Компоненты схемы модулей стабильных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна c 1=-1,c 2=2,c 3=0 на трехмерном проективном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

М. А. Заводчиков

Компоненты схемы модулей стабильных пучков ранга 2

без кручения с классами Черна С1 1, с2 = 2, сз = 0 на трехмерном проективном пространстве

Мрз(2, 1,2,0) стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна c1 1, с2 2, сз 0 на

трехмерном проективном пространстве P . Доказано, что схема модулей есть объединение четырех

неприводимых компонент, размерности которых равны \ \, 15, 19 и \ \.

Ключевые слова: компактификация, схема модулей, когерентный пучок ранга 2 без кручения, трехмерное проективное пространство.

М. А. Zavodchikov

Components of the Moduli Scheme of Stable Bunches of the Rank 2 Torsion Free Sheaves with Chern Classes c\ = -1, c2 = 2, сз = 0 on Three-Dimensional Projective Space

In this paper we consider the Giseker - Maruyama moduli scheme

M Мрз (2;-1,2,0) of stable coherent rank 2 torsion free sheaves with Chern classes c\ \, c2 _ 2, сз _ 0 on 3-dimensional projective space P3 . We prove that a scheme M :=Мрз(2;-1,2,0)

is a union of four irreducible components of dimentions 11, 15, 19 and 11 correspondingly.

Keywords: compactification, moduli scheme, coherent torsion free rank 2 sheave, з-dimensional projective space. § 1. Введение

В статье рассматривается схема модулей Гизекера - Маруямы

стабильных

когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с1 = — 1, с2 = 2, сз = 0 на трехмерном проективном пространстве р . Геометрия пространств модулей

Мрз(2; с1, n,0)

стабильных

когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с1 = 0 или -1, с2 = n, сз = 0 на трехмерном проективном пространстве рз к настоящему моменту изучена только для малых n . А именно при с1 = 0 полная классификация всех компонент пространства

Мрз(2;0, n,0)

получена

лишь для n =1 (см. [17]) и n = 2 (см. [16]). При с1 = — 1 число n принимает только четные значения, и известно, что для любого четного n пространство модулей Мрз(2;—1 n,0) непусто и содержит

компоненту Мрз(—n) , которая является замыканием открытого множества Мрз(— 1 n) локально свободных пучков. В работе [10] Р. Хартсхорн и И. Сольс показали, что пространство модулей Мрз(-1,2)

стабильных локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна с1 1, с2 2 на рз является неприводимым неособым рациональным многообразием размерности 11. В статье

Х. Мезегера, И. Сольса и С. А. Стремме [15] описано замыкание Мрз

(-1,2)

многообразия

Мрз(-1,2) в схеме М . В работе автора [1] рассмотрены два подмножества пучков

© Заводчиков М. А., 2012

М1 — {[Е] е М| Е /Е « к х, Где х - некоторая точка в Р3}, (1)

М2 :— {[Е] е М 1 Е /Е ~ кх ® ку, где х и у - различные точки в Р3 } (2)

в М, имеющие размерности 15 и 19 соответственно, и доказано, что их замыкания М1 и М2 -неприводимые компоненты в М , отличные от Мрз(—1,2) . В настоящей статье рассматриваются три новых неприводимых подмножества пучков в М :

Мз :— {[Е] е М 1 Е "/Е ~ 0т (1Х где т - некоторая прямая в Р3 }; (3)

М4 :— {[Е] е М 1 Е "/Е ~ Q, где Q включается в тройку вида (5)}; (4)

0 ^ кх ^ О ^ От ^ 0, (5) где х - некоторая точка в Р3, а т - некоторая прямая в Р3;

М5:—{[Е] е М| Е /Е ~ О, где Q - пучок из точной тройки вида (7)}; (6)

0 ^ Q0 ^ Q ^ Om (-1) ^ 0, (7)

где Qo - артинов пучок длины 2, а m - некоторая прямая в P3. Показывается, что M есть объединение неприводимых множеств Мрз (-1,2), Mi, M2, М3, M4, М5.

Основной результат

настоящей статьи состоит в том, что многообразиями Mi, М2, Мз и Мрз(-1,2) , где dim M3 — 11, исчерпываются все неприводимые компоненты схемы М , то есть имеет место следующая теорема.

Теорема 1. М является объединением четырех неприводимых компонент, одна из которых есть Мрз (-1,2), две другие компоненты M1 и M2 размерностей 15 и 19 суть замыкания в М множеств

M1 и M2 , определенных в (1) и (2) соответственно, а компонента M3 имеет размерность 11.

Дадим краткое содержание статьи по параграфам. В § 2 доказывается, что все пучки из М с нульмерными особенностями лежат в M1 ^ M2. В § 3 определены множества пучков M3, M4 , M5 из М с особенностями размерности 1, и доказано, что М — Мр3(-1,2) u M1 u M2 u M3 u M4 u M5. В §4 мы доказываем, что M3 есть неприводимая компонента размерности 11 в М . §5 посвящен доказательству того, что M4 неприводимо. В § 6 доказывается, что M4 ^ M1. В статье основным полем k является поле

комплексных чисел C . Через [E] будем обозначать класс изоморфизма произвольного когерентного пучка E , а через O :— O 3 - структурный пучок трехмерного проективного пространства.

§ 2. Пучки из М с нульмерными особенностями

В настоящем параграфе мы опишем пучки

[E] е М,

которые имеют нульмерные особенности.

Рассмотрим произвольный пучок

[E] е М\M 3 (-1,2)

. Ввиду локальной несвободы пучка E и условия C3(E) — 0 рефлексивный пучок Evv не изоморфен пучку E (см. [9, 17]), и точна последовательность:

can е

0 ^ E ^ Ev Q ^ 0, (8)

где Q — Evv/E, a can : E ^ Evv - канонический морфизм, инъективный в силу того, что E - пучок без кручения. Поскольку SuppQ ^SingE и dimS/'ngE <1 для пучка E без кручения (см. [4,

Компоненты схемы модулей стабильных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна 71

c1 1 c2 — 2, c3 — 0 на трехмерном проективном пространстве

Следствие на стр. 109]), то ¿1т0 < 1. В работе автора [1] было показано, что при условии 0 — 0 возможны два случая: а) 1 (0) — 1 и Ь) 1 (0) — 2, где 1 (0) - длина артинова пучка 0 . Случай а) описывается множеством М1, определенным в (1). Пучки Е е М1 включаются в точную тройку:

0 ^ Е ^ Е"" ^ кх ^ 0. (9)

Пучок Е"" - стабильный рефлексивный пучок с классами Черна <\(Е"") — -1, С2(Е"") —2, . Пучок Е входит в точную тройку

0 ^ 0(-1) ^ Е""^ ^ 0, (10)

где 11 и 12 - скрещивающиеся прямые в Р3. Пучки Е"" описаны в [14]. В работе [1] было доказано, что М1 есть компонента в М размерности 15.

В настоящем параграфе рассматривается множество всех пучков, удовлетворяющих условию Ь) ,

то есть множество

Mb :— {[E] Е М I E /E - артинов пучок длины 2}.

