К задаче численного определения нетривиальных нулей L-функций Дирихле числовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 2 (2015)

УДК 511.3

К ЗАДАЧЕ ЧИСЛЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ НУЛЕЙ ¿-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

В. Н. Кузнецов, В. А. Матвеев (г. Саратов)

[email protected], [email protected] Аннотация

В случае ¿-функций Дирихле с числовыми характерами разработан алгоритм определения нетривиальных нулей таких ¿-функций, в основе которого лежит построение полиномов Дирихле, приближающих Ь-функцию в любом прямоугольнике, расположенном в критической полосе, с показательной скоростью.

Для Ь-функций Дирихле числовых полей последний результат не имеет места, так как в противном случае степенной ряд с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле, определённый Ь-функцией, сходился бы к функции, голоморфной в точке 1. Но известно, что такой степенной ряд в случае числового поля, отличного от поля рациональных чисел, аналитически непродолжим за границу сходимости.

В связи с этим требуется разработать новую вычислительную схему определения нетривиальных нулей Ь-функций числовых полей. Изучени-юю этой задачи и посвящена данная работа.

Показано, что существует последовательность полиномов Дирихле, приближающих в любом прямоугольнике, расположенном в критической полосе, Ь-функцию Дирихле числового поля со скоростью, превосходящей любую степенную функцию. В случае разложения Ь-функции Дирихле числового поля в произведение классических Ь-функций Дирихле указана явная конструкция аппроксимирующих полиномов Дирихле, нули которых в заданном прямоугольнике совпадают с нулями Ь-функции. Также обсуждаются вопросы, связанные с явной конструкцией таких полиномов Дирихле в случае произвольных Ь-функций Дирихле.

Ключевые слова: характеры Дирихле, Ь-функции Дирихле числовых полей, нетривиальные нули Ь-функций

Библиография: 11 названий.

ON A PROBLEM OF FINDING NON-TRIVIAL

ZEROS OF DIRICHLET L-FUNCTIONS IN NUMBER FIELDS

V. N. Kuznetsov, V. A. Matveev

There is a numeric algorithm for finding non-trivial zeros of regular Dirich-let L-functions. This algorithm is based on a construction of Dirichlet polynomials which approximate these L-functions in any rectangle in the critical strip with exponential speed.

This result does not hold for Dirichlet L-functions in number fields, because if it did, a power series with the same coefficients as the Dirichlet series defining the L-function would converge to a function which is holomorphic at 1, however, it is known that that such power series in case of a number field different from the field of rational numbers can't be continued analytically past its convergence boundary.

Consequently, we need to develop a new numerical algorithm for finding non-trivial zeros of Dirichlet L-functions in number fields. This problem is discussed in this paper.

We show that there exists a sequence of Dirichlet polynomials which approximate a Dirichlet L-function in a number field faster than any power function in any rectangle inside the critical strip. We also provide an explicit construction of approximating Dirichlet polynomials, whose zeros coincide with those of a Dirichlet L-function in the specified rectangle, for an L-function, if it can be split into a product of classical L-functions. Additionally we discuss some questions related to the construction of such polynomials for arbitrary Dirichlet L-functions.

Keywords: Dirichlet characters, Dirichlet L-functions in number fields, nontrivial zeros of L-functions

Bibliography: 11 titles.

Пусть К — поле алгебраических чисел, [К : = к, О — кольцо целых поля К, % — характер Дирихле по модулю т, заданный на полугруппе целых идеалов кольца О. Рассмотрим ¿-функция Дирихле поля К:

[email protected], [email protected]

Abstract

1. Введение

(1)

где произведение берётся по всем простым идеалам кольца O.

Известно [1, 2, 3], что ¿-функция (1) в случае неглавного характера х определяет целую функцию, нетривиальные нули которой лежат в критической полосе 0 < а < 1. При этом имеет место расширенная гипотеза Римана о том, что такие нули располагаются на критической прямой. Известные плотностные теоремы [4] дают картину распределения нулей ¿-функции Дирихле (1) в критической полосе.

В работах [5, 6, 7] была разработана численная схема определения нетривиальных нулей классических ¿-функций Дирихле, т.е. ¿-функций с числовыми характерами. В основе этой вычислительной схемы лежат результаты о взаимосвязи между аналитическими свойствами рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами и поведением соответствующих (с теми же коэффициентами) степенных рядов в окрестности единицы, полученные в работе [8].

