CC BY
46
УДК 517.95
ДВЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ
© 2011 Л.С. Пулькина, М.В. Стригун1
В работе исследуются смешанные задачи для гиперболического уравнения с нелинейными граничными условиями. Доказано существование единственного обобщенного решения поставленных задач.
Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелинейные граничные условия, обобщенное решение.
1. Постановка задачи
Рассмотрим в области Qт = {(х,Ь) : 0 < х < I, 0 < Т} гиперболическое уравнение
Ьи = / (х,г), (1)
где
Ьп = ии - (а(х, Ь)пх)х + с(х, Ь)и,
и поставим для него следующие задачи.
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Qт, удовлетворяющее начальным данным
п(х, 0) = р(х), (2)
щХх, 0) = ф(х) (3)
и граничным условиям
их (0,^=0, (4)
а(1,г)пх (¡,г) + \и(1,г)\ри(1,г) = 0. (5)
Задача 2. Найти решение уравнения (1) в области Qт, удовлетворяющее начальным данным (2), (3), граничному условию (4) и нелинейному условию
а(1,1)их(1,1) + \щ(1,1)\рщ (¡,1)=0. (6)
Заметим, что условия такого вида могут возникать, например, в задачах о продольных колебаниях пружины при упругом закреплении концов, не подчиняющемся закону Гука [1]. В книге [2] рассматривается задача с нелинейностью
1Пулькина Людмила Степановна ([email protected]), Стригун Мария Владимировна ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
аналогичного вида, входящей в гиперболическое уравнение, но наличие нелинейности в граничном условии не позволяет применить разработанные там методы исследования.
2. Разрешимость задачи 1
Введем обозначения
Г1 = {(x,t) : x = l, t e (0,T)}, W(Qt) = {u(x,t) : u(x,t) e W1(Qt) f|Ьр+2(Г,)}, \\u\\w (Qt ) = \\u\\w1(Qt) + \\u\\Lp+2(Гl),
W(Qt) = {u(x,t) : v(x,t) e W(Qt), v(x,T)=0}.
Обобщенным решением задачи (1)—(5) будем называть функцию u(x,t) e W(Qt), удовлетворяющую условию (2) и тождеству
т
j (-utvt + auxvx + cuv)dxdt + J \u(l,t)\pu(l,t)v(l,t)dt =
Qt 0
l
= j f (x,t)u(x,t)dxdt + j ^^ 0)dx (7)
Qt 0
для любой функции v(x,t) e W(Qt).
Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: f(x,t) e L2(Qt), c(x,t) e C (Qt ), a(x,t) e C (Qt ), at(x,t) e C (Qt ), Ф) e Wl(0,l)f] Lp+2(0,l), ф(x) e L2(0, l), y'(0) =0 и a(l,t)ф' + \^(l)\p^(l) = 0, тогда для любого p > 0 существует единственное решение задачи (1)—(5).
Доказательство единственности решения
Предположим, что задача (1)-(5) имеет два решения: u\(x,t), u2(x,t). Тогда их разность u\(x,t) — u2(x,t) = u(x,t) удовлетворяет условию u(x, 0) =0 и тождеству
Чutvtdxdt Чauxvxdxdt Чcuvdxdt+
QT QT QT
T
+ J(\u i(l,t)\pu1(l,t) — \u2(l,t)\pu2(l,t))v(l,t)dt = 0. (8)
0
Выберем v(x,t) специальным образом:
i \ I — i u(x, n)dn, 0 ^ t ^ т, v(x,t)= < i
I 0, т < t < T.
Проинтегрировав по частям первые два слагаемых (8), получим:
i i Wo, , , 1
2 j u2(x,T)dx +1 J a(x, 0)uX(x, 0)dx—
- J (\и1(1,г)\ри1(1,г) - \и2(1,г)\ри2(1,г))и(1,г)л = (9)
0
= J си1ид,хд;Ь - 1 J аиХ ¿.хдА,.
Ят Ят
Рассмотрим третье слагаемое тождества (9). Заметим, что
д
ди\и\ри =(1+ р)\и\р > 0.
Тогда
т
- J(\и1(1,г)\ри1(1,г) - \и2(1,г)\ри2(1,г))и(1,г)л =
0
п
р
= J и(х,п) J (\и1 \ри1 - \и2\ри2 )йЬйц ^ 0.
