CC BY
18УДК 517.946
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПО ВРЕМЕНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА*)
Г, А. Лукина
Введение
Для уравнений
«ш + ихх - х, Ь)и = /(х, г)
различные краевые задачи, локальные или нелокальные по времени, достаточно хорошо исследованы (см. [1-4]). Нелокальные задачи с заданием связи решения и его производных на линиях г = 0 и г = Т рассматривались в работах [5,6]. В работе [7] для подобных уравнений рассматривалась краевая задача с заданием граничного условия функционального (в частности, интегрального) вида и была установлена разрешимость исследуемой задачи при выполнении условия взаимной однозначности линейного оператора, построенного по граничному условию (в случае граничного условия интегрального вида этот оператор является оператором Фредгольма второго рода). В настоящей работе рассматриваются краевые задачи с заданием условий интегрального вида по времени; используемый метод будет близок к методу из [7,8].
*) Работа выполнена в рамках реализации фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. по мероприятию 1.3.1 и поддержана грантом ЯГУ для студентов и аспирантов на 2010 г.
© 2010 Лукина Г. А.
Заметим также следующее. Краевые задачи с интегральными и близкими к ним граничными условиями для различных классов уравнений с частными производными весьма активно исследуются в последнее время (см., например, монографии [9,10], работы [11-15]. В то же время работ, посвященных разрешимости краевых задач с граничными условиями интегрального вида для уравнений третьего и вообще нечетного порядка, практически нет; кроме цитированных выше работ [7,8] можно отметить лишь работы [16,17], в которых рассматривались краевые задачи в иных, нежели в настоящей работе, постановках.
Пусть Л — интервал (0,1) оси Ох, Я — прямоугольник П х (0, Т), 0 < Т < + <ж. Далее, пусть /(х,Ь), К\(х,Ь), К{х,Ь), К{х,Ь) —
заданные функции, определенные при х £ Л, £ £ [0, Т].
Краевая задача I. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в прямоугольнике Я решением уравнения
1. Постановка задач
иш + ихх - ^(х, Ь)и = /(х, ¿)
(1.1)
и такую, что для нее выполняются условия
т
т
(1.2)
о
и(о,г) = и(м) = о, о<г<т.
.
Краевая задача II. Найти функцию и(х,Ь), являющуюся в прямоугольнике Я решением уравнения (1.1) н такую, что для нее выпол-
няются условия
T T
«(^-/адми*,«* «.(..о, = /*,(*,<мх.()*.
T " (1.4)
О
а также условия (1.3).
Краевая задача III. Найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (1.1) н такую, что для нее выполняются условия
T т
ux, 0) = j K<x, ^ Ч * «,(x, 0) = / tHx, fl<*,
T
u'(^/вдмм*«*, x sn,
(1.5)
а также условия (1.3).
2. Разрешимость краевой задачи I
Обозначим для краткости
у0 = ^Дд 3);
норма в пространстве У) есть стандартная норма в анизотропном соболевском пространстве.
Проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть (_В$и)(ж) суть интегральные операторы, действие которых определяется равенствами
т
(Вги)(х) = J Кг(х,т)и(х,т) с1т, ¿ = 1,3, о
■ш(х,~Ь) есть функция
г) = и(х, г) — (1 — г2/Т2)(В\и)(х)
— (г — г2/т)(Б2и)(х) — г2Т(Баи)(х). (2.1)
Умножая (2.1) поочередно на ¿), г = 1,3, и интегрируя по £ в пределах от 0 до Т, получим систему относительно (Б1и)(х), (Б2и)(х), (Б3и)(х): т
1 — ^(1— г2/Т2)Кх(х,г) & Би){х) о
т
— У (г — г2/Т)Кг(х,г) ¿г(Б2и)(х) о
т
— !г2/Т2Кг(х,г) ¿г(Б3и)(х) = (Бгю)(х), о
т
— ! (1— г2/Т2Ж(х,г)&г(^и)(х) т
1 —У (г — г2/Т)К2(х,г)А (Б2и)(х) о
т
— У г2/Т2К2(х,г) ¿г(Б3и)(х) = {Б2-ю){х), о
т
— У (1— г2/Т2Ж(х,г)&г(^и)(х) о
т
— У (г — г2/Т)К3(х,г)&(Б2и)(х)
1 — У г2/Т2К3(х,г)
(Б3и)(х) = (Б3т)(х).
