CC BY
1812. Schwartz L. Theorie generate des fonctions moyenne-periodiques // Arm. of Math. 1947. V.48. №4. P.857-929.
13. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.:Наука, 1973.
14. Платонов С. С. Подпространства, инвариантные относительно обобщенных сдвигов // Мат. заметки. 1990. Т.47. Вып.6. С. 91-101.
Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 2, 1995
ееее
УДК 517.956.35
ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
В работах [1]—[3] рассматриваются различные аспекты построения инвариантной (или квазиинвариантной) меры для нелинейного уравнения Клейна—Гордона. Для уравнения Эйлера движения идеальной жидкости инвариантная мера типа меры Гиббса была построена С.Альбеверио, М.Фариа, Р.Хоег-Кроном [4]. Из рассмотрения задач евклидовой квантовой теории поля ряд важных результатов получен И.Д.Чешуевым [5].
В данной работе конструкция [2] переносится на случай нелинейного уравнения Шредингера. Для гамильтоновой динамической системы, порожденной этим уравнением, на расширенном фазовом пространстве строится инвариантная мера типа меры Гиббса. Доказывается слабая сходимость к этой мере последовательности ее конечномерных аппроксимаций. Возможны обобщения этой конструкции и на другие бесконечномерные гамильтоновы системы.
Рассмотрим кубическое уравнение Шредингера
где ^ — комплекснозначная функция, < > 0, х £ (0,7г).
Положим гр = и + IV, где и = 11е1р,ь = 1тгр,]л перепишем уравнение (1) в виде гамильтоновой системы
С.И.Соболев
ггрг = -фхх + Ш2ф, ^|*=о = Фх=ж = О,
(1)
Ь V
/> и
(6) С.И.Соболев, 1995
с гамильтонианом
+(£) +<",+”г)2
йх.
(3)
Поскольку Н1(0,7г) С Ь4(0,7г), то энергетическим фазовым пространством этой системы является гильбертово пространство
М = #о(0, 7г) X #о(0, тг).
(4)
Обозначим у = (и, г>) и перепишем (2) в виде у = ги(у).
Гамильтонова система (2) определяет в фазовом пространстве М поток {й'г} : уо = у(<), где у( ) — решение с начальным условием
2/(0) = Уо-
Мера ц на фазовом пространстве М называется инвариантной мерой гамильтоновой системы (2), если для любой непрерывной ограниченной функции / на пространстве М
(5)
Если функция / дифференцируема по Фреше на пространстве М, то дифференцируя равенство (5), получаем, что
/
м
{я,/М<ЭД = о,
(6)
где
7Г
№Л-/
6Н <5/ дН 6/
6ь(х) 8и(х) 6и(х)6у(х)
(ІХ
скобка Пуассона гамильтониана Н и функции /. Мы построим меру ^ на расширении
Мх = Я‘-*(0,тг) х.Я'-'ІОд), где 8 > I
фазового пространства М, для которой выполняется равенство
У{Я,/Ыйу) = 0, (7)
м,
являющееся аналогом равенства (6).
Перейдем к координатному представлению. Рассмотрим орто-
нормированный базис {е*(ж) = в пространстве і2(0,7г).
Отождествим функции пипс наборами их коэффициентов Фурье:
и = (Щ, . . .,«ЛГ, . . .), = (»!, . . . . .).
Гамильтониан перепишем так:
Я(у) = Н0(у) + У(у),
где
1 00
но(у) = +
*=і
У(у)
7Г
А!
Ч*=1
и=і
(8)
(9)
сіх. (10)
Норма ІІуЦі элемента у пространства Мі определяется равенством
ОО
ІМІі = £*2(1-,)(«ї + »2)- (п)
к = \
Построим по гамильтониану Я последовательность мер {/г /у ) на пространстве М\. Положим
МЫ = {тЛ =(уь...,т/лг,0,0. )(
Будем записывать у^ так же, как у^ (и1* , ), I и
и* = («1,... ,идг,0,0,, ,), и* (И|, .('/у.О,!!, I
Определим борелевскую меру рлг на пространстве М\, положив для любого борелевского подмножества А пространства М\
/ е~н(у")<1у”
М„(А) = --------------. (12)
М"
Мера цн сосредоточена на пространстве Мы. Функция на пространстве М\ по этой мере интегрируется так:
У 1{у)^{<1у) = *# ■ / /{/')е~Щу")<1у1*,
М, М"
где
Ед,= У е-н(у"иу”.