Рассмотрим теперь правую часть (9). Из условий теоремы следует, что существуют числа со > 0 и а1 > 0 такие, что тах\с(х,Ь)\ * со, тах \аъ(х,1)\ * а1.
Ят Ят
Так как уравнение (1) гиперболическое, существует ао > 0 такое, что а(х,Ь) > ао У(х,Ь) € Qт. Введем функцию
ъ
С(х,г) = - ! их (х,ц)^.
х
о
Тогда
их(х^) = С(х,Т) - С(х,г),
их(х, 0) = С(х,Т).
Равенство (9) примет вид:
I т п
1 1'(и2(х,т) + а(х, 0)С2(х,т )Ых + [ и( х п) [(и 1ри< _ и21р.
2> ^(и2(х,т) + а(х, 0)£2(х,т))йх + J и(х,n)J(\ul\pUl - \и2\ри2)ЛЬЗп =
оо
= J сиъив,х& - 1 J аъ(С(х,т) - ((х,1))23х31.
Ят Ят
Первое слагаемое правой части оценим с помощью неравенства Коши:
со [ (и2 , и2) "У
Ят
\ J сиъид,х&\ * J (и2 + и^^хА
и заметим, что / и2(х,1)& * т2 £ и?(х,1)в^ почти всюду. Тогда, продолжая оценку,
оо
получим
I
1(и2(х,т) + аоС2(х,т))'х *
о
т
I
</ Ы1 + г + Ъ„с + 2а,г1< %х,г )3х.
Ят
Пусть с = тах{2а1, с0(1 + Т2)}. Тогда
I I
J(u2(x,т) + аоС2(х,т))3х < с^(и2 + £2(х,1))3х3Ь + 2а±г J ^2(х,т)3х.
Пользуясь произвольностью т, выберем его так, чтобы ао — 2а1Т ^ а0. Тогда для т € [0, ] при с = т1п|1 а0_2д1Т} выполняется неравенство
2а1Т } I
J (и2(х,г) + (2(х,т ))3х < с У (и2 + (2(х,1))3х3Ь, о Ят
применив к которому лемму Гронуолла, убедимся в том, что и(х,Ь) = 0 в Qt, где * € [^ ].
На следующем шаге покажем, что и(х,*) = 0 для * € [, ], а затем продолжим этот процесс, что и приведет к доказательству утверждения единственности решения, если оно существует. Поэтому переходим к доказательству существования.
Доказательство существования решения
Рассмотрим последовательность функций {Хг(х)}, Хг(х) € С2\0,1], Х?(0) = = 0, образующих линейно независимую полную ортонормированную систему в Ш1(0,1)Г\ Ьр+2(0,1).
Будем искать приближенное решение задачи (1)—(5) в виде
т
ит(х,г) = З,(г)х,(х). (10)
г=1
Найдем 3г(Ь) из соотношений
I
J (ит X, + аитХ[ + ситХг)3х + \ит(1,г)\рит(1,г)Хг(1) = о
I
= ! I (х,г)Х, (х)3х. (11)
о
Эти соотношения дополним начальными условиями
3 (0) = а, 3[ (0) = вг, (12)
где аг, вг — коэффициенты конечных сумм
тт
рт(х) =]Т а (*)Х, (х), фт(х) =]Т вг (*)Х, (х), =1 =1
аппроксимирующих при т —> ж функции ^(х) и ф(х) соответственно в пространствах Ш2(0,1) и Ь2(0,1):
рт(х) —► р(х), фт(х) —► ф(х), т —(13)
Соотношения (11)—(12) представляют собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая разрешима на отрезке [0, tm]. Для того чтобы убедиться в существование решения на [0,T], получим априорную оценку.
Умножим (11) на d'i(t), просуммируем по i от 1 до m и проинтегрируем по t от 0 до т. Временно не будем писать индекс m. Имеем:
т
J(uttut + auxuxt + cuut)dxdt + J \u{l,t)\pu{l,t)ut{l,t)dt =
Qt 0
= j futdxdt. (14)
Qt
Первые два слагаемых преобразуем стандартным образом, интегрируя по частям [3]. Рассмотрим четвертое слагаемое. Заметим, что
d (\u(l,t)\p+2) = (p + 2)\u(l,t)\pu(l,t)ut(l,t). dt
Тогда, как нетрудно видеть,
т
i \u(l,t)\pu(l,t)ut(l,t)dt = \u(l,T)\p+2--— \u(l, 0)\p+2.