Алгоритм определения нулей ¿-функции Дирихле в классическом случае заключается в следующем.

Пусть соответствующий степенной ряд

те

= 52 хн^

п= 1

определяет функцию, голоморфную в точках г = ±1. Рассмотрим разложение $(ж) на отрезке [-1,1] по полиномам Чебышева:

<?(х) = 52 СкТк(х)

к=0

п ( )

Пусть Рп(х) = ЬкП)хк — частичные суммы этого разложения. В работе [5] по-к=0 к

казано, что соответствующие полиномы Дирихле

п ь(п)

Яп(в) = 52 ^, к= 1

приближают ¿-функцию в любом прямоугольнике : 0 < ао < а <1, |£| < Т с показательной скоростью, то есть

№,х) - Яп(8)Ът =

где величина р > 1 определяется модулем характера х.

Там же ([5], [6]) показано, что в прямоугольнике ^у высоты Т нули ¿-функции ¿(«, х) являются нулями полинома фп, где п = ¡Пр . В частности, если модуль характера х не превосходит 12, то п = [2Т] + 1. В основе этого результата лежит информация о нулях почти периодических функций конечного класса (см. [6]), каковыми являются полиномы Дирихле, а также тот факт, что приближение ¿-функций полиномами Дирихле в прямоугольнике ^у осуществляется с показательной скоростью.

Как показано в [6], [9], этот алгоритм построения аппроксимирующих полиномов и его численная реализация не только говорят в пользу расширенной гипотезы Рима-на для классических ¿-функций, но и позволяют получать отличным от известного способом плотностные теоремы для нулей классических ¿-функций Дирихле.

В связи с этим представляет интерес разработать алгоритм, позволяющий определять нули ¿-функций Дирихле числовых полей, лежащих в прямоугольнике Оу высоты Т.

Отметим, что в работе [10] было показано, что в случае поля К = Q степенной ряд, соответствующий ¿-функции (1):

те

д(г) = (2)

п= 1

определяет функцию, аналитически непродолжимую за границу единичного круга, и в этом случае полиномы Дирихле Qn(s), определяемые частичными суммами разложения функции д(х) на отрезке [-1,1] по полиномам Чебышева, не могут приближать ¿-функцию (1) с показательной скоростью. Этот факт не позволяет перенести численную схему определения нулей в классическом случае на случай произвольного числового поля.

В данной работе исследуются вопросы, связанные с разработкой такого алгоритма, высказываются предположения в этом направлении и приводится их обоснование.

2. Аппроксимационные теоремы для Ь-функций Дирихле числовых полей

Рассмотрим степенной ряд (2):

g(z) = Е

те

"•nz

n= 1

Так как ¿-функция (1) определяет целую функцию, то, как показано в [11], у функции g(z) в точке z = 1 существуют конечные радиальные производные вида

lim g(n)(x) = an.

x^1-0

В этом случае известно [12, 13], что существует последовательность алгебраических полиномов

n

,(n) xk

k= 1

Pn(x) = ]T4n) xk (3)

приближающих функцию д(х) в пространстве С[0,1] со скоростью более высокой, чем любая степенная функция, т.е.

1|д(х) - Рп(х)||с[0,1]=о(Пт) (4)

при любом натуральном т.

Обозначим через Qn(s) последовательность полиномов Дирихле, коэффициенты которых совпадают с коэффициентами алгебраических полиномов вида (3). При данных обозначениях имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Последовательность полиномов Дирихле приближает ряд

Дирихле (1) в любом прямоугольнике Бу : 0 < а0 < а <1, 0 < £ < Т с скоростью более высокой, чем любая степенная функция, т.е.

||^,Х,к) - ^)|ЬТ = о(Пт

где т — любое натуральное.

Доказательство. В силу преобразования Меллина [14] ряды (1) и (2) и полиномы Рп(х) и связаны следующими соотношениями:

1 [те

'в-ж)х5-1^х, а > 0,

1 Гте

i<s■x.К> = щI д(е '

0 те

где д(е—х) = ^ апе—пх, Г(s) — Г-функция Эйлера, и

п=1

1те

= Рп(е-Х)х^х, а > 0.

