CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.2
Г.Джангибеков, Г.Козиев
ОБ ОДНОМ ДВУМЕРНОМ СИНГУЛЯРНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ
С НЕЧЁТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 29.05.2015 г.)
В работе изучаются некоторые классы двумерных сингулярных интегральных операторов с нечтной характеристикой по ограниченной области. Найдены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости операторов в лебеговых пространствах и получена формула для вычисления индекса.
Ключевые слова: сингулярные интегральные операторы - нётеровость оператора - индекс оператора - символ оператора.
Пусть О - ограниченная область комплексной плоскости, граница которой Г состоит из конечного числа взаимно не пересекающихся простых замкнутых кривых Ляпунова. В лебеговом пространстве Ьр (О), 1 < р < да рассмотрим операторы и К, действующие по формулам
(КГ)(2) = Г (2), 6 = ащ(С- 2),
где черта над функцией означает переход к комплексно-сопряжнным значениям, т Ф 0 - целое число, ^^ - элемент плоской меры Лебега, интеграл понимается в смысле главного значения по Коши,
то есть как предел по норме в Ьр (О), 1 < р < да :
I I с— тб I | ¿у-тб
|Г—-т/0№с = Иш-Щ- 1Г —-2 Г
где О(2) - круг радиуса £ с центром в точке г: О(г) = {2 :\0 — 2 \< £ Операторы с сингулярным интегралом в случае, когда т чётное число, изучались ранее различными авторами (см.напр. [1-3]). В частности, в работе [4] установлены эффективные необходимые и достаточные условия нё-теровости оператора
М, = а{£)1 + Ъ{г)К + ф)£2 + ¿(г)8_2К
Адрес для корреспонденции: Джангибеков Гулходжа. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рубаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
в пространстве Lp (D) и получена формула для вычисления его индекса, где коэффициенты
a(z), b(z), c(z), d(z) - непрерывные в D = D ^Г комплексно-значные функции. Что касается случая нечётного m , то в этом направлении выполнена лишь одна работа первого автора [5], где в пространстве Lp (D) построена алгебра операторов вида
Мт es a(z)I + b(z)SmK + c(z)Bm + Т, (1)
где Bm = SmS_m + T, T - компактный в Lp (D) оператор, и доказана
Теорема 1. Для того, чтобы произвольный оператор ЛЛт из алгебры операторов вида (1) был нётеровым в пространстве Lp (D), 1 < p <<х>, необходимо и достаточно, чтобы | a(z) |2 +| b(z) |2 Ф 0 при z е D и a(t) + c(t) Ф 0 при t еГ. При выполнении этих условий
индекс оператора A из (1) равен к = -m [arg(a(t) + c(t))].
¿ж
В настоящей работе в пространствах Lp (D), 1 < p <х> изучается оператор вида
A = a( z) I + b( z)K + c( z)Sm + d (z)SmK, (2)
где m > 0 - нечётное число и a(z), b(z), c(z), d(z) - непрерывные в D функции.
При этом, поскольку A содержит оператор K - переход к комплексно-сопряжнным значениям, то естественно пространство Lp (D) считать вещественным, то есть рассматривать его как линейное множество над полем вещественных чисел. Тогда все операторы из (2) будут обычными линейными ограниченными операторами. Всякий линейный ограниченный функционал на вещественном
пространстве Lp (D) представим единственным образом в виде
(f ,¥) = Reof (z)W(. z)ds2,
где w(z) е Lp' (D), 1 < p' <ю, 1 / p +1 / p' = 1.
В соответствии с этим сопряжнным для оператора A в пространстве Lp (D) является оператор
А = а( г)1 + Ь( г)К + ^ (с( г)1 + d (г)К).
В случае нётеровости под индексом оператора А понимается разность между количеством линейно независимых (над полем вещественных чисел) решений однородных уравнений А/ = 0 и
А*щ = 0.
