CC BY
10Пусть H — произвольный замкнутый класс функций из Рз,2, такой, что prH = SM, G — произвольная конечная порождающая система класса H, f {xi,..., xn) G SM, n ^ 10. Тогда f = Qß{f2, f3, fi, fз, fl, f3, YY10). Каждая из функций, подставляемых в функцию Qß, получается отождествлением переменных у функции f и зависит не более чем от n — 1 переменной. Тогда множество Go = {Qe} U H{9) является порождающей системой класса H. Кроме того, выполняется неравенство
Dgo{f(n)) < 1 + Dgo{H{n — 1)).
Поэтому найдется константа Co, такая, что Dg0{H{n)) ^ Con. Следовательно, для любого конечного базиса G класса H существует константа c = c{G), такая, что Dg{H{n)) ^ cn.
Соответствующая нижняя оценка следует из мощностных соображений. Автор выражает благодарность профессору А. Б. Угольникову за внимание к работе. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №11-01-00508, и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения", проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Угольников А.Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов ^ Докл. АН СССР. 1988. 298, № б. 1341-1344.
2. Угольников А.Б. О глубине формул в неполных базисах ^ Математические вопросы кибернетики. 1988. Вып. 1. 242-245.
3. Угольников А.Б. О замкнутых классах Поста ^ Изв. вузов. Математика. 1988. № 7. 79-88.
4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2008.
5. Lau D. Function algebras on finite sets. Berlin: Springer-Verlag, 2006.
6. Дагаев Д.А. Глубина и сложность реализации формулами функций из некоторых классов трехзначной логики ^ Тез. докл. XV Междунар. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" (Казань, 2-7 июня 2008 г.). Казань: Отечество, 2008. 24.
7. Угольников А.Б. Глубина формул в некоторых классах fc-значной логики У У Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1991. № 4. 44-47.
Поступила в редакцию 09.12.2011
УДК 515.12
О НОРМАЛЬНЫХ ФУНКТОРАХ В КАТЕГОРИИ ПАРАКОМПАКТНЫХ
^-ПРОСТРАНСТВ И ИХ СОВЕРШЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
М. А. Добрынина1
Доказывается, что для любого паракомпактного р-пространства X и нормального функтора F степени ^ 3 в категории P из наследственной нормальности пространства F(X) \ X следует метризуемость пространства X.
Ключевые слова: паракомпактное ^-пространство, нормальный функтор, наследственная нормальность, метризуемость.
It is proved that for any paracompact p-space X and any normal functor F of degree ^ 3 in the category P the hereditary normality of the space F (X) \ X implies the metrizability of X.
Key words: paracompact p-space, normal functor, hereditary normality, metrizability.
В 1948 г. М. Катетов [1] доказал, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость. В. В. Федорчук в работе [2] усилил результат Катетова, доказав следующую теорему.
1Добрынина Мария Александровна — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Теорема 1. Если для какого-нибудь нормального функтора F степени ^ 3 компакт F(X) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт.
Теорема Федорчука справедлива для нормального функтора, действующего в категории Comp всех компактов и их непрерывных отображений. В 2000 г. Т.Ф. Жураев [3] обобщил теорему В.В. Федорчука следующим образом.
Теорема 2. Если для какого-нибудь компакта X и нормального функтора F степени ^ 3 пространство F (X) \ X наследственно нормально, то компакт X метризуем.
Заметим, что А. П. Комбаров [4] в 2004 г. доказал следующую теорему, из которой одновременно вытекает и теорема Федорчука, и теорема Жураева.
Теорема 3. Если для какого-нибудь нормального функтора F степени ^ 3 пространство F(X)\X наследственно K-нормально, то X — метризуемый компакт.
В работе автора [5] понятие нормального функтора было обобщено на категорию P паракомпактных ^-пространств и их совершенных отображений и получен следующий результат, обобщающий теорему 1.
Теорема 4. Пусть X — паракомпактное р-пространство, F — нормальный функтор степени ^ 3 в категории P. Тогда если пространство F(X) наследственно нормально, то X — метризуемое пространство.
Основным результатом настоящей заметки является следующая теорема, представляющая собой одновременное усиление теоремы 2 и теоремы 4.
