О свойствах стабильных пучков ранга 2 с классами Черна С1=-1, С2 = 2, С3 = 0 на проективном пространстве P3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

тогда придется изменить структуру портфеля в узле (2,0) в соответствии с равенством —1 ■ 40 4- 108.3 = 68.3, для чего взять в долг 0.365 акции, продать их за 14.6 и увеличить фонд до суммы 108.3 — 78.08 ■ 1.2 + 14.6. Но это и будет означать, что независимо от цены акции в момент 3 продавец выполнит свои обязательства, то есть вернет акцию и выплатит 70 или 110, поскольку 108.3 -1.2 = 130 = 60 + 70 = 20+ 110.

Замечание 2. В рассмотренной ситуации момент оптимальной остановки r*(u,') = 1 на 4 траекториях-элементарных исходах и>, проходящих через узел (1,0), или 3 на 4 траекториях проходящих через узел (1,1). Ясно, что в этом последнем случае исполнение в конце срока жизни опциона. На первой же половине траекторий исполнять свой опцион владельцу надо в узле (1,0), если он не хочет, чтобы продавец что-то выиграл лишнее. II эти лишние суммы (17.29 или 38.99) мы указали.

Библиографический список

1. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики [Текст]. - М.: Фазис, 1998. - Т. 1, 2. -1024 с.

2. Лю, Ю-Д. Методы и алгоритмы финансовой математики [Текст]. - М.: Бином. лаб. знаний. - 2007. -752 с.

3. Жуленев, С.В. Стохастическая финансовая математика. Финансовые рынки в дискретном случае [Текст]. - МГУ, мех-мат. ф-т, 2007. - 104 с.

М.А. Заводчиков

О СВОЙСТВАХ СТАБИЛЬНЫХ ПУЧКОВ РАНГА 2 С КЛАССАМИ ЧЕРНА С1 = - 1, С2 = 2, С3 = 0 НА ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р'

Пусть £ - стабильный когерентный пучок без кручения ранга 2 на трехмерном проективном пространстве Р3 с классами Черна с\ = —1, о> = 2, сз = 0. В настоящей статье рассматриваются три семейства таких пучков £ с базами М\, А/о и Мз размерности 11, 13 и 15 соответственно. Доказывается, что семейства Mi, М> и Мз составляют открытые подмножества неприводимых компонент схемы модулей М = Мрв (2: —1,2,0) стабильных пучков без кручения с классами Черна с\ = — 1,сг = 2, сз = 0 на Р3. Эти семейства Mi, Л/о и Мз теоретико-множественно строятся следующим образом. Пусть Мг - открытое подмножество рефлексивных пучков в схеме модулей Мрз(2; —1, 1,1) стабильных пучков

В настоящей статье вычисляются группы Ext1 (£, £) для каждого семейства Mi, Mo и

Теорема 1. Для пучков £ G М\ dimExt1^, £) = 11, для пучков £ € dimExtx(£, £) = 15, для пучков £ € М3 dirriExt1 (£, £) = 19.

2 Семейство М\

Рассмотрим пучки £ € М\. Каждый такой пучок £ включается в точную тройку 0 —> £ —+ 37 Ош(1) —► 0. Вычислим размерность Ех^(£,£). Согласно [1, Proposition 3.4]

— dim Hom(£, £) + dim Ext1 (£,£) — dim Ext2 (£, £) + dim Ext3(£, £) = 10. (4)

Вычислим размерность Hom(£, £). Докажем, что кроме гомотетий, других гомоморфизмов из £ в £ не существует. Пусть ф : £ —> £ - не изоморфизм. Тогда имеется точная последовательность: 0—> £ —> Q —>0, где ЗС = кег(о), Q = сокег(о). Пусть далее £ := сокег(^). Так как ф — не изоморфизм, то rkQ = гкЗС = гкЭ". Следовательно, ф = 0.

Пусть х - точка в Р3, в которой пучок £ не имеет особенности. Ограничение пучка £|г на точку х изоморфно к2х. Пусть Л - собственное число оператора ф\х : —* Тогда ker(ci) — Aid(x)) следовательно, ф — Aid(x) - не изоморфизм. Поэтому ф — Aid(x) = 0

и ф = Aid(x), то есть ф - гомотетия. Поэтому Нот(£,£) = к.

Размерность Ext3(£,£) вычислим с помощью двойственности Серра. Ext3(£, £) = Hom(£, £(—4))v. Докажем, что Нот(£,£(—4)) = 0. Предположим, что существует гомоморфизм а : £ —> £(—4), и пусть ш : £(—4) А £, где s - уравнение гиперповерхности S степени 4. Следовательно, существует гомоморфизм £ — о о uj о —» £, который на гиперповерхности S равен 0. Но так как Нот(£, £) = к, то £ - гомотетия, и поэтому £ не может обнуляться на поверхности S. Поэтому Нот(£, £(—4)) = 0. Следовательно,

Прежде чем вычислить размерность Ех^'(£,£), сделаем некоторые замечания. Так как Э~ рефлексивный пучок ранга 2 без кручения на Р3 с классами Черна с\ = — 1, со — 1, Сз = 1, то согласно [1], Э7 включается в точную тройку: 0 —> 0(—1) —> Э7 —> 3/ —► 0, где / - прямая в Р3. Для дизъюнктных т и / имеем коммутативную диаграмму:

Ext3(£,£) =0.

0

0

0

0 -> ''/U,VlUl/2 -5> 3/ -> Ф ку2 -> 0

0->£--^-От(1)->0

0-> 3„,(-1)-> 0(-1)-> От(-1)->0.

0

0

0

Из точных троек 0 0(—2) 20(-1) -> J, -» 0 и 0 -» 0(-1) 7 3, -> О, где / - прямая в Р3, следует, что пучок J имеет локально свободную резольвенту вида: 0 0(—2) -» 30(-1) -> У -> 0.