Обозначим через Д1 (ж) определитель этой системы. Если он не равен нулю при ж € О, то имеют место равенства
(В1и)(ж) = ап(ж)(В1ад)(ж) + а21(ж)(В2ад)(ж) + аз1(ж)(Взад)(ж),
(В2и)(ж) = Ъп(ж)(В1ад)(ж) + Ь21(ж)(Б2ш)(ж) +
(В3и)(ж) = еп^ХВ^Хж) + е21(ж)(В2ад)(ж) + е31(ж)(В3'ш)(ж),
где функции ал (ж), Ъд (ж), ел (ж) вычисляются вполне определенным образом: через ж, ¿), г = 1,3.
Из этих равенств и из (2.1) следует, что функция и(ж, г) имеет представление
и(ж, г) = ад(ж, г) + ^11 (ж,
+ А21(ж,г)(В2ад)(ж) + А31(ж,г)(В3ад)(ж). (2.2)
Определим операторы В и В:
(Ви)(ж,г) = и(ж,г) - (1 - г2/т2)(В1и)(ж)
- (г - г2/т)(В2и)(ж) - г2/т2(В3и)(ж),
Ьи = иш + ихх - ^(ж,г)и. Далее, определим функцию Ф(ж, г, и): т
Ф(ж,г,и)^[ (1- г2/т2Ж(ж,т) о
+ (г - г2/т)к2( ж, т) + г2/т2к3(ж, т)]иттт( ж,т)^т
т
-21 [(1-г2/т2)к Л ж, т)+(г-г2/т)к2 х( ж, т)+г2/т2к3 х( ж, т)К( ж, т) ¿г о
т
+ у [-1 - г2/т2жх^ж, т) - (г - г2/т)к2хх(ж, т) - г2/т2к3хх(ж, т)
о
+ (м(ж,г) - м(ж,т))(( 1 -г2/т2)К!(ж,т) + (г -г2/т)к2(ж,т)
+ ^/^К (ж, т))]и(ж, т) ¿т.
Преобразуя функцию Ф(х, Ь, и) с помощью (2.2), получим представление
т
Ф(х,Ь,и) = = J Мц(х,1,т)тттт(х,т)3тт
о
т т
+ J ^^{х,Ь,т)-юх{х, т) йт + J Ыъ\(х,Ь,т)'ш(х,т) йт
о о
+ ¿ц (х, + ¿21 (х, + (х, Ь)(Бз,ш)(х),
в котором Мц(х,Ь,т), йц(х,Ь), ^(х,Ь), ^(х,Ь)
суть функции, вычисляемые через функции Кг{х,Ь), г= 1,3, и /х(ж,£). Используя неравенство Гёльдера, нетрудно получить оценку
(} V (} ^
< МЦ \ и)2т(х,г) ¿Ь I + М21 I / и}2х{х,Ь)йЬ
+ М31 т2(х,г)(1^ , (2.3)
в которой постоянные Мц, М21, М31 определяются функциями ¡л(х,Ь), Кг{х,т), г = 1,3, и числом Т.
Теорема 1. Пусть выполняются условия:
е /х(ж,¿) > цо > о при(ж,г)е<Э;
- (2.4)
Нш{х,Ь) >0, Ихх(х,Ь) <0, ^г{х,Ь) <0, при (х,Ь) €
ц(х,Т)^0 при же О; (2.5)
ЗМ^Т < ЗТ(М|1 + М3\) < Мо; (2.6)
(2.7)
Д!(ж)^0 Уже О; (2.8)
1(х,Ь) € иМ). (2.9)
и х, Ь
страпству У0.
