CC BY
8Вычислим размерность Ext2(£, £). Применим к точной тройке 0 —> £ —> Э" —> 0„,(—1)ф A'xi Ф —> 0 функтор Нот(*, £), получим точную последовательность:
Ext2(9", £) Ext2(£, £) Ext3(Om(-l) 0 kXJ ф kX2, £) Ext3(£, 7). (10)
Вычислим размерность Ext3(Öm(—1) ф kx, ф kx,,£). По двойственности Серра Ext3(Om(—1) ф kXl ф kX2,£) = Hom(£,Öm(—5) ф kX]~® kX2)v. Hom(£,Om(-5) ф kXl ф kX2) = Hom(£|m,Öm(—5) ф kXl ф kX2). Рассмотрим точную последовательность 0 —> ^muxiuxai-1) —> £ —> 3/ —> 0. Ограничим ее на m, получим точную последовательность: о —* 3mUxlUl3( —1)|т —> £|т —> 3/|т —► 0. Зт\т = Л^урз = 20т( —1), J/|m = 0. Нот(0, От(—5)) = 0. Следовательно, Hom(£, От(— 5)) = 0. £|х = к*, следовательно, Нот(£,кХ1 ф кХ2) = к8. Поэтому, Ext3(Om(-l) ф kXJ ф кХ2, £) = к8.
Вычислим размерность Ext2(9~, £). Примс1шм к точной тройке 0 —> Ö(—2) —> 3Ö(—1) —>
—> 0 функтор Нот(*,£), получим точную последовательность: Ext1(Ö(— 2),£) —> Ext2(3r,£) -> Ext2(3Ö(-l), £). Ext1(Ö(—2), £) = №(£(2)) = 0, Ext2(30(-1), £) = 3H2(£(1)) = 0, следовательно, Ext2(9r, £) = 0.
Вычислим размерность Ext3(£, Э"). К точной тройке 0 —> Ö(— 2) —> 3Ö(—1) —> Э" —» 0 применим функтор Нот(*,£), получим точную последовательность: Ext2(Ö(—2), £) —> Ext3(?,£) Ext3(3Ö(—1),£). Ext2(G(—2), £) = Н2(£(2)) = 0, Ext3(30(-1), £) = Н3(£(1)) = 0. Следовательно, Ext3(£,iF) = 0. Поэтому из (10) получаем, что Ext2(£, £) = к8. И из (4) следует, что Ех^(£, £) = к19.
Библиографический список
1. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves (English) // Math. Ann. 254, 121-176 (1980).
2. Заводчиков, М. А. Новые компоненты схемы модулей Мрз(2; -1, 2, 0) полустабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на проективном пространстве P3 [Текст]: Труды пятых Колмо-горовских чтений. - Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2007.
А.Д. Уваров
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ СТАБИЛЬНЫХ ПУЧКОВ РАНГА 2 С КЛАССАМИ ЧЕРНА С1 = -1, С2 = 2, С3 = 0 НА ТРЕХМЕРНОЙ ПРОЕКТИВНОЙ
КВАДРИКЕ
В статье исследуется Мд схема модулей Гпзскера-Маруямы полустабильных пучков без кручения ранга 2 с cj = —1,С2 = 2, c;¡ = 0 на гладкой трехмерной проективной квадрике Q в пространстве РИсследуется неприводимое 7-мерное семейство А/ стабильных пучков из М0, которое строится следующим образом. Пусть 5 - спинорное расслоение раита 2 с классами Черна Cj = —1, с2 = 1 на Q (см. [2]). Семейство М описывается следующим образом:
М = {£ € Му | £ = ker(S -» 0/(-1) фкх), где I С Q -прямая, х-точка, х /} (1)
Можно показать, что замыкание М семейства М в Mq является неприводимой компонентой в Mq. В настоящей статье доказывается, что компонента М является пеириведсниой в общей точке. А именно, мы вычисляем касательное по Зарискому пространство TwMq в точке [¿Г] € Л/, которое в силу стабильности £ совпадает с группой E!xt1(iT, f). Основной результат статьи - следующая теорема.
Теорема. Размерности групп Ext'(£, £) и Ext"(£, £) равны соответственно 10 и 4- где £ - пучок вида (1).Тем самым, компонента М в Mq не приведена в общей точке.
Перейдем к доказательству теоремы. В силу (1) пучок [£] £ М входит в точную тройку:
5 ^о,(-1)фкх -»0, (2)
где «S - снинорпос расслоение па Q. Применим к данной тройке функтор Нош(-, £) и выпишем кусок длиной точной последовательности:
Hom(S, £) -» Нот(£,£) -> Ext1 (О/, (-1) фкх,£) -> Extl(«S, £) -> Ext'(5, £) -» Ext"'(C/(—1) ф кх, £) Ext2(5, £). (3)
Вычислим размерность Ext1(C/( — 1) ф кх, £).
