О мерах, инвариантных относительно гиперболического уравнения второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

О МЕРАХ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Н. Е. Ратанов Челябинский государственный универс-,

Приведено полное описание гауссовых мер, сохраняющихся под действием гиперболической динамики. Кроме того, методами теории рассеяния исследован вопрос о преобразовании инвариантных мер при локальном возмущении коэффициентов волнового уравнения.

О МЕРАХ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО

91

1. Постановка задачи

Проблема построения статистических решений задач математической физики и изучения их временной асимптотики привлекает внимание благодаря большому числу интересных и трудных вопросов, важных с прикладной точки зрения Даже в случае хорошо изученных классических эволюционных уравнений (таких, к примеру, как волновое уравнение или уравнение Шредингера), для которых давно известны существование и единственность индивидуальных решений, статистическая постановка задачи физически оправдана и математически интересна

При изучении индивидуальных решений по заданному начальному условию ио(х) строится такое решение и(х, I) = [/(t)uo(x) дифференциального уравнения jf(z,t) = Lu(r,t), для которого «(»,0) = и0(х) Аналогичная задача при статистическом подходе ставится следующим образом

Пусть на пространстве Н начальных данных щ{х) задана мера но(В), определяющая вероятность того, что функция щ принадлежит борелевскому множеству В из Н Изучаются свойства вероятностных мер //.< = fiüU(t)~l Здесь U(t), t > 0 — семейство операторов, разрешающих задачу Коши Предельное при t -* оо поведение статистических решений ¡j,t волнового уравнения, уравнения Клейна-Гордона и некоторого класса параболических уравнений исследовано в работах [1]-[6] Однако в этих работах осталась неизученной важная проблема описания множества стационарных распределений, те таких вероятностных мер fio, которые остаются инвариантными под действием динамики Hi = /¿о Данная статья в определенной степени восполняет этот пробел в отношении волнового уравнения

2. Гауссовы меры, инвариантные относительно гиперболического уравнения

2.1. Рассмотрим задачу Коши для линейного гиперболического уравнения второго порядка

ж е 1", о о,

«(яг, 0) = «°(аг), 0) и\х), хешп (2)

Предположим, что начальные данные «о = (и0, и1) представляют собой случайную функцию с распределением /¡о Обозначим через Ht распределение случайной функции щ — (и( ,t), ,t)) - решение задачи (1)-(2) и его производной по t в момент времени t Будем говорить, что (вероятностная) мера Но инвариантна относительно уравнения (1), если Ht = Но В данном разделе, при некоторых предположениях о правой части уравнения (1), полностью описан класс инвариантных гауссовых мер Отметим, что этот класс оказывается весьма широким- он описывается "функциональным параметром".

92

Н. Е. PATA НОВ

2.2. Всюду в этой работе мы предполагаем выполнение следующих условий на коэффициенты уравнения (1).

А. Функции ao:a, j — достаточно гладкие; для простоты,

a0,a,j еС°°(Шп), i,j = 1,2,...,п.

Б. Оператор

>,]~ 1

равномерно эллиптичен. Кроме того, предположим, что atJ(x) = aJit(x) и ао(ж)>0 Уж €1".

Далее, будем считать, что начальные данные и о - (и0,«1) принадлежат пространству Н = #/ос(Жп) ф ¿2>с(®п) с полунормами

!!Ч1(я) = Ц ^ (!«°М12 +|v«°(*)l2 + |«Ч®)12) < (3)

R> О

Выбор этого пространства в качестве пространства начальных данных кажется естественным для задачи (1)-(2). С одной стороны, на этом пространстве определён достаточно большой запас мер (в частности, существуют трансля-ционно инвариантные меры, см., например, [7]). С другой стороны, хорошо известно (см., например, [8, с. 362]), что существует сильно непрерывная группа U{t),t € R непрерывных операторов в Л, сопоставляющих начальным данным и о = (и", и1) обобщённое решение задачи (1)-(2) и его производиую по t в момент времени/:

t/(i)«0 = «, = («(•■ 0, (4)

При этом для любых Т, 7i > 0 справедливы энергетические оценки

шах ||£/(0«о||(я) < С(Г)|М|(д+Со1). (5)

|t|sJ _

Здесь константы со, С(Т) < оо зависят только от коэффициентов уравнения (!)■

Пусть До — борелевская вероятностная мера на пространстве Н Статистическим решением задачи (1)-(2) называется семейство мер fit, t > 0, определённое соотношением

^(В) = и(1у»0(В)~ц0(и(1)~1В) VB € В (6)

Здесь В обозначает борелевскую сг-алгебру на Н.

