Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов с характеристиками, зависящими от полюса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2013, том 56, №1__________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.968.2

Г.Джангибеков, Н.Г.Валиев

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ПОЛЮСА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 10.12.2012 г.)

В работе найдены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости оператора А в весовых пространствах Лебега Ьр х (О) , 1 < р <го, 0 <Р< 2 и получены формулы для

Р Р

вычисления индекса.

Ключевые слова: нётеровость оператора - индекс оператора - операторная матрица - двумерные сингулярные интегральные операторы.

1. Пусть О - ограниченная область комплексной плоскости, граница Г которой состоит из конечного числа простых замкнутых кривых Ляпунова, не пересекающихся между собой, и содержащая внутри точку г = 0, I - тождественный оператор, а(£), Ь(£), ц(г) - непрерывные в

О = О и Г комплекснозначные функции, причём | ^(г) |< 1 при всех г є О.

В лебеговом пространстве с весом ЬрР 2 (О)(1 < р < да, 0 < Р < 2):

Р Р

Ьрр) = рр (р): | г | Рр | р (р) |= Р( р) є 1'(П), | | /1 р _ =| | Р| р }

P

рассмотрим следующий сингулярный интегральный оператор

A = a(z)I+b(z)SqK, (1)

где

(K/)( z) = / (z), (Sq/)( z) = --

1 /(C)dsc

ж о (С~ 2 + Ч(г)(С~ г))

черта над функцией означает переход к комплексно-сопряжённым значениям, а двумерный интеграл понимается в смысле главного значения по Коши.

Отметим, что если записать оператор S в виде

(v)(z )=Л ‘4zy/ (с) dsc -

Ж D С-z

Адрес для корреспонденции: Джангибеков Гулходжа. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Руда-ки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

где характеристика и (z,0) (0 = arg (О- z)) оператора Sq

и ( z,0) =

(і+q (z) e-210)2

является ограниченной функцией, зависящей от полюса z и удовлетворяет условию и (z,0)d0 = О, Vz є D , то из результатов [l] следует, что оператор S ограничен в пространстве l'; 2 (d ) (і < p < да, О < P < 2). Отметим, что оператор вида S был введён в работе [2], а в [3]

P p

было показано, что оператор

(Ap)(z ) = / (z) I - q(z)(Sqp)(z)

является регуляризатором для опреатора

(A2/)(z )=/ (z)I+q (z)(S/)(z-

причём, если q (z) = const, то A будет обратным оператором для A2.

В данной работе устанавливаются необходимые и достаточные условия нётеровости сингулярных интегральных операторов типа A в лебеговом пространстве Lp ^ (D) и получены формулы

P P

для вычисления индекса.

2. Докажем одну вспомогательную теорему о вложении весовых функциональных пространств Lp 2 (D), представляющую также самостоятельный интерес.

P P

Теорема 1. Пусть І < p <да и О <P< 2. Тогда пространство Lp х (D) ограниченно вкла-

P P

дывается в L (D), где при этом:

1) если О<P<21p <І, то s = p, если же 21p <P<2, то s є (2, j);

2) если І <P< 21p < 2, то s = p, если же 21p <P<2, то s є (І,-j).

Доказательство. Случай 1). Пусть p >2 и О<P<21p <І. Тогда утверждение теоремы очевидно, ибо /(z) = ^IP є Lp (D), поскольку P - 2 / p < О и F(z) є Lp (D).

Пусть теперь p > 2 и 21 p <P< І, то есть P = 21 p + є, где є - некоторое малое положительное число. Тогда

II/IIL™=Ц I / (z )!■& =ЯттЩ *= <

D I z I

ll

- | 7 | °Г'(Р~Р)

О |z| у

Тогда получим

2 8ТЄ рє

sr (р------------------------) =-< -

р г -1 г -1

где г и 5 - выбираются таким образом, чтобы выполнялись неравенства

р 11

2 < 5 < р, г > 1, - + - = 1, (2)

г гг

г > 1 + Р£. (3)

2

Тогда получим

5гХр-1) = 5£<Р£ = _Р^ = 2.