К тройке (2) применим функтор Hom((9/(—1) ф кх, •) и выпишем кусок длинной точной последовательности: Нош(С/(—1)фАгг,5) —> Hom((9;(—1) фкх, 0/(—1) фкх) —> Ext1(C?|(—1) ф кх,£) -> Extl(C?/(—1) ф kx,S). Так как dimHom(Ci(-l) Ф kx),S) = 0 , climHom(C/(—1) ф кх, Ot(-1) ф кх) = 2 и Extl(0,(-1) ф кх, 5) = Ext2(5, Ot{-4) ф кх) = Н*(к1 ф 5V(—4))|/ = H'2(k'i ф 0,{-3) ф 0,(-4)) = 0, из последней точной последовательности мы заключаем, что
dimExt^C^-l) ф кх, £) = 2. (4)
Вычислим размерность Ext^S, £).
К тройке (2) применим функтор Нош(5, •) и выпишем начало длинной точной последовательности: 0 —» Hom(.S, £) —> Нот(5,5) —> Нот(5, 0/(—1) ф кх) —» ExtHS. £) -f Ext^S. 5). Так как HomfS. £) = 0 . dimHomfS. 5) = 1 . Ext1 = 0 и
dimHom(S,0i(-l)®*,) = dmiH°(fc;®5v(-l)|/) = сИтЯ0(Д-2 фС,фС>,(-1)) = 2+1 = 3, из последней точной последовательности мы получаем, что
dimExt1 (S, £) =2. (5)
Вычислим размерность Ebct" (C?/(—1) Ф
К тройке (2) применим функтор Hom(C?/(—1) ф кх, •) и выпишем конец длинной точной последовательности :
ЕкЬ\0,{-1) ф kx,S) -> Extl(Oi(-l) Ф кх, С>,(-1) ф кх) -» Ext2(Q(-l) Ф кх,£) ->
-> Ext2(0,(-1) ф кх, S) -> Ext2(C?,(-l) ф кх, 0,(-1) ф кх) -> Ext3((9/(—1) ф кх, £) -» -> Ext3(C?,(-l) ф kx,S) -> Ext3(<9,(-1) ф кх, Ot{-1) ф кх) -> 0. (6)
Для данной точной последовательности вычислим размерности групп, в нес входящих.
Вычислим размерность Ех^(С?Д—1) ф кх, 5). При выводе формулы (4) было доказано, что
сИтЕзЛ1 (£>,( -1) ф кх, 5) = 0. (7)
Вычислим размерность ЕхЪ1(С>/( — 1) фкх, ОД—1) ф кх). Размерность этой группы есть размерность косателыюго пространства к Р! х (~) в общей точке, поэтому
ШшЕхЛ^ОД-!) Ф кх, 0,{-1) ф кх) = 6. (8)
Вычислим размерность Ех1г(0/( — 1) ф кх, 5). Поскольку Ех1г(С?/( —1) фА-х, ¿>) = Ех11(5,С?,(-4) ф кх) = Н1{к2х ф 5у(-4)|,) = Н\к; ф 3) Ф 0,{-4)), мы имеем, что
аипЕхЬ2(0,(-1) ф кх, 5) = 5. (9)
Вычислим размерность Ех1г((!?/(— 1) ф кх, 0/(—1) ф кТ).
