CC BY
39Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 2, 1995
УДК 517.518
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НА ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ *
С.С.Платонов
В некоторых топологических векторных пространствах, состоящих из функций на евклидовом пространстве, получено описание замкнутых линейных подпространств, инвариантных относительно квазирегулярного представления группы изометрий.
§1. Формулировка результатов
Пусть группа Ли С транзитивно действует на гладком многообразии М. Для д £ С и любой функции f(x) на М пусть
(*■(»)/)(*) =/ОТ1*), х € М.
Локально выпуклое пространство (ЛВП), состоящее из комплекснозначных функций на М (обычных или обобщенных), будем называть 7г-инвариантным, если из /(х) € Т следует, что тт(д)/ £ Т Уд £ (? и отображение д —> п(д)/ из С в Т непрерывно. В этом случае сужение операторов тт(д) на Т определяет квазирегулярное представление группы С в ЛВП Т (будем обозначать это представление также через 7г(<7)). Линейное подпространство Я С Т будем называть инвариантным подпространством (ИПП), если оно замкнуто и 7г-инвариантно.
* Настоящая статья является сокращенным и переработанным вариантом статьи, которая будет опубликована в журнале ”Ма1Ьетаиса Зсапс1тау!са”.
Работа поддержана РФФИ, проект 95-01-0139а.
(с) С. С. Платонов, 1995
Одной из основных задам гармонического анализа на группах Ли является задача об описании всех ИПП для конкретных групп Ли и конкретных функциональных пространств, выделяемых некоторыми условиями гладкости и роста.
В настоящей работе рассматривается случай, когда М совпадает с тг-мерным евклидовым пространством М”, б — группа всех изометрий пространства Мп, сохраняющих ориентацию. В качестве функциональных пространств можно брать пространства двух классов. Один класс состоит из пространств, состоящих из ’’всех” функций на К", удовлетворяющих некоторым условиям гладкости. Это пространства типа С = С(М") — непрерывных функций на К", Сл — ¿-раз непрерывно дифференцируемых функций на Мп (с1 = 0,1,2,... оо, в частности, С0 = С, С°° — £ — пространство бесконечно дифференцируемых функций), ¿|ос — пространство локально интегрируемых на К" функций (все пространства берутся с обычными топологиями). Более точно: пусть Т> — пространство бесконечно дифференцируемых функций на К" с компактными носителями, V — пространство обобщенных функций на К", тогда в качестве Т можно взять любое полное 7Г-инвариантное ЛВП такое, что
£ С Т С V
(вложения предполагаются непрерывными). Будем называть такие пространства пространствами типа 1.
Другие функциональные пространства будут состоять из функций экспоненциального роста в некотором смысле, который будет уточнен далее. Пусть х = (х\,...хп) е Е", о — (0,0, ...0),
|я| = (х\ +---(- х2)1/2. Для мультииндекса г = (п,.. ,г„) £ 2" пусть
|г| = г\ + • • - + г„, дт = дгх\ ... /, где — дифференцирование по
параметру <, 2+ = {0, 1, 2,... }.
Обозначим через С к множество непрерывных функций /(*) на М = Мп, для которых |/(аг)|е~*1^1 —► 0 при |гг| —> оо. Относительно нормы
ЩП = аир |/(*)|е-*И х€М
Ск является банаховым пространством. Нр<>< гршм ни
с* = и< *
*>0
снабдим топологией индуктивного предела БП С к■ Через Cjf (d G Z+) обозначим множество d-раз непрерывно дифференцируемых функций /(ж) таких, что
дг / G Ск
для любого мультииндекса г G Z" с |r| < d. Множество является банаховым пространством с нормой
NkAf) = Е /)•
|r|<d
Определим еще пространство
ОО
Ь = с? = П d= 1
Топология в £k задается семейством полунорм (даже норм) Nktd> d Е 2^+, и 8k становится локально выпуклым пространством. Пространство
c?={jcî, d= 0,1,2,. ..,00,
к> О
снабдим топологией индуктивного предела ЛВП С%- Пространство С? будем также обозначать £».
Пусть
£ =
к>0
Пространство АС состоит из функций, которые стремятся к нулю со всеми производными быстрее,чем е—для любого А: > 0. Пространство /С является локально выпуклым пространством с топологией, порожденной системой норм N-k,d V/г > 0, d G Z+. Пусть К'
— сопряженное к К, пространство, снабженное слабой топологией. К-' естественно назвать пространством обобщенных функций экспоненциального роста.