Доказательство. Пусть #(ж,г) — заданная функция из Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию ш(ж, г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения
ш« + »хх - Мж, г)ш = #(ж, г) + М1 (ж, г, ш) (2.1 Оа)
и такую, что для нее выполняются условия
»(ж, 0) = ш(ж, 0) = »ж, т) = 0, ж € О,
цо,г) = ш(1,г) = о, ге(о,т). ^2Л1')
Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения (2.1 0а) докажем с помощью теоремы о методе продолжения по параметру [18].
Обозначим через Л множество всех чисел Л го отрезка [0,1], для которых краевая задача (2.1 0а), (2.11) имеет решение ш(ж,г), принадлежащее пространству ^ при любой функции д(ж,г) из Если
мы покажем, что множество Л непусто, открыто и замкнуто, то оно,
,
Л.
условий теоремы 1 разрешима в пространстве V) (см. [3]). Из этого следует, что число 0 принадлежит Л и что множество Л непусто.
Открытость и замкнутость множества Л доказывается с помощью априорных оценок. Установим их наличие. Рассмотрим равенство т 1
//к« + шхх - М(ммк« + шхх)
о о
т 1
= У У(з(ж,г) + Л$1(ж,г, ш))(шш + шхх) ¿ж^г. о о
Интегрируя по частям и используя указанные выше граничные и начальные условия для функции ш(ж,г), нетрудно перейти к следующему равенству: т 1
//["?«+ «4 + Мж,г)шх] ^
О О
т 1
^ (ж, Т) (1х + — J ¡л{х, Т)ъи2 (ж, Т) (1х — — J ! (ж, ¿)и>2 ¿хсИ
о о
т 1 т 1
¡лш{х, ¿)и>2 (1х(Ы, — — / / ¡лхх{х, ^ъи2 (1х(Ы,
о о т 1
о о т 1
J ! д(ж,г)и>ш dжdг ^ J J ^(ж, г)шхх ¿ж^г
о о т 1
о о
т 1
у $1(ж,г,ш)шдаdжdг + Л J ! $1(ж,г,ш»ххdжdг. оо оо
Используя условия (2.4), (2.5) и оценивая слагаемые правой части с помощью неравенств Юнга, получаем
т 1
т 1
6
[ш2ш + -и)2хх + « < у / / Ыж <1х<й
0 о
о о
т 1
т 1
6
(ж, г) dжdг •
»хх dжdг
о о т 1
I I g'2(x,t)dxdt + +^■
о о т 1
Ш« dжdг
о о
т 1
1
6
Ф2(ж, г, ш) dжdг+
6
т 1
о о
1
т 1
(1хЛ-\- ■ „ 6
Ф2(ж, г, ш) dжdг,
0 0 0 0 0 0 в котором г = 1,4, — произвольные положительные числа. 66
т 1
- 6 - 6 -«Г 1
"ш
шхх +
dжdг
о о
т 1
^УУ ^?(ж, г, ш) dжdг • о о
т 1
1 1
+ 25|
У у ^^^¿г. (2.12)
о о
Подставляя (2.3) в (2.12), нетрудно перейти к следующему неравенству:
т 1 т 1 т 1
1- 1- ^/'/'9,, (' (' 9 , ,
—-— / / охскЬ Н--^^ / / охскЬ + / охскЬ
оо оо оо
т 1 т 1
^ 3М^Т J ! wttt + 3М^Т J J
оо оо
3М31Т У У «;2 сЬА + + У У 92(х^) ^хЛ. оо о о
Далее, используя условия (2.6) и подбирая числа ¿1, ¿2 малыми, нетрудно получить априорную оценку ||и1||у0 ^ М>. Как уже говорилось выше, этой оценки достаточно для применения теоремы о методе продолжения по параметру. Следовательно, при выполнении условий теоремы 1 краевая задача (2.1 Оа), (2.11) имеет решение т(х,г), принадлежащее пространству при всех значениях А, в том числе и при А = 1.