M

_ (11)

По определению множество M2 (см. (2)) лежит в Mb . В работе [1] было доказано, что M2 есть компонента в М размерности 19. Основным результатом настоящего параграфа является следующее предложение.

Предложение 1. Mb с M2; тем самым, все пучки с нульмерными особенностями лежат в M1 ^ M2. Рассмотрим Quot -схему QuotMb ~ Quot(2O(-1) Ф O(-2),2) классов эквивалентности фактор-пучков пучка 2O(—1) Ф O(—2), имеющих многочлен Гильберта равный 2.

Лемма 1. Схема quotmb неприводима. Доказательство. Рассмотрим пучок [E] Е

Mb. В статье [1] показано, что E - стабильный рефлексивный пучок ранга 2 с классами Черна c1 (E ) — -1 , c2 (Ev v) —2, C3(Ev v) —4 . Согласно [9, Example 4.2.3], пучок Evv включается в точную тройку 0 ^ O(—1) ^ E ^ 'с ^ 0, где C - некоторая

коника в P3. Используя эту тройку и 0 ^ O(—3) ^ O(—1) Ф O(—2) ^ 'с ^ 0, получаем локально

e1

свободную резольвенту пучка Evv: 0 ^ O(—3) ^ 2O(—1) Ф O(—2) ^ Evv ^ 0. С помощью точной

е1

тройки (8) и сюръекции 2O(— 1) Ф O(—2) ^ E vv строим следующую коммутативную диаграмму:

где К - ядро отображения д — 8° е1. Так как многочлен Гильберта Ро(п) ' Х(0(пУ) пучка О равен 2, то по определению класс [20(-1) Ф 0(-2) 2 О] эпиморфизма д по модулю автоморфизмов пучка 0 есть точка схемы °п°мь . Пусть (20( 1) Ф 0( 2)))0Оп°1мь — 0°иымь - универсальный эпиморфизм на Р х °п°^мь , и пусть К - ядро этого эпиморфизма. На Р х °п°^мь рассмотрим

пучок К(3)' К ® (0р3 (3))0<«°<мь \ По построению для любой точки уе Ои°^мь имеем К (3) ® к у — К (3), где К(3) '— К ® 0(3).

Пусть р2 'Р х °и°^мь — - проекция. Над схемой °и°^мь рассмотрим проективный

р у

спектр Т '— Рт°]((р2*К(3))7) —• ОпЫ^ симметрической алгебры пучка (р2*К(3)) , и пусть

0т(1) '— 0т/Оп°«мь (1) - пучок Гротендика на Т относительно проекции р . В силу замены базы [5, Следствие 12.9] следует, что пучок

Рт*К (3) локально свободен. Отсюда в силу неприводимости схемы °и°\ получаем следующее предложение. Предложение 2. Схема Т неприводима.

Далее докажем, что множество мь, определенное в (11), неприводимо. Рассмотрим декартов квадрат

Р2

VI

Т--—*QuotM,.

ь

Существует естественный эпиморфизм 8 ' р (р2*К(3)) 20т

(1) и двойственный ему морфизм 87 ' 0Т(-1) — р ((р2*К(3))7 . Так как пучок Р2*К(3) локально свободен, то имеем изоморфизм пучков ((Р2*К(3))7)Р2*К(3). Тем самым, существует изоморфизм

Поэтому поднимая мортизм 8 на P3

p\{p2K(3))J )р2* Р K(3)

* ^ ~ . Поэтому, поднимая морфизм 8J на P3 хT , получаем морфизм

пучков ф'— ~*2 847 % 0Т(-1) - р\р 2* Рр К(3). Пучок К(3) порождается своими

сечениями и Н (К(3)) — к . Отсюда и в силу замены базы отображение вычисления

' р* р ч - сюръекция. Тем самым, морфизм ~ „ -

е\ ' р 2 р2* К(3) — К(3) р ' ^ е\ ' р 2 р2* р К(3) — р К(3)

также сюръекция. Определим пучки Е и Е на Р х Т как коядра композиций

Л'— ег °ф' 0.(-3)н

0Т(-1)-ЛЛрР*К и £ ' 0Р3(-3)ЮТ(-1)Лр*К°(20р3(-1) Ф 03(-2)) ^Т соответственно. Теперь мы можем построить следующую коммутативную диаграмму'

Рассмотрим в I открытое подмножество

Т :—{ е Т|((20(-1) 0 0(-2)) И

0т( 1))/0рзхТ( 3))|Р3Х{,} - рефлексивный пучок на Р3}. По построению ограничение диаграммы (14) на Р х /, где ^ - точка в Т, есть диаграмма (12). Выберем произвольный пучок [Е]

из

множества Мь. Используя точные тройки (8) и 0 ^ 0(-1) ^ Е""

^ {с ^ 0 , мы можем построить

коммутативную диаграмму (12). Тем самым, определена точка ^ — ([^],к«) е Т, где е Quotмь , а к х - класс пропорциональности сечения х пучка

К(3)

. Поэтому всякий пучок

[Е]

из множества

Мь представлен точкой ^е Т такой, что [Е] [Е|Р3^]. Следовательно, Мь совпадает с образом

модулярного морфизма 1 : Т ^ М: ^ а [Е|Р3х(-]. В связи с этим, в силу неприводимости Т верно следующее предложение.

Предложение 3. Множество M6 неприводимо. Рассмотрим открытое в T плотное подмножество To • G T I (F/E)p3xi >k* ® k

y, где

* и У -

различные точки в Р 3 }. По определению I (Тс) — М2 (см. 2). Отсюда М2 есть плотное подмножество в Мь в силу предложения 3. С другой стороны, в работе [1] было доказано, что замыкание М2 множества М2 в схеме модулей М является неприводимой компонентой в М размерности 19. Отсюда получаем, что М2 с Мь с М2. Предложение 1 доказано.

§ 3. Предварительные вычисления для пучков с одномерными особенностями

Основным результатом настоящего параграфа является следующая теорема.

Теорема

Схема

модулей

M

есть

объединение

множеств

M 3 (-1,2) u Mi u M2 u M3 u M4 u M5.

Рассмотрим пучки

[E] Е М

, включающиеся в точную тройку (8), для которых dim Q 1. Тогда C1(Q) —0, и, тем самым, многочлен Черна пучка Q имеет вид Ct (Q) — 1 — lt2 + C3(Q)t3 , где

l — Z(Q ® OP2) для общей плоскости P2 с P3. Отсюда и из (8) получаем равенство: ct (E) — (1 — t + c2 (E v v )t2 + c3 (E v v )t3 )/(1 — lt2 + c3 (Q)t3) —

(1 — t + c2 (Ev v )t2 + c3 (E v v )t3 )(1 + lt2 — c3 (Q)t3) — 1 — t + (c2 (Ev v) + l)t2 + (c3(Ev v) — l — c3 (Q))t3. По

определению C1(E) — — 1, C2(E) — 2 , c3(E) — 0, поэтому из предыдущего равенства получаем, что

C2(Ev v) — 2 — l — 2 + C2(Q), (15)

C3(Ev v) — l + C3(Q). (16)

Замечание 1. Пусть E - стабильный когерентный пучок ранга 2 без кручения с классами Черна C1(E) — —1, c2(E) — 2, C3(E) — 0 на P3. Тогда Evv № -стабилен [см. 4, Глава II, Лемма 1.2.4(iii)].

