CC BY
66
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2014■ № 3(114)
41
УДК 517.9
ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА СО СМЕЩЕНИЯМИ
В ПРОИЗВОДНЫХ
© 2014 А.В. Герасимов,1 Б.В. Логинов? Н.Н. Юлдашев3
3
Дана постановка задачи определения собственных и присоединенных функций для оператора Лапласа в в-мерном единичном шаре со смещением в производных. При в = 2 получены условия существования присоединенных функций не выше третьего порядка и выполнено их вычисление. Случай произвольного в является предметом будущей работы.
Ключевые слова: оператор Лапласа, единичный шар в Дя, собственные значения, собственные и присоединенные функции при в = 2.
В классе непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций до второго порядка включительно в 8-мерном единичном шаре в задача определения собственных и присоединенных функций для оператора Лапласа со смещениями в производных определяется условиями (Д + А)и = рт^г (дТтя-1 ш) + 71 Деи + + Аи = 0, и е С2+а(а), и'г(т0,0) = и'г(1, 0), 0 < т0 < 1, а = {т, 0\т < 1, 0 = = (01,..., 0п-1)}, где Де — оператор Лапласа на единичной сфере 5я-1. Разделяя переменные и(т, 0) = X(т)У(0), получаем уравнение для полисферических функций, а при подстановке X(т) = т-2+ 1х(т) уравнение Бесселя х''(т) + 1 хХ + + [А — (п + 2 — 1)2] х = 0. В предположении ограниченности решения смещение определяет собственные значения А = а2 = а2 (п) как корни уравнения f(a) =
Если функция «(т, 0) имеет непрерывные вторые производные в подобластях аго и а \ аго, то периодичность функции и по 0, непрерывность и непрерывная дифференцируемость ее всюду в а и смещение определяют сопряженную задачу
(Д + а)у = 0 в аГо и (а \ аГо), <(то — о, 0) = <(то+0,0), <(1,0) = 0,тЯ-1[—«(то +
+ о, 0) + «(т0 — 0, 0)] + «(1 — 0, 0) = 0.
Замечание 1. Условия сопряженной задачи возникают, если в прямой задаче
вместо и е с2+а(а) предположить только и е с2+а(аГ0) и с2+а(а \ аГо).
Далее для простоты представления приведены результаты только в прямой задаче при в = 2. Использованы справочные издания [1-4].
1 Герасимов Артем Викторович ([email protected]), кафедра прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева, 430005, Российская Федерация, г. Саранск, пр. Ленина, 15.
2Логинов Борис Владимирович ([email protected]), кафедра высшей математики Ульяновского государственного технического университета, 432027, Российская Федерация, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.
3Юлдашев Нурилла Нигматович ([email protected]), кафедра высшей математики Ташкентского института текстильной и легкой промышленности, 100100, Республика Узбекистан, г. Ташкент, ул. Шохжахон, 5.
Теорема 1. Прямая задача имеет собственные значения Xn = а2 = a2(n), определяемые условием f (а) = ДП(а) — ^П(аго) =0 с собственными функциями фП1)(г, ©) = Jn(ar)(cni cosn© + cn2 sinn©). Ей отвечает сопряженная задача (Д + + A)v = 0 v € C2+a(Qr0) U C2+a(ü \ йГ0), v'r(ro - 0, ©) = v'r(ro + 0, ©), vГ (1, ©) = 0, v(1, ©) + ro[v(ro — 0, ©) — v(ro + 0, ©)] =0 с теми же собственными значениями и собственными функциями фП1)(г, ©) = хП^^1 (r)(dn1 cosn© + dn2 sinn©),
r(i)(r)= nj [Nn(aro) — К(а)] Jn(ar), 0 < r<ro, Xn (r) Jn(a)Nn(ar) — Nn(a)Jn(ar), ro <r < 1.
Условие отсутствия (существования) присоединенных элементов Ф(2)(г, ©) = (2)
= Xn (r)(cni cos n© + cn2 sin n©) с точностью до ненулевого множителя (обозначается =) имеет вид /^^(а) = / [jX2J\p)x2íJ (p)dp =
= (n2 - a2) roJn(a) + (r2a2 - n2) J„(aro) = f'(a) = 0(= 0).
