Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго порядка и м Тихонова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА*)

И, М, Тихонова, В, Е, Федоров

Пусть Л С М" — ограниченная односвязная область с гладкой границей Положим

<2 = П х (0,Т), Бт = 5 х (О,Т),Т> 0; = О х {г}, г е [0,Т].

В цилиндрической области Q рассмотрим уравнение

п

Ьи = к(х, г)ии — ^^ а(х, г)щ + с(х)и = /(х, г). (1)

¿=1

Отметим, что коэффициент к(х, г) может менять знак внутри области Q произвольным образом. Поэтому в класс уравнений вида (1) входят эллиптико-параболические, гиперболо-параболические, эллиптико-ги-перболические и другие уравнения. Предполагается, что коэффициенты уравнения — гладкие функции. Введем множества

Р± = {(х,0): х еП, к(ж,0)>Ц},

рТ = {(х,Т) : х е П, к(х,Т)<°}.

Краевая задача. Найти в области Q решение уравнения (1) такое, что

и^т = 0, (2)

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (грант № 02.740.11.0609).

© 2010 Тихонова И. М., Федоров В. Е.

ut 1-й- = 0, и |-н+ = 0, щ\г=т = 0. (3)

P л P

Краевые задачи для уравнений смешанного типа вида (1) изучались многими авторами [1-5]. В настоящей работе рассматривается новая краевая задача (1)-(3) для данного класса уравнений.

Пусть Я) — анизотропное пространство Соболева с нормой

I m,s I

Q

■jaj^m i=1

dV 2n

(u,v) = fuvdQ, Mo = JUvdx.

Q

Через CL обозначим класс гладких функций, удовлетворяющих условиям (2), (3).

Лемма 1. Пусть коэффициент c(x) > 0 достаточно большой и выполнены условия

к(х, 0) < 0, к(х, Т) < 0, a-^kt^S> 0.

Тогда существуют неотрицательные функции <(t), ф^) £ CTO[0,T] такие, что для всех функций u £ Cl имеет место неравенство

(Lu, <ut + фи) > C\ ||u^д, C\ = const > 0.

Доказательство Найдется положительное число to < T такое,

что

-k{x,t) > ko>0, t £ [0,t0}.

Возьмем точку t\ такую, что 0 < t\ < to < T. Выбираем функции <(t), £ Cто[0,T] таким образом, чтобы

<(0) =0, <{t) > 0, t £ (0,T]; <t{t) >0,t £ [0,ti);

cp(t) = e-xt, t £ [h,T}, A>0; ф^) = M = const > 0, t £ [0, ti];

Фг(г) < о, г е [гьг0]; ф(г) = о, г е [г0,Т].

Рассмотрим выражение (Ьи, рщ + фи) для и е Сь. После интегрирования по частям с учетом условий (2), (3) получим

„-а т

е-АТ Г

(Ьи, срщ + фи) = —/

Е

и си

(1х

• J [аф — (кф)UtudQ + J [(а — ( 1/2)к0р — (ф + (1/2)р)Щи^ с^

Я Я

(ф — ( 1/2)р)

Я

Е

и„. + си"

dQ. (4)

Исследуем знаки выражений

(а — (1/2)к0р — (ф + (1/2)р)к, (ф — ( 1/2)р)

на промежутках [0, (¿1,га),

1. Пусть г е [0, ¿1]. Тогда справедливы оценки снизу:

(а — (1/2)к0р — (ф + (1/2)р)к > ^^ + (1/2)р)

> 5р + к0М > ^ > 0; ф — (1/2)р = М — ( 1/2)р4 > 52 > 0 при достаточно большом М.

г е г , г

(а — ( 1/2)к0р — (ф + (1/2)р)к > 5р + коф — {к/2)рг

> к0ф + е-М(5 — (1/2)Л|к|) > 53 > 0

при достаточно малом Л > 0;

ф — (\/2)рь = ф + (1/2)Ле-А > 54 > 0. г е г , Т

(а — ( 1/2)к0р — (ф+ (1/2)р)к > 5р — ( 1/2)рк

= е-А(5 + (1/2)Лк) > е-А(5 — ( 1/2)Л|к|) > 5б > 0

при достаточно малом Л > 0;

ф - (l/2)<t = -(l/2)<t = (1/2)Ле-^ > 0.