Вычислим теперь размерность Ext2(£,£). Применим к точной тройке 0 —> £ —> J —> Om(l) 0 функтор Нот(*,£), получим точную последовательность:

Ext2(У, £) -» Ext2(£, £) -> Ext3(Ora(l), £) (6)

Вычислим размерность Ext3(Om(l), £). По двойственности Серра Ext3(Om(l), £) = Hom(£, Om(—3))v. Hom(£, Om(—3)) = Hom(£|m, Om(—3)). Рассмотрим точную последовательность 0 —» 3m(—1) —> £ —> 3/UviUy2 —+ 0. Ограничим ее па

т

, получим точную последовательность

rv

Зт(-1)|»

Jl\JyiUy:

0.

1т\т = N^/p3 = 20„,(—1), Змииши = От(—2) ф А-^ ф ку2. Нот(20ю(-2),0т(-3)) = 0, Нот (О (—2) ф к2, ф к2,, От(—3)) = 0. Следовательно, Нош(£,От(-3)) = 0 и Ехг*(0т(1),£) = 0.

Вычислим размерность ЕхЬ2^, £). Применим к точной тройке 0 —> 0(—2) —> 30(—1) —> Э" —> 0 функтор Нот(*,£), получим точную последовательность: Ех^(0(— 2), £) —> ЕхЬ2(У,£) -> Ех^(30(—1),£). Ех^(0(-2),£) = №(£(2)) = 0, Ех^(30(-1), £) = ЗН2(£(1)) = 0, следовательно, Ех^(~Г, £) = 0. Поэтому, используя (4), получаем, что Ех^(£,£) = 11. Таким образом, так как сНт Т[е] М = <1тгЕхЬ\Е,Е), то семейство М\ составляет открытое подмножество неприводимой компоненты схемы М.

3 Семейство Мо

Рассмотрим пучки £ £ №>. Каждый такой пучок £ включается в точную тройку 0 —> £ —» Э" —> 0„, ф кх —> 0. Вычислим размерность Ех^(£,£). Для пучков из Мо также выполняется равенство (4). Размерность Нот(£, £) и Ех13(£,£) можно найти аналогично параграфу 2 настоящей статьи.

Так же, как и в параграфе- 2, сделаем некоторые замечания.

Для дизъюнктных 77г и /, х £ т и х £ I имеем коммутативную диаграмму:

о-> W(-l)-> O(-l)-> Om(-l) Ф кх-> 0.

0 0 0 Таким образом, пучок £ включается в точную тройку:

0 —> 3mUx(—1) —> £ —> —> 0.

Вычислим размерность Ext2(£, £). Применим к точной тройке 0 —> £ —; О функтор Нот(*,£), получим точную последовательность:

Ext2(?,£) -» Ext2(£, £) -» Ext3(Om ф kx, £) Ext3(J, £).

О ,„фкх

(8)

Вычислим размерность Ех13(От ф кх, £). По двойственности Серра Ех^*(От ф кх, £) = Нот(£,От(-4) фкх)\ Нот(£, От(—4) Ф кх) = Нот(£, От(-4)) Ф Нот(£,кх). Нот(£,От(—4)) = Нот(£|т,От(—4)). Рассмотрим точную последовательность 0 —>

0. Ограничим ее на т, получим точную последовательность: 0. Зтих|„, = Зт\„, = Л^/р3 = 20„,(—1), Зщу|т =

'Юу

^тих( —1) ~> ^ ~~> ^Юу " 0 —> — 1)|т ~~*

0(-1) ф А:2. Нот(20т(—2), От(—4)) = 0, Нот(0(-2) ф к2, От(-4)) = 0. Следовательно, Нот(£,От(—4)) = 0. £|х = А4, следовательно, Нот(£,кх) = Нот(£|х,кх) = к4. Поэтому Ех^(Отфкх,£) = к4.

Вычислим размерности Ех^З", £) и Ех13(3", £). Применим к точной тройке 0 —> 0(—2) —» 30(—1) —> —» 0 функтор Нот(*,£), получим точную последовательность: Ех^(0(-2),£) Ех^2(3",£) Ехг2(30(-1),£) Ех^(0(-2), £) Ехг3(3",£) Ех13(30(-1),£). ЕхЬ1(0(-2),£) = Н1(£(2)) = 0, ЕхЬ2(30(-1),£) = ЗН2(£(1)) = 0, следовательно, Ех^(Э",£) = 0. ЕхЬ2(0(-2),£) = Н2(£(2)) = 0, Ех^(30(-1),£) = ЗН3(£(1)) = 0, следовательно, ЕхЪ3(30(—1), £). Тогда сШпЕх12(£,£) = 4 Поэтому, используя (4), получаем, что с1пнЕх^(£,£) = 15.

4 Семейство Мз

Рассмотрим пучки £ € Мз. Каждый такой пучок £ включается в точную тройку 0 —» £ —> Э" —> Ош(—1) ф АХ1 ф кХо —> 0. Вычислим размерность Ех^(£, £). Для пучков из Мз выполняется равенство (4). Размерность Нот(£, £) и Ех^!(£,£) можно найти аналогично параграфу 2 настоящей статьи.

Сделаем предварительные замечания. Для дизъюнктных т и /, х\,хп £ т и ХьХг ^ I имеем коммутативную диаграмму:

От(-1) Ф кХ1 ф кХ2->0

о-> W.uxa(-l)-* 0(-1)-* 0«(-1) ф *« Ф *„-> 0.

о

о

Таким образом, пучок £ включается в точную тройку:

о ~~* Зтих1№2 ( — 1) —► £ —> 3/ —> 0.