Об одной краевой задаче для волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

12

УДК 519.999

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86)

об одной краевой задаче для волнового

уравнения

© 2011 С.А. Бейлин1

В работе изучена задача с неклассическими граничными условиями для гиперболического уравнения, которую можно рассматривать как обобщение задачи о колебании струны, если ее концы испытывают сопротивление среды. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи. Доказательство разрешимости базируется на полученных априорных оценках в пространстве С.Л. Соболева.

Ключевые слова: волновое уравнение, обобщенное решение, метод Галеркина.

1. Постановка задачи

В прямоугольнике Б = {(х,1) : 0 < х < I, 0 <Ь < Т} рассмотрим уравнение

иа - (а(х, Ь)их)х + с(х,Ь)и = /(х,Ь) (1.1)

и поставим для него следующую задачу: найти решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = <^(х), щ(х, 0) = ф(х) (1.2)

и граничными условиями

их(0,г) = а(г)щ(0,г), их(1,г) = в (г)щ(1,г). (1.3)

Граничиные условия такого вида возникают при моделировании колебаний струны, концы которой закреплены упруго, но закон Гука нарушается, например, из-за влияния сопротивления среды [1]. Обозначим

Ш = {и : и(х,г) е Ш1(Б), щ(0,г) е Ь2(0,Т), щ(1,г) е Ь2(0,Т)}, ]¥ = {V : у(х,г) е Ш(Б), ю(х,Т) = 0}. Под обобщенным решением поставленной задачи будем понимать функцию

ь(х,Ь) е Ш(Б), удовлетворяющую для любой функции V е \У(Б) тождеству

,т , г

/ / [-и^г + аи^^х + сию] + (1.4)

Jo Jo

1 Бейлин Сергей Александрович ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

+ I [а(0,г)а(г)щ(0,г)у(0,г) - а(1,г)в(г)щ(1,ф(1,г)] ¿г = Jо

= / fvdxdt + ф(х^(х, ио Jо и о

и начальному условию и(х, 0) = <^(х).

Теорема. Пусть выполнены условия:

а(х,г) £ Сф),аг(х,г) £ С(Ф), аи(х,г) £ С(ф),е(х,г) £ С(Ф),

f (х,г) £ ь2ф), а(г) £ с 1(Ф) п С2ф), в(г) £ с 1(Ф) п С2ф),

(A) а(г) > о, в(г) < о уг £ [0,т],

(B) (а(0,г)а(г))и < о, (а(1,г)р(г))гг > 0,

(C) (а(0,г)а(г))г\г=о < 0, (а(1,г)в(г))^=о > 0.

Тогда существует единственное обобщенное решение поставленной задачи. Доказательство теоремы проведем в два этапа.

2. Единственность решения

Для доказательства единственности покажем, что соответствующая однородная задача имеет лишь тривиальное решение. Положим Ут £ [0, Т]

у(х,г) = {/Т и(х,ц^г1,0 < г < т, 0,т < г < т.

Подставляя ее в тождество (1.4) с f (х,г) = 0, ф(х) = 0, определяющее обобщенное решение однородной задачи, и проводя интегрирование по частям, получим:

/ [и1(х,т) + а(х, 0)у^(х, 0)^х +

оо

+2 [ ь2(0,г)а(0,г)а(г№ - 2 [ г)а(1, г) в (г) ¿г -

оо

- ( у2(0,г)(а(0,г)а(г))и ¿г + ( у2(1,г)(а(г,г)в(г))и ¿г Jо Jо

1 2 Г с1

ух atdxdt + 2 / еvtvdxdt +

(2.1)

¡■Т Г1 !-Т Г1

о о о о

+^иХ(0, 0) (а(0,г)а(г))г В силу условий (А), (В), (С):

- vХ(l, 0) (а(г,г)в(г))г

г=о

г=о

/'I /'Т /'I /'Т /'I

/ (V2(х,т) + а(х, 0)^Х(х, 0^ ¿х ^ / / Vхatdxdt +2 / еvtvdxdt Jо ■! о -1о ■! о -1о

(2.2)

Оценим последний интеграл в правой части неравенства. Заметим, что в силу

условий теоремы найдется такое положительное число Со, что тах ^ Со. Примени

нив неравенство Коши, получим:

/ / еvtvdxdt ^ Со / / (^2 + v'Х)dxdt.