Замечание 2 Если чистый пучок F на P3 № -стабилен, то он является стабильным [см. 11, Lemma 1.2.13].

Из замечания 1 следует, что пучок Evv № -стабилен, а из замечания 2 получаем, что Evv

стабилен. Так как E - стабильный рефлексивный пучок и C1(Ev) — —1, то C2(Ev) —1 [9,

Corollary 3.3]. Из условия dimQ — 1 следует, что l >0, поэтому из равенства (15) получаем, что

l — 1 — —C2(Q) , тем самым, C2(Ev v) —1 . Согласно [9, Example 4.2.3], пучок E входит в точную тройку:

0 — O(—1) — Evv — I, — 0, (17)

где l - некоторая прямая в P3 и C3(E ) — 1. Итак, имеем равенства

C1(Evv) — —1, C2(Ew) — 1, C3(Evv) —1. (18)

Нетрудно увидеть, что пучок Evv имеет локально свободную резольвенту вида

0 — O(—2) — 3O(—1) — Evv — 0. (19)

Также включается в каноническую последовательность

0 — Ev v — 3O — O(1) — OP — 0, (20)

где P - точка в P3. Точка P является особенностью пучка E .

Отсюда и из (16) находим, что C3(Q) — 0 . Из полученных выше равенств следует, что многочлен Черна Ct (Q) пучка Q равен 1 — t2, поэтому SuppQ есть некоторая прямая m в объединении с не более чем конечным числом точек, и Q включается в точную тройку:

0 — Q0 — Q — Om (n) — 0, (21)

где dimQ0—0.

Определим возможные значения n . Пучок Evv порождается глобальными сечениями, значит то же верно и для любого его факторпучка. А пучок m (n +1) порождается глобальными сечениями, когда n +1 — 0, следовательно, n — 1.

Так как l(Q0) — 0, n — — 1 и l(Q0) + n — 1, то для пары (l(Q0), n ) возможны три случая: 1)

l(Q0) —0, n — 1; 2) l(Q0) — 1, n — 0; 3) /(Q0) —2, n — —1.

В случае 1) из () следует, что Q — Om (1) и точная тройка (8) имеет вид:

0 ^ E ^ Evv ^ Om (1) ^ 0. (22)

Случаю 1) соответствует множество пучков Мз, определенное в (з), которое будет рассмотрено в

§ 4 настоящей статьи. В случае 2) пучок Q включается в точную тройку (5). Этому случаю

соответствует множество пучков М4 (см. 4), которое будет рассмотрено в § 5 и § 6 настоящей

статьи. В случае з) пучок Q включается в точную тройку (7). Множество М5, соответствующее случаю з), было рассмотрено в статье автора [12].

Таким образом, множества Мз, М4, М5 в М соответствуют случаю dimQ = 1. Согласно

предложению 1, пучки E из М, соответствующие случаю dimQ = 0, лежат в объединении Mh и

M2. Случаю Q= 0 соответствует подмножество Мрз(-1,2) в М. Отсюда, так как dim Q ^1, получаем теорему 2 - основной результат настоящего параграфа.

§ 4. Множество Мз

В настоящем параграфе мы докажем, что замыкание Мз множества Мз, определенного в (з), является 11-мерной неприводимой компонентой в М. Другими словами, имеет место следующая теорема.

Теорема 3. 1) Множество Мз является 11-мерным неприводимым подмножеством в М. 2) Мз есть неприводимая приведенная компонента размерности 11 в схеме модулей М.

Для доказательства теоремы з мы построим семейство пучков E с базой, биективно

отображающейся на Мз посредством модулярного морфизма (см. предложение 4 ниже). Для этого

нам потребуется описание рефлексивных пучков на рз с классами Черна с1 1, с2 = сз =1, данного в [9, Lemma 9.з]. Из этого описания непосредственно следует, что пространство модулей таких пучков канонически изоморфно рз и универсальный пучок F на рз х рз существует и включается в точную тройку

0 ^ Орз (-2)3 Орз ^ Орз(-1)НТрз(-1) ^ F ^ 0. (2з)

Положим Y := р х G, где - грассманиан прямых в рз. Пусть pr12: р х Y ^ р х р ,

pru: рз х Y ^ рз х G и Р : рз х Y ^ Y - проекции, Г :={(x, m) е рз х G | x е m} - график

рз хr D A := p»Hom(pr]2F, O (1)) Y ~

инциденции в P x r . Рассмотрим пучок г г 12 г на Y , где p := pr _1(Г)' Гх Pз

O (1) O 3(1))O 3 |

и ~ = p3 p3xr L

Г Г

Лемма 3. Пучок A локально свободен.

*

Доказательство. Применяя к точной тройке (23) функтор pr12, получаем

0 ^ Op3 (-2)13 OP3 l3Or ^ OP3(-1)ETP3(-1) Or ^ 0, (24)

где 2 := P3 x Y и F2 := p F . Имеем изоморфизм пучков Hom(Fi, Or (1)) ~ Fs ® Oг (1) . Так как F -рефлексивный пучок, то используя [9, Proposition 1.10], получаем изоморфизм F2 ~ F2 ®det F2. Легко видеть, что det Fi ~ OP3(1)I3 Op3(-1)^Or . Тогда пучок Hom(Fs, Or(1)) изоморфен пучку

FE ® (OP3 (2)isg Op3(-1) 3gOr |г). Пусть У = (z, my) - произвольная точка в Y . Очевидно, что

Ho4Fz, 0~(1))|{P3XJ} - (1) 0 ^ (2), если z ^ my, и Hom(Fz, О р(1))|{рзх - ^ (1) 0 kz

если z Е my . Из равенства многочленов Гильберта пучков Omy (1) Ф Omy (2) и 2Omy (1) Ф kz и из [11, Proposition 2.1.2] получаем, что пучок Hom(Fz, O~(1)) - плоский над Y. Отсюда так как

h (y, Hom(Fz, 0~(1))) 5 для любого y Е Y , то, применяя замену базы [5, III, Следствие 12.9],

получаем, что A - локально свободный пучок.

Пусть P :— Proj(Av) - проективный спектр симметрической алгебры пучка Av и Op (1) -пучок Гротендика на нем. Имеем декартов квадрат:

Р® х Р х Y

-Г,

где п : р ^ У - структурный морфизм. Рассмотрим естественный эпиморфизм £ : п А ^ °р (1) и ему двойственное отображение £" : 0Р (-1) ^ (п А")" . В силу локальной свободы А имеем

id ®сап

(п А" )" « Ж (А"") « Ж А . Рассмотрим композицию

РЕ ® р р*Иот^, О (1)) ^

г

mult л , „ —* —* ,

...........^

Fz® Hom(Fz, О (1)) ^ 0 (1) и отображение п ¥: п (Fz ® p*p*Hom(Fz, О (1))) ^ п0 (1)

г г г г

Изоморфизмы n(Fz ® p*p*Hom(Fz,0~(1))) - п\ ® п*р p*Hom(Fz,0~(1)) -

п Fz ® p п p*Hom(Fz, 0 (1))

определяют композицию

г

—* —* —* —* чО (1) *

X — р ^®£") : п Fz ® р 0Р(-1) ^ п 0~(1) . Рассмотрим в Р открытое подмножество Р

такое, что Х|Р* - сюръекция.