р г -1 г-1 1 + р£-1

Заметим, что при этом, если учесть, что £ = 33-, то неравенства (2) и (3) соответственно преобразуются к виду

2 р3 р

2 <5 <— и < г <—.

3 2 2

Таким образом, мы в рассматриваемом случае получили

ИЯ*(п)<(п) .

При 1 < р < 2 и 0 <3< 1 параметры г и 5 нужно выбирать следующим образом:

р3 л 2

-£-С-< г < р,1 < 5 <—.

2 3

Случай 2) доказывается аналогичным образом.

Теорема 2. Для нётеровости оператора А в лебеговом пространстве Ь? (П) (1 < р < да, 0 < 3 < 2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий

3 р

\а(7)I >7^7^ е П (4)

1- \ Ч( 7) \

\а(г) \ < 1 Ь(7) 1 У г е П и а(т) ^ 0 УтеГ. (5)

1+ \ Ч(г) \

При этом, если выполнено (4), то оператор А имеет ограниченный обратный, а при выполнении (5) его индекс к равен

к = -21п^га(г).

3. Схема доказательства. Оператор А будет нётеровым тогда и только тогда, когда нётеро-вой является операторная матрица

В =

Ь(£)КБчК а(г)1

К оператору В применимы результаты [4]. Разложив характеристику и(г, 0) в ряд по степеням

е-2ге :

-20

и (1,0') =

представим оператор Б в виде

= 2 (-1)‘ (І +1)/' (г )е

а-2і (к+1)0

(б/)(г)2)(-1)1 1

пг=1

■И

-2іт0

-/(^ дт-{г)(Бт/)(г).

(6)

т=1

Поскольку символ оператора Бт равен (а)т (0 <| а |< ;,а = ах + іа2), то символом оператора Б будет

/-ч т — / ч т-1 —

; / _ \ \ а

т=1

а = -]Т ?т-■(г) а

Vа; а т=1 Vа;

1 - ?(г )-^’

“V / lgma

и тогда, согласно [4], свойства оператора Б определяются свойствами матрицы

а(г) Ь(г)

1 - ?(г)а

а( г)

Лемма. Матрица Gг (ст) невырожденна для всех 7 е П и <у(<Ле10г (а Ф 0) тогда и только тогда, когда выполнено одно из неравенств

|а(г) | > і | Ь\ і Є О,

1-1 ?(г) |

|а(г) | < л | Ь(г \ I є О.

1+| ?(г) |

(7)

;

0

3.1. Из результатов [4] следует, что для нётеровости А необходимо выполнение (7) или (8). Рассмотрим сначала случай (7) и временно ограничимся пространством Ьр (П), 1< р < да. В силу результатов [4] для нётеровости А необходимо и достаточно, чтобы матрицы От (СТ — 0(-да < СТ < да), т е Г, имели нулевые частные индексы. Поскольку От (СТ — 0 не зависят от

р, то оператор А будет одновременно нётеровым или ненётеровым в Ьр (П) для всех р е (1, да).

Поскольку Бт = Б” (см.[5]) и \\ Б” \[^}<\\ 2\\”р(о) , то в силу того, что \\ £ \\^(д}< 1 (см.[6], с учётом

(6) получим

да дал

\ \ 5, \ \Л п ) < I I ■?(-') 1-212 22) < XI2 7) I”"1 =^^7.

т=1 т=1 1 \ ,(7)\

Поэтому в силу (7) из принципа сжатых отображений следует обратимость оператора А в Ь(П). Следовательно, частные индексы матриц 0т (<УХ — /'), т е Г равны нулю.

