Квадратурная формула типа Маркова с наименьшей оценкой остатка для одного класса функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №8_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, А.А.Шабозова*

КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ТИПА МАРКОВА С НАИМЕНЬШЕЙ ОЦЕНКОЙ ОСТАТКА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ

Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет

В работе для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, решается экстремальная задача отыскания наилучшей квадратурной формулы типа Маркова. Доказывается, что оптимальной формулой является классическая квадратурная формула трапеций и вычисляется её точная оценка погрешности на заданном классе функций.

Ключевые слова: квадратурная формула типа Маркова - модуль непрерывности - погрешность.

В теории приближенного вычисления определенных интегралов экстремальная задача отыскания наилучшей квадратурной формулы на заданном классе функций является наиболее важной. Напомним постановку общей экстремальной задачи для функции одной переменной [1, с.144-145]. Рассматривается квадратурная формула

ь п

| / (х^ = £ р/() + Яп (/), (1)

k=1

задаваемая векторами узлов X = {хк : а < х < х2 <... < хп < Ь} и коэффициентов Р = {рк}П=1, Я (/) = Я (/1XР) - погрешность формулы (1) на функции / (х). При фиксированных натуральных т > 1 через А обозначим множество всех векторов (X, Р), для которых формула (1) имеет смысл. Если М - некоторый класс заданных на отрезке [а, Ь] интегрируемых в смысле Римана функций / (х), то положим

ЯпППX,Р) = 8ИР{| ЯпП/,X,Р) |: / е Ш}.

Требуется найти величину

£„(Ш) = Ы{11п(Ш,Х,Р): (Х,Р) е Л} (2)

и указать вектор (Х°,Р°) из множества Л, на котором достигается точная нижняя грань в (2), то есть что

8п{Ж) = 11п{Ш-Х\Р0).

a

Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063,Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

Квадратурная формула (1) с вектором узлов X0 =|х°к | и коэффициентов Р = |р°к | дает

наименьшую на всём классе погрешность среди формул, задаваемых множеством Л векторов (X, Р), и в этом смысле является наилучшей для класса М . В этой заметке в качестве М будем

рассматривать класс На[а, Ь] функций /(х) для любых двух точек х', х" е [а, Ь], удовлетворяющих условию

| /(х") - /(х") |< а(\ х' - х" I), где со(8) - заданный модуль непрерывности, то есть непрерывная неубывающая полуаддитивная функция, в нуле равная нулю. В частном случае, когда 0)(5) = Кда (к <а< 1, К > к), класс

Ню[а, Ь] := КНа[а, Ь] есть класс Гельдера порядка а с константой К.

В работе [2], в частности, доказано, что среди всех квадратурных формул вида (1) наилучшей квадратурной формулой является формула прямоугольников с узлами

х0 = а + (2к - 1)(Ь - а) / (2п)(к = 1, п) и коэффициентами рк = (Ь - а) / п(к = 1, п), причём

(Ь-а)/(2п)

£п(Нш) = 2п | а>(х)Ох.

В данной работе рассматривается задача об отыскании наилучшей для класса Н ф[ а, Ь] квадратурной формулы типа Маркова [1, с.156]

Ь п—1

| / (х)ф = Рк/(а) + X Рк/(хк) + Рп/(Ь) + Д (/), (3)

а к=1

задаваемой вектором (X, Р) узлов X = \хк : а = х0 < хг < • ■ ■ < хп = Ь} и коэффициентов Р = {рк . Таким образом , мы изучаем задачу отыскания наилучшей квадратурной формулы вида (3), когда заранее зафиксированы в качестве узлов концы промежутка: х0 = а, хп = Ь, а узлы хг,х2,- ■ -,хпи коэффициенты р0,р1,---,рп следует выбрать оптимальным образом. Сформулируем следующий основной результат работы.