J p + 2 p + 2
0
Учитывая это представление, имеем: i
1 S' 1
2 j (u2(x,T) + a(x,T)uX(x,T))dx + p+2\u(l,T)\p+2 =
Р + 2'
0
I
= 2 Г(Ых, 0))2 + а(х, 0)(их(х, 0))2^х +-+-\и(1,0)|р+2+ (15)
2 ] р + 2
о
+ 1 J аиХЗхА — J сищЗхА + ^ futdxdt.
Ят Ят Ят
Рассмотрим правую часть равенства (14). Применяя неравенство Коши, получим оценку двух слагаемых:
,/«1/ + u)didt
Qt Qt
\ j cutfdxdt\ ^ i j(f2 + u'2)dxdt.
Из представления
т
i(x,T) = J ut(x,t)dt + u(x, 0)
вытекает неравенство
i i
j u2(x,T)dx ^ 2t J u2dxdt + 2J u2(x, 0)dx.
0 Qt 0
Таким образом, получаем оценку:
I
/(и2(х, т) + и'2(х, т) + а(х, т)и2Х(х, т))3х +---\и(1, т)\р+2 <
р + 2
о
I
< (и2(х, 0) + а(х, 0)и2Х(х, 0)+2и2(х, 0))3х +---\и(1, 0)\р+2 + аги2Х3х3г+
] р +2
о Ят
+со J и23х3Ь + (со + 1 + 2Т) J и'23х3Ь + J 123х31.
Ят Ят Ят
Заметим, что из (12), (13), условий теоремы и теорем вложения [4] следует, что
I
¡(и2(х, 0)+ а(х, 0)и2х(х, 0) + 2и2(х, 0))3х +--+-\и(1,0)\р+2 + / 123х3г < К.
„/ р +2 о Ят
Имеем:
I
!(и2(х,т) + и2(х,т) + иХ(х, т))3х + Р\и(1,т)\р+2 < о
< м/ <:ии + иХ + ^ +К, (!,)
Ят
где Р = +2), М = }, К = . К г, причем М и К не
^ тт{1!ао}(р+2) ' тт{1,ао^ ' тт^^ао}' ^
зависят от т.
Из (16), в частности, следует неравенство
I
J(и2(х, т) + и\(х, т) + иХ(х, т))3х < М J(и2 + иХ + и'2)3х31 + К,
о Ят
применив к которому лемму Гронуолла и возвращая назад индекс т, получим
\\ит\и1(Ят) < N1. (17)
Возвращаясь к (16) и учитывая (17), получим еще одно неравенство:
\и(1,т)\р+2 < N2, (18)
откуда следует, что и(1,Ь) € Ьр+2(0,Т). Полученные оценки (17) и (18), в которых N не зависит от т, означают, что
\\ит(х,1)и(Ят) < N. (19)
Оценка (19) гарантирует существование решения задачи Коши (11), (12) на всем промежутке [0, Т], что, в свою очередь, означает, что последовательность приближенных решений {ит(х,1)} построена и обладает свойствами: ит при т —> ж ограничена в W2(Qт )П ^р+2(Г'1), и ит при т —ограничена в Ь2^т).
Эти свойства позволяют выделить из построенной последовательности {■ит(х,*)} подпоследовательность {и^(х,Ь)} такую, что им —> и слабо в ^^Т)ПЪр+2(Г1), и и —> иг слабо в Ь2^т).
Заметим, что в силу (17)последовательность ит ограничена в W21(Qт). В силу теоремы Реллиха — Кондрашова, вложение W)l(Qт) в Г/2^т) компактно. Это
означает, что последовательность можно выбрать так, что —> и в норме Ь2, а значит и сходящейся почти всюду [5, с. 363].
Из (18) следует, что \и^(1,г)\ри^(1,г) £ Ьч(0,Т), д = ^ > 1 и сходится почти всюду в (0,Т).
