CC BY
20
Felix Sadyrbaev Садырбаев Феликс
doctor of phys.-math. sciences, professor д. ф.-м. н., профессор
Daugavpils University Даугавпилсский университет,
University of Latvia Университет Латвии
Latvia, Daugavpils - Riga Латвия, Даугавпилс - Рига
e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]
УДК 517.958
О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА1
©
А. Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева
Ключевые слова: оператор Бесселя; параболический оператор; сингулярный оператор.
Аннотация: В ограниченной области рассматривается смешанная задача для сингулярного параболического уравнения, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных. Получены достаточные условия на границу области, начальные функции и правую часть этого уравнения, при которых существует классическое решение этой задачи.
В работе изучается вопрос о разрешимости в классическом смысле смешанной задачи для параболического уравнения
ди
— - Ру,и = f,Q+ = Q+ х [0,T],
(1)
4=0 и, и1г+х[0,Т] °’ "
ди
дуг
Г°х[°,Т]
= 0, i = 1, m
(2)
х=(х1, ...,хп,у1, ...,ут) = (X,у') € И.п+т, 0+ С Ип+т - произвольная ограниченная область, прилегающая к гиперплоскостям у1 = 0,...,ут = О;Г0,...,Гт - часть границы области 0+, лежащей на этих гиперплоскостях;
Г+
- замыкание оставшейся части границы области 0+, <^(х) - заданная функция, х € 0+, f (£, х) - функция, заданная в цилиндре Q+, Ру> - дифференциальный оператор, равномерно эллиптический по х € 0+, и содержащий по т пространственным переменным оператор Бесселя
Р
£■
i,j=i
ij дхгдх
д 2 д2 к■ д _________________________
+ v biByi + с, с ^ 0, Byi = —^ , кг > 0, i = 1,m.
^ дуг уг дуг
г=1
Предполагается, что Ру> - оператор В-эллиптического типа (см. [1]):
существует 6 > 0, такое, что для любого а = (а,1,ап+т), |а| = 0, имеет место неравенство
1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного
потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.
n
m
(З)
i,j=1
Общее решение задачи (1) — (2) представимо рядом Фурье
(4)
где Ур(х) - собственные функции, а \р - соответствующие собственные значения краевой задачи
И /р(т) - коэффициенты Фурье разложения функций ^>(х) И f (£, х) ПО системе [Ур(х)}. Теорема. Пуст^ь Г+ - произвольная поверхность типа Ляпунова, оператор Ру> удовлетворяет условию (3), функции р(х) и f (^, х) удовлетворяют следующим условиям:
и двукратным дифференцированием ряда (4), сходятся равномерно в любой строго внутренней подобласти цилиндра Qт■
При этом сумма ряда (4) определяет классическое решение задачи (1)-(2).
о
Здесь Щ_1 +(n+), Н3
к!...кт,+(^+), _ функциональные пространства И.А. Киприянова (см.
ЛИТЕРАТУРА
1. Киприянов И.А. О краевых задачах для уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // ДАН СССР. 1964. Т. 158. § 2.
2. Киприянов И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 89.
3. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997.
Abstract: In a bounded region there is considered the mixed problem for singular parabolic equation containing the Bessel operator on some phase variables. There are derived the sufficient conditions on the region boundary, initial functions, and the right-hand side of the equation under which the classical solution of the problem exists.
Keywords: Bessel operator; parabolic operator; singular operator.
Py,'v + Xv = 0, в области v|r+ =0, =0, i = 1, m;
y 11 dyi pG '
странству H 1 k1...km,+(^+),
странству HV.^.+Qt)•
[2], [3]).
Сазонов Анатолий Юрьевич к. ф.-м. н., доцент
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]
Фомичёва Юлия Геннадиевна к. ф.-м. н., доцент
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]
Anatolij Sazonov
candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer
Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov [email protected]
Juliya Fomicheva
candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer
Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: [email protected]
УДК 517.51
ТОЧНОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ДРОБНЫХ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРА
ЛАПЛАСА 1
© Е. О. Сивкова
Ключевые слова: оператор Лапласа; экстремальная задача; преобразование Фурье.
Аннотация: Работа посвящена определению точной константы в неравенстве для дробных степеней оператора Лапласа; доказательство основывается на принципе Лагранжа в теории экстремума.
Неравенства для степеней различных операторов играют важную роль в анализе, теории приближений и теории дифференциальных уравнений. Здесь приводится точное неравенство, связывающее дробные степени оператора Лапласа функции и ее преобразование Фурье.
Пусть А — оператор Лапласа на М^, то есть А сопоставляет гладкой функции f (■) функцию
д2 f д2
^ <х)=4 М+...+4 <х).
Если существует преобразование Фурье Г функций f (■) и Аf (•), то нетрудно видеть, что (ГАf)(£) =
= -|£|2 Ff (О, где |£|2 = е? +... + &
Для каждого а ^ 0 оператор (—А)а/2, действующий по правилу (—А)a/2f (х) = Г 1(\£|aFf (£))(х), где Г-1 — обратное преобразование Фурье, называется а-ой степенью оператора Лапласа. Ясно, (—А)о
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант №
09-01-90200).