Прежде всего аналогично [6] устанавливается, что оператор А будет нётеровым в Ьр (П) тогда и только тогда, когда нётеровым в пространстве двумерных вектор-функций с координатами из Ьр (П), 1 < р < да является операторная матрица
л =
где 3_т = -8т. Поскольку символ оператора (см.[7]) равен а т (а = ах + ¡&2 Ф 0), то, согласно
I а \т
[8], для нётеровости операторной матрицы Л необходимо, чтобы его символический определитель ёй {) Ф 0 для всех ¿е Д \t\=l, где СА (г, {) :
а(¿) + с(¿)}т Ъ(¿) - d(£)1п
Ъ(¿)+й(¿)}т а(¿) - с(гу
Лемма. Матрица Ол(г^) невырожденная для всех г е 1) и |?|=1 тогда, и только тогда, когда для Ух е П выполнено одно из неравенств
А?( г) >\ Л( ¿) \2 -\М( ¿) \2 У г е П,
А2( г) > Л г)\ 2 -\р( ¿)\ 2 У г е П,
(3)
(4)
причём (3) и (4) не могут одновременно выполняться ни при одном значении г е П, где А =\ а \ 2 - \ Ъ \ 2, А = \ с \ 2 - \ d \ 2 ,Л = ас - Ъй,^ = ай - сЪ. Действительно, пусть матрица (¡А(г,I) при всех г е /А/1=1 невырожденная, то есть
СА (г, г) = (а(¿) + с(г)}т)(а(2) - с(г)Г ) - (Ъ(г) - й(¿)Г )(Ъ(¿) + й(г)}"1) =
= А (г) - А (г) + Л(г)}" - Л(г)Г Ф 0
для всех г е П и \г \ = 1. Это равносильно тому, что
А (г) - А (2) Ф 0 при У г е П,
(5)
ибо слагаемое Л(г)}" - Л(г)" = Л(¿)е 1тср - Л(¿утср является тригонометрическим полиномом относительно <р е [0,2ж] без свободного члена и не может сохранять для всех значений <р е [0,2ж] постоянный знак. Если теперь учесть тождество \ Л(¿) \2 - \ ¿) \2 = А(¿)А (¿), то получим, что неравенство (5) эквивалентно выполнению одного из неравенств (3) или (4).
Рассмотрим теперь следующие ограниченные в Ьр (П) операторы:
Т = а( ¿)1 - Ъ(г)К, Т = й (¿)1 - с( ¿)К.
т
Из леммы следует, что при выполнении условия (3) оператор Т имеет непрерывный обратный, причём А = Т ,
А =\( 2) I + Л( 2)БЯ + /( 2)$тК- (6)
В случае (4) оператор Т2 имеет непрерывный обратный и А = Т^ А ■>
А=/( 2)1—Л( г)к—^2 2к. (7)
Таким образом, исследование нётеровости и индекса оператора А сводится к соответствующему исследованию операторов А и А из (6) и (7).
Теорема 2. Для нётеровости оператора А в пространстве Ьр (О), 1 < р < да необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий:
Д2(2) > \ Л(2)\2 — \/(2)\2 У2еО, (8)
Д2(2) > \Ц?)\ 2 — \/(2)\ 2 Vz е О и /(т) Ф 0 УтеГ. (9)
При этом, если выполнено условие (8), то индекс оператора А равен нулю, а при выполнении (9) его индекс № равен № = т1п/и(г) .
Из результатов [8] следует, что для нётеровости оператора А необходимо выполнение (3) или
(4).