Теорема 5. Пусть X — паракомпактное 'р-пространство, F — нормальный функтор степени ^ 3 в категории P. Тогда если пространство F(X) \ X наследственно нормально, то пространство X метризуемо.
Напомним, что паракомпактные р-пространства — это в точности полные прообразы метрических пространств при совершенных отображениях [6]. Всякий компакт, очевидно, является паракомпактным р-пространством. Далее будем рассматривать функторы, действующие в категории P паракомпактных р-пространств и их совершенных отображений (см. [5]). Эта категория является естественным расширением категории Comp. Напомним, что для произвольного хаусдорфова топологического пространства определено пространство expcX (см., например, [7]) — пространство компактных подмножеств X с топологией, открытую базу которой образуют множества вида O(U\,..., Un) = {F : F E expcX, F С Un=i Ui, F П Ui = 0 для i = 1, 2,... ,n}. Далее для любого натурального числа k обозначим через exp^X подпространство expcX, состоящее из всех компактов, содержащих не более k точек. Для любого совершенного отображения f : X ^ Y паракомпактного р-пространства X на паракомпактное р-пространство Y по аналогии с [7] определим отображение expcf : expcX ^ expcY следующим образом: положим (expcf )(F) = f (F). В [5] доказано, что операция expc является ковариантным функтором, действующим в категории P.
Предложение 1. Пусть X является паракомпактным р-пространством, таким, что пространство exp3^\X наследственно нормально. Тогда пространство X метризуемо.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что X не является дискретным пространством. Известно, что локально метризуемый паракомпакт метризуем (см. [8, гл. 5]), потому достаточно доказать локальную метризуемость пространства X.
Пусть Хо — неизолированная точка в X, и пусть x E X \ Хо. Пусть Ox и Oxq — окрестности точек x и Хо с непересекающимися замыканиями. Положим A = [Ox], B = [Oxo]. Рассмотрим произведение (exp2A) х B и построим его вложение ф : (exp2A) х B ^ exp3X \ X следующим образом. Для точек {x,y} E exp2A, {z} E B положим p({x,y},z) = {x,y,z} E exp3X.
В работе [5] доказано, что отображение ф является вложением (exp2A) х B в exp3X. С другой стороны, ^>((exp2A) х B) Cexp3X \ X, так как |ф(z)| ^ 2 для всех z E (exp2A) х B. Поэтому можно считать, что (exp2A) х B Cexp3X \ X и (exp2A) х B наследственно нормально.
Известно [1], что если произведение X х Y наследственно нормально, то либо все счетные подмножества X замкнуты, либо Y совершенно нормально. Значит, либо все счетные подмножества B замкнуты, либо exp2A совершенно нормально. Но B — бесконечное недискретное паракомпактное р-пространство и, значит, содержит счетное незамкнутое подмножество (см. [5]). Отсюда следует, что exp2A совершенно нормально. Далее, подпространство A является метризуемым, так как перистый паракомпакт метризуем в том и только в том случае, когда диагональ в квадрате является множеством типа G$ (см. [9]). Получаем, что у всех точек X, кроме, быть может, точки Хо, имеются метризуемые окрестности. Если в X найдется еще одна неизолированная точка, то, подставив ее вместо точки Хо в предыдущее рассуждение, получим, что пространство X локально метризуемо и, следовательно, метризуемо.
Пусть X — паракомпактное р-пространство с единственной неизолированной точкой Хо. Тогда если x(xo,X) = Uo, то X метризуемо (см. [5]). Предположим теперь, что x(xo,X) ^ Ui. Известно, что паракомпактное р-пространство X является пространством точечно-счетного типа (см. [6]), т.е. суще-
ствует компакт K С X, такой, что xo Е K, x(K,X) ^ Шо. Далее (см. [8, гл. 3]), имеет место формула X(xo,X) ^ x(xo,K) х x(K,X). Откуда следует, что x(xo,K) ^ Ш1, и, следовательно, компакт K немет-ризуем. Но если для компакта K пространство exp3K \ K наследственно нормально, то компакт K мет-ризуем [3]. Значит, пространство exp3K \ K не может быть наследственно нормальным, и, поскольку exp3K \ K Cexp3X \ X, отсюда следует, что и пространство exp3X \ X также не является наследственно нормальным. Полученное противоречие доказывает предложение 1.
