CC BY
45
А.А. Дыбрин
гл. специалист, производственное управление по объектам строительства ООО «Газпром инвест Восток»
Н.В. Кириян
магистрант,
ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова»,
г. Ижевск
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УЧАСТКОВ ГАЗОПРОВОДА С ФЛАНЦЕВЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
Аннотация. Исследованы поперечные колебания однопролетного трубопровода с фланцевым соединением с различными величинами поперечной и изгибной жесткости при шарнирном закреплении трубопровода на опорах. Проведены численные расчеты в широком диапазоне параметров динамической системы. Полученные результаты позволяют определить резонансные зоны и динамическую нагруженность фланцевых соединений.
Ключевые слова: фланцевое соединение, динамика трубопровода, колебания трубопровода.
A.A. Dybrin, Gazprom invest Vostok
N.V. Kiriyan, Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk
TRANSVERSE OSCILLATIONS OF GAS PIPELINES WITH FLANGE CONNECTION
Abstract. Investigated the transverse oscillations of a single pipe with flange connection with different values of transverse and Flexural rigidity when the hinge pin pipe supports. The numerical calculations in a wide range of parameters of the dynamic system. The obtained results allow to determine the resonance zone and the dynamic loading of flange connections.
Keywords: flange connection, the dynamics of the pipeline, pipeline vibrations.
Рассмотрим динамическую модель для поперечных колебаний трубопровода с фланцевым соединением (рис. 1).
Л*
А
L
^777777
Рисунок 1 - Динамическая модель однопролетного трубопровода с фланцевым соединением при шарнирном закреплении трубопровода на опорах
Уравнение свободных поперечных колебаний участков 1 и 2 трубопровода без учета поглощения энергии имеют вид [1]:
EI
Э4Yj _ Э2Yj
. -- + о F--
j - Эх 4 - dt2
= 0; - = 1,2,
(1)
где Е, - модуль упругости материала } -ого участка трубопровода; I, - момент инерции поперечного сечения } -ого участка трубопровода; р, - плотность материала трубопровода; Р: -
площадь поперечного сечения.
L
D» 0
С
x
x
Граничные условия на концах участков 1 и 2 трубопровода для шарнирного закрепления на опорах (рис. 1) имеют вид:
^ Э2 У, 1
' = 0, (2)
(У*о = 0;
Л
, Эх2 .
V * Ух, =0
ЭУ
Эх3
V * У
Эх 2
V 'У
= М,
' Э^у Л , Я2 у
V Ух, =!
+ С
( У' )х, =1 , "( * Ь, +
(3)
= _Со
Эу1
. Эх, .
г э*. ^
Эх ,.+1
V '+1 ух,+1=,*+1
где с1, с2 - поперечная и изгибная жесткость фланцевого соединения; М ] - сосредоточенная масса фланцевого соединения, приведенная к * -му участку трубопровода; * = 1,2.
При этом в двухзначных индексах (3) знак плюс берется при * = 1; знак минус - при
' = 2.
Решение уравнений (1) ищем в следующем виде:
У! (V) = X (х,)Н* ((); ' = 1,2. (4)
В подавляющем большинстве участки трубопровода 1 и 2, соединяемые при помощи фланцевого соединения, изготавливаются из одинакового сортамента трубы, т.е. Е1 = Е2 = Е; 11 = /2 = I; р = Р2 = Р ; р1 = р2 = р ; М1 = М2 = М .
В соответствии с выражениями (1) и (4) для данного случая уравнения движения трубопровода с фланцевым соединением можно представить в следующем виде:
4] (()
11 сН2
,/4 \х4
+ Р2Н* ^) = 0;
с4 X (х ') , ,
-к4 X , (х , ) = 0; * = 1,2,
Сх4 ^
где Р - частота собственных колебаний; к - частотный параметр
к = 4 Р2 р.