Будем считать, что мера /io обладает нулевым средним и конечной средней плотностью энергии: для любого в G С™(ft")

О МЕРАХ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО

93

Е(и°,в) = 0, Е(и°,в) = О, (7)

|Е(|«°(а;)|2 + \Vu°(x)\2 + \и\х)\3, 9)\ < С||0||£1{]Г) (8)

Здесь и далее через ( , ) обозначается скалярное произведение в L2 и его расширения, через Е{ ) - математическое ожидание по мере Цо

Заметим, что в силу энергетических оценок (5) и линейности оператора U(t) условия (7) и (8) выполнены и для мер Ht, t > 0 Определим корреляционную матрицу Qt = Qt(x, у) меры //¡, t >0 следующим равенством

Qt{x,y)~ / и{х) ® u{y)nt{du) (9)

JH

Это равенство следует понимать в смысле обобщенных функций (см [7])

OnPEflFJlEHME Qt = (Q)1 (ai, у)), г, j = 1 — матричная обобщенная функция от (х,у) 6 Ш" х Ж", которая для , 02 С Со°(Ю!п) удовлетворяет тождеству

Аналогично лемме 3 1 дополнения 2 монографии [7] из неравенства (8) вытекает существование и единственность матричной функции Qt(x, У)> определенной в (9) При этом матричная функция <2«(«,?/) положительно определена и <3^х,у) = (<5<(ж,3/))' Здесь и всюду ниже штрих означает транспонирование матрицы

Кроме того, нетрудно проверить, что компоненты матрицы (¿1 удовлетворяют следующим условиям

€ ниш." х ®")>

€ ь1с{шп х ж") Уг > о

В этом разделе рассматриваются только гауссовы меры, то есть такие меры /(о, характеристический функционал которых имеет вид1

До{Ф) = Е ехр (г(и, ■ф)) = ехр ^ (х,у),

Здесь (С0°°(1п))2, а (и,ф) = (иф0) + (г,1,

1Мы не касаемся здесь вопросов существования гауссовых мер на функциональных пространствах См по этому поводу [7], [9] Там же имеются и многочисленные примеры

94

Н. Е. PATA НОВ

Замечание 1. Поскольку операторы £/(<) — линейные, то меры ц% = /^//(О-1 также являются гауссовыми с корреляционными матрицами 0. Таким

образом, для инвариантности меры ро необходимо и достаточно, чтобы

д((х,у) = <Зо(х,у), ¿>0. (И)

2.3. Сформулируем основной результат этого раздела.

Теорема 1. Пусть выполнены предположения п.2.2 о коэффициентах уравнения (1). Гауссова мера ро является инвариантной относительно уравнения (1) тогда и только тогда, когда

Qt\x,y) + Ql°{x,v) = 0,

Ql1(x,y) + L(y,^)Q000(x,y) = 0, Qll{x,y)+L{x,-¡L)Ql\x,y) = 0,

М*' é)QV(*> у) + L(y, -§-М°(х> У) - о

Доказательство. Заметим, что, согласно определению группы 11(1)

и(1)щ = А 1/(<)«0,

ш

где А = (А,:(х,£)), 1,7 = 0,1 (А00 = = 0,А)1 = 1,А10 = ¿(х,£)) — производящий оператор группы 1/(1). Отсюда в силу определения корреляционной функции Цх (см.(9)) нетрудно вывести, что

^х(х,у)^ЛЯх(х,у), д<\г=0 = д0(х,у) . (13)

Здесь

AQt(x, у) = £ \А'к(х> + АМУ,

fe =0

В силу замечания 1 гауссова мера До инвариантна относительно уравнения (1) тогда и только тогда, когда её корреляционная функция С}о(х,у) является неподвижной точкой (матричного) уравнения (13). Иначе говоря, для инвариантности гауссовой меры ро относительно уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы *4<2о(я, у) — 0. Соотношения (12) представляют собой покомпонентную форму записи этого матричного уравнения

Замечание 2. Аналогичные (12) соотношения в случае уравнения (1) с постоянными коэффициентами, для трансляционно однородных мер /хо непосредственно вытекают из явных формул для 0>\], приведённых в [1] (см.там формулы (17)-(19)).

