CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №11_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.2
Академик АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлов, Г.Джангибеков , Г.Козиев
ОБ ОДНОМ МОДЕЛЬНОМ СИНГУЛЯРНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ
С НЕЧЁТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет
В работе изучается двумерный сингулярный оператор с нечётной характеристикой и разрывным коэффициентом. Найдены необходимые и достаточные условия нётеровости в лебеговых пространствах и получена формула для подсчёта индекса.
Ключевые слова: нётеровость оператора, индекс оператора, двумерный сингулярный интегральный оператор, оператор Бергмана.
В комплексной плоскости переменной г = х + гу рассмотрим следующее модельное интегральное уравнение
7 —
/ (7) -X —(/ 7) = д (7), (1)
I 7 I
где
_ , -гв _
(V)(7) = |Г---/(СУ&;, в = &щ(С - 7), Б = {7:| 71< 1},
2жг Б 1С-7 |2 С
интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, X - комплексный параметр, черта над функцией / (7) означает переход к комплексно-сопряжнным значениям.
Предполагается, что искомая функция /(7) и свободный член д(7) принадлежат банахову пространству Ьрр-2/ р (Б) :
ц-2,р (Б) = {/(7) : |7Г2/р/(7) = F(7) е Ьр (Б), 11/1 |£р =|| ^Ц^, },
^ ^ Р-2/р ^
где 1 < р <х>, Р - число из интервала (0,1).
Характерной особенностью уравнения (1) является то, что оно содержит в ядре сингулярную особенность с нечётной характеристикой в~'в, причём коэффициент при сингулярном интеграле имеет в точке 7 = 0 существенный разрыв вида -¡Т-. Как выясняется, оба эти обстоятельства существен-
I 7 |
но влияют на нётеровость и индекс уравнения (1). Отметим, что алгебра операторов вида (1) с непрерывными коэффициентами изучена в работе [1].
Адрес для корреспонденции: Джангибеков Гулходжа. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Руда-ки, 17, Таджикский национальный университет. Е-таИ: [email protected]
1. Здесь мы следуем методу работы Л.Г.Михайлова [2], применнёному им при исследовании интегральных уравнений с суммируемыми однородными ядрами порядка —2. После замены переменных 7 = 7 г уравнение (1) примет вид
/(*)=и и< 1- (2)
2т (<± — 1\
7 <\ 2
Переходя к полярным координатам г = гв'", 7 = реш, 7 = те'7, умножив (2) на в ,кр / 2т и интегрируя по углу р , после перемены порядка интегрирования для коэффициентов Фурье / (г) :
2т
/ (г) = — 1/(гвр)е—крар
2ж 0
получим
/ (г) = И \\ + дк (г), к = 0,±1 • • •-
2л-/1<7-1
7 < \ 2
Совершив обратную замену 7 = 7/ г , будем иметь
í z л
к—1
2т'
\
V \ 2\У
По формуле дифференцирования интегралов со слабой особенностью (см.[3] стр.85) получим
и ( 1 я гг( г лк 7—1_
Л(г) = -— ±-* = 0,±1-, (3)
Ч\2\У
или же
где
/к (г) = -(-^-)к—1^- (т2-)" | Ш—1/ 2(т)/к + дк (г), к = 0,±1 • •., (4)
ю \г\ & И {
т собк/ г собк/
^к—1/2(т) = -=-- = -=-- dУ,
+1 / т — 2соб/ о^спг — 2соб/
= г = \Р'Г> 6СЛИ Р<Г' ^ = 0,±1....
2 I г/ р, если р > г,
Отметим, что Q¿_!/2(t) являются сферическими функциями Лежандра второго рода с полуцелым индексом и могут быть выражены через полные эллиптические интегралы первого и второго рода (см. [4] стр.234, [5] стр.401):
л!Т. , 7Г/2
KТ = \ I 2.2' E(*) =í V1 -T2sin2 rdy,
о -у/1 -т sin 7 о
где О < т < 1.
Выполнив в (4) операцию дифференцирования, будем иметь
Л (r) = —)— ((к -1 / 2)Qk-i/2(T) - TQ'k_v TJJ^dp + gk (r), (5)
r
тлст = р/г, к = 0,±1---.
Теперь если учесть, что функция Лежандра 2 (т) при т = 1 имеет логарифмическую особенность (см.напр. [4] стр.249), и воспользоваться разложением этой функции из монографии Е.В.Гобсона ([6] стр.217, см.также [5] стр.919), выделим её логарифмическую часть. Тогда относительно коэффициентов Фурье /к (г) искомой функции /(¿) получим следующие пары интегральных уравнений
л (г) = А} ^ dp+А} I ©к (?) ТШр+9к (г),
т* р-г т*г I г)
ЦТ) = -А} ^ dp-А}I ©-к (р] к (p)dp+,
р-г г V г)
где k = 0,1,.... Заметим, что функция Лежандра 2 (т) - чётная функция, поэтому
0-, (т) = 0, (т).