(5)
(6)
Решения уравнений четвертого порядка системы (5), определяющих формы колебаний соответственно первого и второго участков трубопровода, при помощи функций А.Н. Крылова можно записать таким образом:
X j (х j) = (кх,) + * (кх,) + Л^и (кх,) + (кх,); * = 1,2, (7) где Д(,) - произвольные постоянные, / = 1,2,3,4 ; 5,7,иу - функции А.Н. Крылова [2].
Из четырех граничных условий (2) с учетом (7) следует, что л{у) = Д' = 0 ; * = 1,2.
Последние четыре граничных условия (3) с учетом (7), а также вытекающих из первых двух уравнений системы (5) соотношений
Э4У, (х* <)
= -Р2X* (х*)Н ] ^); * = 1,2,
Э12 г
после несложных преобразований запишем в следующем виде:
(8)
х =,
+
А*1' [Е1кЗи(к/1) + (Мр2 -с1 )Т(к11)]Н1 ^) + +А^ [Е1к(к11) + (Мр2 - с ) V (к11)] Н1 ^) + +42)с,Т(к/2)Н2 Ц) + А42)су (к/2)Н2 Ц) = 0; А21) \_EIk V (к/1) + с2кв (к/1)] Н1 ^) + АЦ \_EIk 2Т (к/1) + с2ки (к/1)] х хН1 ^) + А22)с2кБ (к/2) Н2 ^) + А[2)с2ки (к/2) Н2 ^) = 0; А21)с1Т (к/1) Н1 ^) + а41)с1 V (к/1) Н1 ^) +
+А<2) [Е1кЗи(к/2) + (Мр2 -с1 )Т(к/2)]Н2 (()+ (9)
+А«2) [Е/к3Б (к/2) + (Мр2 - с1) х V (к/2)] Н2 ^) = 0;
А^с2кБ (к/1) Н1 ^) + А^с^и (к/1) Н1 ^) + +А22) [с2кЗ (к/2) + Е/к "V (к/2)] Н2 ^) + +А«2) [с2ки (к/2) + Е/к 2Т (к/2)] Н2 ^ ) = 0.
Произвольные постоянные А1, А^ , А^2), а42) системы однородных уравнений (9) имеют значения, отличные от нулевых, только в том случае, если удовлетворяется условие:
Условие (10) представляет собой частное уравнение относительно параметра к для свободных поперечных колебаний трубопровода с фланцевым соединением при шарнирном закреплении на опорах.
Элементы ¿тт (к); т, п = 1,2,3,4, являющиеся функциями частного параметра к , вычисляются согласно выражениям (9) по формулам:
О (к ) = 0,
где О (к) - определитель четвертого порядка.
(10)
О (к)
^ (к) Н1 ^) ^2 (к) Н1 ^) ^3 (к ) Н2 (() ^4 (к) Н ^)
¿21 (к) Н V) ¿22 (к) Н V) d23 (к) Н2 Ц) d24 (к) Н V)
dз1 (к) Н1 ^) ¿32 (к) Н ^) ¿зз (к) Н2 ^) ¿34 (к) Н ^)
¿41 (к) Н V) ¿42 (к) Н V) ¿43 (к) Н2 Ц) ¿44 (к) Н V)
(11)
¿13 (к) = сТ (к/2); ¿14 (к) = су (к/2);
¿21 (к ) = Е/к2 V (к/1) + с2кв (к/1);
¿22 (к) = Е/к 2Т (к/1) + с2ки (к/1); ¿23 (к ) = с2кв (к/2); ¿24 (к) = с2ки(к/2); ¿31 (к) = сТ(к^); ¿32 (к) = су (Ц);
D * (k) =
H * (f) =
d41 (к) = c2kS (k/1); d42 (k) = c2kU (k/1);
d43 (k) = c2kS (k/2) + Elk V (k/2); d44 (k) = c2kU(k/2) + Elk2T (k/2). Определитель D (k) может быть представлен как произведение двух определителей: D(k) = D * (k)H * (f), где D * (k) - определитель четвертого порядка вида