Рассмотрим теперь семейство нётеровых операторов

Му = а(г)1 + у • Ь(е)Б,К,

непрерывно зависящих от параметра уе[0,1]. Поскольку М0 = а(г) 1,Мх = А, то индекс А равен нулю в любом Ьр (П) при 1 < р <да. Далее, в силу вложения Ьр (П) ^ Ь(П)(р > 2), оператор А имеет нулевое ядро в Ьр (П) при р > 2. При 1 < р < 2 этот факт устанавливается путём перехода к сопряжённому оператору. Таким образом, показано, что А - обратимый оператор в Ьр (П),1 < р < да. Что касается утверждения теоремы относительно пространства 2 (П), то доста-

3 р

точно сослаться на вложение Ьр ± (П) ^ Ь (П) при некотором 5 > 1 из теоремы 1.

3 р

3.2. Пусть выполнено условие (8). Установлено, что если а(т) Ф 0, теГ, то матрицы функции ^ (СТ —г) факторизуются с нулевыми частными индексами в явном виде:

а(т)

ь(г) а-і

1+?(т)а

ї

а+і

ь(т)

1 + ?(Г)Ц-

а(т)

Ґ

ь(г) а

а^ ї а1 +і

1

л

а(г)(0-7+?т)) (а1)

1 0

Ь(т) а

а1 ї

а+і

1+?(т)а

РЖ)

а(т)

а1 ї

а +і

а(т)

где —— = ёй О (а + і), - ;<а1<;, функции Р (а ) соответственно аналитически продол-

К (а1)

жимы по а в верхней и нижней полуплоскостях; левая матрица справа от равенства аналитически продолжима по а в нижней полуплоскости, а правая матрица - в верхней полуплоскости. Таким образом, при а(т) Ф 0, г є Г из результатов [4] следует, что оператор А нётеров в пространстве

Ьр г(П), 0 < 3 < 2, 1 < р < го. Если же выполнено (8), но нарушено условие а(т) Ф 0, г є Г, то опе-

3 р

ратор А не может быть Ф+ или Ф оператором в Ьр ^ (Р), 0 < 3 < 2,1 < р < го, ибо, как нетрудно

3 р

проверить, в этом случае матрица Gz (ст1 + і) факторизуется с частными индексами к+ = 1 и

к = —1:

Ъ(т)

0 +і ^

01 і

1+ч(т) О

0 +і

01 і

Ъ(т) О

о1 і

О +і

1+ч(т)О

О1 і О+і

г

0

Ъ(т)

1+Ч()О 1 0

О+і

Оі і

О + і

(

Ъ(т)

1+ч(т)О 0

О1 і О +і

Теперь остаётся доказать формулу для вычисления индекса оператора А. Для этого рассмотрим семейство нётеровых операторов

Му = а( г)1 + Ь( г)8удК,

непрерывно по норме зависящих от параметра V е [0,1]. Поскольку М1 = А и М0 = а(2)1 + Ь(2)$К, то из результатов [7] следует, что индекс оператора А равен к = —21и^га(т).

4. Замечание 1. Аналогичным образом исследован оператор

/ (О*-

А = а( г) I+Ъ( г)5К, (Б/)(г) = — Я77—

2 ’

к Р (С — г + Ч(г)(С — г))

где при этом в теореме 2 индекс оператора А будет равен к = 21пйта(т).

Замечание 2. Требование | ч(г) |< 1 в теореме 1 можно ослабить до | ч(г) |Ф 1. Действительно, если | ч(г) |> 1, то достаточно заметить, что имеет место равенство ч(Бд/)(г) = Ч1Б%/)(г), где 1

ч

Обобщение. В пространстве Ьр х (Р) (1 < р < го, 0 < 3 < 2) рассмотрим следующий сингу-

3 р

лярный интегральный оператор

А = а( г)І + Ъ(г)SmчK,

(9)

где

(Бтд/)( г ) =

(—1)тт

Я;

\С —г |2|т—1) / (№,

С

к Р ((С — г)т + (—1)т—1 ч(г)(С — г)т)2 т Ф 0 - целое число. Отметим, что характеристика и(г,в)(в = а^(£ — г)) оператора Б