1) Рассмотрим сначала случай (4). Соответствующая оператору А2 матрица-символ имеет вид
Прежде всего заметим, что
' /(2) —Л(2) — Д2(2)^
—Л(2)+Д2(2)-;т /(2)
С^2, г) = —Д2(2)(Д2(2) — Дх(2) — Л(2)Г + ^т),
и если функция (¡{£) является корнем уравнения й&О^ = 0, лежащего внутри круга /1= 1, то
функция — ^ также будет корнем этого уравнения. Поэтому с1е1:(7(2)(г, /) можно представить в д(г)
виде
при этом очевидно, что 1пс1,,=1 ёй (/д2)(г, I ) = 0, где
' 1 ^
гт +-
д( 2 )
Ч =
А-А 2(А1 -А 2)2 + 4 \ Л \
2Л
А1 -А2 + У (А1 -А 2)2 + 4 \ Л
Ч
2Л
Пусть теперь, г = т - любая точка границы области П. В дальнейшем нам понадобится следующее представление
= для V |ф1,
рт (0
(10)
где (г) - аналитически продолжимые по г соответственно внутри и вне единичного круга \г \ = 1 функции:
¥Т (г) = -А2Л(т)(гт +4т), (г) =
1
Ч(т)
1 -
Ч(т)'
гт
Далее устанавливается, что если //(г) ф0 при всех те Г, то матрица-символ С7'42)(г,/) фак-торизуется с нулевыми частными индексами в виде
f /(т) -Л(т) -А (т)гт ^ А(т)
-Л(т)+^ V г
/л(т)
( 1
0 V
(Л(т) -А^) 1
/(т) К (г) у
/Тт) -(Л(т) + А2(т)гт)
0
/(т)
где ФТ (г) - аналитически продолжимые по г соответственно в верхней и нижней плоскости функции, а это означает, что при выполнении условия (9) оператор А нётеров в Ьр (П), р > 1.
Если же //(г0) = 0 при некотором г0 е Г, то тогда матрица (т<2)(т(),/) факторизуется с частными индексами -т и т :
0 -Л(т0)-А2(т0)гт)
-Л(т)+^
АТ
'-ЛР-АТ 0
т
V г
1
гт 0
0 1
V г у
0
1Л
к-Л(т0)Т +АТ 0 у
Таким образом, условие /(т) Ф 0, Vт еГ необходимо для нётеровости оператора А. Для получения формулы индекса оператора А рассмотрим следующий обратимый оператор
Т = I + а( г)д(г)К,
где ¿/(г) является корнем уравнения О^(т,= 0, таким, что £/(г) |< 1 для всех г е /), а функция а(г) имеет вид:
/(. г)
а( г) =
А 2 (г) + Ч( г)Л( г)'
(11)
причём из (9) следует, что | а(г) |< 1, г е О. Тогда устанавливается, что нётеровый оператор ТА с точностью до вполне непрерывного оператора можно представить в виде
Т3А = А2(г)(I - д(г)Бя -Ж ВтК)(а(г)1 - БтК),
а (г)
(12)
где а * (г) является измеримой ограниченной функцией, имеющей на Г равномерно достигаемые предельные значения, образующие непрерывную функцию а(г) из (11). Далее устанавливается, что первый сомножитель из (12) является обратимым оператором в Ьр, р > 1, а второй в силу теоремы 1 нётеров и его индекс равен ж = ш1пёТ а(1) = ш1пёт /).
2) Рассмотрим теперь случай (3). Соответствующая оператору А1 матрица-символ имеет вид
А ( г) + А( г)Г -/( г)"
Тогда матрица О^ (т,/) при всех геГ. безусловно, факторизуется (в явном виде) с нулевыми частными индексами. Действительно, если /(т) Ф 0 для всех теГ, то
Ш +
е"
Ктхш+А(т1) V
/т) 1Г(Ъ шт*)
_1 /(т)
Г Ар; («О
/Т) -^Т^Г^ + (А (т) -Атуш у
р; (*>)Ш
0
Р+ д)
/Л(т)
Если же /и(т0) = 0 в некоторой точке ; е Г, то тогда оператор А в этой точке локально эквивалентен оператору
А; =\(Т0)1 + ЦТ0^ш , который в силу условия (3) локально нётеров (см.[9]).