Определим теперь функцию и(х,г) с помощью (2.2). Далее, справедливо равенство БЬи = (Ьш)(х, г) — Ф1 (х,г, и) = д(х, г). Выберем функцию д(х,г) специальным образом: д(х,г) = (Б/)(х,г).
Очевидно, что функция и(х, г) есть решение краевой задачи I. Принадлежность и (х, г) пространству У) очевидна.
Теорема 1 доказана.
3. Разрешимость краевой задачи II
Вновь проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть Б^и — интегральные операторы, определенные в п. 2, ад(х,г) — функция
г2
и>(ж,£) = и{х,Ь) — {В\и){х) — ¿(В2м)(ж) ——(В3и)(х). (3.1)
Умножая (3.1) поочередно на ¿), г = 1,3, и интегрируя по £ в пределах от 0 до Т, получим систему относительно (Би)(х), (БЦ(х),
(В3и)(ж):
1 1 \- ! к(ж,г) & В и) (ж) ^у гк1(ж,г)&(В2и)(ж)
-К!(х,г) &(Б3и)(х) = Вт)(ж),
1 1 -1 к2(ж,г)&(в1и)(ж)+ 1 ^у гк2(ж,г)&
о
Т
{В2и)(а
- / — к2(ж,г) ¿г(в3и)(ж) = (в2и))(ж),
1 1 - ! к3(ж,г) зг{^и){ж) -1гк3(ж,г)&(в2и)(ж)
1 - / -к3(ж,г)л
(В3и)(ж) = (В3т)(ж).
ж
нулю при I £ О, то вновь можно выразить функции (В^,)(ж) через функции (¿»¿и>)(ж), г = 1,3. Вновь функция и{х, £) имеет представление
и{ж, г) = т(ж, г) + Ах2(ж, г)(Бт)(ж)
+ А22(ж,г)(В2т)(ж) + А32(ж,г)(В3т)(ж), (3.2)
где функции Ах2(ж), А22(ж), А32(ж) вычисляются вполне определенным образом: через Кг{ж,Ь), г = 1,3. Определим операторы В и Ь:
(Ви)(ж,г) = и(ж,г) - Ви)(ж) - г{В2и)(ж) - (г2/2)(В3и)(ж),
Ьи = иш + ихх - р(ж,г)и.
Далее, определим функцию Ф(х,г,и): т
,и
о
Ф(х,г,и) = J[К(х,^ + гК2{х,т) + (г2/2)К3(х,т)]иттт (х,т)3,т о
т
^ I[Кх(х, г)+гкх(х,т) + (?/2)К3х(х,т)]их(х, т)3,т
о
т
+ У [—К х,г) — гк хх{ х,г) — (г2/2) к хх( х,т) о
+ (^(х, г) — ^(х, т))(К\ (х, т) + гК2(х, т) + (г2/2)К3(х, т))\и(х, т) ¿т.
х, г, и .
ление
т
Ф(х, г, и) = Фг(х, г, ,ш) = J ^{х,г,г)-юттт(х,т)йт
о
т т
+ J ^2{х,г,т)-Юх{х, т) ¿Т + J Ыъ2{х,г,т)'ш(х,т) ¿т
о о
+ ¿12(х, г)(Б11л)(х) + ¿22{х, 1)(Б2-ш)(х) + ¿32(х, г)(Бз,ш)(х),
в котором к12{х,г,т), м22(х,г,г), м32(х,г,г), ¿12{х,г), ¿22(х,г), ¿32(х,г) суть функции, вычисляемые через функции К^х^Ь), г = 1,3, и ¡л(х, Используя неравенство Гёльдера, нетрудно получить оценку
(} У (} '
|Фг| < М12 I / х,г)<и I + М22 I / т2х(х,г)<и
+ М32 ^У ш2(х,г)<1г
в которой постоянные М12, М22, М32 определяются функциями ¡л(х,г), Кг(х7т), г = 1,3, и числом Т.