м»
Предложение 1. Для последовательности мер {/ллг} справедлива оценка
I Пкгы^т(*/) < с п *-<«*+*),
•* к (Ь<Л/
где а к и 01с — неотрицательные целые числа, к = 1,2,...,
м — £ а* < +оо, \р\ = рк < +оо и константа С зависит только к к от |а| и \(3\.
Перед доказательством этого предложения докажем следующие леммы.
Лемма 1. Для гамильтониана Н(у) справедлива оценка Но(у) < Н(у) < #1(2/),
где
1 00
Я°Ы = о XI *2(м* + к=1
Об инвариантной мере для нелинейного уравнения Шредингера 117 и
оо
Л^у) = Я0(1/) + С +«,*).
к = 1
Доказательство. Эта оценка следует из оценки
ОО
О < У(у) < С^2к2(ик + «*)> к=1
доказательство которой
7Г
у(у) = \ ! [«2(х) + 1)2(а;)]2 <1х <
О
Г
< / [«4(х) И(а?)] Лх < С^2к2(и4к + у%)
О к = 1
получается путем применения неравенства Пэли:
} ~
/ |и(х)|р £*х < Ср ^ Р 2|«к|р, где р > 2 О * = 1
(см. [6]).
Лемма 2. Последовательность
I е-н°(у"иу”
РМ ~ )е-н'(УыиУ"
ограничена.
Доказательство. Поскольку и и V входят в выражения для #о(у) и #1(5/) равноправно, то рлг = <г%, гДе
N <• 2
П|е 1 аи
4=1 /е-**а“а-с*а“4йи'
Достаточно доказать, что последовательность 1п<тлг ограничена. Это вытекает из следующих оценок:
'Г', /«-**■*.
* ( 1е~^ [1 ~ е-ск~*и4\ с1и\
=£'"('+ )£
Ы Г е_5и2 [1 — е~Ск 2“4 Ии
< у---------Ц------------------— =
~£г[ /е-^-с^ёи
= С\ [е-^^2[1-е~Ск'^} Ли< к=\
оо
= С2 У е-^2 I (1 - е~Сг~^) (1гс1и =
О
00 о л
/г 1 _ --Сги /•
е_2и I -----------(Ис1и=Сз I е~?и и2(1и = С4.
о
Так же, как по гамильтониану Н мы определили меры определим по ’’свободному” гамильтониану Я о меру цо^-
/ е-н°(у"Чу”
/ ЛПМ"
/■‘о.лгМ) ~
^ е Н0(у" )(^yN М"
Заметим, что
/ /ШоМ*у) = £о,* / Яу")е-н°(уЫ)<1у",
Е0 * = I е-н°(УЫиу" =
• ] у (ЛП)2
Лемма 3. Предложение 1 верно для мер цо,ы-
Доказательство. Из определения мер /^о,лг с помощью замены переменных получаем
/П К^М^/ЧагИу) < I ПМ“Ч»Ло,^у") =
•'к ^ к<Ы
■рг / \и\аке~Ък*и2 <1и -Лг / \у\/3ке~^к2'1^ ^
к=[ I £~1 /
N N N
= П *-(«»+*) П 1(ак) П /(/?*), к=1 к=1 к=1
где
,м=ж.1
ьи\уе *и’2 (1хи.
Заметим, что отличных от 1 чисел /(<**) у нас не больше, чем |а|, и что наибольшее из них не превосходит 7(|а|). Аналогично для чисел /(/?*)• Поэтому
N N
/П КГЫ^о.^у) < С П к~^+^\ (13)
и _ 1 I -1
к=1 к = 1
где константа С зависит только от |а| и \/3\.