Для вычисления индекса оператора А1 построим семейство нётеровых операторов
Мт =А(¿)I + т-Л(+/(г)ЗтК, непрерывно по норме зависящих от параметра те[0,1]. По-
М0 =А( ¿) I + /( 2)БтК,
скольку то в силу теоремы 1 индекс оператора А1 равен нулю.
М1 = 4,
Замечание 1. Если вместо (8) потребуем выполнения более сильного условия
\А( ¿) \ >Л*)\ + \/( ¿)\ У г е П, (13)
то тогда оператор А будет обратим в Ьр (П), 1 < р < да. Действительно, поскольку условия нётеро-вости оператора А1 от показателя р пространства Ьр (П) не зависят, то А1 будет одновременно нё-теровым или не нётеровым в Ьр (П) для всех р е (1,да). Так как ^ = 1 (см. [10]), то в силу (13) из принципа сжатых отображений следует обратимость оператора А1 в Я (П). Индекс оператора А1 равен нулю в любом Ьр (П) при 1 < р < да, поэтому, в силу вложения Ьр (П) ^ Я(П) (р > 2), оператор А имеет нулевое ядро в Ьр (П) при р > 2. При 1 < р < 2 этот факт устанавливается путём перехода к сопряженному оператору. Таким образом, показано, что А является обратимым оператором в Ьр (П) , 1 < р < да.
Замечание 2. В случае нётеровости оператора А в пространстве Ьр (П), 1 < р <да можно построить левые и правые ограниченные регуляризаторы оператора А в явном виде, а при постоянных коэффициентах а, Ъ, с, й - обратный оператор А. Это касается также оператора А, где сингулярные интегралы и рассматриваются по всей комплексной плоскости Е.
Замечание 3. Все полученные выше результаты сохраняются в весовом лебеговом пространстве ир-2! р(П):
Я-(П) = {/(¿) :\ г \р2!р /(¿) = Г(2) е Ьр(П),\\/ \\^ =\\ К \ \ ^},
где р - число из интервала (0,2), 1 < р < да.
Поступило 29.05.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1997, 415 с.
2. Комяк И.И. - ДАН СССР, 1980, т.250, №6, с.1307-1310.
3. Джангибеков Г. - Изв.вузов, Математика, 1992, №9, с.25-37.
4. Бойматов К.Х., Джангибеков Г. - Успехи мат. наук, 1988, т. 43, в. 3, с. 171-172.
5. Джангибеков Г. - ДАН России, 2002, т.383, №1, с.7-9.
6. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегралных уравнений. - М.: Наука, 1970, 379 с.
7. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1962, 254 с.
8. Duduchava R. - J. Operator Theory, 1984, v. 11, pp.41-76; pp.199-214.
9. Симоненко И.Б. - Изв.АН СССР. Сер. мат., 1965, т.29, №3, c.567-586.
10. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. - М.: Физматгиз, 1959, 507 с.
Г.Ч,ангибеков, ГДозиев ОИДИ ЯК ОПЕРАТОРИ ИНТЕГРАЛИИ СИНГУЛЯРИИ ДУЧЕНАКА БО
ХАРАКТЕРИСТИКАИ ТОЦ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола баъзе синфхои операторной интегралии сингулярии дученака бо характеристики ток дар сохаи махдуд омухта шудааст. Шартхои зарурй ва кифоягии эффективии нётеровй будани ин операторхо дар фазои Лебегй ёфта шуда, формула барои хисоб намудани индекси онхо хосил карда шудааст.
Калима^ои калиди: оператори интегралии сингулярй - нётеровй будани оператор - индекси оператор - символи оператор.
G.Jangibekov, G.Koziev
OF SOME SINGULAR INTEGRAL OPERATOR WITH EVEN CHARACTERISTIC
Tajik National University
In explores some classes of systems of two dimensional singular integral operators and on a limited area. Found effective necessary and sufficient conditions for Noetherian in the space of Lebeg and the formula for the rate us index.
Key words: singular integral operators - noetherian operators - the index of operator - operator.