Теорема 2. Пусть выполняются условия:
А«0М) € С3(СЦ), ¡л{х, ¿) > (¿о > 0 при (х,Ь) € СЦ;
/хжж(ж,г)<0, /х4ОМ)<0 при (х,г) £ ц(х,Т) > 0, ¡ла(х,Т) > О, М^, Т)| < К0у/^и(х, Т), К0 < л/мо, ж € О; ЗМ22Т < 1 ЗТ (М|2 + М|2) < Мо;
Д2(ж)^0 Уже О; /х,г) е
Тогда краевая задача II имеет решение и(х,г), принадлежащее пространству У0.
Данная теорема доказывается полностью аналогично доказательству теоремы 1.
4. Разрешимость краевой задачи III
Вновь проведем некоторые вспомогательные построения. Пусть Б^и суть интегральные операторы, определенные в п. 2, т(х,г) есть функция
ю(х,г) = и(х,г) - (Б1и)(х) - (г - г2/2Т)(Б2и)(х) - г2/2Т(Б3и)(х). (4.1)
Умножая (4.1) поочередно на ж, ¿), г = 1,3, и интегрируя по £ в пределах от 0 до Т, получим систему относительно (Б1и)(х), (Б2и)(х), Б и х
т
1 ^ У К^х^А
о
т
-У г2/2ТКх(х,г) А(Бги)(х) = (Б1ад)(х), о
(Б1и)(х) - у(г - г2^Т)К(х,г) А(Б2и)(х)
Б и х
— У 1 — У (г — г2/2Т)К2(х,г) ¿г о I о
т
— У г2/2ТК2(х,г) ¿г(Б3и)(х) = {Б2-ю){х), о
т т
— К х, г ¿г Б и х — г — г / Т К х, г ¿г Б и х
о т
1 — у г2/2ТКъ(х, г) ¿г
(Б3и)(х) = (Б3чи)(х).
х
нулю при I £ О, то вновь можно выразить функции (В^,)(х) через функции (Вгг]и)(х), г = 1,3. Вновь и{х,Ь) имеет представление
и(х, г) = г) + ^1з(х, г)(Б^)(х)
+ А23(х,г)(Б2ю)(х) + А33(х,г)(Б3ю)(х), (4.2)
где функции А1з(х), А2з(х), Азз(х) вычисляются вполне определенным образом: через Кг{х,Ь), г = 1,3.
Б
Би х, г и х, г — Б и х — г — г / Т Б и х — г / Т Б и х .
х, г, и
т
Ф(х,г,и) = у [К(х,^(г—(х, т) ¿т о
т
— гуКх(х, ^(г — г2/2Т)К2х(х,т)+г2/2ТК3х(х,т)К(х, ^¿т о
т
+ У [—К хх( х, т) — (г — г2/2Т)К2 хх( х, т) — г2/2ТК3 хх( х, т) о
""Ь(^(х, г) х, т)Ж (х, т)+(г—г2/2Т)К2(х, т)+г2/2ТК3(х, т))]и(х, т) ¿т.
х, г, и .
ние
т
Ф(х, г, и) = Фз(х, г, л) = J ^^(х,г,т)лттт(х,т)3тт
о
т т
+ У ^2?,{х,г,т)лх(х, т)3,т + J М33(х,г,т)т(х,т) Ат
о о
+ й13(х, г)(Б1л)(х) + А23(х, г)(Б2т)(х) + ¿33(х, г)(Б3т)(х),
в котором N13(х,г,т), м23(х,г,т), м33(х,г,т), ¿13(х,г), з,23{х,ь), ¿33(х,г) суть функции, вычисляемые через функции Кг{х,Ь), г= 1,3, и /х(ж,£). Используя неравенство Гёльдера, нетрудно получить оценки
|Ф3| < М13 «^(х,*)^ +М23 ^ <Й)*
1
т
М33 | У т2(х,г)Л | , (4.3)
^зе| < м13 П х,г)Аг| +М^з М адХ(х,г)
Аг
+ И13 ^ л^^^з^ , (4.4)
в которых постоянные М13, М23, М33, М{3, М23, М33 определяются функциями /х(ж, ¿), Кг{х,т), г = 1,3, и числом Т.