Определим семейство пучков Е как кег(Х|Р*). По построению ограничение Еу Е|Р3ху пучка Е

для произвольной точки у — ([Fy], ту ,< £ : Fy 0 ту (1) >) е Р , где [Fy] - класс изоморфизма пучка

—* *

Fy — (п р F)|Pзх , ту - прямая в Р3, а < - класс пропорциональности эпиморфизма £,

принадлежит множеству М3. Тем самым, определен морфизм / : Р ^ М3: У а Е у . Очевидно следующее предложение.

Предложение 4. Отображение ! является биекцией.

Схема Р есть проективная неприводимая схема, так как пучок А локально свободен. По построению размерность Р равна 11, и в силу предложения 4 имеем 11 — /(Р ) — ё1т М3. Отсюда получаем утверждение 1 из теоремы 3. Следовательно, размерность любой неприводимой компоненты схемы М, содержащей М3, не меньше, чем 11, то есть

^гаТ[Е]М - ^mT^M^ > dimМз П, где E е Мз. Так как E - стабильный пучок, то, как известно

из [1з], dm^^ = dimExí1(E,E). Далее, согласно [2, §2], dimExtx(E,E) = 11, откуда следует, что

dim T[E]^^ = W. Отсюда получаем, что dim T[E]Mз = W, поэтому Мз есть неприводимая приведенная компонента размерности 11 в М . Тем самым, получаем утверждение 2 теоремы з, чем завершается ее доказательство.

§ 5. Множество М4

В настоящем параграфе рассматривается множество М4 пучков E, определенное в (4). Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 4. Множество M4 неприводимо.

Мы построим плоское семейство E 4 пучков E с неприводимой базой, обозначаемой ниже через W такое, что образ схемы W при модулярном морфизме g : W ^ М : w a [Е4рзх{и,}] есть М4 .

Предложение 5. Схема W неприводима.

Для доказательства предложения 4 сделаем несколько предварительных построений. Многочлен Гильберта pq (n) = x(Q(n)) пучка Q из (5) равен n +2, поэтому класс [зО(-1) ^ Q ^ 0] эпиморфизма а по модулю автоморфизмов пучка Q есть точка Quot -схемы Quot := Quot(зO(—1),n + 2) фактор-пучков пучка зО(-1) с многочленом Гильберта n + 2. Обозначим через X прямое произведение схем р х р х Quot. Рассмотрим проекции p12 : X ^ рз х рз, Р\з : X ^ рз х Quot, п: X ^ Y := рз х Quot. На рз х Quot имеется

универсальный эпиморфизм зО(-1) ^°Quot ^ Q ^ 0 . Рассмотрим пучок HomOX (p\2Oд, p\зQ), где Д - диагональ в р х р . Согласно утверждению Гротендика [8, 7.7.8-9], существует когерентный О Y -пучок N такой, что для любой подсхемы Z в схеме Y существует изоморфизм

пучков HomOX (p\2O д, pnq ®пО z ) ~ ^^^ Oz ). В частности, беря в качестве подсхемы Z точку y е Y , получаем, что ^omikx{y}, QPзX{^ = ky) ф 0, тогда и только тогда, когда

y е SuppN. Рассмотрим приведенную подсхему в Y, заданную идеалом V AnnN. Как множество й совпадает с = {( x, У = [зО(-1) ^ ^ y} ^ 0]) е Yl0 ^ kx ^ ^ y}}.

° p1iO4® O ит_0 3 ® O

Обозначим через д~ пучок ^ и через ^^ пучок ^зН^ Возьмем в

вышеупомянутом утверждении Гротендика ^ = д . Тогда имеется точная тройка:

can

0 ^ Од ® Hom(Oд , Q ) ^ Q ^ Q' ^ 0,

п п п п

где Q := coker(can). Обозначим через nN проекцию п : рз х п ^ П . По утверждению

Гротендика [8, 7.7.8-9] существует когерентный пучок N такой, что для любой подсхемы Z в схеме

, пПHom(Oд , Q'® Оz ) „ Hom(N' О ) ^

~ имеется изоморфизм пучков ~ ~ Hom(N, OZ). Определим в ~

П п П

замкнутую подсхему П , заданную идеалом д/АппЫ . Пусть р :У ^Quot - проекция, тогда рП' :— р|П' : П ^ р(П ) - двулистное накрытие. Обозначим через Quotм5 образ схемы р(П ) при проективном морфизме р . Quotм5 является замкнутым подмножеством в Quot в силу проективности морфизма р . На

Quotм5 — р(П )

введем структуру приведенной подсхемы в Quot.

По построению

sets

О^М —{[3°(-1)^0^0] Е0 включается в тройку (7)}. (25)

Далее рассмотрим схему п :— П\ п' . Тогда по конструкции морфизм р|П : П ^ р(П) —: Quotм4

является биекцией, поэтому на °М°М4 определена структура приведенной локально замкнутой подсхемы в Quot. По построению

QuoM —{[3O(—1)^Q^0] eQuot| Q включается в тройку (5)}. (26)

Рассмотрим в QuotM4 открытое подмножество

Quot* {[3O(-1) ^ Q ^ 0] G QuotM4 1 X G m в тройке (5)}. (27)

Очевидно, что для [3O(—1) ^ Q ^ 0] G Quot имеет место изоморфизм Q ~ Om ® kx,. Заметим,

й (5) Q — о

что если тройка (5) не распадается, то легко видеть, что ~ , где ~ - неприведенная схема с

m f/l

носителем m (прямая m с вложенной точкой X ), поэтому, рассматривая в QuotM4 подмножества Quot„r :—{[3°(-1) ^ Q ^ 0] G QuotM4 | в (5) Q = Om , где m - схема с носителем на прямой m ,

неприведенная в точке X G m } и Quotds :—{[3O(-1) ^ Q ^ 0] G QuotM4 1 в (5) X G m и

Q — Om ® kx }, получаем, что

*

Quotм4 — Quot и Quotnr и QuotdS. (28)

Ниже в лемме 4 мы докажем, что множество Quot неприводимо, в леммах 5 и 6 - что Ои° и ОиШт и Quot и Quotds - образы неприводимых множеств при некоторых морфизмах в . Отсюда будет следовать, что множество °М°М4 неприводимо (см. лемму 7).

Лемма 4.Quot - неприводимое открытое подмножество в Quotм4 .