Г Jo

Отсюда при 0 < а0 < а < 1, |£| < Т получаем оценку вида

1 Гп

1п

|^,Х,К) - дп(^|<-— / |д(е-х) - Рп(е-хЖ-1^х+

|Г(s)| Jo 1 /•те

+ ^ I е-Лх|еЛх(д(е-х) - Рп(е-Х))|хст—^х

где 0 < Л < 1.

Оценим первый интеграл:

0 |д<е-х) - рп <е-х)|х"-1 *=»(¿) /V-^=»(¿) ао=

где т — любое натуральное.

Для второго интеграла для х € [п, то) имеем:

|еЛх(д(е-х) - Рп(е-Х))| = |е(Л-1)х(^(е-ж) - Рп(е-Х))| < Се(Л-1)х.

Здесь мы воспользовались тем, что на отрезке [п, то) выполняется оценка д(е—х) -(Рп)(е-Х) = 0(1). Многократное применение формулы интегрирования по частям даёт оценку вида:

Гте Лх , е-Лппст Ле—Лппст+1

/ е- х Мх =-+ —--— + ... =

Уп а а(а + 1)

е-Лппст / Лп (Лп)А

' 1 + -- + ••• + 7-77--+ <

а \ а + 1 " ' (а + 1)... (а + к)

е п еЛп = п . аа

Отсюда получаем

С ^ па ( 1

/ е-Ах|еАх,(е-х) _ Рп(е-Х < Се(А-1)п — = о —

.)п О \пт

при любом т.

Таким образом, утверждение теоремы 1 полностью доказано. □

Отметим, что теорема 1 не позволяет указать соотношение между п и Т, при котором в прямоугольнике Бу нули ¿-функции Дирихле совпадали бы с нулями полинома Дирихле ^п(з). Ниже мы укажем класс ¿-функций Дирихле, для которых это удаётся сделать.

Рассмотрим случай норменного характера х числового поля К, т.е. такого характера, для которого существует числовой характер Дирихле XI, такой, что для любого простого идеала р кольца целых элементов О поля К имеет место равенство

Х(р)=Х1(^ (р)).

В работе [15] приведено описание полей К, для которых все характеры Дирихле являются норменными. При этом в этой работае показано, что в случае норменного характера х имеет место разложение ¿-функции ¿(з,х, К) в произведение классических ¿-функций Дирихле:

I

¿(з,х, К) = 1 <к. (5)

г=1

В работах [5], [6] было показано, что для классических ¿-функций Дирихле имеет место следующее утверждение: существует такая последовательность полиномов Дирихле Qn (з), что в любом прямоугольнике Бу :0<оо<о < 1, 0<£ < Т имеет место оценка

1№х) _ Qn(s)||DT = °(рп) , (6)

где р > 1, а константа в «О» имеет вид

т е1 Т.

При этом там же ([5], [6]) указан численный алгоритм построения таких полиномов Дирихле.

Приведённые выше факты позволяют доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть х — норменный характер числового поля К. Тогда существует последовательность полиномов Дирихле Qnl (з), где 1 < к, что для любого прямоугольника Бу :0<оо<о <1, 0 < £ < Т имеет место оценка вида

|^(з,х,К) _ Qnl(з)|Ьт = 0(рп) , (7)

где р > 1, а константа в оценке не превосходит величичны 1Т1-2ет.

Доказательство. Доказательство достаточно провести для случае, когда в разложении (5) присутствуют только два сомножителя. Общий случай будет следовать из случая двух сомножителей на основании индуктивных рассуждений.

Обозначим /1(5) = ¿(в,х^ и /2(8) = ¿(в,х2) и соответствущие последовательности полиномов Дирихле фпд(5), фп,2(з).

Пусть (5) = дга>1(в)Фп,2(в). Тогда при в € Бт имеем:

|/1(з)/2(з) - д„2(в)| < < I/1 (в)/2(в) - д„д(в)/2(в)| ■ |д„,1(в)/2(в) - д„;1(в)дга;2(в)| <

Тет 1 Тет 1 2Тет 1 < ---Ь —--<

Т рп Т рп - Т Ш1П(Р1,Р2}П что и доказывает утверждение теоремы 2. □

3. К задаче построения аппроксимирующих полиномов

В этом параграфе обсудим вопросы, связанные с построением аппроксимирующих полиномов Дирихле, нули которых в прямоугольнике Бт : 0 < оо < а <1, 0 < £ < Т должны совпадать с нулями ¿-функции числового поля К. При изучении этой задачи наряду с теоретическими рассуждениями будут использованы результаты численного эксперимента.

