CC BY
22
УДК 511.3
ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НУЛЕЙ ЦЕЛЫХ
ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ РЯДАМИ ДИРИХЛЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А.Е. Коротков, О.А. Матвеева
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского,
ул. Астраханская, 83, 410012, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация: В работе предлагается численный алгоритм, который позволяет быстро вычислять расположение в полуплоскости а > 1/2 нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.
Ключевые слова: ряд Дирихле, L-функции Дирихле, функциональное уравнение.
В работе [1] показано, что важную роль при решении проблемы о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана играет ответ на следующий вопрос: существуют ли в комплексной полуплоскости Re s = а > 1/2 нули целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, которые являются общими для этого класса. Особый интерес, в связи с этой задачей, представляют ряды Дирихле, являющиеся линейной комбинацией L-функций Дирихле с первообразными характерами одного и того же модуля. Как показано в [2], такие ряды Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана и, как будет видно ниже, имеют бесконечное число нулей в полуплоскости а > 1/2. Поэтому положительный ответ на поставленный выше вопрос позволяет сделать важные выводы о зависимости расширенной гипотезы Римана от основной гипотезы, и о том, что условие удовлетворять функциональному уравнению типа Римана не накладывает существенных ограничений на нули таких функций.
В настоящей работе предлагается достаточно простой алгоритм вычислительной схемы, позволяющий определять в полуплоскости а > 1/2 нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.
1. Нули целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.
Приведем известные факты, связанные с аналитическими свойствами целых функций, заданных рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые влияют на расположение нулей таких функций.
В работе [3] показано, что ряды Дирихле с конечнозначными, мультипликативными коэффициентами, которые определяют целые функции и удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана, являются L-функциями Дирихле. В случае немультипликативных коэффициентов условие подчинения функциональному уравнению типа Римана не накладывает сильных ограничений на расположение нулей даже в случае периодических коэффициентов. Как уже отмечалось во введении, ряды Дирихле, которые являются линейной комбинацией L-функций Дирихле с различными первообразными характерами данного модуля удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана. В [4, гл. IV, § 5] доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть xi и Х2 неэквивалентные характеры Дирихле. Тогда функция
f (s) = CiL (s, xi) + C2L (s, X2), s = a + it,
где ci =0, c2 = 0, L (s,xi), L (s,x2) - L-функции Дирихле, имеет в полосе ai < a < a2, где 1/2 < ai < a2 < 1, бесконечно много нулей.
К сожалению, авторы не смогли, исходя из приведенных выше фактов, ответить на следующий вопрос: для любого ли нуля zo, Re zo > 1/2, целой функции, заданной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами, существует целая функция, заданная рядом Дирихле с периодическими коэффициентами, не равная нулю в точке zo. Как уже отмечалось выше ответ на этот вопрос связан с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана.
Мы приведем схему численного определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, применение которой позволяет сделать предположение относительно ответа на поставленный вопрос.
2. Приближение полиномами Дирихле целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами в полосе a > ao > 0, |t| < T.
Как показано в работе [5], целая функция f (s), определяемая рядом Дирихле
те
/(*) = £!' * а)
k=i
с периодическими коэффициентами, допускает в полосе a > ao > 0, |t| < T приближение полиномами Дирихле
n ,(n)
Q»{s] Y.JT (2)
k=i
с той же скоростью, с какой функция g (x), заданная степенным рядом
те
g (x) = akxk (3)
k=i
с теми же коэффициентами ak, что и ряд Дирихле (1), допускает на отрезке [0; 1] приближение алгебраическими полиномами
n
b(n)xk k=i
При этом полиномы Дирихле вида (2) имеют те же коэффициенты, что и алгебраические полиномы вида (4).
Легко видно, что для целых функций вида (1) в случае периодических коэффициентов an степенной ряд (3) определяет рациональную функцию
Pn (*) = £ b'n)xk . (4)
где ^ - период для . Полюсы функции д (г), как функции комплексного переменного, лежат на единичной окружности, и эта функция регулярна в точке г = 1. В нашем случае, функцию д (г) будем считать регулярной и в точке г = -1.
Пусть Вр0 обозначает область, ограниченную эллипсом, фокусы которого находятся в точках ±1 и сумма полуосей которого равна ро. Кроме того, функция д (г) регулярна внутри области Вр0 и имеет хотя бы один полюс на границе этой области. Пусть в этом случае Еп (д) обозначает величину наилучшего приближения функции (5) на отрезке [-1; 1] алгебраическими полиномами, степени которых не превосходят п. Тогда теорема Бернштейна [6] утверждает что величина Еп (д) ведет себя следующим образом
Еп {9)=° Ш' (е)
для любого р : 1 < р < р0.
Как показано в [6], оценка (6) имеет место и в случае приближения функции д (ж) на отрезке [-1; 1] алгебраическими полиномами вида
п
Ь1п)хк
к=0 к=0
Рп (ж) = £ СкТк (ж) = £ ькп)хк , (7)
где
те
д (х) = $^ Ск Тк (ж), ж € [—1; 1]
к=0
- разложение функции д (ж) в ряд Фурье по полиномам Чебышева. При к > 1
Ск = - Г 'М= тк а) си. (8)
п ,]-1 л/1 - г2
В силу сказанного выше имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть ряд Дирихле (1) с периодическими коэффициентами определяет целую функцию. Тогда существует последовательность полиномов Дирихле Qn (5) вида (2), такая, что в любой полосе: а > ао > 0, |г| < Т имеют место следующие оценки
II/(5) - Qn (*)||< С/рП ,
где р - некоторая константа, большая единицы.