Доказательство. Пусть О - грассманиан прямых в Р3 и Г - график инциденции в Р3 х О. Рассмотрим проекцию ё : Q^ О х Р3 \ г : [30(-1) ^ 0т 0 кх ^ 0] а (m, х) . По построению Quot — ё 1(0хР3\г) - открытое подмножество в схеме Quotм4 . Слой ё -(т, х) — Homep' (30(-1), От 0 кх)/АШ(От 0 кх), где

а

Homepi (30(-1),От 0 кх) — {(30(-1)^От 0 кх) е Hom(30(-1), 0т 0 кх) | а - эпиморфизм}

есть плотное открытое, а значит, неприводимое подмножество в Н°т(30( ^ 0т ф кх) ~ к . Так

как Ш(0т Ф к я ) —(к *)Х2 , то отсюда следует, что слой % (т, х) над каждой точкой

(Щ х) ^ р3 х О \ г неприводим и имеет размерность 7. Тем самым, множество неприводимо

размерности 14.

Лемма 5. ^ 0и&пг есть образ в °и°м4 неприводимого множества при некотором

морфизме.

Доказательство. Рассмотрим произведение Р х Р х О и проекции ртх ' Р х Р х О — Р ,

рг13' Р3 х Р3 х О — Р3 х О, рг23' Р3 х Р3 х О — Р3 х О, рг12' Р3 х Р3 х О — Р3 х Р3. Пусть

ъ1'— рг131(г) и Ъ2'— рг12х(Д), где А - диагональ в Р3 х Р3. Имеем точную тройку'

и ^2

0 ^ ^ ® 0z2 ^ °zjnz2 ^ 0. Пусть ß: рз х G ^ рз х G - раздутие P3 х G вдоль

графика инциденции Г ^ Р3 х О. Обозначим через 8 проекцию р3 х р3 х о — р3 х о ■

Докажем, что пучок 3 ) z2 - плоский над р3 х о . Для этого воспользуемся утверждением [3, 9, Следствие 3], согласно которому достаточно показать, что существует целое число по такое, что для любых п > по пучок

8«(/^р3 х8) (02ги22 ® рг 0(п))

локально свободен.

Применим к тройке 0 — 0® ргГ0(п) — (0ъ1 Ф 0ъ2)®ргГ0(п) — 0®ргГ0(п) — 0 функтор

3 ~ , получим'

0 х8*(0^ъ2 ®рп0(п))х8)*((021 Ф0ъ2)®ргОД)—

—8(кр ^(О^ ®PrСЩ))-0, (29)

По определению очевидно, что пучки 0ъ и 0ъ2 - плоские над Р3 х О, следовательно, пучки

3 хс^ 0 также плоские р3 х о . Поэтому пучок

8*(/^р3 х8) ((021 ф 022) ® ргх 0(п))

локально свободен для всех п > п1 , где п1 - некоторое натуральное число. Имеем изоморфизм

8 рг23*0 ъ1пъ2 . Отображение

рг23 ' Ъ1 ^ Ъ2 — Г является изоморфизмом. Тогда 8 рг23*0ъ1пъ2 ® рг1 0(п) - обратимый пучок на исключительном дивизоре г — д- (г) раздутия 8. Отсюда и из (29) получаем, что 8*Н3 х8) (Ръ^ ® рг1 0(п)) локально свободен для п > щ . Тем самым, пучок х8) 0ъ1 плоский над р3 х о .

Рассмотрим схему X '— Рг°/((8;Н°т(30(-1) В ^' и ^ где хЗу1^)-

0 ~ , 0 ~ ~))J)

P3xG Z1uZ2

Имеем 0z ^ = 0р

J2 . (ld Xß) (Z2)

Z2:=(id x ß)-1 (Z2). имеем р3х^ paup2. пусть p : X ^ P3 х G - естественная

проекция. Пучок 3 г г иг локально свободен, так как в силу

Р хО 12 12

замены базы его ограничение на произвольную точку ^ е P3 х q есть Hom(3O(—1), Q) — k , где

Q — O ф k Q — O~ „ m

wm ш Лx или m - структурный пучок схемы с носителем на прямой , неприведенной в

точке x Е m . Следовательно, схема неприводима.

Пусть OX (1) - пучок Гротендика на схеме X и q : P3 х X — X - проекция. Тогда определен

й ф Ox (—1) — p*S*3O ~ ~(1) ф

канонический морфизм Z , и, следовательно, определен морфизм

v: q Ox(—1) — qV£3O ~ ~ (1) И ф

x Z~ . Используя морфизм вычисления

ev : (id х p)V£3O (1) — (id х p)*3O (1)

Z~ uZ2 Zj uZ2 , построим композицию

evov: q*Ox(—1) — (idx£')*3O (1)

x Z uZ . С помощью естественного изоморфизма

3O (1)«(3O(—1)H O )v ® O ж a 3O(i)K.

Z uZ 3 Z uZ строим морфизм пучков "X 3O(_1) ш

12 P xQ 1 2

Ox — (id x p)*O ~ ~ ® (O,H O (1)W O~ ~ „ ~

ZwxwJ. Так как пучок Z1u~2 - плоский над p3 х q , то пучок

(id х p)* O ~ ~ ® (O^ O (1)) -Fx а

Zp Oxw/ - плоский над X . Тогда существует морфизм схем

ф : X — QuotM4 такой, что «X — ®*aQuot, где ^o^ :3O(—1) Я °Quo4 — QQuotM4 -

универсальный морфизм. По построению imф — Quot u Quotnr. Тем самым, в силу неприводимости X, получаем, что Quot u Quotnr есть образ неприводимого множества при морфизме ф.

Лемма 6. Схема Quot и Quotds есть образ в °и^М4 неприводимого множества при некотором морфизме.

Доказательство. Рассмотрим пучок Ог1 0 Ог2 из доказательства леммы 5. Очевидно, что этот пучок - плоский над Р3 х О . Пусть :— Proj(P2з*Hom(30(-1) И ОРзИ Оо, Ог1 0 Ог2)") и у : у __ Р3 х О - структурный морфизм. Слой проекции у над каждой точкой (х,т) Е Р3 х О

изоморфен Hom(30(-1), О

тх

) - Р8 , где х Е т . Поэтому схема у неприводима. Пучок (^х (Ог1 0 ОО/1(1) - плоский над . Тогда существует морфизм

ф1: 71 _ ^М, такой, что ^ Ф*аQuotм4, где а<^М4 : О(-1) Н Ю<2иЧ _ ^^ По построению 1тф1 — Quot и Quotds. Отсюда, в силу неприводимости , получаем, что и Quotds есть образ неприводимого множества при морфизме Ф1.

Компоненты схемы модулей стабильных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна 81

Лемма 7. Схема °и°м4 неприводима.

Доказательство. Для доказательства настоящей леммы мы воспользуемся легко проверяемым утверждением' если множество X покрывается образами Х1 и Х2 двух неприводимых множеств при некоторых морфизмах так, что Х1 ^ Х2 есть открытое плотное неприводимое множество в X, то X неприводимо. Применим это утверждение к случаю Х — °и°м4 , Х1 — ^ ,

х2 — ^ °и°^пг, а Х1 ^ х2 — . Тогда, используя леммы 4, 5 и 6, получаем, что схема

°и°\ неприводима.