ио Jо Jо Jо

Т

(2.3)

2

Так как

/г \ 2 т

у2(х,Ь) = у! и(х,п)Сп\ ^ т ^ и2(х,Ь)Л = т ^ у2СЬ,

\т ) 0

то I

/ (у2(х,т) + а(х, 0)у2х(х, 0)) СхСЬ < М / У + уХ) СхСЬ, (2.4)

ио Jo Jо

где М = тах{А1,С0(т2 + 1)}, А1 = таха(х,Ь). Введем функцию

о

г

и(х,Ь) = — их(х,п)Сп- (2.5)

0

Заметим, что из представления функции у(х,Ь) следуют равенства:

и(х, т) — и(х, Ь) = ух(х, Ь), ух(х, 0) = и(х, т).

Тогда

/'Т /'I /'I /'Т /'I

/ / Ух(х,Ь)СхЛ ^ 2т / и (х,т)Сх + 2 и (х,1)СхА.

ио Jo Jo Jo Jo

Таким образом,

[ (у2(х, т) + (а0 — 2тМ)т2(х, т)) Сх < 2м[ [ (уХ + их) СхсИ, (2.6)

Jo Jo Jo

где число а,0 > 0 таково, что а(х,Ь) ^ ao. Пользуясь произволом т, выберем его так, чтобы а0 — 2Мт ^ а0. Тогда для любого т € [0, ¡ММ]

т I

J(vх(x,т)+ ш2(х,т))Сх ^ М\ J !У (х,Ь) + ю2(х,Ь)]СхА,

0 0 0

где М\ = 2М/т, т = тш1,а0/2. Применив теперь неравенство Гронуолла, приходим к выводу, что и(х,Ь) = 0 для всех Ь € [0, ¡ММ]. Повторяя рассуждения для Ь € [¡М, Хам], убедимся, что и(х,Ь) = 0 и на этом промежутке. Через конечное число шагов получим, что и(х,Ь) обращается в нуль на всем промежутке [0, Т].

3. Существование решения

Воспользуемся методом Галеркина. Зафиксируем в Ьх(0,1) полную ортонорми-рованную систему } и будем строить последовательность приближенных решений в виде

N

N

^ = ^ Ск (Ь)тк (х).

к = 1

Коэффициенты (Ь) будем искать из соотношений

/ (uN ту + аи^! т'у + еи^ ту) + (3.1)

Jo

+а(0,г)а(г)иN (0,г)иу (0) — а(1,г)в(г)иN (I) =

г1

= Сх, Jo

которые, как нетрудно видеть, представляют собой систему ОДУ, разрешенную относительно старших производных

N N

¿'¡(г) + £ ¿'к (г)Лкз (г) + £ ¿к (г)Бм (г) = ^ (г), к=1 к=1

где введены следующие обозначения:

Лкз(г) = а(0,г)а(г)шк(0)шз(0) - а(1,г)в(г)шк(1)шз(I),

Бкз (г) = / (а(х,г)т'к(х)т'(х) + е(х,г)шк(х)шз (х)^ ¿х

о

Добавив к ней начальные условия

¿з(0) = Фз, ¿3(0) = 'Фз, з = 1 ...М, N N

где Фз, фз суть коэффициенты сумм ^ Фзшз (х), ^ фзшз (х), аппроксимирующих

з=1 з=1

при N ^ ж> функции ^(х), ф(х) в нормах Ш^ф) и Ьхф) соответственно, получим задачу Коши. Так как в силу условий теоремы коэффициенты системы ограничены, а свободные члены fj(г) = (^(х,г),шз(х)) £ Ь1(0,Т), то задача Коши однозначно разрешима. Таким образом, последовательность приближенных решений построена.

Для того чтобы завершить доказательство существования решения поставленной задачи, нам потребуется априорная оценка, к выводу которой мы и перейдем.