Введем обозначения. Пусть А — фиксированное число такое, что А>Т;
/XI = тах |/хж(ж,£)|; /¿2 = тах |/х(ж, ¿)|; До = ^Мо — 2АТ2
а = + , ¿=1,3;
з = 6С< (1 + 14) + ^М?3Т, г = 173; Д» = 4(Сг + Сг+3), г = 1,3; До = тах(Й1, Д2 + Дз) • Определим пространства, которые понадобятся ниже. Именно пусть V — пространство
V = |^х, г) : «(х, г) £ V), «(х, 0) = х, 0) = х, Т) = 0, х £ О,
«(о,г) =«(1,г) = о, ге (о,Т)}.
Норму в V определим равенством
1
(т 1
//(<4 + «?«) ¿x¿г
о о
Далее, пусть е — фиксированное положительное число, V — пространство
V = : «(х,г) £ У0, е«ххш{х,Ь) £ }.
Норму в V определим равенством
1
т 1
1Мк2 =
\о о
Теорема 3. Пусть выполняются условия:
/х(ж,г) € С1 (Я), о > 0,
— (4-5) и(х,г) - (А-г) - 2АТ2ц\ > о при (ж,г) е <5;
До < 1; (4.6)
г =173; (4.7)
Дз(ж)^0 Уже О; (4.8)
1(х,г) £ Ь2(Я). (4.9)
и х, г
страпству V •
' т 1 \ //(<4 + «?« + ¿ыг
Доказательство. Пусть д(х,г) — заданная функция из Ь2^). Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию ш(х, г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения
шт + Лхх - р(х, г)ш = д(х, г) + Ф3 (х, г, ш) (4-10)
и такую, что для нее выполняются условия
ш(х, 0) = х, 0) = х, Т) = 0, х е О,
(4.11)
ш(о,г) = ш(1,г) = о, г е(о,Т).
Разрешимость рассматриваемой краевой задачи для уравнения
.
Рассмотрим краевую задачу с параметром е: найти функцию ш(х, г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения
-£Шххш + Шш + Шхх - р(х,г)ш = д(х,г) + Ф3(х,г, ш) (4.1 ое)
.
Покажем, используя метод неподвижной точки, что при выполнении всех условий теоремы и при фиксированном положительном е
У
Пусть у(х,г) — заданная функция из пространства У. Рассмотрим краевую задачу: найти функцию ш(х,г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения
-ешххш + шш+ Шхх - н(х, г)ш = д(х, г) + Ф3 (х, г, V)
.
^х,г) е У выполняется включение Ф3(х, г^) е Ь2(П), данная крае-
У
задача порождает оператор О, переводящий пространство У в себя: О^) = ш. Покажем, что при выполнении всех условий теоремы 3 опе-ОУ Пусть ш (х, г), ш2 (х, г) суть образы при действии оператора О функций щ(х,г), щ(х, г) соответственно. Положим ш(х, г) = ш±(х,г)-ш2(х,г), ^х,г) = щ(х,г) - щ(х,г^ Для функции ш{х,г) выполняется уравнение
-ешххтЛ шт + шхх - р(х,г)ш = Ф3(х,г, V)
и граничные условия (4.11). Рассмотрим равенство т 1
о о
т 1
J J Ф3(х,г, ^(А — г^ххь ¿хА.