Теперь заметим, что из ограниченности последовательности \ит \рит в Ьч) вытекает слабая сходимость в этом пространстве подпоследовательности \и^\ри^ к некоторой функции х(^).
В силу леммы, доказанной в [2, с. 25], х(£) = \и\ри.
Приведенные рассуждения позволяют перейти к пределу в (11). Но сначала умножим каждое из равенств (11) на с^ £ С[0, Т], причем такие, что с^ (Т) = = 0, просуммируем по ] от 1 до ¡л , затем проинтегрируем. После элементарных преобразований получим
т
J (-и?цг + аи^Пх + си^п)ЛхЖ + ^ \им(1,г)\ри^(1,г)п(1^)А =
= у + у и(х 0)ф, °)<ъ, (20)
Ят 0
где П(х,£) = Е4=1 сэ (г)Хз(х)■
Учитывая полученные включения и сходимости, перейдем в (20) к пределу при ¡л —> ж и получим (7) для и = п. Так как множество всех функций п(х, I) плотно в W21(Qт)П^р+2(Г;), то предельное соотношение выполняется для всех и £ \¥^т).
3. Разрешимость задачи 2
Обозначим Г; = {(х,г) : х = I, г £ (0,Т)},
и ^т ) = {и : и £ Wl(Qт), иг £ W}(Qт )р| Ьр+2(Г;)},
Ми (Ят) = Ыш^Ят) + \\игг\\ь2(Ят) + \\и\\ьр+2 (гг), V(0,1) = {и(х) : и £ W21(0,OПЬр+2(0,1)},
С1(0,Т) = {х(г): х(г) £ С 1(0,Т), г(Т) =0}.
Будем рассматривать задачу 2 с нулевыми начальными условиями. Это вызвано лишь желанием упростить некоторые выкладки и не нарушает общности.
Обобщенным решением задачи 2 будем называть функцию и(х,Ь) £ и^т), удовлетворяющую условию и(х, 0) = 0 и тождеству
т I
У (| (иии + аихих + сии)ё,х + ^(¿^^и^^^и^,£))$(£)& =
00
= ! /(х,г)и(х)$(г)ЗхА (21)
Ят
для любой и(х) £ V(0,1) и любой $(г) £ С1 (0,Т).
Теорема 2. Если ¡(х,Ь) е Ь2{Ят), е Ь2{Ят), с(х,Ь) е С^т),
с^(х,Ь) е С^т), а(х,Ь) е С(@т), аг(х,Ь) е С(^т), то для любого р> 0 существует единственное решение задачи 2.
Доказательство единственности решения
Предположим, что задача 2 имеет два решения: и\(х,Ь), и2(х,1). Тогда их разность и\(х,Ь) — и2(х,Ь) = и(х,Ь) удовлетворяет тождеству
т I
¡Ф™ + аиХиХ + Сии¥х+
о о
+(\ии(1,г)\рип(1,г) — \ип(1,г)\Рип(1,г))и(1,г)Щг)м = 0. (22)
Так как (22) выполняется для любой функции $(£), то для произвольного фиксированного т е (0, Т)
I
1Ыи + аихих + Сии)х
+(\Щ 1(1,г)\рии(1,г) — \и21(1,г)\ри21(1,г))и(1,г) = о. (23)
1 (и1)г, аихПхл = 2(аиХ)
Положим в (23) и(х,Ь) = щ(х,Ь) и заметим, что иищ = 2(и'2)г, аихихЛ = 2(аиХ)г —
— 1 а^х, и поэтому (23) можно записать так:
I I I
(/((и* )1 + + 1 сищ^х + (\ии\рип — \и^\ри2^1,1))щ\хх=1 = ^J аЩ^х.
о о о
Проинтегрируем это равенство по £ от 0 до т:
I т
1
Ц((и1)> + (аих)г)3х+ !(\и1^ри11 — \и2^ри2^1,Ь)) щ = —J сищ^х+2 ^ (ни2х/1х.