Рассмотрим пучок [Е] е м4. Из определения м4 (см. (4)) следует, что Е включается в точную тройку (8), где 0 - пучок из (5). Поэтому Е77 - стабильный рефлексивный пучок на Р3 с классами Черна с1(Е77) — -1, ^(Е™) —1 и с3 (Е77 ) — 1 , удовлетворяющий точной тройке (17). Используя тройку (19), строим коммутативную диаграмму'

где Н - ядро отображения а 8 ° е .

На Р х °и°*м4 имеется универсальный эпиморфизм 30(-1) ® 0°и°*м4 — 0м4 — 0, где

м4 \°и°^м4 - универсальный пучок на

Р х Ои&мл . Пусть Н - ядро этого эпиморфизма. На р3 х °и°1м имеется пучок Н°т(0р3хдг°м , Н(2)) где Н(2) '— Н ® (0р3 (2)

В 0°и°м,,). По

построению для любой точки у е °и°м4 имеем' Н(2) ® кч — Н(2), где Н(2) — Н ® 0Р3 (2) . Лемма 8. Пучок

Н(2) из коммутативной диаграммы (30) порождается своими сечениями и

Н0(Н(2)) — к8.

Пусть pr : P х QuotM4 — QuotM4 - проекция. Над схемой QuotM4 рассмотрим проективный

W:— Proj((pr*Hom(O 3 , H(2)))v) „ р: W — Quot, Тд

спектр JKK±^ v PxQuotM с проекцией f ^ vm^m4 . Из леммы 8 и

"4

\ v

б Г5 г пот (pr*Hom(O 3 ,H(2)))v б

замены базы [5, Следствие I2.0J следует, что пучок P3xQuotM^ локально свободен.

В связи с этим, так как схема QuotM; неприводима (см. лемму 7), получаем следующее предложение. Предложение 2. Схема W неприводима.

Рассмотрим в W открытую плотную подсхему W := {w е W I (3OP3 (-I))Ow/OP3 (-2))Ow)p3x{w} - рефлексивный пучок на P3 }. Аналогично рассуждениям после предложения 2 получаем, что M4 совпадает с образом модулярного морфизма g : W ^ M : w a [E4p3xw ]. Отсюда и из предложения 5 получаем следующий основной результат этого параграфа.

Предложение 7. Множество M4 неприводимо.

§ 6. Включение множества M4 в Mi

В настоящем параграфе рассматриваются множества MI и M4, участвующие в формулировке

теоремы 2. Как отмечалось в §2, замыкание Mi множества Mi в M является неприводимой

компонентой размерности I5 в M. Докажем, что M4 лежит в Mi . Отсюда будет следовать следующая теорема.

Теорема 5. M4 не составляет неприводимой компоненты в M.

В силу неприводимости M4 нам достаточно убедиться в том, что общая точка [E] е 4 лежит в неприводимой компоненте Mi . В схеме quotm4 формулой (27) определено подмножество Quot .

Рассмотрим открытое плотное подмножество W W xquotm4 Quot в схеме W . Обозначим через

m; образ множества W * в схеме модулей M при модулярном морфизме J . Пусть Г - график инциденции в P3 x G. Рассмотрим схему T := GхГх P3 и ее открытую подсхему T :={(/, У,m,x) e T11 и m - скрещивающиеся прямые, x е m, y e m , xУ e l и x * y }. Пусть &2: P3 x T'^ P3 x G, £I3 : P3 x T^ P3 x P3, : P3 x T ^ P3 x G, £5 : P3 x T^ P3 x P3, £: P x T'^ P3, P x T'^ T', ^I23 : P3 x T ^ P3 x G x P3, ¡;X4i: P3 x T ^ P3 x G x P3 - проекции. На P3 x T имеется пучок B = Extl2 О^ш'гид, ^ш'гид OP3 (-I)) . Прямые вычисления показывают, что Ext (l/ и У,1 mu x (-I)) = k4 для любой точки t = (/, y, m, x) eT. Тем самым, для произвольной точки t eT замена базы дает, что B ®k t = Ext (|/ {Jy , ^ x(-I)), и, согласно [6; Satz3(ii)], пучок B

локально свободен ранга 4. Рассмотрим схему Q := Proj (B) ^ T . Так как T , очевидно, неприводимо, то в силу локальной свободы пучка B получаем, что

Q неприводимо.

Рассмотрим в Q открытое плотное подмножество

Q*:={® = (/, y, m, x,< 4>) eQ|^e Ex^U (-I))\ S(Hom(Iluy, O m (-I) ® k x )), где S -

связывающий гомоморфизм в точной последовательности Ext -групп:

0 — Н°т(\Юу,0т(-1)Фкх)—Ъх?(\Юу,!т,х(-1))—Ех?(\Юу,0(-1))}. Из универсальных свойств пучка В (см. [12]) следует, что на Р3 хП определен пучок Е такой, что его ограничение

I— _ р ^

a = p3xa на произвольную точку a = (¡, y, m, x,< ёП есть расширение

(31)

задаваемое элементом % ё Ext (lzuy >'ши i( 1))\8(Hom(Izu y, ° m( 1) ® kx)). Тем самым, определен морфизм V: П* — M : a a [EJ.

Предложение 8. Образ П при отображении у лежит в м4.

Доказательство. Выберем произвольную точку (0 — (1, у, тx, < £ >) еП . Покажем, что

E„e M

4 .

Нетрудно

видеть,

ввиду

легко

проверяемого

изоморфизма

Ext^, O(-1)) « Ext^,y, O(-1)) , что точные тройки 0 — U (-1) — °(-1) — °m (-1) ® kx — 0 и (31) достраиваются до коммутативной диаграммы:

Расширение 0 ^ О( 1) ^ F ^'i ^ 0 задается элементом

0 Ф е Ext (Ii, О(-1)) ~ Ext Oiuy, О(-1) согласно определению Q*, поэтому F - рефлексивный пучок (см. [9, Example 4.2.з]). Поэтому F = E® . Таким образом, пучок E включается в точную тройку 0 ^ E® ^ E® ^ Om ® kx ^ 0. Тем самым, по определению, E® е М4, следовательно

v(Q*) с М4.

Предложение 9. Морфизм v : Q ^ М4 сюръективен.

Доказательство. Покажем, что для любого наперед заданного класса изоморфизма пучка [E] е М4 существует точка co = (l, y, m, x,< % >) eQ такая, что v(®) = [E]. Фиксируем пучок E е М4. По определению он включается в точную тройку (8), где Q = Om ® kx, а m ^ x -дизъюнктное объединение прямой m и точки x . Для любого 0 Ф s е Н (E (1)), согласно (17),

*

имеем coker(s : O — E (1)) — ', где l - прямая нулей сечения s (см. [9, Example 4.2.3]). Нетрудно видеть, что для общего сечения s Е H (E (1)) образ композиции s°s, где s : E — E /E — Om Ф kx - каноническая сюръекция, есть Om(—1) Ф kx, поэтому для общего сечения s пучок E Е M4 включается в диаграмму (32). По построению расширение 0 — O(—1) — E — 'l — 0 нетривиально, в связи с этим левая вертикальная тройка в (32) как расширение задается элементом Ext (Iluy, 'mux (—1))\^(Hom(Iluy, Om(—1) Ф k x)) (см.