Используя неравенство Коши и выбирая число M > 0 достаточно Л>

леммы 1 получаем ее утверждение.

В области Q рассмотрим краевую задачу

Leu =-£uttt + Lu = f(x,t), £ > 0, (5)

u|St = 0, ut|t=o = 0, utlt=T = о, utt|t=o = 0. (6)

Для функции f(x,t) G L2(Q) через ue(x,t) обозначим некоторое решение краевой задачи (5), (6) из '3(Q).

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда существует число £о > 0 такое, что при 0 < £ < £о справедлива оценка

4^tt\\lo+he\\li^C2\\f\\l0, (7)

где C = const > 0 не зависит от £.

Доказательство Рассмотрим функции <(t) и ф(t), построенные при доказательстве леммы 1. Обозначим v = uE. Умножим обе части уравнения (5) на <vt + iv и проинтегрируем по области Q: (-£vttt + Lu, <vt + фv) = f, <vt + iv). После интегрирования по частям с учетом условий (6) получаем

(/, (fivt + фу) = е J (fiv% dQ - I J(ipu + 3V>iK2 dQ Q Q

+ I J Фшу2 dQ + (Lv, tpvt + фу).

Q

£>

априорную оценку (7). Лемма 2 доказана.

В силу фредгольмовой разрешимости краевой задачи (5), (6) из

леммы 2 следует, что она однозначно разрешима в пространстве '3(Q). о

Пусть Wl(Q) — замыкание множества C^(fi) по норме пространства W

с х >

выполнены условия

к(х,0)<0, к(х,Т)<0, 2а ± кг > 5 > 0.

Тогда для любой функции / е Ж®(Q) существует решение уравнения (1) и(х,Ь) е удовлетворяющее краевым условиям (2), (3) и

такое, что ии,и1х. е г = 1,п, и и € Т^ ^(ф^т-,,), где =

Пх (п,Т — п), 0<п<Т.

Доказательство Пусть {рк(х)—фундаментальная система о

в пространстве П ортонормированная в Ь2(П). Прибли-

женное решение и№'е(х,г) ищем в виде

п

у(х,г) = х,г) = ^С?'е(г)рк( х)

к=1

из соотношений

= 1=1^, (8) в\ С?'е(0) = 0, АСг№'е(0) = 0, АС^'е( Т) = 0. (9)

Разрешимость задачи (8), (9) следует из наших предположений. Действительно, умножая каждое из уравнений (8) на рПгС^'е + фС^'£ и суммируя их по I от 1 до К, получим

{Ьеу, руг + фу)0 = /, руг + фу)0.

гТ

ведем интегрирование по частям с учетом условий (9). Это даст априорную оценку

£|№«||§,о+1М1м < Сз||/|18,о (Ю)

с постоянной С > 0, те зависящей от К, е. Поэтому краевая задача (8), (9) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений однозначно разрешима при любой функции / е Ьи для приближенных решений справедлива оценка (10).

1. Выберем числа ¿о, То, Т± так, чтобы

—к{х,г) > ка>о,г е [ои [Т0, Т]; о <г0 <Т0 <Тг <Т. Возьмем неотрицательную функцию £(г) е Сто[0,Т] такую, что ф) = о, г е [о,Т0]; т = 1, г е [ТЪТ].

Умножим (8) на —£(г)В1 С^'£ и просуммируем по I от 0 до N. Тогда

получим

— (Ьеъ,&и)о = — (/,&и) о.

гТ

дем интегрирование по частям с учетом условий (9):

— /

^ J«V? ¿С} - ^ J £ису2 ЗЦ.