о о
Интегрируя по частям и используя указанные выше граничные и начальные условия для функции ш{х, г), нетрудно перейти к следующему равенству:
т 1
е(А - г)т2ххН + (А- ¿)«;2И +
2
I
хх
О О
- - (А -
¿хсМ
1 1
о о
т 1 т 1
= —J !(А — г)рх(х,г)шш^ ¿x¿t — J J х,г,у)(А — г)шхх ¿x¿t
0 0 0 0 т 1 1
+ УУ Ф3(х,г,у)шхх ¿^¿г + (А — Т) J Ф3(х,Т, ю)шхх(х, ^¿х. оо о
Далее, используя условие (4.5), неравенство Юнга, а также неравенства
т 1 т 1
(А — г)т2х( ¿x¿г ^4Т2 (А — г)шхн ¿хЛг,
о о т 1
о о
т 1 т 1
(4.12)
ш ¿хА ^ I I и>х ¿,х(Л ^
и>хх (1х(Л,
о о
о о
о о
получаем, что из данного равенства вытекает неравенство
т 1
/ / ЫА - г)«4« + (А - гшх» + + ф^х] АхА
О О
т 1 т 1
^ 2Т2б1 I I\а — ~()'ш2лы ¿хсИ + ^^ I I и>2 ¿хсМ
оо 1 о о
т 1 т 1
+ / / / /
0 0 о о
т 1 т 1
+У J ги2х скс& +! J Фз (кс&
оо 3 о о
1 1 J «4,(ж,Т)с£е+ J ъ)<1х,
о 4 о
в котором г = 1,4, — произвольные положительные числа. Фиксируя числа 6г, г = 1~4; ¿1 = 62 = с53 = 1/2, 64 = получаем
т 1
о о
т 1
л2 ж2
АхАг ^2А" / х,г^)АхА
о о
т 1
2 Щ(х,г^)АхЛ
А
АТ
Ф§(х, Т, V) Ах.
о о
Продолжим полученное неравенство с помощью (4.3) и (4.4): т 1
е{А- г)т2ххН + - (А - ¿)«;2И + -и?хх + ^0ю2х йхА о о
т 1 т 1 т 1
^ С J ! ¿xdt + С J ! «х ¿x¿t + С J J V2 ¿хйЬ. (4.13) оо оо оо
На следующем шаге рассмотрим равенство т 1
Ц(—еШххш + «*« + шхх — ¿ыг
о о
т 1
J !Фз(х,г,«)шш ¿хйЬ.
о о
Интегрируя по частям и используя указанные выше граничные и начальные условия для функции ш{х, г) и неравенство Юнга, нетрудно перейти к следующему неравенству:
т 1
т 1
еш
о о
хш^ шт
т 1
1 ¡' [ 9 , „ ¿\ ™хх г1хЖ + "ТГ
232
о о
о о
т 1 т 1
2
™т (1хЛ + -ф 0 0 5 о о
ш ¿xdt
т 1
т 1
~2~ У У У У ^зОМ,^)«^,
0 0 5 о о
в котором ¿5 есть произвольное положительное число. Фиксируя ¿5 = и используя (4.12), получаем
т 1
¿хсМ
о о
т 1
т 1
(1 +J ! w2x dxdt + — J ! Ф§(ж, г;) с1х&.
о о
о о
—ш
Продолжая полученное неравенство с помощью (4.3) и (4.13), имеем т 1 _
1
ешх
о о
т 1
¿,х(Л
т 1 т 1
.2 ,^11 «х , 1 ^ -2
^ С^ J '«ш ¿^¿г + С ! J Vх ¿хсМ + С§ ! J V ¿хсМ. (4.14) оо оо оо
Далее, рассмотрим равенство т 1
— е! I(—ешххш + шШ + шхх — ^ гШшххш ¿Х* о о
т 1
= —еЦых,^)шххш ¿хг
о о
Интегрируя по частям и используя неравенство Юнга, получаем сле-
дующее неравенство: т 1
[ешхх г 4 4 + еШх г г г ] ¿^ <
2 х2
т 1
шхх г г г ¿-^
о о
о о
1
2б|
т 1
шхх ¿,х(Л ■
2 х2 е ¿6
О О
т 1 т 1
и)ххш Ас Л +
хх ¿
0 0 0 0
' ¿x¿t
т 1
т 1
0 0 6 о о
в котором ¿6 — произвольное положительное число. Фиксируя 6$ = -щ и используя (4.12), (4.3), (4.13), нетрудно показать, что имеет место
неравенство
т 1 _ _
о о
2 2 , 2
е шххггг + ешх г гг
т 1
¿хсМ
т 1
т 1
^ С / / '^¿хА + С^ I / «х ¿x¿t + C6 / V2 ¿хЖ. (4.15)
о о
о о
о о
Неравенства (4.13)—(4.15) дают очевидное неравенство т 1
о о
т 1 т 1 т 1
^ К J J <1х<И + Д2 J ! dxdt + Дз J ! V2 dxdt. оо оо оо
Используя (4.12), получаем т 1
+ «& + «4] dxdt
о о
т
< Ко//[^« + ^ + <4] dxdt•
о о
Отсюда следует, что выполняется априорная оценка
|Мк = У%И\у2. (4.16)
Из теоремы о сжимающих операторах вытекает, что оператор О имеет неподвижную точку — функцию Ь) такую, что выполняется О(ад) = ш. Следовательно, при выполнении всех условий теоремы 3 краевая задача (4.10е), (4.11) имеет решение w(x,t), принадлежащее
V- Для этого решения сохранится априорная оценка (4.16).