Теорема 2. Пусть f(a) = 0 и f'(a) = 0. Тогда X^(r) определяется как ограниченное решение неоднородного уравнения Бесселя X/2)''(r) + 1X(2)'(r) +
+ (a2 - X/2) = Jn(ar) с условиями X/2) '(ro) = X/2)'(1), X/2)<к) (ro -- 0) = X (2)<fc) (r0 + 0), k = 0,1 и имеет вид X^2)(r) = - r J'n(ar),
/о)
0 ^ r < 1. Условие отсутствия (наличия) третьего элемента ЖЦ X„ (r) определяется интегралом /^(a) = f^ pX^2^(p)X^1^(p)dp и совпадает с f ''(a) = = a (r2 - 1) J'(a) + 2(VoJ„(aro) - Jn(a)) £ 0(= 0).
Доказательство выполняется методом Лагранжа вариации произвольных постоянных отдельно в подобластях Qr0 и Q \ Qr0 с последовательным использованием сопровождающих граничных условий.
Теорема 3. Одновременное выполнение условий f (k)(a) = 0, k = 0,1, 2, 3 невозможно.
Доказательство выполняется исследованием системы
f (а) = 0 — (n2 - a2) roJn(a) + (r0,a2 - n2) Jn(aro) =0,
f '(a) = 0 - -2Jn(a) +2roJn(aro) +a(r20 - l) J'n(a)=0,
f''(a) = 0 - (n2 - a2) Jn(a) +2aJ^(a) = 0.
Следствие. Жордановы цепочки прямой задачи обрываются на третьем элементе, т. е. имеют длину три.
Действительно, система /'(а) = 0, /"(а) = 0 разрешима, т. к. ее определитель
Д12 = п2 Г — 1) = 0.
Теперь в условиях /(а) = 0, /'(а) = 0, /''(а) = 0 выполним вычисление Х(3)(т), являющегося решением неоднородного уравнения Бесселя с правой частью — 2-^(а) и теми же условиями смещения и гладкости. Действуя по Лагран-
2а n\
жу, определим
X(3)(r)
C(?)(r)Jn(ar) + C(2)(r)Nn(ar), 0 < r < ro, C2?)(r)Jn(ar) + c22)(r)Nn(ar), ro < r < 1,
где C(2o = 0, C(?)(r) = 4а I P3Nn(ap)Jn(ap)dp = Jn(ar)Nn(ar) —
o
— 802/ P2Jn(ap)Nn(ap)dp — ja + C(3o, (r) = — ^ / p3dJ2n(ap)
oo
-^п(аг) + 1 Р2^П(ар)в,р, а на интервале то < т < 1 С^Г
о
= 402 / р3К(ар)йЛи(ар) = Ют-1п(ат)Мп(ат) - ^^(ато)Мп(ато) -го
"3 г! _ Зп Г ,2 Т (пЛАТ (г*п\г!п _1_ П(3) П(3)(^\ —
120^ - р2^(ар)Мп(ар)Лр + С210, С£\т) = -/ рЗДар) =
Го Го
Г
/
Го
-802т3Л2(ат) + 8^2 т3Л'2(ато) + I р2^(ар^р + С2Ю- Отметим, что
формула для вычисления интеграла / р2Jn(ар)Мп(ар)сГр в справочных из-
даниях отсутствует, а для вычисления интеграла / р2 Jn(ар)dр имеется
43) С (З) '110 С210
рекуррентная формула. Условие непрерывности X (3) дает С(1о - С2)
= С22о + ^ - 8027р2 J2(ар)dр + 80т/ р2Jn(ар)Мп(ар)с1р,
оо а из непрерывной дифференцируемости X (3) при т = то следует С^ -
- СЮ = С^ + А + Й ^(аЩг^Г0) - 802 Jn(ато)Мп(ато) +
Го Го
+ 8а2 I р2-?п(ар)Мп(ар)г1р - 8а2 Л-^О) X р2^(ар)лр. Отсюда определяется С22о о о
в виде С22о = 802/ р2^(ар^р - Югато).
