CC BY
16
Сабатулина Татьяна Леонидовна, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры вычислительной математики и механики, e-mail: [email protected].
УДК 517.958
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ В
НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
© А. Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева
Ключевые слова: задача Дирихле; В-эллиптический сингулярный оператор; фундаментальное решение.
В работе расмотрена задача Дирихле для В-эллиптического оператора с краевыми условиями на гиперплоскости. Получено решение этой задачи в явном виде, определяемое весовым потенциалом двойного слоя и выраженное интегралом типа Пуассона.
Пусть Еп+1 действительное евклидово пространство точек X = (х\,...,хп,у) = (х',у). Рассматривается задача Дирихле вида:
Ви = 0 в облает и хп > 0, у > 0, (1)
ди
u\xn=o = v(xl,..,xn-l,v),Qv \ y=o = 0, (2)
где B = ^2ij=l aijQx>-dx ■ + ykdy (dd) ’ b > 0 , k > 0 , aj удовлетворяют определенному в B
Обозначим через A = det(aj) , Aij — алгебраическое дополнение элемента aij , С = ((1, ...,(n,n) = (С',п). Фундаментальное решение H(x',() уравнения (1) имеет еле-дующий ВИДІ
при v = 0 H(x\ С) = pl-n-k , где p2 = YTij=l A-lAij((i — xi)((j — xj) +b-1 n2, а в области v > 0 H(x,() = TfjH(x', () , где Tfjf = Ck fj sink-1 af (д/П2 + v2 — 2nv cos a)da ,
г
'k+l''
Ск = Д 2 > ,£ е Я1+1.
к аг (к)," +
Решение задачи (1)-(2) определяется весовым потенциалом двойного слоя, рассмотренным в [3]. Плотность весового потенциала удовлетворяет интегральному уравнению, ядро которого имеет слабую особенность и выражается интегралом типа Пуассона:
2 f+Ж Г + Ж
u(x) = A^AinxiBk ••• <р(x)Ty p-n-k-lnk d(l...d(n-ldn.
A
ЛИТЕРАТУРА
1. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т 158. № 2.
2. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН. 1972. Т. 6.
№2.
3. Сазонов А.Ю., Фомичева Ю.Г. О свойствах весовых потенциалов для одного класса В-эллиптических операторов // Вестник Удмуртского ун-та. Ижевск, 2008. Вып. 2.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-01-97503, № 11-01-00645, № 11-01-00626).
Sazonov Л.Yu.. Fomicheva Yu.G. On a singular elliptic boundary value problem in unbounded region. In the work there is considered the Dirichlet problem with boundary conditions on a hyperplane for В-elliptic operator. A solution in explicit form is derived. It is defined by a double layer weight potential and is expressed by an integral of the Poisson type.
Key words: Dirichlet problem; В-elliptic singular operator; fundamental solution.
Сазонов Анатолий Юрьевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].
Фомичева Юлия Геннадиевна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected].
УДК 517.983, 517.921
О РАЗЛОЖЕНИИ ЛЕБЕГА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВЕ СУММИРУЕМЫХ
ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
© П.М. Симонов, А.В. Чистяков
Ключевые слова: атомарные; сингулярные; диффузные и интегральные операторы; регулярные и мажорированные операторы.
Показано, что любой порядково непрерывный линейный оператор, действующий в решетках измеримых функций, представим в виде интеграла по случайной борелевской мере. В терминах случайных мер изучались свойства основных полос регулярных операторов.
В статье построен аналог теории разложения Лебега для пространства В(Ь1(Х)) линейных ограниченных операторов, действующих в пространстве Ь1(Х) суммируемых вектор-функций со значениями в банаховом пространстве X. В основу построения положен тот факт, что В(Ь1,Ь1(Х)) является решеточно нормированным пространством, где нормирующей решеткой является К-пространство Сг (Ь1) регулярных операторов и : Ь1 ^ ^ Ь1 . Решеточная норма в В(Ь1, Ь1(Х)) удовлетворяет аксиоме разложимости Л.В. Канто ровича.