Рассмотрим случай норменных характеров. Как было показано в теореме 2, существует последовательность полиномов Дирихле Qnk(в), для которых в каждом прямоугольнике Бт высоты Т имеет место оценка (7). Укажем достаточно грубое соотношение между п и Т, при котором нули ¿-функции Дирихле ¿(в, х, К) должны совпадать с нулями полиномов Qnk(в).

В работе [6] указано, что Qnk (в) является почти периодической функцией конечного класса, и число нулей с учётом их кратности п(Т) такой функции в полосе 0 < £ < Т равно

п(Т ) = ^Т + "(Т), (8)

где ш(Т) — некоторая почти периодическая функция. Из результатов работы [6] следует, что ш(Т) = 0(Т), и основная масса нулей Qnk(в) лежит в критической полосе.

Пусть п такое, что величина отклонения е = |^(в,х, к) — Qnk(в)||_от равна величине п(Т) . В силу (8) получаем:

Т п

(9)

В силу (7) имеем: Отсюда получаем:

п(Т) к 1п п п ет Т к к

к 1п п рп

?! ~ прп к 1п п

етТкк

е

Из этого равенства следует, что

и, следовательно,

или

ln ln n < ln п + n ln p — T — k ln T ln k,

n ln p — T >0

n

T

ln p

(10)

Если величина нормы модуля характера х, не превосходит величины 12, то можно

показать, что 1пр > В этом случае можно считать, что

n = [2T] + 1.

(11)

Таким образом, грубая оценка соотношения между величиной п аппроксимирующего полинома Qnкстепень которого равна пк, и величиной Т такая же, как и для аппроксимирующих полиномов Qn(s) в классическом случае (см. [5], [6]). Ниже приведены результаты вычислений в случае ряда Дирихле

/= L(s,

(d) n = 60 (e) n = 70

где Xi — характер Дирихле по модулю 3, принимающий значения

{0, n = 0 (mod 3), 1, n = 1 (mod 3), —1, n = 2 (mod 3),

X2 — характер Дирихле по модулю 5, принимающий значения

'0 n = 0 (mod 5),

1 n = 1 (mod 5),

X2(n) = i n = 2 (mod 5),

—i n = 3 (mod 5), — 1 n = 4 (mod 5).

Вычисления проводились с помощью аппроксимирующих полиномов

Q„2 (s) = Qn,i(s)Qn,2(s),

и с помощью аппроксимирующих полиномов, полученных в результате разложения на отрезке [—1,1] соответствующего степенного ряда по полиномам Чебышева. Наблюдается практическое совпадение нулей как в первом, так и во втором случаях.

Можно только предположить, что в случае произвольных характеров Дирихле будет эффективной численная схема определения нулей L-функций Дирихле числовых полей, связанная с разложением соответствующих степенных рядов по полиномам Чебышева. При этом величины n и T будут связаны соотношением n > mT, где величина m зависит от нормы модуля характера.

4. Заключение

Остановимся на вопросах, вставших в связи с приведёнными выше результатами. Во-первых, отметим, что численная схема определения нулей ¿-функций Дирихле числовых полей требует дальнейшей доработки. Во-вторых как показано в [9], ап-проксимационный подход позволяет получить плотностные теоремы для нулей рядов Дирихле с периодическими коэффициентами. Представляет интерес на основании ап-проксимационных теорем для полиномов Дирихле получить плотностные теоремы для нулей ¿-функций Дирихле числовых полей.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хейлбронн Х. Дзета-функция и Ь-функция // Алгебраическая теория чисел. Под редакцией Дж. Касселса и А. Фрёлиха — М.: изд-во «МИР», 1969. С. 310-346.

2. Ленг С. Алгебраические числа. — М.: изд-во «МИР», 1966.

3. Вейль А. Основы теории чисел. — М.: Мир, 1972.

4. Туран П. О некоторых новых результатах в аналитической теории чисел / Проблемы аналитической теории чисел — М.: изд-во «МИР», 1975. С. 118-142.

5. Коротков А. Е., Матвеева О. А. Об одном численном алгоритме определения нулей целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Научные ведомости Белгородского гос. университета — Белгород: изд-во БелГУ, 2011. Вып. 24. С. 47-54.