В силу (10) отсюда следует неравенство

т

схсг < С4||/^, С4>О. (11)

2. Выберем число г±: 0 < г± < ¿о- Возьмем неотрицательную функцию £(г) е Сто[0,Т] такую, что

£(г) = 1, г е[оМ т = о, г е [г0,Т].

Умножим (9) на С^'£ и просуммируем I от 0 до К:

— (Ьеъ,&и)о = — (/,&и) о.

X

Проинтегрируем последнее равенство по £ от 0 до Т, затем проведем интегрирование по частям с учетом условий (9):

- (/, Ы = I щ-1 ^I ¿д +1С

Е

г=1

+ су+

/ + ъ / - \ J ы су2

я " я

В силу (10) отсюда следует неравенство

г

о п

ЗХХАИ < с ||/Но,0, С5>0. (12)

3. Рассмотрим положительное число г такое, что 0 < — 2г, Т + 2г < Т. Положим 1=[Ь — г, Ь], 7 = [Ть Т1 + г], V = [¿ъ Т].

Построим неотрицательную функцию п € С[0, Т], удовлетворяющую условиям

ц(Ь) = 0, Ь € [0,¿1 — Г и Т+ г,Т]; ^^ е-Лг, £ € V.

Для приближенных решений справедливы неравенства

юз о,

ЗххаИ < с у/1|§,„, С6>0. (13)

V п

V п

Е<

¿х^ < С у/Но д • (14)

Неравенство (13) следует из (11), (12). Теперь, умножая каждое из равенств (9) па и суммируя по I от 0 до М, придем к

равенству

— {Ъеу,пУш)о = — и,Ч"ш) о,

Уа -+- у

и 1 "г

которое проинтегрируем по частям по t от 0 до T с учетом условий (9). Имеем

Ti+r

7iJvt

О П t-r Q

T

~ (/, rpttt)о = £ J rj{t) J v\tt dxdt + i J dt j[(2a + kt)r] + kr]t]v2t dx

Ti+r

Vt dt

t\ —r

£

2 i 2 + cvt

.¿=1

dx

1

Ti+ r

J Vttt dt j

ti —r Q

Ti+r

dx — — J J(arj)ttVf dxdt. (15)

t —r

Выбирая достаточно малое Л > 0 в (15), с учетом условий теоремы и неравенств (10)—(12) получаем справедливость неравенства (14).

4. Для любого п : 0 < п < T найдутся числа t\,T\, удовлетворяющие вышеуказанным условиям и такие, что 0 < t± < п, T — ц < T±. Из неравенства (14) следует оценка

T—n

n п

¿=1

dxdt < C||/||2д.

(16)

Умножим каждое из уравнений (8) на функцию ¿) € С^[0,Т], полученное равенство просуммируем по I от 1 до N (N1 < N и проинтегрируем по £ от 0 до Т. Это даст тождество

N1

1=1

В силу априорных оценок (10), (13), (16) доказательство теоремы легко завершается переходом к пределу при N ^ <х>, е ^ 0 в последнем равенстве. Теорема 1 доказана полностью.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда краевая задача (1)-(3) имеет единственное решение и(х, ¿) из пространства '2

Доказательство Единственность такого решения непосредственно следует из леммы 1. Теорема 1 гарантирует существование решения

П < ¿о, Т0 < Т — п- Уравнение (1) в области Л х [0,£оШ ^ х [То,Т] эллиптического типа, так как к(х,Ь) < 0 в этой области. Поэтому и{х,г) € ^'2(° х(0,г0)иПх (Т0,Т)). Таким образом, и{х,г) € ^'2(Я).

1. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Диф-ференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098-1105.

2. Врагов В. Н. О постановке и разрешимости краевых задач для уравнений смешанно-составного типа // Математический анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 5-13.

3. Терехов А. Н. Краевая задача для уравнения смешанного типа // Применение методов функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1979. С. 128-136.

4. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

5. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа высокого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 1999. Т 6, вып. 1. С. 26-35.

г. Якутск 10 июня 2010 г.

п

ЛИТЕРАТУРА