определение Q). Тем самым, левая вертикальная тройка в (32) совпадает с тройкой (31), где E — E® для с — (l, y, m, x,< £ >) Е Q*. Другими словами, [E] — v(c).

Рассмотрим произвольное нетривиальное расширение

0 ^ Im.х (-1) ^ X ^ k, 0 I .(-1) ^ 0

z,P2

где

х Е т, х Е Р2, а ^ — т п Р2. Нетрудно видеть, что Х 'ти/ для некоторой прямой 1 в Р2. Для фиксированных прямой I с Р и точки У Е Р однозначно с точностью до пропорциональности

определена сюръекция

Ii. y ^ k х 0 Iz,P2( 1), ядро которой есть пучок |х( 1). Тем самым П

получаем точную тройку 0 1) ^lLy ^х 0Izp2( 1)

0^LxНЫн ^ ©Izp2(-1)^0

которая вместе с тройкой достраивается до коммутативной диаграммы-

а —^ J^c—1)

о

о —* j,(-i)-- V-* kx е VH) —* о

^mL.jT С П

О

■

WH)

о,

(зз)

в которой Е - некоторый пучок ранга 2. Вертикальная средняя тройка в этой диаграмме совпадает с точной тройкой типа (31). С другой стороны, центральная горизонтальная тройка

0Ч(-1)_ЕЧи _0.

(34)

показывает, что E е M1 [1, формула(7)].

Рассмотрим многообразие X :—{((/, у, т, х), г, P2) е Тх P3 х P3 1/ и у ^ P2}. По определению X лежит в О х P3 х О х P3 х P3 х P3, поэтому определены проекции на сомножители 71:р3 хX ар3, /2:р3 хX аX, /12:р3 хX ар3 хО, /13: P3 хX а P3 хP3, /14: P3 хX аP3 х0, /15 : P3 хX а P3 хP3, /1б : P3 хX а P3 хP3, /17 : P3 хX а P3 хP3. Обозначим через Г график инциденции в P3 х О, через А - диагональ в P3 х P3, а через £ — {(х, P2) е P3 х P3 | х е P2} - график инциденции в P3 х P3. Положим Г12 :— Л2(Г), Г13 :— 7Гз(А), АХ4:— /¿(Г), :— /¿(А), А1б:— /-1 (А), £,7:— /¿(Е). Пусть D - ядро эпиморфизма 0£17 а OА1б ® Oг12 . Рассмотрим на P3 х X пучки ^ :— OА1б ® D, Iг14иА15 ^ OPз(-1) и C :— Ь^(С, Iг14.А15 Х^Н)).

Нетрудно видеть, что для пучка С имеет место изоморфизм замены базы, который для произвольной точки г е Т дает С ® кг — ~Ехг (G^'muх1их2 (-1)) , поэтому, согласно [б, 3(и)], пучок N локально свободен и У:— Рго/(С) - неприводимое многообразие, точками которого являются наборы (1, y,m, x, ^ р2,<т>), где те ^^(РЛих(-1)). Для произвольной точки и — (1,y,m,x,р2,<Т>) еУ элемент т определяет правую вертикальную тройку в () , а сюръекция п в (33) определяется тройкой (1,y,р ), согласно сказанному выше. Тем самым, получаем отображение УаО: (1, y, m, x, р2,< т>) а (1, y, m, х,< % >), где % - элемент группы Ехг (|/иу,Imuх(-1)), задающий центральную вертикальную тройку в диаграмме (33) как расширение. В силу неприводимости у и О отображение V является морфизмом. Для того чтобы доказать, что морфизм V доминантен, нам необходимо следующее предложение. Отображение С:Ехг (G,Imu х (-1)) а Ехг (|/и у Лих (-1)) сюръективно.

Доказательство. 1) Применим к тройке 0 а 1х (-1) а 1/иу а G а 0 функтор Но^*,!

mиx (-1)),

получим точную последовательность:

с

Ех^Ли х (-1)) а Ехг1 (I/и у Ли х (-1)) а Ех^ (-1), х (-1)) а а Ехг 2(0, Imи х (-1)) а Ехг 2(1/и у Ли х (-1)) а Ехг 2(!х (-1),Imиx (-1)) а

Ехг 3(0, Imиx (-1)) а Ехг 3(1/иу , Imиx (-1)). (35)

2) Вычислим Ехг1(|х (-1),Imux (-1)) — ^Ох,! mих). К точной тройке 0 а !х а 0 а к х а 0 применим функтор Hom(*,Imux) , получим:

НЧ^ ^) аЕх^(кх ^) аЕ^С^) а

Е*/(!х^х) аЕ^^х) аExг2(0,Imux). (3б)

Вычислим Ехг (кхЛих). Для этого применим к точной тройке 0 а |mux а |m а кх а 0 функтор Hom(*,к х ), получим: Hom(kх,!„,) аHom(kх,кх) аЕх^кх,Imux) аЕх^кх,Im). Очевидно, что

Н^(к х ,Im ) — 0, Ехг1(к х, Im ) — 0 , так как

х е m и Н^(к х, к х ) — к

, поэтому

Вычислим Ext (kx , 'mux ) —Ext (Imux , kx (—4)Г . Применим к точной тройке 0 — 'mux — 'm — kx — 0 функтор Hom(*,kx (—4)) , получим:

Extern, kx (—4)) — Ext>('mux, kx (—4)) — Ext2(kx, kx (—4)) — Ext2('m, kx (—4)). Так как x Е m, то Ext^m, k x (—4)) —0 и Ext2 ('m, k x (—4)) —0. Очевидно, что Ext 2(k x, k x (—4)) — k3. Отсюда

получаем, что Ext ('mux, k x (—4)) — k 3. По двойственности Серра

Ext 2(k x ,'mux ) —Ext>('mux, k x (—4))v — k3. (38)

Очевидно, что ^^Lux) — 0, Ext1(O,'mux) — H1('mux) — k , Ext2(O, 'mux ) — H^x ) — 0. Отсюда и из (36), (37), (38) получаем, что

E^UJ—k3- (39)

3) Вычислим Ex'2(kx Ф^^HXLuxHM — Exi^kx,lu,) ФExi^z,p2,LJ. Применим к

точной тройке 0 — 'zP2 — OP2 — k z — 0 функтор Hom(*,'mux), получим:

Ext2 (Op2 , 'mux ) — Ext2 ('z,p2 , 'mux ) — Ext3(kz , 'mux ) — Ext3 (Op2 , 'mux ). (40)

Вычислим Ext3(k z, 'mux ) — Hom('mux, k z (—4F . К точной тройке 0 — 'mux — 'm — k x — 0

применим функтор Hom(*, k z (—4)), получим

0 — Hom(kx, kz (—4)) — Hom('m, kz (—4)) — Ho^^x, kz (—4)) — Ext>((kx, kz (—4)) . Так как x Е m и z Е m , то имеем Hom(kx,kz(—4)) —0, Hom(!n,kz(—4)) — k2 и Ext>((kx,kz(—4)) — 0, поэтому