Вычислим размерность Ех11(С/, 0/(—3)). Выпишем кусок спектральной последовательности глобальных и локальных ЕхЪ-ов:
Н\Нот(0,, 0,{-3))) Ех^О,, 0/(-3)) -> Н0(£х^{О,, 0,{-3))). (10)
Вычислим размерность Ни(£х^(С?/, 0/(—3))). Для этого рассмотрим точную тройку : 0 —> Т/(—3) —> С\>(—3) —» (9Д—3) —» 0. Применим к ней функтор 'Нот{01, ) и выпишем кусок длиной точной последовательности : £х11(01, 3)) —* £х(1(0[, 3)) —> £х£"(СЗ/, Х/(—3)), которая с учетом равенства £х{у{0^, Сд(— 3)) = 0 приобретает вид :
0 -> £хЬ\Ои 0,(-3)) -> £х1-{0,, Х,(-3)). (11)
Рассмотрим точную тройку: 0 —> С\)(—4) —» 3) —+ 1}(— 3) —» 0. Применим к ней функтор Нош (С?/, •) и выпишем кусок длиной точной последовательности:
£х?(<Э,, Оу(-4)) ->£х*2(С},5(-3)) -» £х1-{0,,1,{~3)) £хЬ\Ои 0<,(-4)). (12)
Заметим, что £х£3(С>/, С?д(—4)) = 0, поскольку / является локально-полным исрс-ссчсннсм на <2, кроме этого Оо(—4)) = с1е1Л'/1о (8) Оо(—4)1/ = 0/(— 3) и
£х*2(С>„5(-3)) = с1еЬМ|д <8> 5(-3)|, = 5(-2)|, = 0,{-2) Ф 0,(-3). С учетом трех последних равенств последовательность (12) приобретает вид: 0/(—3) —> О/(—2) ф 3) —> £х1~(01, Т{(— 3)) —> 0, откуда несложно видеть, что пучок Т/(—3))
может быть равен либо (9/(—2), либо 0[{—2) ф (9/(— 3), н с учетом этого факта из последовательности (11) следует, что И (£х^(0[, ОД—3))) = 0. С учетом последнего равенства и того, что /11(7-/.от(01,0/(—3))) = /11 —3)) = 2 из последовательности (10) видно, что
сШнЕх^С»,, 0,(-3)) = 2. (13)
Поскольку Еи-{0,(-1) ф кх,0,(-1) ф кх) = (Ех^(С?,(-1) ф к*, ОД-4) Ф кх)У = (ЕхЪ1 (С>/, ОД—3)) ф из формулы (13), с учетом того, что
(йипЕхЬ1^, кх) = 3, как размерность косательного пространства в общей точке к ф, мы заключаем, что
сИтЕхГ'(0,(-1) ф кх, 0,{-1) ф А*) = 2 + 3 = 5. Вычислим размерность Ех£!((9/(—1) ф кх, £).
(14)
Для вычисления размерности этой группы рассмотрим следующую диаграмму:
(15)
где 1,1> и х попарно не пересекаются. Ограничив левый вертикальный столбец диаграммы (15) на точку х, он примет вид: 0 —> А3 —» ^^ —* кх —+ 0. Применив к последней тройке функтор Нот(-, А*) легко видеть, что
с1ппНот(£, кх) = 4.
(16)
Ограничив левый вертикальный столбец диаграммы (15) на прямую /, он примет вид : 0 —» 0/(— 1) фС?/(—2) —► £|/ —» 0[ —> 0. Примешав к последней точной тройке функтор Нот(-, 0{(— 4)), легко видеть, что
с1ш1Нот(£,С9,(-4)) =0.
(17)
Поскольку Ех<;3(С?,(-1) ф кх, £) = (Нот(£, 0,(-4) ф кх)У = (Нот(£,Ах) ф Нот(5, С9/(—4)))у, с учетом формул (16) и (17) мы получаем, что
сИп1Ех^(ОД-1) ф кх,£) = 0 + 4 = 4.
(18)
Вычислим размерность группы Ех^((9/(—1) ф кХ1$).
Поскольку Ех^(0,(-1) ф А*, 5) = (Нош(5,а(-4) Ф МГ = (Нот(0, ф ОД—1), О,(-4)) ф Нот(5, кх)У, то мы имеем:
сНтЕхе3(0/(-1) ф кх,в) =0+2=2. Вычислим размерность группы Ех1'!(С?/(—1) ф кх, 0[(—1) ф Ах).
С учетом формул (4), ( 8), (9), (14), (18), (19), (20) из последовательности (6) мы
Далее вычислим размерность группы Ext"(«S, £), входящей в последовательность (3). Теизорно умножим тройку (2) на «Sv, она приобретет следующий вид: 0 —> Sv 0 £ —> SV®S S*®(0/(—1)ф£х) —* 0. Выпишем кусок длиной точной последовательности групп когомологнй: ® (С?/(-1) Фкх)) -> H2(SV®£) -> H2(SV®S). Поскольку
и H2(SV S) = 0 ([см. 2]), то из данной последовательности мы получаем, что /r'(.Sv(g>£) = 0. С учетом последнего равенства и того, что Ext" (5, £) = (//-(¿>vi8>£))v,
С учетом формул (4), (5), (21), (22) и равенств: Нот(5, £) = 0, tlimHom(£, £) = 1,
К тройке (2), тензорно умноженной па Oq(— 3), применим функтор Нот(£, ■) и выпишем кусок длинной точной иолсдоватсльности: Hom(£, <i>(— 3)) —+ Нот(£, Ot(—4)ф кх) —> Ext!(5, 3)) —> Ext1^, 5(— 3)). В силу стабильности пучка £ и формул (18) и (22) мы имеем следующие равенства: Hom(£, S(—3)) = 0, dimHom(£, Oi{—4)фА^) =
равенств из данной точной последовательности получаем, что
Библиографический список
1. G. Ottaviani, M. Szurek, "On moduli of stable 2-bundles with small chern classes on Q3", Annali di Matematica Pura ed Applicata (IV), V. CLXVII, (1994), 191-241.
