеграл (1) запишется в виде следующего определённого интеграла

L

J (f ;Г) = J f (p(t),p2(t),...,pm (t) )dt. (3)

0

Всякая квадратурная формула

N

J(f;Г) * Ln(f'J;P,T) :=£pk f(p(tk),p2(tk),...((tk)) (4)

k=1

Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

для приближённого вычисления интеграла (3) задаётся векторами коэффициентов P = {рк и векторами узлов T = {tk : 0 < t < ... < tw < L}, где pl,p2,...,pN — произвольные действительные числа.

При фиксированном N > 1 через Л будем обозначать множество векторов коэффициентов и узлов (P, T), либо некоторое его подмножество, определяемое теми или иными ограничениями на коэффициенты и узлы формулы (4) (например, требование точности формулы (4) на многочлены заданной степени и др.).

Погрешность квадратурной формулы (4) обозначим

| Rn ( f; Г; P, T) I=IJ ( f; Г) - ¿N (f; Г; P, T) |.

Если M — некоторый класс функций {f(щ(t), щ(t),...,щ(t))}, определённых в точках кривой Г и интегрируемых, как сложная функция параметра t на отрезке [0, L], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности, примем величину

Rn ОВД P, T) = sup{ | Rn (f ;Г; P, T) |: f e Mt}.

Пусть N(L) — класс кривых Г, заданных параметрическими уравнениями (2), длина которых не превосходит L. Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4) всего класса функций M на классе кривых N(L) обозначим

Rn (M; N(L); P, T) = sup{Rn (M; Г; P, T) :Гс N( L)}.

Для того чтобы получить оптимальную квадратурную формулу на классах функций M и кривых N(L), потребуем, чтобы формула (4) была точна для функции

N

f (щ(t), щ(t),...,щ(t)) = const, то есть чтобы выполнялось равенство ^ pk = L. Нижнюю грань

к=1

SN(M,N(L)) = mf R(M;N(L),P,T): (P,T) с Л}, (5)

по аналогии с определением из монографии [1], будем называть оптимальной оценкой погрешности квадратурной формулы (4) на классах функций M и кривых N(L). Если существует вектор

(P0, T0) с Л, для которого

£n (M, N(L)) = Rn (M; N(L), P0 ,T0),

то этот вектор определяет наилучшую квадратурную формулу вида (4) в смысле С.М.Никольского [1] на классах функций M и кривых N( L).

В данной работе исследуются квадратурные формулы (4) с произвольными векторами коэффициентов P = {рк }N=1 и векторами узлов

T = {tk:0<ti <t2...<tN <L},

принадлежащих множеству Л. Обозначим через Нсс := Нс[0,Ь] — множество функций щ(Х) е С[0, Ь], удовлетворяющих условию

|щ(/)-щ(г) |<с(| г' - г |), Х, { е[0, Ь],

<с(| г - г |), г, г е|

где с (8)) — заданный модуль непрерывности, то есть неубывающая полуаддитивная функция, в нуле равная нулю. Через Н сс,",Ст[0,Ь] обозначим класс гладких кривых Г е Ят, заданных параметрическими уравнениями (2), у которых координатные функции (р(Х) е Нсс [0, Ь], I = 1,2,..., т; то есть щ (г) — непрерывные на отрезке [0, Ь] функции, имеющие мажорантой модуля непрерывности с(щ,8) заданный модуль непрерывности с¿(5).

Решения экстремальной задачи (5) зависит от выбора метрики в Ят. Если М = М, х2,..., хт ) е к" , М = М(х, х2,..., х т ) е Rm, то введём в рассмотрение следующие метрики:

т

а) хэмминговорасстояние р (М , М ) = Е | хг. - х i |;

1=1

Г Т1/2

„Л2

- х

b) евклидоворасстояние р (М ,М ) = | Е ( х

I г=1 ]

c) расстояниеМинковского р (М, М ) = тах | х2 - х2 |.

1<1<т

Через обозначим класс функций /(М) = /(х1,х2,...,хт), определённых на кривых

Г е Н сс'.'Ют и для любых двух точек М ,М еГ удовлетворяющих условию

|/(М') - /(М') |< р(М2,М''),

где р(М ,М ) есть одно из перечисленных выше расстояний а) - с).

Таким образом, будем писать /(М) е , если для любых двух точек М ,М еГе Н щ,-,Ст выполняется неравенство

т

| / (м 2) - /(М")|<£|х; - х; |=

1=1

т т

= Е | щ (г ') - щ (г '') |< Е с (| г - г22 |), г 2, г 22 е [0, Ь],

г=1 г=1

а если /(М) е М, то имеем

Г Л 1/2

т

|/(М')-/(М")|<|£сг2(|г 2-г"|)| , г'/е[0,Ь].

Аналогичным образом будем писать f (M) e , если

| f(M)- f(M") |<max^d t -1" I), t,t e [0,L].

1<i <m

В принятых обозначениях сформулируем основной результат работы.

Теорема 1. Среди всех квадратурных формул вида (4) с произвольными векторами коэффициентов и узлов (P,T), T = {tk : 0 < t < ...< tw < L} P = {p , наилучшей для классов функций

Ж , (i = 1,2,3) и кривых H (°i ,",®m является формула средних прямоугольников

L

j f (Vi(t),...,vm (t) p.

