Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ АЛГОРИТМЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НУЛЕЙ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ РЯДАМИ ДИРИХЛЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ А.Е. Коротков, О.А.Матвеева

Саратовский государственный университет,

ул. Астраханская, 83, Саратов, 410026, Россия, е-таіІ:когоікоуае@іпґо.sgu.ru

Аннотация. В работе приводится численный алгоритм, который позволяет достаточно быстро определить в полуплоскости а > 1/2 нули целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

Ключевые слова: ряд Дирихле, Ь-функции Дирихле, функциональное уравнение.

В работе [1] показано, что важную роль при решении проблемы о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана играет ответ на следующий вопрос: существуют ли в полуплоскости а > 1/2 общие нули целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

Особый интерес, в связи с этой задачей, представляют ряды Дирихле, являющиеся линейной комбинацией Ь-функций Дирихле с первообразными характерами одного и того же модуля. Как показано в [2] такие ряды Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана и, как будет видно ниже, имеют бесконечное число нулей в полуплоскости а > 1/2. Поэтому положительный ответ на поставленный выше вопрос позволяет сделать важные выводы о зависимости расширенной гипотезы Римана от основной гипотезы, и о том, что условие удовлетворения функциональному уравнению типа Римана не накладывает существенных ограничений на нули таких функций.

В данной работе приводится достаточно простой алгоритм вычислительной схемы, позволяющий определять в полуплоскости а > 1/2 нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

1. О нулях целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами

Приведем известные факты, связанные с аналитическими свойствами целых функций, заданных рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые влияют на расположение нулей таких функций.

В работе [3] показано, что ряды Дирихле с конечнозначными, мультипликативными коэффициентами, которые определяют целые функции и удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана, являются Ь-функциями Дирихле.

В случае немультипликативных коэффициентов условие подчинения функциональному уравнению типа Римана не накладывает сильных ограничений на расположение

нулей даже в случае периодических коэффициентов. Как уже отмечалось во введении, ряды Дирихле, которые являются линейной комбинацией Ь-функций Дирихле с различными первообразными характерами данного модуля удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана. В [4, гл. IV, § 5] доказано следующее утверждение

Теорема 1. Пусть х1 и х2 неэквивалентные характеры Дирихле. Тогда функция

где с1 = 0, с2 = 0, Ь (в, х 1), Ь (в, х2) - Ь-функции Дирихле, имеет в полосе а1 < а < а2, где | < о\ < а2 < 1, бесконечно много нулей.

К сожалению, авторы не смогли, исходя из приведенных выше фактов, ответить на следующий вопрос: для любого ли нуля г0, И,ег0 > 1/2, целой функции, заданной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами, существует целая функция, заданная рядом Дирихле с периодическими коэффициентами, не равная нулю в точке х0. Как уже отмечалось выше ответ на этот вопрос связан с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана.

Ниже приводится численная схема определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, применение которой позволяет сделать предположение относительно ответа на поставленный вопрос.

2. О приближении полиномами Дирихле целых функций, определяемых в полосе а > а0 > 0, |£| < Т рядами Дирихле с периодическими коэффициентами

Как показано в работе [5], целая функция f (в), определяемая рядом Дирихле

с периодическими коэффициентами, допускает в полосе а > а0 > 0, |£| < Т приближение полиномами Дирихле

с теми же коэффициентами ак, что и ряд Дирихле (1), допускает на отрезке [0; 1] приближение алгебраическими полиномами

f (в) = сЛЬ (в, Х1) + с2Ь (в, Х2) , в = а + й,

в = а + а,

(1)

(2)

к= 1

с той же скоростью, с какой функция д (х), заданная степенным рядом

(3)

к=1

п

к= 1

При этом полиномы Дирихле вида (2) имеют те же коэффициенты, что и алгебраические полиномы вида (4).

Легко видно, что для целых функций вида (1) в случае периодических коэффициентов ап степенной ряд (3) определяет рациональную функцию

( ^ Ра~ іИ г*\

9 іх) = ї-------------------------гт ) (5)

1 ' 1 + X + ... + х 1 1 1

где й - период для ак.

Полюсы функции д (г), как функции комплексного переменного, лежат на единичной окружности, и эта функция регулярна в точке г = 1. В нашем случае, функцию д (г) будем считать регулярной и в точке г = -1.

Пусть Оро обозначает область, ограниченную эллипсом, фокусы которого находятся в точках ±1 и сумма полуосей которого равна р0. Кроме того, функция д (г) регулярна внутри области Оро и имеет хотя бы один полюс на границе этой области.

Пусть в этом случае Еп (д) обозначает величину наилучшего приближения функции (5) на отрезке [-1; 1] алгебраическими полиномами, степени которых не превосходят п. Тогда теорема Бернштейна [6] утверждает что величина Еп (д) ведет себя следующим образом

вЛ») = о(і), (6)

для любого р : 1 < р < р0.

Как показано в [6], оценка (6) имеет место и в случае приближения функции д (х) на отрезке [-1; 1] алгебраическими полиномами вида

Рп (х) = ^ Сктк (х) = ^ Ь(;п)хк , (7)

Ь(п) хк

к=0 к=0

где

ГО

д (х) = ^2 СкТк (х), X Є [—1; 1]

к=0

- разложение функции д (х) в ряд Фурье по полиномам Чебышева. Здесь

2 Г1 1

ск = - г---------—д (*) Тк (*) (8)

п ]-1^ 1 - г2

при к > 1.