dii (k) di2 (k) di3 (k) di4 (k)
d2i (k) d22 (k) d23 (k) d24 (k) ;
d3i (k) d32 (k) d33 (k) d34 (k) ;
d4i (k) d42 (k) d43 (k) d44 (k)
H * (f) - диагональный определитель:
Hi (f) 0
Hi (f)
H2 (f )
0 H2 (f)
Так как определитель H * (f) не может быть равен нулю в любой момент времени, частотное уравнение принимает вид
D * (k) = 0. (i2)
Таким образом, общее решение уравнений движения (i) можно представить как сумму частных решений, имеющих вид (4) и соответствующих бесконечной совокупности собственных частот pn, определенных в результате решения уравнения (i2):
yJ (Xj,f) = £Xjn (Xj,pn)Hjn (f,p); j = i,2, n = i,2,3..., (i3)
n=i
где собственные формы колебаний согласно (7) описываются следующим образом:
Xjn (Xj,Pn) = A^T(knXJ) + A4nV(knXJ); J = i,2, (i4)
где A,nj), i = 2,4 - производные постоянные n -ой собственной формы.
Из системы однородных уравнений (9) можно получить следующие соотношения:
A(i) = D1n (kn) .(1); a(2) = D2n (kn) .,1); a(2) = D3n (kn) A(1) A4n =An (К) A2n; A2n = An (kn) A2n; A4n = An (kn) A2n,
где обозначено:
di2 (kn) di3 (kn) d14 (kn )
An (kn ) = d22 (kn) d23 (kn) d24 (kn) ;
d32 (К ) d33 (kn) d34 (kn)
-dii (kn di3 (kn di4 (kn)
Ain (kn ) = d21 ( kn] d23 (kn d24 (kn)
-d3i (kn] d33 (kn d34 (kn)
di2 (kn) -dii (kn di4 (kn)
A2n (kn ) = d22 (kn) d21 ( kn d24 ( kn )
d32 (kn) -d3i (kn d34 ( kn )
где
di2 (k„) dis (k„) -dii (k„) Аэ„ (k„ )= d22 (k„) d2s (k„) -d2i (k„).
ds2 (kn) dss (kn) -dsi (kn)
Собственные формы колебаний (i4) запишем в виде:
Xi„ (Xi,p„ )_ A„ [T(knXi ) + °„V(knXi)];
*2„ (X2,Pn )_ An [Ó2„T(kx) + S3nV(kx)],
A _ A (i) ; ° _ Ai„ (k„ ) ; ° _ A2„ (k„ ) ; ° _ A3n (k„ An _ a„2„ ; °in _" 71 ~; °2„ 71 -T; °3„ _"
(i5)
A„ (kn У "2„ A„ (k„ V "3„ A„ (kn )■ При этом, не нарушая общности решения, произвольные постоянные A„; n _ i,2,3... в выражениях (i5) можно принять равными единице.
Функции Hj„ (t,p„); j _ i,2 согласно первым двум уравнениям системы (5) подчиняются зависимостям:
H„„ (t,p„) _ Bin) sin p„t + s2„ cosp„t; j _ i,2,
где B^), B2„ - произвольные постоянные n -ой формы собственных колебаний, определяемые по начальным условиям.
Таким образом, общее решение (i3) уравнений (i) можно представить в следующем
виде:
y (xvt)_ j [T (k„Xi ) + °„V (k„Xi)] (B<:) sin p„t + B2„ cos p„t); „_i
y 2 (X2,t)_ ¿ [°2„T (k„X2 ) + °3„V (k„X2)] (Bi(„2) sin p„t + B22„» cos p„t). „ _i
Аналогично случаю шарнирного закрепления трубопровода на опорах могут быть получены частотное уравнение и общее решение уравнений (i) в случае жесткого закрепления.