Умножим (3.1) на ¿з(г), просуммируем по з от 1 до N и проинтегрируем по г от 0 до т:

/ / {uttuN + аих uxt + cuNuN) dxdt + (3-2)

Jo Jo

+ J (a(0,t)a(t) (uN(0,t)f - a(l,t)e(t) (uN(l,t)f) dt =

= / fu?dxdt.

oo

Интегрируя по частям, приходим к равенству:

i

1 ''(u? (х,т ))2 + a(x, t)(uN (x T w^dx , / lc.(xt),..N uN

1 I[(и1/^(х,т))Х + а(х,г)(^(х,т))х^х + ! J е(x,t)uNи^1 dxdt+

0 о о

Т Т

+ У а(0,г)а(г)и(0,г))Хаь - J а(1,г)в(г)(^(¿,г))Хаг =

оо

1 Т I

= (х, 0))Х + а(х, 0)(^(х, 0))Х^х + У J f(x,t)uN(3.3)

о о о

Учитывая условия теоремы, применяя неравенство Коши и неравенство

т

(uN (x,t))x < 2т j (uN (x,t))xdt + 2(uN (x, 0))x, o

которое легко выводится из представления

г

"" < + иИ (х'0)

получим:

о

Т I

! (иХ + и 2х) ¿х < С^ J[(uN (х ,г))Х + (иN (х ,г))2^,хЖ+ (3.4)

о о о

+СХ [ (и^ (х, 0))Х + (х, 0))Х) ¿х +[ [ f2dxdt. ./о Jо Jо

Заметим, что (■I

^ и(х, 0))2 + (^(х, 0))2) ¿х < (\\ф)\\2шг{оЛ + \\Ф(х)\\12{оЛ) Поэтому, применив неравенство Гронуолла, приходим к неравенству:

и (х,тщг{0) < Сз,

где Сз не зависит от N.

Возвращаясь к равенству (3.3), получаем:

Т

Jа(0,г)а(г)(^< С4,

о

!а(1,г)в(г)и(¿,г))Хаг < С5.

о

Полученные оценки означают, что

\\uN(х,г)\у < К. (3.5)

Благодаря полученной априорной оценке из последовательности {и1^} можно выделить подпоследовательность, за которой во избежание громоздкости мы сохраним то же обозначение, сходящуюся слабо в ШХ;ф) и равномерно по г £ [0, Т] в норме Ьх(0,1) к некоторому элементу и(х, г) £ Ш1ф). Осталось показать, что этот элемент и есть искомое решение. Для этого воспользуемся известной процедурой [2] и перейдем к пределу в тождестве

Т

{—uNпг + аПх + еи^-ц) ¿хсМ + (3.6)

Ю

о

Т т

+/ «О, (0, ,ы°, т а(1, одех «. т =

оо

1 Т ,1

J ^(х, 0)п(х, 0)dx + J J fwj¿,хЛг,

оо

N

где п(х,г) = аг(г)шг(х), яг(Т) = 0. В результате предельного перехода придем к

г=1

тождеству (1.4) для предельной функции и(х,г), но для функций ц(х,г). Однако

Т

N „

множество всех функций вида si(t)wi(x), Si(T) = 0, всюду плотно в W^(D)

i=i

[2, с. 215), поэтому тождество (1.4) выполняется для всех v(x,t) G W^D), а это и означает, что предельная функция u(x,t) является искомым обобщенным решением поставленной задачи.

Литература

[1] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004.

[2] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

Поступила в редакцию 9/IX/2011; в окончательном варианте — 11/XI/2011.

on a certain problem for a wave equation

© 2011 S.A. Beilin2

In this paper a hyperbolic equation with non-classical boundary conditions for a hyperbolic equation is studied. This problem can be viewed as the generalization of the problem about the oscillation of the string if it ends experience the resistance of medium. The unique solvability of the problem is proved. The prove of solvability is based on the received a priory estimates in Sobolev space.

Key words: wave equation, generalized solution, Galerkin procedure.

Paper received 9/IX/2011. Paper accepted 11/XI/2011.

2Beilin Sergey Alexandrovich (sbeilinauni-smr.ac.ru), the Dept. of Equations of Mathematical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.