Ковариантный функтор F : P ^ P в категории P назовем мономорфным,, если F сохраняет вложения. Если F — мономорфный функтор, то для любой точки a Е F(X) определяется, как известно, носитель supp(a) следующим образом: supp(a) = n{Y : Y — замкнутое подмножество X, a Е F(Y)}, и, следовательно, определено многозначное отображение supp : F(X) ^ X. Будем говорить, что степень функтора degF ^ n, если для любого X и любой точки a Е F(X) верно |supp(a)| ^n. Будем говорить, что degF = n, если degF ^ n, но утверждение, что degF ^ n — 1, неверно. В последующих формулах через n обозначается не только натуральное число, но и дискретное пространство, состоящее из n точек: n = {0,1,..., n — 1}. Отображение nn : Xn х F(n) ^ F(X) определяется равенством nn(£, a) = F(£)(a), в котором каждая точка £ Е Xn отождествляется с отображением £ : n ^ X (см. [10]).
Ковариантный функтор F в категории P будем называть нормальным, если функтор F непрерывен, мономорфен и эпиморфен, сохраняет вес, пересечения, прообразы, точку и пустое множество (см. [7]), а также удовлетворяет условию: для любого паракомпактного ^-пространства X и любого натурального n отображение nn : Xn х F(n) ^ F(X) непрерывно. Все вышеупомянутые свойства функторов определяются аналогично соответствующим свойствам нормальных функторов в категории Comp с той лишь разницей, что вместо компактных пространств и их непрерывных отображений рассматриваются паракомпактные ^-пространства и их совершенные отображения.
Далее, положим Fa(X) = nn(Xn х {a}) С F(X) и будем рассматривать отображение supp как однозначное, действующее из Fa(X) в expn(X).
Доказательство теоремы 5. Так как F — нормальный функтор степени ^ 3, найдется элемент a Е F(3) степени 3. Рассмотрим отображение supp* : Fa(X)\X ^ exp3(X)\X, являющееся ограничением совершенного отображения supp : Fa(X) ^exp3(X) (см. [5]) на подпространство Fa(X) \ X. Так как supp_1(exp3(X) \ X) = Fa(X) \ X, то отображение supp* также совершенно (см. [8]). Таким образом, пространство exp3(X) \ X — совершенный образ наследственно нормального пространства Fa(X) \ X С F(X) \ X. Следовательно, exp3(X) \ X также наследственно нормально, и, значит, по предложению 1 пространство X метризуемо. Теорема 5 доказана.
Заметим, что аналоги теоремы 5 возможны и для других свойств типа наследственной нормальности, например для свойства наследственной ¿-нормальности (см. [11]). А именно справедлива следующая теорема 6, доказательство которой аналогично доказательству теоремы 5, но более громоздко и использует результаты статей [11, 12].
Теорема 6. Пусть X — паракомпактное р-пространство, F — нормальный функтор степени ^ 3 в категории P. Тогда если пространство F(X) \ X наследственно 5-нормально, то пространство X метризуемо.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Katetov M. Complete normality of Cartesian products // Fund. Math. 1948. 35. 271-274.
2. Федорчук В.В. К теореме Катетова о кубе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 4. 93-96.
3. Жураев Т.Ф. Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 4. 8-11.
4. Комбаров А.П. О нормальных функторах степени ^ 3 // Матем. заметки. 2004. № 76. 147-149.
5. Добрынина М.А. К теореме Федорчука о нормальном функторе // Матем. заметки. 2011. № 2. 27-31.
6. Архангельский А.В. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства // Матем. сб. 1965. 67. 55-85.
7. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.
8. Энгелькинг Р. Общая топология / Пер. с англ. М.: Мир, 1986.
9. Borges C.J.R. On stratifiable spaces // Pacif. J. Math. 1966. 17. 1-16.
10. Басманов В.Н. Ковариантные функторы, ретракты и размерность // Докл. АН СССР. 1983. 271, №5. 1033-1036.
11. Kombarov A.P. On expandable discrete collections // Topol. Appl. 1996. 69. 283-292.
12. Kombarov A.P. On Fa-¿-normality and hereditary ¿-normality // Topol. Appl. 1999. 91. 221-226.
Поступила в редакцию 16.12.2011