^Х/Н^}''^ ( ))+с

При этом для погрешности формулы (6) на классах функций Ж, (/ = 1,2,3) и кривых Н справедливы точные оценки

т Ь/ (2 N )

х 2

г=1 о

Ь / (2N) Г ... ч 1/2

/ ;

о I ¿=1

Ь/^ )

m L/ (2N )

SN (мд; H * -,am ) = (2N)£ j (t)dt, (7)

_ L' (2" ) m

£N(MPi;H ^) = (2N) j dt, (8)

¿N Mp;H ^ml-

(2N) j |max^(t)Jdt. (9)

Доказательство теоремы 1 базируется на следующей лемме, являющейся несложной модификацией леммы 2 из [2].

Лемма. Пусть (t) (/ = 1,2,...,ш) — неубывающие для 0 < t < Z функции. При фиксированном N е N каждому вектору

T = (t,: 0 < ti < t2 < ...< tN < L}

сопоставим функции

m

9i (T, t) = min £ (| t - tk |), (0 < t < Z),

1<k <N

i=1

1/2

g2(T, t) = min jS^'dt" tk l)j , (0 < t < L),

0

д3 (T, t) = min max щ (| t —1. |), (0 < t < L).

1<k<N 1<i<m

Тогда, если T0 = {t° : t\ = (2k — 1)L/(2N), k = 1,2,...,N}, то для любого вектора T справедливо неравенство

L

\9](T;t)dt >J9j(T0;t)dt, j = 1,2,3.

о

Пусть (г = 1,2,3) - класс функций f (( (1),...,(рт (г)), определённых на кривых

Г е Н С°1 , ,с°т и, для которых в любых точках t е[0, Ь] и ( ±г) е[0, Ь] выражение

I f ((1(1 + Т),...,(т (1 + Т)) + f (((г-Т),...,(т (* ~Т)) -

-2f ((1(1),..., ((г)) I

не превосходит соответственно

, 1/2

2^г2(И), 2^г2(|г|П , 2тах®, (| г |).

м [и ] 1йг<т

Для этих классов функций справедлива следующая

Теорема 2. Среди всех квадратурных формул вида (4) с произвольными векторами коэффициентов и узлов (Р, Т) е Л наилучшей для классов Ж, Ж2р и кривых Н ,СЯт является формула

(6). При этом для погрешности формулы (6) на указанных классах функций и кривых справедливы равенства

^(М^; Н1 = Н1 О' = 1,2,3), (12)

где значения правой части равенства (12) при г = 1,2,3 соответственно определяются соотношениями (7)-(9).

В случае, когда щ(г) = а(г),/ = 1,2,.,т; 0 < г < L, класс кривых Н 4'"'Ют обозначим Н

Имеет место следующее утверждение.

Следствие. В условиях теорем 1 и 2 справедливы равенства

Ь/(2 N )

ъ(ж2,д;нт)=^(мд;нт)=2mN |

0

Ь / (2 N )

^(М2Л;нт) = ^ [МЛ;Н т) = 2^mN | ©(/)#,

0

Ь/(2 N )

sn(Ж2Л;HD = Sn [Мл;H l) = 2N J D(t)dt.

о

В частности, для класса Гёлъдера при o(t ) = Kta ( K > 0, 0 <а < 1) :

KmLa+1

8n (М2,д ; КЮ = (a +1)(2^)a ,

^ (M, ■ KHI) =

£n ( M ^ ; KHI) =

(a + 1)(2N )a

KLa+1 (a +1)(2 N )a

Отметим, что доказанные теоремы 1 и 2 являются обобщением для случая m переменных соответствующих результатов из[4].

Поступило 23.11.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.:Наука, 1979.

2. Корнейчук Н.П. — Матем. заметки, 1968, т.3, 5, с.565-576.

3. Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. Inequality. — Cambridge University Press. 2nd ed. 1952.

4. Шабозов М.Ш., Сангмамадов Д.С. — ДАН РТ, 2012, т.55, 11, с.847-852.

М.Ш.Шабозов

ДАР БОРАИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ ОПТИМАЛЙ БАРОИ ^ИСОБКУНИ^ОИ ИНТЕГРАЛ^ОИ КА^ХАТТА

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола масъалаи оптимизатсиякунонии хатогии формулами квадратурй барои такриби хдсоб намудани интегралхри качхаттаи чинси якум барои синфи функсиях,о ва синфи хатх,ои кач, ки ба воситаи модулх,ои бефосилагй дода шудаанд, дида баромада шудааст. Х,алли аники ин масъала барои синфх,ои васеъи функсиях,ои m тагйирёбанда, ки дар кад-кади хатх,ои кач муайянанд, ёфта шудааст.

Калима^ои калиди: интегралуои кацхаттаи цинси якум - формулаи кубатурй - вектор коэффисиентуо ва вектор гиреуо - модули бефосилагй - формулаи квадратурии оптималй -хатогй.

M.Sh.Shabozov

ABOUT THE OPTIMAL QUADRATURE FORMULAS FOR CALCULATION OF

CURVILINEAR INTEGRALS

A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic Tajikistan Consider the problem of optimization of quadrature formula for approximate computation curvilinear integral of the first kind on classes functions and curved given by the modulus of continuity. The exact solution of this problem on wide classes functions m-variable defined along curve integration is given. Key words: the curvilinear integral of the first kind - cubature formula - the vector of coefficient and vector nodes - modulus of continuity - the optimal quadrature formula - error.