6. Матвеева О. А. О нулях полиномов Дирихле, аппроксимирующих в критической полосе L-функции Дирихле // Чебышевский сборник. 2013. Т. 14, вып. 2. С. 117— 121.

7. Матвеева О. А. Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе // Известия Саратовского ун-та. Серия «Математика. Информатика. Механика.» — Саратов: изд-во Саратовского ун-та, 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2. С. 80-84.

8. Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки, 1994. Т. 36, № 6. С. 805-812.

9. Матвеева О. А. Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле // Диссертация на соискание уч. степени к. ф.-м. н. — Ульяновск, 2014.

10. Кузнецов В. Н., Кузнецова Т. А., Кривобок В. В. Об аналитической непродолжимости за границу сходимости степенных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: межвузовский сборник научных трудов — Саратов: изд-во СГУ, 2009. Вып. 5. С. 31-36.

11. Кузнецов В. Н., Кривобок В. В., Сецинская Е. В. О граничных свойствах одного класа степенных рядов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. — Саратов: изд-во СГУ, 2005. Вып. 3. С. 40-47.

12. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. — Л.: изд-во ЛГУ, 1973.

13. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: «Наука», 1970.

14. Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: «Мир», 1967.

15. Кузнецов В. Н., Сецинская Е. В., Кривобок В. В. К задаче о разложении в произведение L-функций Дирихле числовых полей // Чебышевский сборник. 2004. Т. V, вып. 3(11). С. 51-63.

REFERENCES

1. Heilbronn, H. 1969, "Zeta-function and L-function" , Algebraicheskaja teorija chisel. Pod redakciei J. Kasselsa i A .Frelikha, "MIR", Moscow, pp. 310-346.

2. Leng, S. 1966, "Algebraic numbers", "MIR", Moscow.

3. Weil, A. 1972, "Basics of number theory" , "MIR", Moscow.

4. Turan, P. 1975, "On a certain new results in analytical number theory", Problemy analiticheskoi teorii chisell, "MIR", Moscow, pp. 118-142.

5. Korotkov, A. E. & Matveeva, O. A. 2011, "On a particular numeric algorithm for finding zeros of entire functions which are defined by Dirichlet series with periodic coefficients", Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gos. universiteta, issue 24, pp. 47-54.

6. Matveeva, O. A. 2013, "On zeros of Dirichlet polynomials which approximate Dirichlet L-functions in the critical string", Chebyshevskii sbornik, vol. 14, issue 2, pp. 117-121.

7. Matveeva, O. A. 2013, "Approximation polynomials and behavior of Dirichlet L-functions in the critical strip" , Izvestiia Saratovskogo un-ta. Seriia «Matematika. Informatika. Mekhanika.», vol. 13, issue 4, part 2, pp. 80-84.

8. Kuznetsov, V. N. 1994, "An analog of Szego theorem for one class of Dirichlet series", Mat. zametki, vol. 36, no. 6, pp. 805-812.

9. Matveeva, O. A. 2014, "Analytical properties of some classes of Dirichlet series and some problems of the theory of Dirichlet L-functions", Dissertation, Ul'ianovsk.

10. Kuznetsov, V. N., Kuznetsova, T. A. & Krivobok, V. V. 2009, "On the impossibility of analytical continuation beyond the convergence boundary of power series corresponding to Dirichlet L-functions in number fields" , Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsi-onal'nomu analizu i smezhnym voprosam: mezhvuzovskii sbornik nauchnykh trudov, issue 4, pp. 31-36.

11. Kuznetsov, V. N., Krivobok, V. V. & Setsinskaia, E. V. 2005, "On the boundary properties of one class of power series" , Issledovaniia po algebre, teorii chisell, funktsio-nal'nomu analizu i smezhnym voprosam: mezhvuzovskii sbornik nauchnykh trudov, issue 3, pp. 40-47.

12. Daugavet, I. K. 1973, "An introduction to the theory of function approximation", LGU publishing, Leningrad.

13. Suetin, P. K. 1970, "Classical orthogonal polynomials" , "Nauka", Moscow.

14. Prahar, K. 1967, "The distribution of prime numbers" , "MIR", Moscow.

15. Kuznetsov, V. N., Setsinskaia, E. V. & Krivobok, V. V. 2004, "On a problem of splitting a Dirichlet L-function in number fields" , Chebyshevskii sbornik, vol. 5, issue 3 (II), pp. 51-63.

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Получено 13.05.2015