Об оценке погрешности квадратурной формулы трапеций на некоторых классах функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2012, том 55, №2__________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

З.Н.Бахромова, А.А.Шабозова ОБ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ ТРАПЕЦИЙ НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 17.02.2011 г.)

В работе найдена точная оценка погрешности квадратурной формулы трапеций для класса функций с ограниченной по норме второй производной в метрике пространства интегрируемых в среднем функций.

Ключевые слова: определённый интеграл - погрешность - верхняя грань погрешности - формула трапеций.

1. Рассмотрим квадратурную формулу

Ь п

3 (/) := / *)& = £ Л/ (х) + Кп (/)3 Д/) + кп (/), О)

а

задаваемую векторами узлов X = {хк : а < х1 < х2 <...< хп < Ь} и коэффициентов Р = {рк }П=1, где Ь( /) = Ь( /; X, Р) - квадратурная сумма, ^ (/) = ^ (/; X, Р) - погрешность формулы (1) на функцию / (х) .

Если М - некоторый класс заданных на [а, Ь] и достаточное число раз дифференцируемых функций /(х) , то положим

Яп(М;X,Р) = 8ир{| Яп(/;X,Р) |: / є М} =

= 8ир{| 3(/) -Ь(/;X,Р) |: / є М}. (2)

При фиксированных п є N через А обозначим множество векторов (X, Р) или некоторое их подмножество, определяемое теми или иными условиями на узлы и коэффициенты квадратурной формулы (1).

Требуется найти величину

£„(ОТ) = М{Лп(М;X,Р): (X, Р) є А} (3)

Адрес для корреспонденции: Бахромова Зухра Нумоновна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

и указать вектор (X0, Р°) = ({Хк },{рк}) из множества Ж , на котором достигается нижняя грань в (3). Этот вектор определяет оптимальную или наилучшую квадратурную формулу в смысле С.М.Никольского (см.,[1], с.145).

В данной заметке приводим решение задач (2) и (3) для определённого ниже класса функций

Ж(2)Ь [а, Ъ], 1 < р < да, когда формула (1) является усложнённой квадратурной формулой трапеций. Хорошо известно [2], что если функция / е с(2)[а, Ъ], то для простейшей квадратурной формулы трапеции

ъ Ъ

| / (Х^Х = -|а [/(а) + / (Ъ)] + ¡(/) (4)

а

погрешность ¡( /) выражается формулой

1 Ъ

¡т=-|лхх-—хх*—<о*. (5)

а

Разобьем отрезок [а, Ъ] на п произвольных частичных промежутков [Хк1,Хк](к = 1,2,...,п) точками а = Х0 < Х < х2 < ... < Хп = Ъ . Длины частичных промежутков [Хк_х,Хк] обозначим через Ък = Хк — Хк_х,к = 1,...,п. Через Ж(2)Ь [а,Ъ] обозначим множество

функций /(х) е С(1) [а, Ъ], у которых на каждом из частичных промежутков [ Хк——р Хи ](к = 1,2,...,п) существует кусочно-непрерывная производная /"(х), удовлетворяющая условию

/ V Л17 Р

"1|

Ьр[ Х—1 х]

11 /■(х) Iр л

V х—1

< да.

Воспользуясь равенствами (4) и (5) и поступая так же, как в монографии [1,с.38], получим общий вид усложнённой квадратурной формулы трапеции

Ъ 1 ”

|/(Х^ = - К [/(Хк—1) + /(Хк )] + ¡п (/X (6)

2 к=1

где

1 п Х]г

¡п (/) = — - Ё | /(Х)(Хк — Х)(Х — хк—1)^Х. (7)

2 к=1 х ,

а

Ъ — а

В случае равномерного разбиения отрезка, то есть когда Хк = а Н------к,

п

і Ь - а

ък =-, к = 1,2,..., п, формула (6) приобретает вид [1,с.38]

п

Ь

| У (х)^х = ■

Ь - а [/(а) + /(Ь) п-1

Ь - а

л

п

т

+ £ У Iа+---------к г +К(/).

V и )]

Имеет место следующая

Теорема. Для верхней грани погрешности квадратурной формулы (6) на классе 1 1

Ж Ь [а, Ъ], 1 < р < да,------\— = 1 справедлива оценка

Р ч

К (Гт[а,Ь]; X, Р) = -

1 |Г 2(? +1)

, 1/2

■I $ 1 / *

2 ІГ(2“ +1)

к=1

р[ хк-1 ,хк] ’

где Г(м) - гамма-функция Эйлера.

