Об одной спектральной задаче Э. Шмидта со смещениями в граничных условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

14 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2006. №9(49).

УДК 517.940

ОБ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ Э. ШМИДТА СО СМЕЩЕНИЯМИ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

© 2006 Б.В. Логинов,1 О.В. Макеева2

С целью иллюстрации спектральной задачи Э. Шмидта рассмотрена задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений со смещениями в граничных условиях. Определены собственные числа и собственные функции прямой и сопряженной задач.

Введение

В классе функций и, V е С2([0; х0) и (х0; 1]) П С1[0; 1], 0 < х0 < 1, рассматривается задача на собственные значения для системы дифференциальных уравнений

и" + XV = 0, V" + Хи = 0 (1)

со смещениями в граничных условиях

и(0) = 0, и(х0) = и(1), v(1) = 0, v(x0) = v(0). (2)

Система (1), (2) представляет собой пример спектральной задачи Э. Шмидта [1], записываемой в абстрактном функциональном пространстве в виде Аи = XV, А‘V = = Хи. Спектр Шмидта позволяет распространить теорию Гильберта-Шмидта для вполне непрерывных симметричных операторов в гильбертовом пространстве на несимметричные [2, 3], а также записать спектральное разложение несамосопряженного оператора [4]. Не ограничивая общности, собственные числа Шмидта можно считать вещественными. Достаточно разыскать положительные значения X и соответствующие им собственные функции и(х), v(x), т. к. отрицательным собственным значениям соответствуют собственные функции и(х), ^(х).

Сопряженная по Лагранжу задача в пространстве С2 ([0; х0) и (х0;1]) П С[0; 1],

0 < х0 < 1, строится стандартными методами [5] и имеет вид (1) с граничными

условиями

и(0) = 0, и(1) = 0, и(х0 + 0) = и(х0 - 0), и'(х0 + 0) - и'(х0 - 0) = и'(1),

v(0) = 0, v(1) = 0, v(x0 + 0) = v(x0 - 0), ( )

v/(xo + 0) - v/(xo - 0) = ^'(0).

В работе определены собственные числа и собственные функции прямой и сопряженной задач.

1 Логинов Борис Владимирович ([email protected]), кафедра высшей математики Ульяновского государственного технического университета, 432027, Россия, г.Ульяновск, ул.Северный Венец, 32.

2Макеева Ольга Викторовна ([email protected]), Димитровградский технический колледж, 433513, Россия, г.Димитровград, пр.Автостроителей, 63.

1. Прямая задача

Полагая X = fi2 > 0, получаем общее решение системы (1), (2) в виде

u(x) = C1 sin + C2 cos fix + C3efix + C4e-fix, ^ )

v(x) = C1 sin fix + C2 cos fix - C3efix - C4e-fix. ( )

Граничные условия (2) дают для определения произвольных постоянных однородную линейную систему алгебраических уравнений с определителем

А = -4{(shfi - shfix0)[sin fi - sin fi(1 - x0)]+ , .

+(sin fi - sin fix0)[shfi - sh fi(1 - x0)]}. ( )

Здесь и далее номера строк определителя и граничных условий совпадают. Уравнение А = 0 определяет при каждом 0 < x0 < 1 собственные значения Шмидта X = X(x0) задачи (1), (2). Результаты вычислительного эксперимента по определению алгебраической кратности собственного значения X, выполненного для системы А = 0, Afi = 0, показывают, что она равна 1, т. е. присоединенные (жордановы) элементы отсутствуют. Однако универсального определителя третьего порядка, отличного от нуля при всех корнях X(x0), не существует. Можно лишь подобрать два минора dk третьего порядка, которые при всех собственных значениях X(x0) одновременно не обращаются в нуль. Такими минорами являются, например, d22 = = 2 {sh fi sin fix0 - sh fix0 sin fi, d42 = 2 {sh fi(sin fi - sin fix0) + sin fi(sh fi - sh fix0)}.

Лемма 2.1. Пусть A = 0, тогда

1° sin fi = sin fix0 = 0 ^ d22 = 0, d42 = 0;

2° sin fi = sin fix0 Ф 0 ^ cos fi - cos fix0 + 1 = 0 ^ d22 Ф 0, d42 Ф 0;

3° sin fi Ф sin fix0, sin fi Ф 0, sin fix0 Ф 0 ^

^ (d22 Ф 0, d42 = 0) U (d22 = 0, d42 Ф 0).

Доказательство. 1° Пусть sin fi = sin fix0 = 0, тогда равенства A = 0, d22 = 0, d42 = 0 очевидны.

Пусть наоборот, A = 0, d22 = 0, d42 = 0, тогда соответственно

sin fi - sin fix0 sin fi - sin fi(1 - x0)

sh fi - sh fix0 sh fi - sh fi(1 - x0)

sin fi sin fix0 sin fi - sin fix0 sin fi - sin fi(1 - x0)

sh[i sh[ixo sh[i-sh[ixo sh[i - sh|i(l - xq) ’ sin fi sin fi - sin fix0 sin fi - sin fi(1 - x0)

sh[i sh[i - sh[ixo sh [i - sh[i(l - xq)

и, следовательно, sin fi = sin fix0 = 0.

