АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОЖЕСТВ δ-РЕШЕНИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОЖЕСТВ £-РЕШЕНИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ ТИПА ГАММЕРШТЕЙНА

© А.И. Булгаков, Л.И. Ткач

Bulgakov A.I., Tkach L.I. Asymptotic Representation Of Sets Of Hammerstein Inclusion 6-Solutions. The conditions, under which the intersection of closures in the space of continuous functions of sets of inclusion 6-solutions coincides with the set of 'convex' inclusion solutions, are formulated. These conditions presume that, the multiciphered mapping, which results in inclusion, only has the property

that it is continuous, according to F.Hausdorff (it also deals with some examples.

В работе рассматривается включение, правая часть которого представляет собой многозначный оператор, состоящий из алгебраической суммы значений однозначного оператора и значений многозначного отображения типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами. Изучение такого включения продиктовано тем. ч то к этому виду включения сводятся вопросы разрешимости краевых задач для дифференциальных включений, когда линейные краевые условия (линейный вектор-функционал) ''подвергаются" некоторым возмущениям, которые молено представить в виде нелинейного вектор-функционала. определенного на пространстве непрерывных функций. Кроме того, топологические свойства множества решений таких краевых задач достаточно эффективно исследуются с помощью рассматриваемого здесь включения [1].

Как оказалось, вопросы о структуре множества решений исследуемого включения можно изучать с помощью методов, предложенных в работе [2]. .’Здесь формулируются условия, при которых пересечение замыканий в пространстве непрерывных функций множеств 6-решений включения совпадает с множеством решений ”овыпукленного” включения. Отметим, что результаты о 6 -решениях включения представляют интерес даже для обыкновенных дифференциальных включений, поскольку они уточняют результат Н.Hermes [3], а также дополняют результаты [4-7], в случае когда многозначное отображение не удовлетворяет условию Липшица или. более общему условию, когда расстояние по Хаусдорфу значений многозначного отображения нельзя оценить функцией Камке.

may not, satisfy Lipshits’ condition). The article

IjO. Обозначения и некоторые < )пр ед е ления

Пусть А' - банахово пространство с нормой || • ||. Пусть Г С А”. Обозначим U - замыкание множества (!: со U - выпуклую оболочку

множества F; со Г = со II: ||F||х = sup{IMI}:

иеи

Bx(u.r) - открытый шар пространства X с центром в точке и и радиусом г > 0; Vе = = IJ Вд-(м.. г), если с >0, и U° = U: 2Х(12(А'))

ибГ

- множество всех непустых ограниченных (непустых ограниченных выпуклых) подмножеств пространства А';

Пусть Ф1.Ф2 С А' и пусть /7J[Фi, Фз] = = supjpx[у. Фт] : и 6 Ф1}, где рх[-- -J - расстояние между точкой и множеством в пространстве А.

/!а'[Фъ Ф2] = тах{/!^[Ф,. Ф2], Л£[ф2. Фг]}

- хаусдорфово расстояние между множествами Ф] и Ф2.

Пусть Rn - пространство п -мерных вектор-столбцов с нормой | ■ !; сотр[Лп] - множество всех непустых компактов пространства Rn. Пусть U С [я, 6] - измеримое по Лебегу множество, причем i-i(U) > 0, где р - мера Лебега. Обозначим Ln(U) пространство функций ■г : U —■ Кп с суммируемыми по Лебегу компонентами и нормой 1111i(г/) = I l*(s)l

и

('“[я, 6] - пространство непрерывных функ-

ций х : [я. 6] Rn с нормой ||ж||еп[а 6] = = max{|^(<)| : t £ [а, 6]}.

Будем говорить, что множество >1' С Ln[a,b] выпукло по переключению, если

для любых измеримых по Лебегу множеств Ы\ - Ы2 С [я, Ь]. таких что U\C\Un = 0- U\ U 11, = = [я, 6] и любых х.у £ Ф справедливо включение \(Ui )x + \(U2 )y £ 'I' где у (-) - характеристическая функция соответствующих множеств. Обозначим через H[Ln [я, 6]] множество всех непустых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению подмножеств из L"[a.b].

Непрерывность многозначных отображений понимается по Хаусдорфу. Измеримость множеств везде понимается по Лебегу, измеримость многозначных отображений будем понима ть в смысле [8].

Ниже, если пространство А” = К". то для сокращения записи индексы в обозначении расстояний опускаем.