-2шв

u (z, в) = e

(1 + (—1)т—1 ч( г)е-2гв )2

является ограниченной функцией, зависящей от полюса г, и удовлетворяет условию

г2к -

J и(г, в)йв = 0, Уг є Р. Имеет место

Теорема 3. Для нётеровости оператора А из (9) в лебеговом пространстве Ьр А(Р) (1 < р < го, 0 <3< 2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий (4) 3 р

или (5). При этом, если выполнено (4), то оператор А имеет ограниченный обратный, а при выполнении (5) его индекс равен

к = —2т1пёТа(т).

Замечание 3. Аналогичный результат в лебеговом пространстве Ьр2 (Р) (1 < р < го, 0 < 3 < 2) получен для оператора

3 р

А = а( г)І + Ъ( г)ЗтчК,

где

2(т—1)

^ f)(z)=tarnrr____________іс-zi2(m-1)f(С)*.

m2

к Р ((С — г)т + (—1)т—1 ч(г)(С — г)т )

Замечание 4. Если рассматривать оператор

А = а( г)1 + Ъ( г)8ЕтК, (10)

где Е - комплексная плоскость г = х + іу, | ч(г) |< 1,

(-1)mm rr IС - z |2(m-1) f (£)dsr

(Sl,f)(z) = L1^ ff- IC 1 f (С) С

* 7Г /

* E ((С- z)m + (-1)m-1 q(z)(C- z)m)2

то имеет место

Теорема 4. Для нётеровости оператора A из (10) в лебеговом пространстве

Lp 2(E) (і < p <да, О <P< 2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (4) или (5), P p

при этом, если одно из этих условий выполнено, то оператор A имеет ограниченный обратный.

Поступило 04.12.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Stein E.M. - Proc. Amer. Math. Soc., - 1957, S, №2, pp. 250-254.

2. Манджавидзе Г.Ф. - В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. - Тбилиси, 1979,

с.1165-11S6.

3. Джангибеков Г., Мамадкаримова М. - Вестник Хорогского гос. университета, 1999, т.1, №1, c.26-29.

4. Duduchava R. - Jomal of operator theory, 1984, т.11, pp. 44-76.199-214.

5. Джангибеков Г. - Изв. вуз-ов АН СССР, 1992, №9, c.25-37.

6. Векуа И.Н. - Обобщённые аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959, 628с.

7. Бильман Б.М.,Джангибеков Г. - ДАН СССР, 1986, т.288, №4, c.792-797.

Г.Джангибеков, Н.Г.Валиев

ДАР БОРАИ ЯК СИНФИ ОПЕРАТОРНОЙ ИНТЕГРАЛИИ СИНГУЛЯРИИ ДУЧЕНАКА БО ХАРАКТЕРИСТИКАИ АЗ ЦУТБ ВОБАСТА

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола шартнои зарурй ва кифоягии эффектноки нётеровй будани як синфи операторной интегралии сингулярии дученака бо характеристикаи аз кутб вобаста дар фазои

Лебегии вазндори Lp _А( D), 1 < p < го, 0 < P < 2 ёфта шуда, формула барои нисобкунии индекси

P Р

оператор носил карда шудааст.

Калима^ои калидй: нётеровй будани оператор - индекси оператор - матрисаи операторы - оператори интегралии сингулярии дученака.

G.Jangibekov, N.G.Valiev ON THE ONE CLASS OF TWO-DIMENSIONAL SINGULAR INTEGRAL OPERATORS WITH CHARACTERISTIC DEPENDING OF POLE

Tajik National University In this note we establish effective necessary and sufficient conditions for the Noether property for one class of two-dimensional singular integral operators with characteristic depending of pole in the Lebes-

gue space Lp 2 (D), 1 < p < го, 0 < P < 2 with a weight, and we obtain formulas for computing their indic-

P Р

es.

Key words: Noetherian - the index of operator - operator matrix - two-dimensional singular integral operators.