2° Пусть sin fi = sin fix0 Ф 0, тогда

A = -4 sin fi(sh fi - sh fix0)[1 - cos fix0 + cos fi] = 0

и

d22 = 4 sin fi(sh fi - sh fix0) Ф 0, d42 = 4 sin fi(sh fi - sh fix0) Ф 0.

Пусть, наоборот, d22 Ф 0, d42 Ф 0, тогда при A = 0 равенство sin fi = sin fix0 = 0

невозможно, согласно утверждению 1°. Если sin fi = 0, sin fix0 Ф 0, то

A = -4{[sh fi - sh fix0] sin fix0cos fi - [sh fi - sh fi(1 - x0)] sin fix0}.

При cos fi = 1 ,

A = -8 shfix0[shfi(1 - x0) - shfix0] Ф 0,

при cos fi = - 1 ,

A = 4{(sh fi - sh fix0)sin fix0 + sh fi - sh fi(1 - x0)} Ф 0.

Если sin fi Ф 0, sin fix0 = 0, то

A = -4{[sh fi - sh fix0](sin fi - sin fi cos fix0) + [sh fi - sh fi(1 - x0)] sin fi}.

При cos fix0 = 1,

A = -4 sin fi[sh fix0 - sh fi(1 - x0)] Ф 0,

при cos fix0 = -1,

A = -4 sin fi{2[sh fi - sh fix0] + [sh fi - sh fi(1 - x0)]} Ф 0.

Если sin fi Ф sin fix0, sin fi Ф 0, sin fix0 Ф 0, то уравнение A = 0 имеет решения, при которых d22 = 0(d42 = 0) в противоречие предположению. Значит, sin fi = sin fix0 Ф 0 и утверждение 2° доказано.

Утверждение 3°, очевидно, следует из вышеизложенного.

Перейдем к нахождению собственных функций.

1° d22 = 0, d42 = 0. Существует ненулевой минор третьего порядка, например, d21 = 2{sh fi(1 - x0) + sh fi(cos fix0 - 2) - sh fix0 cos fi} Ф 0. Однако собственные функции отсутствуют, т.к. u(x) = v(x) = C sin fix не удовлетворяют граничным условиям.

2° d22 Ф 0, d42 Ф 0. Собственные функции имеют вид

u(x) = d-1 (-d21 sin fix + d22 cos fix - d23efix + d24e-fix), , ,

v(x) = d-1 (-d21 sin fix + d22 cos fix + d23efix - d24e-fix) , ( )

где

d21 = 2{sh fi(1 - x0) + sh fi(cos fix0 - 2) - sh fix0 cos fi}, d23 = e-fix0 sin fi - e-fi sin fix0 - 2 sin fi + sin fi(1 - x0), d24 = efix0 sin fi - efi sin fix0 - 2 sin fi + sin fi(1 - x0) или ( )

u(x) = d- (-d41 sin fix + d42 cos fix - d43efix + d44e-fix), , .

v(x) = d- (-d41 sin fix + d42 cos fix + d43efix - d44e-fix) , ( )

где

d41 = 2{sh fi(1 - x0) + sh fi(2 cos fi - cos fix0) - sh fix0 cos fi}, d43 = - sin fi(1 - x0) + sin fi (e-fix0 - 2e-fi) + sin fix0e-fi, d44 = - sin fi(1 - x0) + sin fi (efix0 - 2efi) + sin fix0efi

Очевидно, что формулы (3) и (4) для собственных функций совпадают, так как при cos fi - cos fix0 + 1 = 0 соответственно равны определители d2i = d4i, i = 1,4.

3° a) d22 Ф 0, d42 = 0. Собственные функции имеют вид (3);

b) d22 = 0, d42 Ф 0. Собственные функции имеют вид (4).

Отметим еще раз, что в приведенных выше формулах величины fi и x0 связаны соотношением A = 0, тем самым доказана

Лемма 2.2. Число X = fi2 является собственным значением задачи (1), (2) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет соотношениям A = 0, sin fi Ф 0, sin fix0 Ф 0.

2. Сопряженная задача

Общее решение сопряженной задачи на участках [0; x0] и [x0;1] имеет тот же вид (1). Граничные условия (3) вместе с условием непрерывности в точке x0 соответственно указанным промежуткам определяют однородную систему уравнений

относительно 8 переменных Dk и D'k, к = 1,4 с определителем A*, который с точностью до множителя 2efi/ sin fi, sin fi Ф 0, sin fix0 Ф 0 совпадает с определителем A. Согласно возникающим связям D2 = 0, D4 = -D3, D[ = - ctg fiD2 D'4 = -e2fiD'3, эта система эквивалентна системе 4-го порядка относительно -D1, 2D3, D1/ sin fi, 2efiD3, которая получается из исходной удалением 1, 2, 5, 6 строк. В преобразованной системе минор d23 = 2 sin fix0[sh fi(1 - x0) - sh fi] Ф 0 и можно найти собственные функции.