Теорема 1. Среди квадратурных формул вида (3) наилучшей для класса Ню[а,Ь] является формула трапеций

¡/(х)& = Ь-а | «с/ + £ / [а + к (Ь - а) ]| + Д (/). (4)

При этом точная оценка погрешности квадратурной формулы (4) на всём классе Нт[а, Ь]

равна

к

Доклады Академии наук Республики Таджикистан

2013, том 56, №8

£п(Нш[а,Ь]) = 2п J co(t)dt.

о

В частности,

Е„(Ш-)=К(Ь-аГ 1

а + 1 (2 п)а

Пусть H®[a, b] - класс функций f (x), определнных на отрезке [a, b] и для любых точек x, x ± t е [a, b] удовлетворяющих условию

| f (x +1) + f (x -1) - 2f (x) |< 2ffl(| 1|).

Нетрудно проверить, что Hю[а,b] ^ H®[a,b], то есть класс H®[a,b] шире, чем класс

H<a[ a, b]. Тем не менее справедлива следующая

Теорема 2. Среди всех квадратурных формул вида (3) с произвольными векторами узлов и коэффициентов (ДХ)с Л, наилучшей для класса Н®\а,Ъ\ является формула (4). При этом для погрешности формулы (4) на классе функций H®[a, b] имеет место равенство

(b-a )/(2и )

Еп (H®[a, b]) = 2n J co(x)dx.

Заметим, что между классами Нт[а,Ь] и Н®[а,Ь] можно вставить промежуточный класс Н®_а [а, Ь], 0 < а < 1 функций /(х), определённых на отрезке [а, Ь] и для любых точек х, х ± I е [а, Ь], удовлетворяющих условию

| (1 + а)/(х + 0 + (1 - а)/(х - 0 - 2/(х) |< 2Ы\ г |).

Теорема 3. Среди всех всевозможных квадратурных формул типа Маркова (3) единственной наилучшей формулой на классе функций Н®_а [а, Ь] при любых а (0 < а < 1) является формула трапеций (4). При этом точная оценка погрешности квадратурной формулы (4) на всём классе Н®_а [а, Ь] (0 < а < 1) равна

(Ь-а)/(2п)

£п{нЦ = 2п J co(x)dx.

Поступило 29.10.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1988, 270 с.

2. Корнейчук Н.П. — Матем. заметки, 1968, т.3, 5, с. 565-576.

о

о

М.Ш.Шабозов, А.А.Шабозова* ФОРМУЛАИ КВАДРАТУРИИ НАМУДИ МАРКОВ БО БА^ОИ БАЦИЯИ ХУРДТАРИН БАРОИ ЯК СИНФИ ФУНКСИЯ^О

Институтиматематика ба номи А.Цураеви Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон,

*Донишго%и миллии Тоцикистон

Дар макола барои синфи функсияхое, ки ба воситаи модули бефосилагй дода мешаванд, масъалаи экстремалии ёфтани формулаи квадратурии бехтарини намуди Марков хал карда шу-дааст. Исбот карда шудааст, ки формулаи бехтарин ин формулаи квадратурии трапетсияхо бу-да, бахои аники он дар синфи додашуда хисоб карда мешавад.

Калима^ои калиди: формулаи квадратурии бехтарини намуди Марков - модули бефосилагй -хатогй.

M.Sh.Shabozov, A.A.Shabozova* THE QUADRATURE FORMULA OF MARKOV TYPE WITH THE SMALLEST ESTIMATION OF REMAINDER FOR ONE CLASS FUNCTIONS

A.Juraev Institute of mathematics, Academy of Sciences of the Republic Tajikistan,

Tajik National University In the work for the classes of functions defined by the modules of continuity, the optimization problem is solved and where the search for the best quadrature formula of Markov type is done. It is proved that the optimal formula is a classic quadrature formula of trapezium and its exact error estimate for a given class of functions is calculated.

Key words: quadrature formula of Markov type - modulus of continuity - error.