Заметим, что в качестве коэффициентов полиномов Дирихле Qn (з) можно взять коэффициенты алгебраических полиномов Рп (ж) вида (7).
3. Алгоритм и вычислительная схема определения нулей. Пусть / (г) - целая функция, определенная рядом Дирихле (1) с периодическими коэффициентами, и пусть д (ж) соот-ветсвующий степенной ряд (3).
Во-первых, определим вид рациональной функции д (ж):
1 те 1 те 1
А\-1 ^ „ ™к
ж = (1 - ж
к=1 т=0 к= 1 т=0 к= 1
д (ж) = ££ а(т1+к) жт1+к = £ «к ж^ жт1 = (1 - ж1)-1^ ак ж
к=1
Р(-1 (ж)
1 + ж + ... + ж'
1-1 •
(9)
Во-вторых, определим коэффициенты сд разложения (7) по формулам (8). При этом имеет смысл предварительно разложить рациональную дробь (9) в сумму простейших.
Далее, находим коэффициенты ьДп) полинома Рп (ж) (7). При этом полиномы Чебышева Тд (ж) определяем исходя из рекуррентного соотношения:
(ж) = 2жТд (ж) - Тд-1 (ж)
То = 1,
Т1 = ж.
После этого выпишем полиномы Дирихле Qn (з) (2) и найдем комплексные нули таких полиномов. Известно [7], что в любой полосе а > сто > 0, |£| < Т нули полиномов Qn (5) с ростом п стремятся к нулям функции / (5), и, так как полиномы Qn (5) сходятся к / (5) с показательной скоростью, то будет наблюдаться достаточно быстрая сходимость нулей полиномов Qn (5).
Проиллюстрируем описанный выше алгоритм на отдельных примерах. Рассмотрим ряд со следующими коэффициентами:
an = ^0, п = 0(3); 1, п = 1(3); -1, п = 2(3)^
Нули полинома Дирихле, построенные для указанного ряда, располагаются на прямой а = 1/2 тем больше, чем выше степень полинома. В силу симметричности нулей, мы не изображаем нижнюю полуплоскость:
Рис. 1. Расположение нулей аппроксимационных полиномов 57 и 112 степеней. Аналогичная картина наблюдается для ряда с коэффициентами:
an = (о, п = 0(5); 1, п = 1(5); 1, п = 2(5); 1, п = 3(5); -1, п = 4(5)^
Рис. 2. Расположение нулей аппроксимационных полиномов 28 и 83 степеней. Но для ряда с периодическими, немультипликативными коэффициентами:
ап = ^0, п = 0(5); 1, п = 1(5); -1, п = 2(5); 1/2, п = 3(5); -1/2, п = 4(5)^ нули к прямой а = 1/2 не сходятся и их большое число содержится в полосе 1/2 < а < 1.
Рис. 3. Расположение нулей аппроксимационных полиномов 27 и 67 степеней.
В результате численного эксперимента, основанного на приведенной здесь схеме, авторы показали, что в области 0 < а < 1, |£| < 105 нет общих нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами, что позволяет предположить, что расширенная гипотеза Римана является следствием основной гипотезы.
Нужно отметить, что в численном эксперименте при |£| < 105 были использованы только ряды Дирихле с периодами коэффициентов с! = 3 и с! = 5. Возможно, что таких рядов Дирихле будет достаточно, чтобы получить ответ на вопрос, поставленный нами в начале настоящей работы.
Представляет интерес и другой вопрос, возникший в процессе численного эксперимента, выяснить почему нули аппроксимационных полиномов с мультипликативными коэффициентами, с ростом степени этих полиномов до определенной величины модуля ¿, располагаются на критической прямой и как это положение реализуется в зависимости от степени полиномов?
Литература
1. Кузнецов В.Н. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Чебышевский сборник. - Тула, 2010. - 11;1. -С.188-199.
2. Кузнецов В.Н. К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана // Известия Саратовского ун-та. Новая серия. Математика. Механика. Информатика. - Саратов, 2011. - 11;3 (часть 1). - С.21-25.
3. Кривобок В.В. О рядах Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, удовлетворяющими функциональному уравнению римановского типа // Известия Саратовского ун-та. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - Саратов, 2007. - 7;1. - С.13-15.
4. Воронин С.М. Дзета-функция Римана / М.: Физатлит, 1994. - 376 с.
5. Кузнецов В.Н. Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам / Межвуз. сб. науч. тр. - Саратов, 2003. - Вып. 2. - С.27-32.
6. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций / Л.: ЛГУ, 1977.
7. Титчмарш Е. Теория функций /- М.: Наука, 1980.
NUMERICAL ALGORITHM OF ZEROS CALCULATION OF ENTIRE FUNCTIONS DEFINED BY DIRICHLET's SERIES WITH PERIODIC COEFFICIENTS A.E. Koroktov, O.A. Matveeva
Saratov State University, Astrakhanskaya St., 83, Saratov, 410012, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. It is proposed the numerical algorithm that permits to calculate quite fast zeros of entire functions defined by Dirichlet's series with periodic coefficients distributed in the semiplane a > 1/2.
Key words: Dirichlet's series, Dirichlet's L-function, functional equation.