§1. Основные результаты

Рассмотрим в пространстве ("'1{а,Ь] включение

х Е fix)+ УФ{х), (1)

где / : Cn[a.b] — (in[a.b\ - вполне непрерывный оператор. многозначный оператор Ф : Г” [а.Ь] — П[/,"[«. 6]J удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества U С С'п[а.Ь] образ Ф(С) имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы. Линейный непрерывный интегральный оператор V : Ьп[а,Ъ] — Сп[я. Ь] определен равенством

h

{Vz)(t) = J V(t,s)z(s)ds, /£ [я, 6] (2)

a

и переводит каждое слабо компактное в L"\a. Ь] множество в компактное в Сп[я. 6].

Под решением включения (1) будем понимать такой элемент х £ Сп[а, 6]. для которого справедливо включение (1). Таким образом, каждому решению х включения ( 1 ) соответствует такой с £ L"{a.b\. что : 6 Ф(.г) и х = /(ж) + V z.

Будем говорить, что функция х G ('"[а.Ь] является квазирешением включения (1), если существует такая последовательность w, £ Ф(х), i = 1.2, , что х, = f(r) + Vwi — X

в Сп[а.Ь} при г — оо. Пусть Л (Щ1Т)) - множество всех квазирешений (принадлежащих множеству V) включения (1). Далее, будем считать, что х £ ЩИ) тогда и только тогда, когда X £ [! и существует такая последовательность Wj £ Ф(ж), i = 1,2,------- что для

любого i = 1,2,... Xi = f(x) + Vw, £ Г и i-j—-х в C'n[a,b] при i оо.

Рассмотрим включение

х £ fix) -f- l соФ(ж). (3)

Пусть Hro (Hrn(IT)) - множество всех решений (принадлежащих множеству U) включения (3).

Т е о р е м а 1. Нсо — TL.

Ч а м е ч а н и е 1. Отметим, что теорема 1

справедлива без предположения какой-либо непрерывности операторов / и Ф.

Пусть многозначный оператор

Е : Г" [а. Ь] - 2г"[а^

определен равенством

E(x) = f(x) + V Ф(,г). (4)

Следств и е 1. Пусть V - такое множество пространства ('п[а.Ь\, что Е(ГГ) С F. где оператор Е определен равенством. (4). Тогда Н,.,,(Г) = ЩГ).

’3 а м е ч а н и е 2. Отметим, что если отображение Ф в следствии 1 полунепрерывно сверху или снизу и Г - выпуклое, ограниченное, замкнутое множество пространства С'п [я, 6]. то Я,„(Г) = ЩГ) ф 0. ‘ '

Пусть отображение

F : [я. bJ х Г>. 6] comp[i?n]

обладает свойствами: при каждом фиксированном ./• £ ( т[я. Ь] отображение F(-,x) измеримо п удовлетворяет равенству

Ф(,<•)= {,(/£ L"[n. b] : y{t)eF(t..x)

при п.в. /£ [я. 6]} (.))

Согласно [2] такое отображение F существует.

’■> а м е ч а н и е 3. Отметим, что если Ф есть многозначный оператор Немыцкого, порожденный функцией F : [я, 6] х Rn comp[ftn], то для оператора Немыцкого отображение !• : [я. Ь\ х ('“[я. Ь\ — согпр[Дп] определяется равенством F{t,x) = F(l,x(t)). Поэтому, в этом случае, можно отождествить F с F. В связи с этим, в общем случае, естественно назвать отображение F : [я, 6] х Сп [я. 6] — сотр[Дп], определенное равенством (5), отображением, порождающим оператор Ф.

Далее, везде F : [я, 6] х Сп [я, b] —> comp[i?n] означает отображение, порождающее оператор Ф. Кроме того, далее, для любого х £ С'п[а,Ь\ измеримая функция ||F(-,a;)|| : [я, 6] — R1 определяется равенством 11 F(•, х)11(t) = 11F(t, х)\\.

Л е м м а 1. Для любого х £ С'г[я,6] существует такой п(х) £ Ф(ж), что для любого

измеримого „множества Ы С [а.Ь] выполняется равенство

1|1’(*)1|£-(го = Иф(г)11ь*(М)=/ 1№*)1М<- (6)

и

С л е д с т в и е 2. Для каждого ограниченного множества U С ([я. Ь] множество {|jF(-.j;)|| : х £ fr} имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы.