Первый интеграл в системе (6) понимается в смысле главного значения по Коши, а второй интеграл имеет суммируемое однородное ядро степени -1. В соответствии с исходным уравнением систему (6) следует рассматривать в пространстве ЬРр_у (0,1) , где 1 < р <<х>, 0 < (3 < 1. Такие системы исследованы в работе Р.В.Дудучавы [7].
Подставляя значение /к (г) из второго уравнения в первое, относительно коэффициентов Фурье Л (г) получим следующие одномерные интегральные уравнения
(АЛ)« = Ш+ I Я |2 [5Г + ©,]2Л(г) = дк(г), к = 0,1,... (7)
с сингулярным интегральным оператором Коши и оператором с однородным ядром степени -1:
)(г)=А11 ^^^ Шк )(г)=А1 ©к /к (p)dp. т* p- г т* г V г)
Согласно результатам [7] и [8], символы этих операторов соответственно имеют вид:
1 ад
Р х) = о1Ьт( х + ¡Р), Ик (х) = — \ &к (р)р-р+1Чр,
77"7 *
т 0
где
е2 + е"2
от г =-,
2 — 2 е — е
Р - показатель веса пространства Ьр_у(0,1) из интервала (0,1) (1 < р < ад). Уравнению (7) сопоставим предсимвол
Ак,р(х) = 1+111 2 [^(х) + 2зр(х)Ик(х) + И2(х)], (8)
где х е (-ад,+ад), Ре (0,1), k = 0,1,....
По предсимволу (8) определим символ оператора Лк из (7)
Г А р( х), если х е (—ад,+ад),
Ак,Р,р(х,^) = )1 , - |2 2 , г / ч (9)
Р [1+\Я \ 2 52р (%), если х = ±ад, % е (—ад,+ад).
Таким образом, из результатов [7] следует, что при фиксированном значении к (к = 0,1,...) для нормальной разрешимости уравнения (7) в пространстве Ьр—у (0,1) (1 < р < ад) необходимо и достаточно, чтобы
Акрр(х,%) * 0, — ад < х < +ад, — ад < % < +ад, (10)
при этом 1пс!Лк = /исЦ.^ .
2. В предыдущем пункте исследование двумерного сингулярного интегрального уравнения (1) свелось к бесконечной системе (6), для нормальной разрешимости каждой из которых условия (10) необходимы и достаточны, однако отсюда ещё нётеровость исходного уравнения (1) не следует. Во-первых, надо доказать, что исходное уравнение эквивалентно конечной части системы (6). Во-вторых, после нахождения решений неоднородный системы (6) мы должны ещё показать, что они действительно образуют последовательность коэффициентов Фурье некоторой функции из ^р-2/р(О), 1 < р < ад и что ряд сходится по норме. Это можно сделать по способу из [2].
Пусть N - некоторое натуральное число. Введём в Ьр_2/ (О) замкнутые подпространства Ьм = {/(2) : /(2) е ПР—2/р (О), /к (г) - 0 при \ к \ > N1, ^ = {/(2) :/(2) ер(О),/(г) -0 при \к\<N1.
Подпространства Lw и L замкнуты в Lpß_2/ (D), следовательно, образуют банаховы пространства, и всякий элемент f е Lp_2/ (D) представим в виде f = f, + f N, fN e L^, f N e LN, причём такое представление единственно. Этому разложению Lp_2l (D) в прямую сумму подпространств Lw и LN соответствует разложение уравнения (1) в эквивалентную ему совокупность
fN = + gN ' fN ' gN e Ln ; (11)
/-N TT-r-^ , N /-N N T-N /ПЧ
f =Шf + g , f ,g eL, (12)
где
1 7
(nf)(z) = ^ Й f/dF f <C)ds,
Лемма. Существует натуральное число N0 такое, что уравнение (12) безусловно разрешимо единственным образом в L при N > N0.
Доказательство. Пусть - множество всех функций из LN, для которых f (r) = 0 при k < — N и Ln - множество всех функций из L, для которых f (r) = 0 при k > N. Эти множества замкнуты в L и всякий элемент f е L единственным образом представим в виде
f = f+ + f—, где f+e L++, f_e L—. Тогда уравнение fN = ЯП fN + gN эквивалентно системе
f* = ml + g" (.3)
f- = ЯП f + + g _.