В силу сказанного выше имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть ряд Дирихле (1) с периодическими коэффициентами определяет целую функцию. Тогда существует последовательность полиномов Дирихле Qn (в) вида

(2), такая, что в любой полосе: а > а0 > 0, |г| < Т имеют место следующие оценки

рп

где р - некоторая константа, большая единицы.

Заметим, что в качестве коэффициентов полиномов Дирихле Qn (в) можно взять коэффициенты алгебраических полиномов Рп (х) вида (7).

3. Алгоритм и вычислительная схема определения в полуполосе а > | нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами

Пусть f (г) - целая функция, определенная рядом Дирихле (1) с периодическими коэффициентами, и пусть д (х) соответствующий степенной ряд (3).

Во-первых, определим вид рациональной функции д (х):

(1 ОО

д (х) = £ X! а(т4+к)Хта+к =

к=1 т=0

Л О Л р (х)

= £ «*** £ -а- Е <*** = 1+дЕ +^-1 • Р)

к=1 т=0 к=1

Во-вторых, определим коэффициенты Ск разложения (7) по формулам (8). При этом имеет смысл предварительно разложить рациональную дробь (9) в сумму простейших. Далее, находим коэффициенты Ь^ПП полинома Рп (х) (7). При этом полиномы Чебышева Тк (х) определяем исходя из рекуррентного соотношения:

Тк+1 (х) = 2хТк (х) - Тк-1 (х) , То = 1, Т = х.

После этого выпишем полиномы Дирихле Qn (в) (2) и найдем комплексные нули таких полиномов. Известно [7], что в любой полосе а > а0 > 0, |£| < Т нули полиномов Qn (в) с ростом п стремятся к нулям функции f (в), и, так как полиномы Qn (в) сходятся к f (в) с показательной скоростью, то будет наблюдаться достаточно быстрая сходимость нулей полиномов Qn (в).

Проиллюстрируем описанный выше алгоритм на отдельных примерах. Рассмотрим ряд со следующими коэффициентами:

( 0, п = 0(3),

а% = \ 1, п = 1(3),

[ -1, п = 2(3).

Нули полинома Дирихле, построенные для указанного ряда, располагаются на прямой а =1/2 тем больше, чем выше степень полинома. В силу симметричности нулей, нижнюю полуплоскость изображать не будем:

Рис. 1. Расположение нулей аппроксимационных полиномов 57 и 112 степеней. Аналогичная картина наблюдается для ряда с коэффициентами:

0, п = 0(5),

1, п = 1(5),

1, п = 2(5),

-1, п = 3(5),

-1, п = 4(5).

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.5 0.5002 0.5005

Рис. 2. Расположение нулей аппроксимационных полиномов 28 и 83 степеней.

Но для ряда с периодическими, немультипликативными коэффициентами:

0, п = 0(5)

1, п = 1(5)

-1, п = 2(5)

1/2, п = 3(5)

^ -1/2, п = 4(5)

нули к прямой а = 1/2 не сходятся и в полосе 1/2 < а < 1 содержится большое количество.

их

Рис. 3. Расположение нулей аппроксимационных полиномов 27 и 67 степеней.

В результате численного эксперимента, основанного на приведенной здесь схеме, авторы показали, что в области 0 < а < 1, Щ < 105 нет общих нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, что позволяет предположить, что расширенная гипотеза Римана является следствием основной гипотезы.

Нужно отметить, что в численном эксперименте при |£| < 105 были задействованы только ряды Дирихле с периодами коэффициентов й =3 и й = 5. Возможно, что таких рядов Дирихле будет достаточно, чтобы получить ответ на вопрос, поставленный в разделе 1 данной работы.

Представляет интерес и другой вопрос, возникший в процессе численного эксперимента, выяснить почему, и как это зависит от степени, нули аппроксимационных полиномов, в случае коэффициентов мультипликативного вида, с ростом степени этих полиномов до определенной величины Щ располагаются на критической прямой?

Литература

1. Кузнецов В.Н., Полякова О.А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Чебышевский сборник: Науч.-теор. журн. - Тула, 2010. - 11;1. - С.188-199.

2. Кузнецов В.Н. К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана // Известия Саратовского ун-та. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2011. - 11;3 (часть 1). - С.21-25.

3. Кривобок В.В. О рядах Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, удовлетворяющими функциональному уравнению римановского типа // Известия Саратовского ун-та. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2007. - 7;1. - С. 13-15.

4. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана / С.М. Воронин. - М.: Физ-

матлит, 1994. - 376 с.

5. Кузнецов, В.Н. Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента / Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам / Межвуз. сб. науч. тр. - Саратов, 2003. - 2. - С.27-32.

6. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций / И.К. Даугавет. - Л.: ЛГУ, 1977.

7. Титчмарш Е. Теория функций / Е. Титчмарш. - М.: Наука, 1980.

NUMERICAL ALGORITHM OF ZEROES CALCULATION OF ENTIRE FUNCTIONS DEFINED BY DIRICHLET’S SERIES WITH PERIODIC COEFFICIENTS A.E. Korotkov, O.A. Matveeva

Saratov State University,

Astrakhanskaya, 83, Saratov, 410026, Russia, e-mail:[email protected]

Abstract. It is given the numerical sufficiently fast algorithm that permit to calculate zeroes of entire functions which is in the semiplane a > 1/2 and is defined by Dirichlet’s series with periodic coefficients.

Key words: Dirichlet’s series, Dirichlet’s L-function, functional equation.