Доказательство предложения 1. Используя леммы 1,2 и 3 (оценка 13), получаем
/ п КГ Ы%*(Лу) < [ П кг м0кЫ<1у") = к к=1
1е~Н(У")с1уN
/ Па:=1 \ик\ак\Ук\0ке Я°(у иу" _
1е-Н1(у")(1уN * N N
— рт^ I П Ы^Ы^^оАЛу") < сП *-("‘+'Ч } к=1 к 1
где константа С зависит только от |а| и |/?|.
Предложение 2. Семейство мер {мм} на пространстве М\ — Я(!_5(0,7г) х Н,7г), где я > слабо компактно. Доказательство. Достаточно установить (см. [7, гл. 6]) выполнение следующих двух условий:
1) Нт вир/^({у| Ц2/Ц1 > Я}) = 0;
Я-.+ОС /V
2) для любого /2 > 0 ряд
00 г
^2 I + ь1)цн((1у)
*=1|М|.<Я
сходится равномерно по N.
Используя технику неравенства Чебышева, имеем
ин({у\ 1Ы11 >/?})= 'I ^ыЫу) < ! ^-~цы((1у) < J ^^-^^N(dy) =
1М1.>Я 1М|1>я
= ■^2 / Пу|1?^лг(«гу) = -^2 I +»1)^м{(1у) <
к = 1
- Д2 2^ - Д2 'с Д2
£ = 1 * = 1
Здесь мы воспользовались предложением 1, из которого следует, что [(и\ + ь1)цм(с1у) < при к < N, и сходимостью ряда
Е°° I —2.1 ^ 1
к=1 ПРИ в > 5-
Далее, так как
J + У2к)цы(с1у) <
1|у||.<я
< I к2(1-’Ци1 + у\)цы(Ну) < Ск~2\
ОО
а Ряд ’ ПРИ в > I сходится, то по признаку Вейерштрасса
условие 2) тоже имеет место.
Поскольку последовательность мер {рлг} по доказанному слабо компактна, то из нее можно выбрать подпоследовательность {рлп}, слабо сходящуюся при Л/7 —» оо к некоторой борелевской мере р на пространстве М\.
В дальнейшем нам потребуется следующее предложение о предельном переходе, доказательство которого см. в [2].
Предложение 3. Пусть последовательность {цNl} мер на пространстве М\ слабо сходится к мере р при Ы' —► оо, а функция Ф на пространстве М\ непрерывна, ограничена на каждом шаре и такова, что
Примерами функций, удовлетворяющих условиям предложе-
Действительно, такая функция Ф непрерывна на пространстве Мі, так как является одночленом от конечного числа переменных «г, иг,..і>і, «2,..по этой же причине она ограничена на каждом шаре пространства М\. Кроме того, используя неравенство Чебыше-
ІМІі>я
Тогда
ния 3, являются функции Ф(у) = Пк- и£"), где а„ и /?„ — неотри-
П
П
цательные числа, п = 1,2,..|а| = £ а„ < +оо и|/?| = £а,< +оо.
П
П
ОО
из которой следует, что
Я—» + 00 ]уі J
||у||.>П
для нашей функции Ф.
Теорема. Пусть М\ = Я1-а(0,7г) х Я1_’(0,7г), где 1 < 2в < |, и пусть мера ц — любая предельная точка последовательности борелевских мер (12) на пространстве М\. Тогда для любой функции /(у) = <р(щ,..и„; VI,..г>„), где у £ С~(М2"), выполняется равенство
I {я,/мл/) = о.
м,
Доказательство. Заметим, что 1тт п =
\дьк дик дикдьк) для выбранной нами функции / и что
{{Н,/}р„(<1у) = О
из определения мер ^дг в силу интегрирования по частям (см.[2]).
Если функция Ф = {Я,/} удовлетворяет условиям предложения 3, то, применяя это предложение, мы получаем
[{Н,/}^{<1у) = Нгп /{Н,1}цц\<1у) = Нт 0 = 0,
J Ы'—юо J N'—+00
что и требовалось доказать.