Из оценки (4.16) следует, что у семейства |ше(x,t)} решений задачи (4.10е), (4.11) имеется подпоследовательность {wen(x,t)} такая, что при п ^ то имеют место сходимости: е„ ^0, ш£п(x,t) ^ w(x,t) слабо в пространстве ш£пш(x,t) ^ шш(x,t) слабо в простран-
стве £пшЕп^ 0 слабо в пространстве при этом
предельная функция ^ прин^^^ит пространству V- Очевидно, что функция w(x,t) будет решением краевой задачи (4.10), (4.11).
Определим теперь функцию и^^) с помощью (4.2). Справедливо равенство БЬи = (Lw)(x,t) — Фз ^^^и) = д^^). Выберем функцию д^,специальным образом: д^^) = (Б/)^,^).
Очевидно, что функция u(x,t) есть решение краевой задачи III. Принадлежность u(x, t) пространству V очевидна. Теорема 3 доказана.
Замечание 1. Условия малости чисел ЗМ^Т, + М31),
ЗМ22Т, 3T(Mf2 + М$2) и До теорем 1-3 выполняются, если функции Ki(x,t), г = 1,3, малы по модулю.
Замечание 2. Полностью аналогично можно установить существование регулярных решений краевых задач для уравнения
(-1)Dtm+1 u + uxx - p(x,t)u = f(x,t)
(то ^ 1 целое, Dt = Jj) с интегральными условиями краевых задач I, II или III.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дубинский Ю. А. Квазилинейные эллиптико-параболпческие уравнения // Мат. сб. 1968. Т. 77, № 3. С. 470-496.
2. Дубинский Ю. А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 1. С. 32-34^
3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.
4. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2007. № 2. С. 18-26.
5. Львов А. П. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 2. С. 91-95.
6. Львов А. П. О гладкости решения нелокальных краевых задач для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11. Вып. 2. С. 51-56.
7. Абдралманов А. М., Кожанов А. И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Изв. вузов. Математика. 2007. № 5. С. 3-12.
8. Абдрахманов А. М. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнения нечетного порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 88, вып. 2. С. 163-172.
9. Skubacbevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. Basel: Birkhauser, 1997. (Operator Theory. Adv. Appl.; V. 91).
10. Нахушев A. M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.
11. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1964. Т. 4, № 6."с. 1006-1024.
12. Пулькина Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. С. 231-239.
13. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. о разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 9. С. 1166-1179.
14. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2007. С. 232-236.
15. Кожанов А. П., Пулькина Л. С. о разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Мат. журн. (Алматы). 2009. Т 9, № 2. С. 78-92.
16. Bouziani A. Strong solution for a mixed problem with nonlocal condition for certain pluriparabolic equation // Hiroshima Math. J. 1997. V. 27, N 3.
17. Bouziani A., Benouar N-E. Mixed problem with integral conditions for a third order parabolic equation // Kobe J. Math. 1998. V. 15, N 1. P. 47-58.
18. Треногин В. А. Функциональный анализ. m.: Наука, 1980.
19. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.
г. Мирный
3 декабря 2010 г.