Т е о р е м а 2. Отображение Ф непрерывно на U С Сп[а.Ь] тогда и только тогда, когда при почти всех t £ [n,b] отображение F(t,-) непрерывно на U.

Пусть U С Сп[а,Ь]. Рассмотрим многозначное отображение Mi’ : (Гх(0, то) — ЩГ). определенное равенством

Mtr(x, 6) = ВСп[а Ь][х, <5] П U. (7)

Л е м м а 2. Пусть (' - выпуклый компакт пространства Сп[а,Ь]. Тогда многозначное отображение Ми : V х (О.ос) —■ il(lT). определенное равенством (7). непрерывно.

Пусть U - компакт пространства С" [я./;]. Определим отображение

: [а, Ь] х U х (0. то) —• [0. тс) соотношением

yir(t,x.b) = max h[F(t. х). F(1. у)}. (fS)

у&Ми(зг../,)

где отображение Mv '■ U х (0, ос) —• {1(1 ) задано равенством (7).

Л е м м а 3. Пусть Г - выпуклый компакт пространства Сп[а,1)} и пусть отображение Ф непрерывно на U. Тогда отображение ifn ; [я. 6] х V х (0, ос) — [0. ос), определе н-ное равенством (8). обладает свойством: для любых (х,6) € Г' х (0, ос) функция (•. х. Ь) измерима: для почти всех t £ [я. 6] отображение <pu(t, ■. •) непрерывно по совокупности аргументов и

liin S) = 0; (9)

г - V '

Ь -0 + 0

для любых (t,x) £ [я. 6] X U функция ^1’Ц.Х. ■) не убывает.

Обозначим через А’([я, Ь] х (0. ос)) множество всех функций 1] : [я,6] х (0, то) — [0. то), обладающих свойством: при каждом 6 £ (О.ос) функция ?/(-,<$) G Ах[я,6]; при почти всех / G [я, 6] функция 7](t.-) не убывает и удовлетворяет равенству lim ii(t, &) = 0.

" <5 — 0 + 0

Пусть U - выпуклый компакт пространства Сп[а,Ь]. Будем говорить, что отображение F : [я, 6] X С'"[я, 6] — согпр[Д'!]. порождающее оператор Ф. равномерно непрерывно на множестве U относительно функции

і) £ А'([я,/>] х (0,оо)), если для любого £ > 0 существует такое Л (с) > 0, что при почти всех t £ [я. 6] и всех х Є V выполняется неравенство

jv(t. X, Л(г)) < rj(t, г).

Пусть V - выпуклый компакт пространства С"" [а.Ь]. Определим функцию

А г : [а.Ь] х (0. тс) — [0. то) соотношением

Xf!(t.6) = шах (t. х. д), (10)

,г£Г

і де функция ifii: определена равенством (8).

Из леммы 3 вытекает

О л е д с т в и е 3. Пусть U -выпуклый компакт пространства С’"[я, 6] и пусть отображение Ф непрерывно на U. Тогда функция Ас : [я, 6] х (0,эо) —> [0,оо),

определенная равенством (10), принадлежит множеству А'([я,6] х (О.ос)) и отображение F : [я,1>] х (т[а.Ь] — comp[Anj, поро.медающее оператор Ф. равномерно непрерывно на множестве V относительно функции А г.

Пусть функция ї/ Є А'([я,6] х (0, тс)). Для любого (*> G (О.ос) определим многозначное отображение Ф,,(«і : <'п[а.Ь] —■ П[1п[я,6]] равенством

Ф,„/. ,(.?:) = {.(/ Є L”[a.b] :

y(t) Є Fit. x)v{t'S 1 при п.в. ^ G [я, 6]}.

Аналогично [о. с. 60] под й -решением включения (1) будем понимать непрерывную функцию х : [а.Ь] — Н.". удовлетворяющую включению

х £ j (х) + I- Фг)(,s ](X).

Обозначим через H^^iU) множество всех <*> -решений включения (1), принадлежащих множеству Г С Г" [я. Ь].

Т е о р е м а 3. Пусть U - выпуклый компакт пространства Сп[а.Ь], удовлетворяющий условию Е((г) С U. где оператор Е определен равенством (4). Далее, пусть отображение F : [а.Ь] х Сп[а,Ь] — comp[An], порождающее оператор Ф, равномерно непрерывно на U относительно функции і] £ А’([я.6] X (0,оо)). Тогда справедливо равенство

НгМП = П ^(*)(Г/)' (П)

Л>0

где Я,д,і)(Гг) - замыкание множества FfV(,s)(U) в пространстве Сп[а, Ь].