2° sin fi = sin fix0 Ф 0,

Г Л _ Г Л 1 f ~d*T\ sin [IX, 0 < x < x0, u(x) = v(x) = I ^ sin Ц(1 _ х)г X0<:X<: I

где d21 = -2 sin fi(1 - x0)[sh fi(1 - x0) - sh fi].

3° sin fi Ф sin fix0, sin fi Ф 0, sin fix0 Ф 0

^ ^ _ 1 j -d*2l sin цих - d22 sh №x, 0 ^ x ^ Xo,

d*3 sin fi [ d*3 sin fi(1 - x) + d*4 sh fi(1 - x), x0 < x < 1,

1 J ~d*u sin fix + d22 sh fix, 0 < x < x„,

d*23 sin [i ( d*23 sin [i(l - x) - d*2A sh[i(l - x), x0 < x < 1, где d22 = -2shfi(1 - x0)[sin fi(1 - x0) - sin fi], d24 = 2shfix0[sin fi(1 - x0) - sin fi].

3. Симметричный частный случай

Когда точка смещения равноудалена от концов отрезка , т. е. хо = А = — —8 sin(ц/2)[shц - sh(ц/2)][2cos(ц/2) - 1] и ц = 2пп или ц = +2л/3 + 4п5, п, 5 € Ж, ц > 0. При [1 = 2л:п собственные функции отсутствуют. При [1 = +2л:/3 + 4л:5 имеем случай 2° леммы (2.1) втц = втцхо = ± Уз/2 ф 0. Здесь и(х) = +2 зт([1х + л/6) + 2 А /2) вЫ^х - [1/2)

_ . , s (ц/ ) , , — собственные функции прямой за-

у(х) = +2 втСцх + л/6) - 2!,ь(^/2) в^цх - [1/2) ^ ^

дачи;

задачи.

. .... sin fix, 0 < x < 1/2 ,

u(x) = v(x) = ^ ■ n n ^ с' л — собственные функции сопряженной

sin fi(1 x), 1/2 x 1

Заключение

В пространстве С2 ([0; х0) и (х0; 1]) П С1[0; 1], 0 < х0 < 1, определены собственные числа и собственные функции спектральной задачи Э. Шмидта со смещениями (1.1), (1.2) и сопряженной к ней (1.1), (1.3). Доказано, что присоединенные функции отсутствуют. В дальнейшем авторы предполагают рассмотреть и другие задачи на спектр Шмидта, а также использовать полученные результаты для уточнения приближенно заданных собственных чисел и собственных элементов Шмидта методом ложных возмущений [2, 3].

Литература

[1] Schmidt, E. Zur Theorie linearen und nicht linearen Integralgleihungen, Teilen 1-3 / E. Schmidt // Mathematische Annalen. - V. 63-65. - P. 1905-1908.

[2] Гурса, Э. Курс математического анализа. Т. 3. Ч. 2. / Э.Гурса. - М.: ОНТИ, 1934.

[3] Могилевский, Ш.И. О представлении вполне непрерывных операторов в абстрактном гильбертовом сепарабельном пространстве / Ш.И. Могилевский // Изв. вузов. Матем. - 1958. - №3(4). - С. 183-186.

[4] Логинов, Б.В. О собственных числах и векторах возмущенного оператора / Б.В. Логинов, В.Е. Поспеев // Изв. АН УзССР. Физ.-мат. науки. - 1967. -№6. - С. 29-35.

[5] Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. -М.: Наука, 1975.

[6] Loginov, B.V. Pseudoperturbation Method in Some Aspects of Eigenvalue Problem / B.V. Loginov, O.V. Makeeva // Труды Средне-Волжского мат. об-ва. -2006. - V. 8. - №1. - P. 83-90.

[7] Loginov, B.V. Pseudoperturbation Method for the Computation of Discrete E. Schmidt Spectrum / B.V. Loginov, O.V. Makeeva // Int. Conference ”Tikhonov and Contemporary Mathematics”, Moscow, MGU. RAN, 19-25.06.06. Abstracs of session ’’Functional Analysis and Differential Equations”. - M., 2006 - P. 166-167

Поступила в редакцию 11/IX/2006;

в окончательном варианте — 11/IX/2006.

THE SCHMIDT SPECTRAL PROBLEM WITH DISPLACEMENTS IN THE BOUNDARY CONDITIONS

© 2006 B.V. Loginov3 O.V. Makeeva4

In the paper the eigenvalue problem for the system of differential equations with displacements in the boundary conditions is considered to illustrate the E. Schmidt spectral problem. Eigenvalues and eigenfunctions for the direct and adjoint problems are determined.

Paper received 11/IX/2006. Paper accepted 11/IX/2006.

3Loginov Boris Vladimirovich (loginovaulstu.ru), Dept. of Higher Mathematics, Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, 432027, Russia.

4Makeeva Olga Viktorovna (omakeevaahotbox.ru), Dimitrovgrad Technical College, Dimitrovgrad, 433513, Russia.