О МЕРАХ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО

95

3. Возмущение мер, инвариантных относительно волнового уравнения

Рассмотрим задачу (1)-(2) с постоянными коэффициентами д2и

x,t) = c20Au(x,t), (14Д

«(х,0) = и°(х)) = (Щ

Здесь и всюду ниже задачи (1)-(2) и (14)—(15) рассматриваются при п > 3 нечетном

Предположим, что коэффициенты уравнения (14) возмущены в ограниченной области пространства Ж" При этом правая часть этого уравнения принимает вид L(x, и выполнены условия раздела 2 на коэффициенты оператора L(x, j^). В этой части статьи показано, что меры, инвариантные относительно возмущённого уравнения (14), и меры, инвариантные относительно возмущенного уравнения (1), связаны некоторым линейным оператором.

Итак, мы предполагаем, что оператор L(x, ^) в правой части уравнения (1), кроме условий А и Б раздела 2, удовлетворяет условию Ö

В. Ь(х, -х-) = с^Д при |х| > До; cl > 0. ох

Кроме того, мы считаем, что выполнено следующее условие неловушечно-сти (см условие Д [10, с. 234]).

Рассмотрим гамилътонову систему в Ж" с гамильтонианом

dx _ дН

| [ Ж (lf5)

ds дх '

Условие неловушечности состоит в следующем.

Г Для любого г > 0 существует То < оо такое, что траектории системы (16), выпущенные из точек ж(0) = ж0, £(0) = |ж| < г, = 1 лежат

при s > То в области |z| > г.

Обозначим через Hs подпространство пространства Л с нормой

IMIi = (/«Р (-¿kl) [|«°(®)|2 + |Vu°(x)|2 4 И*)|2] dXy < оо

Нам понадобятся пространства Hs с S > 0. Группы операторов на Н, разрешающие задачу (14)—(15) и возмущённую задачу (1)-(2), будем обозначать через U0(t) и Ui(t) соответственно. Нетрудно проверить, что сужения операторов i/o(i) и Ui(t) на пространство %ь с любым 6 > 0 также являются сильно непрерывными группами.

Справедлива следующая теорема.

96

H E. PATAHOB

Теорема 2. Пусть 6 > 0 достаточно" мало. При сформулированных выше условиях существует линейный непрерывный оператор íl : Tí¡ —* Tí, для которого выполняются следующие утверждения:

1) пусть ро — вероятностная борелевская мера на H с нулевым средним и конечной средней плотностью энергии (см. (7)-(8)). Пусть мера ро сосредоточена на Tí¡. Если мера ро инвариантна относительно уравнения (14), то мера fi*/(о инвариантна относительно возмущённого уравнения (1);

обратно,

2) пусть р—инвариантная относительно возмущённого уравнения (1) мера с нулевым средним (7) и конечной средней плотностью энергии (8). Пусть мера р сосредоточена наН( Тогда существует мера ро, инвариантная относительно уравнения (14), такая, что р = ■

Доказательство п.1) опирается на следующую асимптотику решения задачи (1)-(2), приведённую в [3]

Теорема 3. Пусть выполнены сформулированные выше условия А,Б,В,Г на. коэффициенты уравнения (I). Пусть 6 > 0 —достаточно мало. Тогда решение задачи (1)-(2) при щ € Нь допускает представление вида

Vi (Quo = ÜoUo(t)uo + r0(t)u0, i > 0. (17)

Здесь По, ''о(О G С (Tis,Ti) — линейные ограниченные операторы. При этом УЯ> 0

И0Н(я)<С(Я),«е-7'|Н1« 4uené, ¿>0,

где 7 — некоторое положительное число, зависящее только от коэффициентов возмущённого уравнения (I)

Сформулируем аналогичное утверждение, используемое при доказательстве п.2) теоремы 2.

Теорема 3'. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого S > 0 найдётся 6' > 0 такое, что для ко € Нб' справедлива асимптотика

Uo(t)u0 = niU1(t)uo+t1(t)uo, t> 0. (17)'

Здесь íii, í'i(t) Ç C(V.s' ,Ti(), причём оператор íij является правым обратным для По : — Е (Е — единичный оператор). Для остатка ri(t)u имеется

оценка

1М0«И* <Cwe~Ví|¡ul|é. VueWí», о о, (18)'

с некоторым 7i > 0.