3 а м е ч а н и е 4. Отметим, что если Ф -оператор Немыцкого. то отображение F : [a, b] х Сп[а.Ь\ —г сотр[й'!]. порождающее оператор Ф. можно рассматривать на Нп (см. замечание 3). А так как R11 С Сп[я, Ь] (каждый элемент пространства R" рассма тривается как постоянная функция), то каждое ограниченное, замкнутое множество пространства R" представляет собой компакт пространства ('п\а.Ь\. В связи с этим функцию <р[!, определенную равенством (8). в данном случае можно определить на всем пространстве R" с помощью соотношения

(p(t.x,6)= max h\F(t,, .г.). F(t. у)}. (12)

У^В[х ,6)

Г1 ри этом функция if : [я, b\ х R" х (0. х ) — [0. х ). определенная равенством (12), удовлетворяет утверждению леммы 3. Поэтому для оператора Немыцкого естественным образом можно уточнить определение' равномерной непрерывности на множестве Р С Rn относительно функции 1} G К([а.Ь] х (0. x)) (условие выпуклости множества Г можно не требовать). При этом найдется хотя бы одна функция ?/ £ /\’([я. 6]х(0, эо)). относительно которой отображение F равномерно непрерывно на множестве Г (см. следствие 3).

В связи с замечанием 4 для оператора Немыцкого обобщим теорему 3 следующим образом (выполнение включения Е(Г) С Г можно не предполагать).

Пусть Г С Сп[а. Ъ]. Обозначим

Г = {х G Rn : 3(t.y) G [«.6] х F y(t) = .г}.

T е о р е м а 4. Пусть F - ограни <и н-неп. замкнутое множество подпространства (7,‘[а.6] пространства С”[п,Ь} и iu/сть Ф -оператор Немыцкого. порожденный отображением F : [a. b] X R" —• сошр [//"]. Да,it <. пусть для со > 0 выполняется включение Hco(F) С 'H{U£,)). где [гсп - замкнутая -окрестность множества U в подпространстве' С”[а.Ь}. и пусть отображение F равномерно непрерывно на множестве Гс° относительно функции г/ G K([a.b] х (0.x.)). Тогда, справедливо равенство (11).

'5 а м е ч а н и е 5. Теоремы 3,4 дополняют результаты работы [9] о топологических свойствах множества решений включений типа Гаммерштейна.

’3 а м е ч а н и е 6. Отметим, что. если С'1 [«.б] = С™ [а, 6], то согласно теореме

1 включение Hco(U) С FL(FZii) в теореме 4 выполняется. Кроме того, включение Ясо((7) С ?i(Uc0) в каждом конкретном случае.

на наш взгляд, доказать проще, чем проверить включение 5(F) С F (см. следствия 4, 5).

’•) а м е ч а н и е 7. Отметим, что если отображение F : [я, 6] х Rn —• сотр[/?п1. порождающее оператор Немыцкого, непрерывно по совокупности аргументов. а функция I) : \а.Ь\ х (О.'Х) — [0, ос) определяется равенством ij(t.b) = Л, то F равномерно непрерывна на любом Г G сотр[Лп] относительно этой функции. Поэтому теорема 4 уточняет теорему 2.2 из |3]. в случае когда (1) - обыкновенное дифференциальное включение.

В качестве приложения теоремы 4 рассмотрим дифференциальное включение

G F^(t, j-(/)), (13)

где F* : ( —х.+х) х R" —• comp[i?"j - л -периодическое по первому аргументу отображение. Пусть ( '"[0. J\ = {х G Г”[0.и;] : л-(0) = = ,г(^)} и пусть U(ia>) - ограниченное, замкнутое множество подпространства (’’"[О.aJj.

Рассмотрим дифференциальное включение

,г(/) G со Fa (/..;•( t)). (14 )

Пусть Hro(F{u>)) - множество всех ])ешений включения (14). принадлежащих множеству FU).

Пусть // G Л'([0.^] х (0. X')). Обозначим через //тЛ|(ГЫ) множество всех Л -решений включения (13), принадлежащих множеству ГМ.