Подставляя значение f из второго уравнения в первое, относительно f получим следующее интегральное уравнение
f+ =1 ЯI2 nnf + + G+. (14)
Теперь интегральный оператор П представим в виде суммы двух операторов П и H •
1 z Г Г е~ie 1 ГГ Се~ю
(nf+ )(С) - — — ff—-7 f+ (C)ds. =— ff—С-7 f+ (C)ds, +
^ 2ю I z |ff|C — z |2 С 2ж1 ff 1С II С — z I2 ^
— 1
I z I (С—z ) 1
z ( IС I—I z I) — 1
\\~гСг-\ f+ (C)dsc - (nf+ )(z) + (Hf )(z),
где первое слагаемое - сингулярный интегральный оператор с нечётной характеристикой, а второй оператор имеет суммируемое с весом Р(0 < Р < 1) однородное ядро порядка (—2) вида 1 к где
И—1 — 1 к(а) = , 1 1,.
Подставляя значение П/. в (14), имеем
/+= —\\\2 /+ — \\\2 И^/ + а+.
Используя тождество = I — А из [1], где Д - оператор типа Бергмана, имеем
\ \ р \ 1 |2 1 /+--А/+ + ВД/+ =-0+. (15)
+ 1+\\\ 2 1 + 1+\\\ 2 1 1 + 1+\\\ 2 +
Докажем, что уравнение (15), а вместе с ним и система (13) однозначно обратимы на ^. Действительно, поскольку ядро \ 2 \Р 2/р к(ст) оператора И суммируемо, то аппроксимируем его функциями вида Ны (т,/) = ^^д, ^ (т)е'к/. В силу того, что интегралы с такими ядрами являются операторами
аннулирования на ^, то там Их = Их — И^, и поскольку сингулярный оператор Д ограничен в ^ , значит при достаточно большом N будет иметь место неравенство
\ 1\2 \ 1\2
' \И1^1 \ \ Ц, < \ -, . , ,2 \ \ \И1 — ИМ \ \ \ \ \ < 1
1+Щ1" 11 1 1 + \\ Далее из результатов [1] следует, что оператор I —Д из (15) имеет ограниченный обрат-
1+\ л\ 1
ный оператор I + \ \ \ 2 Д. Поэтому оператор из левой части (15), как сумма корректно разрешимых и малых по норме операторов (см.[9]), корректно разрешим в ^, то есть уравнение (15) однозначно разрешимо в . Лемма доказана.
Что касается уравнения (11), то оно распадается на конечную часть системы (6), где \ к \ < N,N - натуральное число из леммы.
Теорема. Для нормальной разрешимости уравнения (1) в пространстве Ьр_2/ (О) (1 < р < ад, 0 < Р < 1) необходимо и достаточно, чтобы
N0
П Акр,р(х,%) * 0, —ад <х< +ад, —ад<%<+ад,
к=0
при этом индекс уравнения (1) равен ж = 1^Ак р р(х,%).
Поступило 11.08.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джангибеков Г. - ДАН России, 2002, т.383, №1, с.7-9.
2. Михайлов Л.Г. - ДАН СССР, 1970, т.197, №2. c.272-275.
3. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1962, 254 с.
4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. - М.: Физматгиз, 1963, 359 с.
5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963,1108 с.
6. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. - М.: Иностр.литер., 1952, 476 с.
7. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. -Тбилиси: Мецниереба, 1979, 133 с.
8. Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1. - Душанбе: Дониш, 1966, 47 с.
9. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1971, 104 с.
Л.Г.Михайлов, Г.Ч,ангибеков*, ГДозиев* ОИДИ ЯК ОПЕРАТОРИ ИНТЕГРАЛИИ СИНГУЛЯРИИ ДУЧЕНАКА БО
ХАРАКТЕРИСТИКАИ ТОЦ
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
*Донишго%и миллии Тоцикистон
Дар макола як намуди оператори интегралии сингулярии дученака бо характеристикаи ток ва коэффитсиенти канишнок омухта шудааст. Шартх,ои зарурй ва кифоягии нётеровй буда-ни ин оператор дар фазои лебегй ёфта шуда, формула барои хдсоб намудани индекси он х,осил карда шудааст.
Калима^ои калиди: нётеровй будани оператор, индекси оператор, оператори интегралии сингулярй, символи оператор.
L.G.Mikhailov, G.Jangibekov*, G.Koziev* OF SOME SINGULAR INTEGRAL OPERATOR WITH EVEN CHARACTERISTIC
A.Juraev Institute of Mathemathics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
Tajik National University Some classes of two dimensional singular integral operators and on a limited area are explored. Effective necessary and sufficient conditions for Noetherian in the space of lebeg and the formula for the rate of index are found.
Key words: noetherian operators, the index of operator, two dimensional integral operators, Bergman operator.
