CC BY
14
ОБ ОДНОМ АНАЛОГЕ ОЦЕНКИ ФИЛИППОВА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
© В.В. Васильев
Обозначим comp|R"| - множество всех непустых
компактов пространства R” .Сп\а,Ь\ (1У'\а,Ь\ ) -пространство непрерывных (абсолютно непрерывных) функций х: \а,Ь\ —» R'1; L"\a.b\ ( ) - про-
странство суммируемых (измеримых ограниченных в существенном) функций .г : |я.Л| —> R” с обычными
для этих пространств нормами; С\\а,Ь\ ( /.^|«.Л| ) -конус неотрицательных функций пространства
С'[а,й| (¿'(«.AI); //[-,1 - расстояние по Хаусдорфу между множествами пространства R”; ||i/|| =
= sup{M :и eU} ( U с R" ).
Будем говорить, чю F : |я,/>|х R" х R" —> —> сотр\ R ” | обладает свойством А, если выполняются следующие условия: для любых (дг, у)е R " xR " отображение /•'( , x, v) измеримо (см. ) I )); существуют такие функции а( )е и Р( )б l}„\a,b\, что
ДЛЯ любых ,.V|>.Vt € R" И при почти всех
справедлива оценка
/»|/*'(/.Х|,У] ),/•'(!.Х2,У2 )| ^
<а(/)|дг, -Jr2| + |3(0|.V| -у2\:
существует функция у( ■ )е L \а,Ь\, чго при почти всех /е |«,/)] выполняется оценка ||/‘(/,0,U)|| < y(t) Пусть измеримая функция f : \n,b \ —> R при всех /е [f/,/>| удовлетворяет неравенству а изме-
римая функция г : \ a,h \ —> [I обладает свойством: существует такое число те (О,Л-а), чго для любого 16 \а,Ь | выполняется равенство г(1 ) < / — т; справед-
ц(г_|(и)) _|
ливо соотношение sup ------------------<°° (г (и) -
и с{ а.Ь ], Ц(И')
Ц( »')#<!
прообраз измеримого множества).
Определим непрерывные операторы
Sf : ('"\a.b\-* L'l\o,b\ и S, : L"\a.b\ -> L"\a.b\
равенствами:
- если
1 \ 0, если f(t)£\a,b\.
x(r(t)), если r(t)e[a,b|,
О, если r(t)£\a.b\.
Аналогичными равенствами определим непрерыв-нме операторы S r : С+ [о,/>] —> L+\a,b\ и
Sr : Cj.[a,b] —> ¿'+|а,Ь].
Пусть для <]()е Dn[a,b\ существует такая функция кє ¿'+|я.Л|, чго при почт всех І є |а./>| справедливо соотношение
p[q(tynt.(S/qWHSMm^m (1)
Рассмотрим задачу х(/)є F(t,(Sfx)(t),(Srx)(t)),
(2)
le дг(я) = х„, (х„е R ).
Под решением задачи (2) понимаем функцию хе Dn\a,b\, при почти всех /є|я.Л] удовлетворяющую включению (2) и равенству х(а) = х„.
Определим для каждого е>0 суммируемую функцию ф£ |а,/і| —> R равенством
М-1
Фе(0 = ^(Р*?г)'(е+к:)(0,
1=0
а суммируемую функцию \\i : |я,Л| —> R и абсолютно непрерывную функции ^ : | «, /) | R соотношениями:
т-1
v|/(0 = ^(|5.Vr)'(a)(0.
1=0
і г
^e(/) = |</(a)-x0|e* + j<?’ ф E(l)dx,
здесь ФЛ'Г)" - тождественный оператор, т — _ Ь — а х
Теорема. Пусть ц( •) е Оп\а,Ь\ и функция К( •) удовлетворяет неравенству (1). Пусть отображение /г:[а,/)|хК"хК" СОтрІЛ" | обпадаєш свойством А. Тогда дм произвольного Е > 0 найдется такое решение X Є 1)"\а,Ь\ задачи (2), что дія любого ІЄ \а,Ь\ имеет место неравенство |х(0-<7(0|^%г(0 и при почти всех ІЄ \а.Ь\ справедлива оценка |х(/) — </(/)[ < (ре(/) +
Замечание 1. Теорема обобщает утверждение в 12].
Замечание 2. Отметим, что сформулированная теорема дает несколько больше, чем просто
условия существования решения задачи (2). Она дает способ нахождения приближенного решения путем
подбора функции </£ й"\а,Ь\. При этом функция
^£(), зависящая от функций «(•), Р(-). к(), у(-),
фЕ()е ¡}\\а,Ь\ и Р()е 1}„\а,Ь\ дает оценку приближенного решения (функции q ) задачи (2).
ЛИТЕРАТУРА
1 Иоффе А.Д., Тихом и рол И.М. Теория экстремальных задач. М. Наука, 1974
2. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вести МГУ Сер 1. Ма-тем. и мех 1967 X» 3. С. 16-26
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Иссле-дований (грант № 01-01-00140).
О РЕАЛИЗАЦИИ РАССТОЯНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ ДО ОБРАЗА РЕШЕНИЯ
ВОЗМУЩЕННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ
© A.A. Грнгорспко
Пусть С"[я./>1 (Г\а.ь\) - пространство непрерывных (суммируемых) на отрезке [«,/)] функции со
•¡качениями в Я”, соответственно. Множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых по переключению (см. 11 ]) подмножеств пространства
¿"[я./>] обозначим через п|/ "[«./> |]. а множество х подмножеств из П[/."[«./> |]. обладающих и свой-выиуклости, обозначим через 1>(п [/,''[«./>]]),
через 2‘ обозначим множество всех непустых
подмножеств пространства С”[л,Л|.
Рассмотрим в пространс тве ('" [я. Ь ] включение
всех
ством
хє /•'(х)+К(Ф(х))
(1)
где Р >С”[а,Л] - вполне непрерывный
оператор, отображения V :Л"[я.Л] —»С’"[а./>], Ф : С11 [а, /> | —> П [/," |а. /> |] непрерывны и произведе-ние этих операторов V (ф( )) вполне непрерывно.
Под решением включения (1) будем понимал. такой элемент х е('"для которого справедливо включение (1). Таким образом, каждому решению хвключения (I) соответствует такой г6 ¿”|я.Л], что г е Ф(х) и х = /Г(х)+К(г)
Пусть и’е ¿”[я,й]. Если для любого е>0 существует такое |)ешеіше хеГл[а./)] включения (1) и такой 2 е Ф(х), удовл етворяюі Щ1Й равенству х = /•'(x)+l/(z). что для любого измеримого множества U с |я./>| выполняется неравенство
(2)
где Р/(ц(;)|-, ] ~ расстояние от точки до множества в
пространстве /.”((/), - мера Лебега, то будем го-
ворю!.. чго решения включения (1) с наперед заданной точностью реализуют расстояние от точки и» до образов решений многозначного отображения ф( ). Если неравегплпо (2) выполняется при є = 0, то будем говорить, что решения включения (I) реализуют расстояние отточки 1Г до образа решения отображения Ф()
Пусп. многозначный оператор Е : С"\а.ь\—» —> 2( ^ л ^ определен равенством
—(х )= р{х )+Г(ф(х)).
Г е о р е м а: Пусть V - такое выпуклое ограниченное замкнутое множество пространства С"[а,/>],