Ниже рассмотрим некоторые частные случаи динамической системы (рис. i). Сначала остановимся на случае, когда фланцевое соединение находится в середине пролета, т.е. Ii _ 12 _ I. Тогда получаем частотное уравнение в виде следующих двух независимых трансцендентных уравнений:
a
i-
2cimI
3\
Ela4
T2 (a) + mU (a)T (a)-
-a
i-
2cimi E/a4
3
(i6)
V2 (a)-mS(a)V(a) _ 0;
в которых
a[T2 (a)-V2 (a)] + E- [U (a)T (a)-S (a)V (a)] +
2C I 2C I
+juU(a)T(a) + m—C2-U2(a)-u2CLS2 (a) _ 0 v ; v ; Ela y ' Ela y '
pFI
a _ kI; u_ —. и M
(i7)
Уравнение (16) соответствует встречным (кососимметричным) колебаниям участков трубопровода, и ему отвечает расчетная схема на (рис. 2, а). Уравнение (17) соответствует симметричным колебаниям участков трубопровода, и ему отвечает расчетная схема (рис. 2, б).
Рисунок 2 - Расчетная схема трубопровода с фланцевым соединением; шарнирно опертые концы трубопровода; а) для встречных колебаний; б) для совпадающих колебаний
Рисунок 3 - Частота основного тона колебаний трубопровода при различных величинах поперечной (а) жесткости и изгибной (б) жесткости соединения
Рисунок 4 - Зависимость частоты основного тона колебаний от длины пролета; фланцевое соединение в середине пролета; поперечная жесткость фланцевого соединения С1 = 1.109 Нм/м; изгибная жесткость С2 = 1.106 Нм/рад
На рисунках 3 и 4 показаны зависимости частоты основного тона поперечных колебаний трубопровода от месторасположения фланцевого соединения относительно опор при различ-
ных величинах поперечной (рис. 3, изгибная жесткость C2 = const = 1.106 Нм/рад) и изгибной (рис. 4, поперечная жесткость C1 = const = 1.109 Н/м) жесткости соединения с межопорным расстоянием L = 2м и диаметром условного прохода Ду 32 мм. Цифрами обозначены графики при следующих значениях поперечной жесткости (рис. 3):
1 - 109 Н/м ; 2 - 4 • 105 Н/м; 3 - 2 • 105 Н/м ; 4 - 1,5 • 105 Н/м; 5 - 1-105 Н/м , и изгибной жесткости (рис. 4):
1 - 1,107 Нм/рад ; 2 - 3,5 • 104 Нм/рад ; 3 - 1,5 • 104 Нм/рад ;
4 - 8 • 103 Нм/рад ; 5 - 5 • 103 Нм/рад .
Для второго частного случая, когда фланцевое соединение находится у опоры, т.е. ll = L;l2 = 0 , частотное уравнение (12) приводится к виду
Аналогичным образом смогут быть получены частотные уравнения для других частных случаев и граничных условий.
Числовые расчеты по выведенным формулам были проведены на компьютере для трубопроводов с рабочим давлением Р = 2,5 + 20 МПа, соединенных при помощи фланцевых соединений, выполненных согласно стандартам. Расчеты выполнялись в широком диапазоне параметров исследуемой динамической системы (рис. 4).
Проведенные исследования поперечных колебаний трубопровода с фланцевым соединением позволили определить резонансные зоны и их зависимость от основных конструктивно-технологических параметров. Полученные общие решения уравнений движения создали возможность определить динамическую нагруженность фланцевого соединения и, следовательно, решить вопросы оценки работоспособности соединений.
Список литературы:
1. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. т. 3. Под редакцией И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М., «Машиностроение», 1968. 567 с.
2. Котляр И.Я., Пиляк В.М. Эксплуатация магистральных газопроводов. Л.: Недра, 1971.
246 с.