О л е д с г в и е 4. Пусть отображение F^ : (— ос.+^х) х R" —• сошр[/г,п] удовлетворяет условиям Каратеодори на |0,ы>\ х R" и пусть /v равномерно непрерывно на множестве Гс|1. где- :'и > 0. относительно функции ц G /v ([0. о;] х (0, х) ). Тогда имеет место соо тношение

Я,с,(FU)) = f] Я,„м(ГМ). (1 о)

где Я,,(,5,(ГМ)) - замыкание множества

Я,(1*)(ГМ) в пространстве ('п[0.^].

,J> а м е ч а н и е (S. Следствие 4 дополняет результат работы [7] о ^-периодических решениях. Отметим также, что множества в равенстве (15) могут быть и пустыми.

I'ассмотрим задачу

-(•(/) G P(t. x(t)). t G [я, Ь] (16)

.r((/) G Л, r(b) G В.

где отображение Р : [я, ()] х й" —► с.отр[Яп] удовлетворяет условиям Каратеодори.

А. В £ сошр[Я"].

Пусть if G Л'([я. 6] х (0,оо))- Будем говорить. что абсолютно непрерывная функция .)• : [«./;] — R" - ^-решение задачи (16), если

при почти всех t G [а, Ь] x(t) G P(t.x{t)fuy> и

.i:{a) G -4. х(Ь) G В.

Пусть Й,)(Л)(ГТ. А. В) - множество д -решений включения (16), принадлежащих множеству U С Сп[а.Ь}.

Рассмотрим задачу

x(t) Е со P(t, x(i)). t G [я, Ь\ П7)

х(а) Е А. х(1>) G В,

Пусть Hco(U,A. В) - множество решений задачи (17), принадлежащих множеству Р С Сп[а.Ь].

Обозначим

Е = {х £ С"1 [я, I)} : х (я) G А.х(Ь) £ В).

(' л е д с т в и е о. Пусть отображение Р : [а, 6] х Rn — сошр[Ап] удовлл шворя-ет условиям: Каратеодори и пусть Р равномерно непрерывно на мможеппв( Тс". гд< 7€° = Ub,} П Е. со > 0. относипп льно функции 1] G А([а,6] х (О.ое)). Тогда справедливо равенство

/А,,(Г, А, В) = р| Н^Г.А.В),

Л>0

где Н,п6)(Гг.А. В) - ламыкатн множ ества HV(f,)(U. А. В) в пространстве ('п[а,Ь].

3 а м е ч а н и е 9. Следствие Г> дополняет результаты работы [10].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ну,1 гакпь А.И.. Вги.()нм>грг>ьа Т.Н.. Ткач Л. И. Возмущение линейной краевой чадачи функционально-дифференциального уравнения много-значньгм отображением и нелинейным вектор-функшюналом// Вестн. Тамб.ГТУ. 1996. Т. 2. N :i. С. 302-314.

2. Бул.'акоь А.И. Интегральные включения с невыпуклыми образами и их приложения к краевым задачам дифференциальных включении / /Матем. «Т,. 1992- Т. 183. N 10. С. <33-86.

3. Lit nuts Н. 1 lie generalized differential equation r £ R( f, .r) / /Advances Math. 1970. V. 4. N 2. p. 149-169.

4. Фи.пиию^ А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью //Вестн. МГУ. Сер. 1- матем.. механика. 1967. N 3. С. 16-26.

5. Филиппо с, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. (Л 62.

6. I’iamgiam (!. On the fundamental theory of multivalued differential equations //.J. Diff. Equat. 1977. V. 25. N 1. P. 30-38.

7. Mv>irm. A.E., Tovvni-, ЕЛ. О замыкании множества периодических решений дифференциального включения // Дифференциальные и интегральные уравнения: сб. Горький: ГГ^ . 1983. С. 32-38.

8. Иоффг А.Л.. Tv.roM.up0b В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1977. С. 338.

9. Булгаков А.И.. Ткач Л.И. Некоторые результаты п<» теории вочмущений многозначных операторов с выпуклыми замкнутыми значениями отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами и их приложения // Вестн. 1 амб.Г^ . Сер, естеств. и техштч. науки. Тамбов. 1997. 1.2. Вып.2. (МП-120.

К). Brtssar /1.. Colombo t.j. Boundary value problems for lower seinicontinuons differential inclusions // Ref.S.1.S.S.A. 85 M (Iune 1990), 13 c.

Поступила в редакцию 15 сентября 1997 г.