Чтобы доказать, что функция Ф = {Я, /} удовлетворяет условиям предложений 3, в силу выбора функции / достаточно доказать, что таковыми являются частные производные и где к — 1,2, — Поскольку и и V входят симметрично в выражение для гамильтониана Я, проведем доказательство для
7Г
дН /*
= к2ик + 2 J (и2(х) + у2(х)) и(х)ек(х) с1х.
о
Первое слагаемое как одночлен удовлетворяет условиям предложения 3. Докажем то же для функции
7Г
ф(у) = J (и2(х) + г>2(я)) и(х)ек(х) с1х.
о
Заметим, что отображение /'’(и, ь) = (и2 + у2)и переводит пространство £,3(0,7г) х £3(0,7г) в пространство /у1 (0,7г), а функция
е^(х) = непрерывна и ограничена. Следовательно, по те-
ореме Красносельского [8] функция Ф непрерывна на пространстве 1,3(0, яг) х Ь3(0,7г) и ограничена на каждом шаре этого пространства. В силу непрерывности вложения Я1-а(0, я-) С Ь3(0,7г) функция Ф непрерывна на пространстве М\ и ограничена на каждом шаре. Сделаем оценку сверху |Ф(у)|. Используя неравенство Пэли (см. [6])
и элементарные неравенства, получим
|*(У)| < С J [|и(х)|3 + |и(а:)|и2(я)] Нх
О
= 1М11» + Н«»21и» < Ци|Цз + 1МЫМ1Ь <
Применим технику неравенства Чебышева и предложение 1:
I №(у)\рн{4у) < ! ||у||?|Ф(г/)|/М<*у) <
||»1|1>Я
Следовательно, lim sup / |Ф(у)|/iw(dy) = 0. Итак, функция Ф
Я—оо jv J
1М1>>л
удовлетворяет всем условиям предложения 3 и теорема доказана.
Литература
1. Friedlander L. An Invariant Measure for the Equation utt — и» + ti3 = 0 // Commun. Math. Phys. 1985. V. 98. №1.
P. 1-16.
■ 2. Соболев С.И. Пример инвариантной меры для динамической системы, порожденной нелинейным гиперболическим уравнением // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1985.
3. Andersson L. Prequantization of Infinite Dimensional Dynamical Systems // Journ. Funct. Anal. 1987. V. 75. JM. P. 58-91.
4. Albeverio S., De Faria M. and Hoegh-Krohn R. Stationary measures for the periodic Euler flow in two dimensions // Journ. Stat. Phys. 1979. V. 20. P. 585-595.
5. Чуешов И.Д. Равновесные статистические решения для динамических систем с бесконечным числом степеней свободы // Ма-тем. сборник. 1986. Т. 130. №3. С. 394-403.
6. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.
7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2-х т. М.: Мир,
1965.
8. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. М.: Наука, 1971.
9. Красносельский М.А. Непрерывность одного оператора // Доклады АН СССР. 1951. 77. №2. С. 185-188.
Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 2, 1995
УДК 515.13
О ФУНКЦИОНАЛЬНО-КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Н. С. Стреколовская
В статье изучаются свойства топологических пространств,
обозначенных в заглавии.
В работе [1] Б.А.Пасынков ввел понятие функционально-компактного топологического пространства (т.е. такого, в котором из любого покрытия функционально открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие). Известно (см.[1]), что в классе тихоновских пространств функциональная компактность совпадает с компактностью, в классе функционально-хаусдорфовых пространств функционально-компактные пространства абсолютно замкнуты. Непрерывный образ функционально-компактного пространства функционально компактен.
Нерешенными вопросами (см.[1]) являются следующие: будет ли произведение двух (любого числа) функционально-компактных пространств функционально-компактным пространством, будет ли предел обратного спектра из функционально-компактных пространств функционально-компактным.
В §1 эти вопросы решаются положительно для класса пространств, произведение которых обладает свойством прямоугольно-сти [2].
В §2 изучаются свойства относительной ра«мерно» ти, оирсде
ленной Чсрсм конечны»' фуНКНИННП'Н.Ни mnpwn.tr Н'1к|1М1ИИ
(П) II (' I I |||.цм||1П1 пая, |ВВй