Ext 3(k z, 'mux ) —HomCmux, k z (—4))v — k2. (41)

Очевидно, что Ext (OP2,'mux) —0 и Ext (OP2,'mux) — 0, поэтому из (40) получаем, что Ext ('z,P2, 'mux) — k . Отсюда и из (38) вытекает, что

Ext2(kx Ф^Н)^(—1))— k5. (42)

4) Вычислим Ext ('luy, 'mux (—1)). Применим к точной тройке 0 — 'luy — 'l — ky — 0 функтор Horn(Mmux (—1)) , получим:

Ext 2('l, 'mu x (—1)) — Ext 2('luy, 'mux (—1)) — Ext3(k y ^ (—1)) — Ext 30z, 'mux (—1)). Используя

локально свободную резольвенту 0 — O(—2) — 2O(—1) — 'l — 0 пучка 'l, нетрудно получить, что Ext2('l, 'mux (—1)) —0 и Ext3('l, 'mux (—1)) —0. Так как y Е п , то аналогично (41) получаем, что

Ex^LyJmuxH)) — k2. (43)

5) Вычислим Ext 2('x ( 1), 'mu x (—1)) — Ext 2('x , 'mu x ). Применим к точной тройке 0 — 'x — O — k x — 0 функтор Hom(*,'mux) , получим

Ext2 (O, 'mux ) — Ext2 ('x , 'mux ) — Ext3 (kx , 'mux ) — Ext3 (O, 'mux ). (44)

Вычислим Ext3(kx, 'mux) — Hom('mux, kxУ . Применим к точной тройке 0 — 'mux — 'm — kx — 0 функтор Hom(*,k x ), получим:

0 — Hom(kx, kx) — Hom('m, kx) — Hom('mux, kx) — Ext\kx, kx) — Extl('m, kx ) . Очевидно, что

Hom(kx, kx) — k и Ext1 (kx, kx) — k3. Так как x Е m, то Hom('m, kx) — k и Ext1^, kx) — 0. Тогда получаем, что

Компоненты схемы модулей стабильных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна 87

C1 — —1, C2 — 2, C3 — 0 на трехмерном проективном пространстве

HMLA)V =E^,D=k3. (45)

Так как Ext2(O,\mux ) = H2(l_x ) = 0 и Ext3(O,lmux ) = H3(lmux ) = 0, из (44) следует, что

Ext 2(\x (-1), U (-1)) = k3. (46)

6) Вычислим Ext3(kx © ,p2( Lx(-1)) = Ext3(kx) ©Ext3(\z,p2,\mUx). Очевидно, что Ext 0z,p2, 'mux) = Hom0mux, \z,p2(-4)) = 0 . Отсюда, используя (45), получаем, что

Ext3(kx ©\z P2(-1),\mux (-1)) = k3. (47)

7) Вычислим Ext Ozuy,Lux (-1)) . Применим к точной тройке 0 a ^uy a \ a ky a 0 функтор Hom(*,\mux (-1)), имеем: Ext 3(!г(-1)) a Ext3^^ ,Lux (-1)) a 0. Используя локально свободную резольвенту 0 a O(-2) a 2O(-1) a \/ a 0 пучка \/, нетрудно получить, что Ext öz, \mu x (-1)) = 0, следовательно,

Ext3(\iuy ,\mux (-1))=0. (48)

8) Согласно (39), (42), (43), (46), (47), (48), точная тройка (35) принимает вид:

Ext1 (G, \mux (-1)) a Ext1 (\luy, \mux (-1)) a k3 a k5 a k2 a k3 a k3 a 0. Следовательно,

отображение ь сюръективно.

W

Обозначим через Y прообраз множества Q Q при отображении V , который в силу доминантности V , плотности Q в Q, неприводимости Q и T является открытым плотным

подмножеством в T . По построению морфизм V|T* : T aQ доминантен. Отсюда в силу

VoV

предложения 8 композиция v°v : T* aM*°M4 также доминантна, поэтому ввиду того, что по

конструкции для точки u е T пучок [E] = (v ° V )(u) из тройки (34) принадлежит M1, следует, что M4 ^ M1. По определению dim M4 = 13 , а dimMj = 15 , то M4 ^ M1, и, значит, M4 не составляет компоненты в схеме модулей M . Тем самым, теорема 4 доказана.

Библиографический список

1. Заводчиков, М. А. Новые компоненты схемы модулей

М p3 (2;-1,2,0)

полустабильных когерентных

пучков ранга 2 без кручения на проективном пространстве p3 [Текст] / М. А. Заводчиков // Труды пятых Колмогоровских чтений. - Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2007.

2. Заводчиков, М. А. О свойствах стабильных пучков ранга 2 с классами Черна c1 1, c2 = 2, c3 = 0 на

проективном пространстве p3 [Текст] / М. А. Заводчиков // Ярославский педагогический вестник. Естественные науки.

3. Мамфорд, Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности [Текст] / Д. Мамфорд. - М. : Мир, 1968.

4. Оконек, К., Шнейдер М., Шпиндлер Х. Векторные расслоения на комлексных проективных пространствах [Текст] / К. Оконек, М. Шнейдер, Х. Шпиндлер. - М. : Мир, 1984.

5. Хартсхорн, Р. Алгебраическая геометрия [Текст] / Р. Хартсхорн. - М. : Мир, 1981.

6. Banica C., Putinar M., Schumacher G. Variation der globalen Ext in Deformationen kompakter komplexer Räume Math. Ann. 250, 1980, 135-155.

7. Ellingstrud G., Lehn M. Irreducibility of Punctual Quotient Scheme of a Sufaces arXiv:alg-geom/9704016, vol 1, 1997.

8. Grothendieck A. EGA, Ch.III Publ. Math I.H.E.S. vol 17, 1963.

9. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves. Mathematische Annalen, vol 254, 1980, 121-176.

10. Hartshorne R., Sols I. Stable rank 2 vector bundles on p3 with c\ = -1, c2 = 2 . Preprint, 1980.

88 М. А. Заводчиков

11. Huyberchts D., Lehn M. The Geometry of moduli spaces of sheaves. A Publication of the Max-Planck-Institut fur Matematik, Bonn, 1997.

12. Lange H. Universal families of extentions. Journal of algebra 83, 1983, 101-112

13. Maruyama M. Moduli of stable sheaves. II J. Math. Kyoto Univ. 18, 1978, 557-614.

14. Mei-Chu Chang Stable rank 2 reflexive sheaves on P3 with small c2 and applications. Transactions of American Mathematical Society, vol 284, 1984, 57-89.

15. Meseguer J., Sols I., Stromme S. A. Compactification of a family of vector bundles on P3. Prog. Math. 11, 1981, 474-494.

16. Potier J. Le Systèmes coherents et structures de nuveau. Astérisque, 1993.

17. Wever G.P. The moduli of a class of rank 2 vector bundles on projective 3-space. thesis, Univ. Calif. Berkley, 1977.