щи2 '
0 о """"
Принимая во внимание монотонность \щ\риг и делая оценку правой части полученного равенства, как и при доказательстве теоремы 1, получим, что и = 0 в Qт. Доказательство существования решения Будем искать приближенное решение задачи 2 в виде
т
ит(х,1) =]Т ¿3 №3 (х), (24)
3 = 1
где Х3 (х) е С2 [0,1], Х 3 (0) =0 и образуют линейно независимую полную ортонор-мированную систему в Ш2 (0,1) р| Ьр+2(0,1). Из соотношений
I I
J (итХз + аи'тХ 3 + ситХ 3)вх + \ит (¡,г)\рит (¡,г)Х 3(I) = У ¡Хз¿х, (25)
оо
образующих вместе с начальными условиями ¿3(0) = ¿3(0) = 0 задачу Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая разрешима на отрезке \0,1т], найдем ¿3(1). Покажем, что решение системы существует и на \0,Т]. Для этого получим априорную оценку.
Умножим (25) на ¿^ (£), просуммируем по ] от 1 до т и проинтегрируем по £ от 0 до т:
т
¡мт++ / кл^кчм»^ = } ж**.
Ят о Ят
Стандартные преобразования приводят к неравенствам
\\ит\\ш1(Ят) < N1, (26)
ит\\ьр+2(го < (27)
Ьр+2(г I
В данном случае этих оценок недостаточно.
Продифференцируем (25) по затем умножим на ¿"(1), просуммируем по ] от 1 до т и проинтегрируем по £ от 0 до т. Получим:
У (и?аиа + аиХ.иХг. + си^и™ + а. и^и™. + с.ити™ )ё,хА+ Я
+ ¡(1+ р) \ \ р(и%(1,г))2л = ! /^¿хен.
0 Ят
Преобразование первого интеграла слева приводит к равенству:
I т
±1((и%(х,т ))2 + „и. (х,т ))2 ¿х + 1(1+ р)\иГ(1Ж(ит(Ш2А
0
I
= Ц 3а.(ит.)2 + 1 аг.итит - си^и^ - снитит)с1хЖ - | а.иХ
¿х+ (28)
0
I
+ Ц((и%(х, 0))2 + а(и%(х, 0))2¿x + ! /^¿хеН.
0 Ят
Приступим к оценке правой части (28). Прежде всего заметим, что ит (х, 0) не
может быть непосредственно оценено через начальные условия. Поэтому докажем I
ограниченность /((ит(х, 0))2Сх следующим образом: умножим (25) на ¿"(0), затем
0
в полученном равенстве положим £ = 0. Тогда
J((ит(х, 0))2 + а(х, 0)ит(х, 0)ит(х, 0) + с(х, 0)ит(х, 0)ит(х, 0))¿x+
0
I
+ \иТ(1, 0)\риТ(1, 0)и..(1, 0) = I /(х, 0)ии(х, 0^х,
0
откуда, в силу начальных условий,
; I
(ит(х, 0))2¿x = J /(х, 0)иа(х, 0)¿x■
т
т
Из этого равенства следует, что
IK X 0)|U2«,,0 < \\f (x, 0)Уь2(01;). С учетом этой оценки, применяя неравенство Коши и лемму Гронуолла, получим:
ik\\l2(qt) < n3- (29)
Оценки (26), (27), (29) гарантируют существование решения задачи Коши на всем отрезке [0,T], а значит, последовательность приближенных решений задачи 2 построена. Кроме того, эти оценки и рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве теоремы 1, позволяют обосновать возможность выделения подпоследовательности {u^(x,t)} из построенной последовательности приближенных решений {um(x,t)}, дающей возможность перехода к пределу в (25).
Литература
[1] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.
[2] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.
[3] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
[4] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 333 с.
[5] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
Поступила в редакцию 10/Х/2010; в окончательном варианте — 10/Х/2010.
TWO INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH NONLINEAL BOUNDARY CONDITIONS FOR ONE-DIMENSION HYPERBOLIC EQUATION
© 2011 L.S. Pulkina, M.V. Strigun2
In this paper, the initial-boundary value problems for hyperbolic equation with nonlinear boundary conditions are considered. Existence and uniqueness of generalized solution are proved.
Key words: hyperbolic equation, nonlinear boundary conditions, generalized solution.
Paper received 10/X/2010. Paper accepted 10/X/2010.
2Pulkina Ludmila Stepanovna (louiseasamdiff.ru), Strigun Maria Vladimirovna (mariiasamaracom.ru), the Dept. of Partial Differential Equations, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