Замечание 3 . Асимптотические представления (17) и (17)' строятся с помощью методов теории рассеяния [11]. Отметим, однако, что в теории рассеяния рассматриваются лишь решения с конечной энергией. Оценка (18)' вытекает из обычных энергетических неравенств и принципа Гюйгенса для невозмущённой динамики Vo(t). Доказательство оценки (18) опирается на результаты Б. Р. Вайнберга [10] об убывании энергии в ограниченных областях при t —» оо.

О МЕРАХ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО

97

Замечание; 4 Верхние оценки для чисел 6 и у (теорема 3) и чисел ё' и 7' (теорема 3') зависят только от коэффициентов возмущенного уравнения (1) и, ради краткости, не приводятся.

Доказательство теоремы 2 Докажем первую часть теоремы 2. Доказательство второй части аналогично и здесь опущено.

Из теоремы 3, в частности, непосредственно вытекает, что для У-0 € (СНГ))2

<1М<)и- Пи0Ц)и, ф) — о, <->оо (18)

почти наверное по любой мере, удовлетворяющей условию (8). Пусть цо — вероятностная мера на Не с конечной средней плотностью энергии, инвариантная относительно уравнения (14): 1/о(1)*Но — Но ^ > 0. Обозначим через {¡(ф) - Ец ехр(г(и, ф)) характеристический функционал меры н- Тогда в силу

<-оо. (19)

Здесь через обозначено статистическое решение задачи (I) (2) с начальной мерой но ■ =

Утверждение п.1) теоремы 2 вытекает из сходимости характеристических функционалов (19) и следующей леммы.

Лемма. Пусть 0'(() — полугруппа непрерывных операторов на метрическом пространстве Б. Пусть /¿о — вероятностная борелевская мера, на 5, И! = и (С)* На Пусть для Уф 6 5' имеет место сходимость

= Ец, ехр (г(и, ф)) /100(ф) (20)

Здесь (, •) — двойственность между 5 и 5', а Ноо(Ф) — характеристический функционал предельной меры н<х> Тогда мера н<х> инвариантна относительно полугруппы 11(1) ' С/(г)>оо - Ноо V*.

Доказательство леммы. Достаточно показать, что и({)*Цоо — Йоо- Пусть ф € 5'. Тогда по определению характеристического функционала и в силу условия (21) справедлива цепочка равенств

и^ф) = Е^схр(г{и(1)и,ф))^

= Ьт ^оехр(|(У(г)1/(0«,^» =

Т—»оо

- 1пп £,;1оехр(г([/(г+ = Ны(Ф),

т—юо

что и требовалось доказать.

Замечание 5. Результат об инвариантных мерах, сформулированный в теореме 2, носит условный характер. Проблема полного описания инвариантных относительно уравнения (1) мер сводится теоремой 2 к соответствующей задаче для уравнения с постоянными коэффициентами.

98

Н Е РАТАНОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ратанов н е Стабилизация статистических решений волнового уравнения // Дифференц уравнения и их приложения М Изд-во Моек ун-та, 1984 С 95 101

Ратанов Н Е Об асимптотической нормальности статистического решения волнового уравнения // Там же С 153-160

Ратанов Н Е Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка // Успехи мат наук 1984, Т 39, вып 1 С 151 152

Ратанов Н Е Асимптотическая нормальность статистического решения волнового уравнения // Вест Моек ун-та Сер мат ,мех 1985 №4. С 73-75

Копылова Е А Стабилизация статистических решений уравнения Клейна-Гордона // Веста Моек ун-та Сер мат ,мех 1986 № 2 С 9295

Ratanov N Е , Shuhov A G , Suhov Yli М Stabilization of the statistical solution of the parabolic equation // Acta Appl Math V 22 1991 P 171-187

ВИШИК M И , Фурсиков А В Математические задачи статистической гидромеханики М Наука, 1980 442 с

Михайлов В II Дифференциальные уравнения в частных производных М Наука, 1983 424 с

Го X -С Гауссовские меры в банаховых пространствах М Мир, 1979 176 с

ВаЙНБЕРГ Б Р Асимптотические методы в уравнениях математической физики М Изд-во Моек ун-та, 1982 296 с

Рид М , Саймон Б Методы современной математической физики ТЗ

Теория рассеяния М Мир, 1982 443 с