Доказательство. Применяя интегральное неравенство Гёльдера для произвольной функции / е Ж(2>Ьр [а, Ъ], 1 < р < да , оценим погрешность (7). В самом деле, для Х е [хк_х, Хк ] получаем

1 п I

1 К (/) |- - I | 1 /"(х) 1 -(хк - х)(х - хк-1)Л -

2 к=1 х ,

1 п I Лк

- п I Iі /п(х) |Р ах ■ 1(х*-х)Ч(х -х*-1)4^

2 к=1

\17Р л г л17/

V хк-1

V хк-1

1 ^ 7 2+1

71ъ •

2 к=1

^р [ хк-1 ,хк]

Iі“ (1 - іУсіі

_1 [г 2(ч +1)

1 [г (ч+1) і ъ1;1“

2[Г(2? +1) I 1 к

'ЬР [ хк-1, хк ]

(8)

Заметим, что в силу известного свойства интегрального неравенства Гёльдера равенство в (8) достигается для функции / (х) е Ж^2)Ь [а, Ъ], 1 < р < да , у которой на каждом частичном промежутке [ Хк1, Хк ] вторая производная / (Х) имеет вид

/0 (х ) = -

°|| ьр[ хк-1 ,хк]

хк

I(хк- х)ч (х - хк-1)ч^

\ хк-1

-1/р

а

((хк — х)(х — хк—1)]Ч—1, — +1 = * 1 < р < да.

р ч

Действительно, подставляя функцию / (х) в равенство (7), получаем

1 П Г

¡пШ = — ТЁ I /о(х) - (хк — х)(х — хк—х)ах

2 к=1 х, хк—1

хк

| (Хк — Х)'(Х — Хк—хУ^

\ Хк—1

-1/р

Хк

| (Хк — Х)' (Х — Хк—1)Ч^Х =

Хк

| (Хк — Х)'(Х — Хк—хУ^

\17'

\ хк—1 1/ '

- т ('-¡5 •“> / •'

1Ьр[ хк—1, хк]

Этим мы доказали, что для всех 1 < р < да имеет место равенство

К (Ж(2> Ьр [а,-]; X, Р) = -

1 |Г 2(' +1)

| 1/'

Ё £ 1 / *

2 |Г (2' +1)

к=1

1Ьр[ хк—1 ,хк]

Следствие 1. При всех р 1 + ' 1 = 1, 1 < р < да справедливо равенство

£„ (Ж(2) Ьр[а, Ъ]) = и* (Ж'%[а, Ъ]; Р) =

(2);

X

= - |Г2(ч+1)' 2 [Г(2' +1)

V п у

■Ё11/'

к=1

"Ьр [ хк ,хк—1] точная оценка

Следствие 2. Если в условиях теоремы потребовать выполнения условия < 1, 1 < р < да, то для погрешности квадратурной формулы (6) трапеций справедлива

Г") Л —' 2+ —

£п (Ж<2} Ьр [а,-]) =1 -|Г*' + ^ } -(Ъ — а! ', 1 < р <да. (9)

2 [Г(2' +1)

п

Х

к—1

п

Ьр [ ¥, к ]

р И И

В частности, из (9) при q = 1 (а значит p = ^) вытекает равенство

£, (W121 L„[a, Ь]) = ^-^ ■ 12n

Заметим, для сравнении, что если f (х) S C2\a,Ь], то известно [3,с.101], что погрешность квадратурной формулы трапеций имеет вид

R (f) = -^ЬТО)3 • f'(í), а Ь.

12n

Поступило 17.12.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988, 256 с.

2. Фихтенкольц Г.М. Основы математического анализа, т. I. 1968, 440 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.:Наука, 1975, 632 с.

З.Н.Бахромова, А.А.Шабозова

ДАР БОРАИ БАХ,ОДИХИИ ХАТОГИИ ФОРМУЛАИ КВАДРАТУРИИ ТРАПЕТСИЯ БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола барои синфи функсияхое, ки хосилаи тартиби дуюмаш интегрондашаванда буда, бо нормааш махдуд аст, хатогии формулаи квадратурии трапетсия хисоб карда шудааст. Калима^ои калиди: интеграли муайян - хатогй - саруади уанщи болоии хатогй - формулаи трапетсия.

Z.N.Bahromova, A.A.Shabozova ON EVALUATION OF QUADRATURE FORMULA OF TRAPEZIUM ON SOME CLASSES OF FUNCTION

Tajik National University In this paper was founded an exact error of quadrature formula of trapezium for classes of functions, with bounded derivative of second order in the space of integrable in average metric.

Key words: definite integral - error - the upper bound of error - trapezium formula.