Значение С22о определяется также смещением X(3) (то - 0) = X(3) (то + 0) -,(3) = ПГ0 Т 2(ат„) I ГК (а,т„) АТ' (а)1-1) 'О/
= X(3)'(1 - 0), С2Ю = -83 4(ато) + К(ато) - К(а)]-1{^^ - ^ 1- 3 1 1 }
—О -7п (а) - а -К (а)! р2^ (ар)Кп (ар)йр + 83Ду К (а)! р2 ^арЩ, что позволя-
Го Го
1
ет вычислить интеграл 80? / Р2Jn(ар)Кп(ар)3,р = - ^з^^ - пО0 + Щз };(а) -
8^/ р2Jn(ар)Nn(ар)dр = - ^ + ^М^о! Го
- 802 К3>0Г)) 7 Р2Jn(ар)dр + 8a? Гр2^^)^^ а вместе с ним выразить поп о п го
стоянную С21о через С^Ю и найденное значение с22о . Корректность задачи при малых изменениях то в любом промежутке [е, 1 - е], е > 0 дает возможность вы-
Г
числения интеграла /р2Jn(ар)Nn(ар)dр.
о
Если не исследовать предельную задачу при то ^ 0, а просто подставить найденные значения постоянных С^Ю, сЩо и С22о в формулу для X(3)(т), то получаем следующий результат.
Теорема 4. В условиях /(к)(а) = 0, к = 0,1,2, третий элемент жордановой цепочки X{n)(т) имеет вид
хП3\г) = - Г - 8П (аг) / р21п(ар)мп(ар)лр + 8П Нп(ат) ! р2^ (ар)йр.
Замечание 2. Отметим расчеты [5; 6], где исследована соответствующая задача со смещениями в искомых функциях.
Замечание 3. Общий случай в > 2 является предметом будущей работы.
Литература
[1] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендетные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966. 296 с.
[2] Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965. 585 с.
[3] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 780 с.
[4] Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.
[5] Логинов Б.В., Нагорный А.М. Об одной краевой задаче для уравнения Гельмголь-ца со смещениями внутри области // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. 1987. № 4. С. 170-182.
[6] Логинов Б.В., Нагорный А.М. О спектре одной задачи Бицадзе — Самарского // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 11. С. 2012-2016.
References
[1] Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. M.: Nauka, 1966. 296 p.
[2] Vilenkin N.Ya. Special functions and group representation theory. M.: Nauka, 1965. 585 p.
[3] Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and series. Special functions. M.: Nauka, 1983. 780 p.
[4] Abramovitz M., Stegun I.A. Handbook on special functions. M.: Nauka, 1979. 832 p.
[5] Loginov B.V., Nagorny A.M. On a boundary value problem for Helmholtz equation with displacements within domain // Mixed-type equations and free boundary problems. 1987. № 4. P. 170-182.
[6] Loginov B.V., Nagorny A.M. On the spectrum of a problem of Bitsadze — Samarskiy // Differential equations. 1988. V. 24. № 11. P. 2012-2016.
Поступила в редакцию 18/XI/2013; в окончательном варианте — 19/XI7/2013.
EIGENVALUE PROBLEM FOR THE LAPLACE OPERATOR WITH DISPLACEMENT IN DERIVATIVES
© 2014 A.V. Gerasimovf B.V. Loginovf N.N. Yuldashev6
The statement of the problem on the determination of eigen- and adjoint-functions for Laplace operator in s-dimensional unit ball with displacement in derivatives is given. For s = 2 the conditions are obtained for the existence of adjoint functions of the not higher than three order and their computation is made. The case of arbitrary s is the subject of future work.
Key words: Laplace operator, unit ball in Rs, eigenvalues, eigen and adjoint functions for s = 2.
Paper received 18/XI/2013. Paper accepted 19/XI7/2013.
4Gerasimov Artyom Viktorovich ([email protected]), the Dept. of Applied Mathematics, Ogarev Mordovia State University, Saransk, 430005, Russian Federation.
5Loginov Boris Vladimirovich ([email protected]), the Dept. of Higher Mathematics, Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, 432027, Russian Federation.
6Yuldashev Nurilla Nigmatovich ([email protected]), the Dept. of Higher Mathematics, Tashkent Institute of Textile and Light Industry, Tashkent, 100100, Uzbekistan Republic.