Будем называть полное 7г-инвариантное ЛВП Т пространством типа 2, если
£, С Т Ç К'
(вложения предполагаются непрерывными).
Приведем пример пространства типа 2. Через Ьрк (р > 1) обозначим БП, состоящее из измеримых комплекснозначных функций /(ж) на М", для которых конечна норма
п*,р(я = [I 1/(*),Ре_*1*1 р,
где ¿х — элемент меры Лебега на Мп. Пространство
к = и
к> О
снабдим топологией индуктивного предела БП Ьрк. Пространства Ь* (р > 1) и С» (с/ = 0,1,..., оо) являются пространствами типа 2.
Основным результатом настоящей работы является полное описание инвариантных подпространств в функциональных пространствах типа 1 и 2 (см. теоремы 1 и 2). Используемые при этом методы аналогичны методам работ [1-4].
Если Т - ЛВП, состоящее из функций на множестве М (если не оговорено противное, то все функции предполагаются комплекснозначными), Е — конечномерное нормированное пространство, то тензорное произведение векторных пространств Т ® Е естественным образом отождествляется с пространством функций на М со значениями в £ и снабжается топологией тензорного произведения ЛВП (см.
М).
Пусть К — стационарная подгруппа точки о в группе С. Группа К изоморфна группе 50(п). Любое конечномерное неприводимое представление группы 50(п) определяется своим старшим весом, который отождествляется с набором целых чисел А = (Ах,... Ат) (т = [п/2] — целая часть числа п/2), удовлетворяющих условию
А1 > Аг > • • • > Ат_1 > |Ат| или А1 > А2 > • > Ат > 0, (1.1)
при п соответственно четном или нечетном. Пусть Л — множество всех старших весов группы К. Через Ло обозначим множество старших весов группы К вида (/, 0,... 0), где / £ 2 при п = 2 и / 6 2+ при п > 3. Пусть Т1 — неприводимое представление группы К со старшим весом (/, 0,..., 0), а Е1 — пространство соответствующего представления Т1. В Е1 фиксируем А'-инвариантную эрмитову форму < >,
(,r) £ Е1. Всюду далее будет предполагаться, что / пробегает множество Z+, если п > 3, и множество 7L при п = 2.
Пусть Т — произвольное функциональное пространство типа
1 или типа 2. Через Т^> обозначим множество всех функций F(x) £ Т ® Е1, удовлетворяющих условию
F(ux) = Т‘(и) F(x) Уи£К. (1.2)
Пространство снабжается топологией, индуцированной из Т®Е1. В частности, возникают пространства £('\ С*\ С*^ и т.д. Для любого ИПП Я С Т через обозначим множество всех функций F £ таких, что для всякого £ £ Е1 функция <Р((х) =< F(x),£ >£ Я. Подпространство Я однозначно восстанавливается по всем подпространствам я('), а именно, Я совпадает с замыканием линейной оболочки всех функций < F(x),£ > при F £ Н^\ £ £ Е1 и всех I. Будем называть подпространства ЯW ячейками ИПП Я или просто инвариантными ячейками. Для описания инвариантного подпространства достаточно описать все его ячейки.
Пусть ц — комплексное число, г — натуральное число. Через V^r обозначим линейное подпространство, состоящее из всех функций F(x) £ £(1\ удовлетворяющих уравнению (Д 4- ц2)г F = 0, где Д = д2^ + • —д2п — оператор Лапласа на Мп. Если обозначить
С+ = {г £ С : Rez > 0 и при Rez = 0 Imz >0}, (1-3)
то без ограничения общности можно считать, что ц £ С+. Оказывается, что dim V^tr — г ив пространстве V^l можно выбрать жорданов базис, т.е. такой базис Fu ...Fr, что AF\ = -/i2Fb AFk = ~n2Fk + Fk_x для к > 2. Кроме того, оказывается, что V^\l С £*1\
Подпространство vji) является простейшей инвариантной ячейкой в В общем случае строение инвариантных ячеек в описывается следующей теоремой.
Теорема 1. Для любой инвариантной ячейки ЯW в существует конечный или счетный набор комплексных чисел a = {д, } (числа Hi могут входить в набор с конечной кратностью rj; p.j £ (С+) такой, что Я(,) совпадает с замыканием в линейной оболочки подпространств V^[l, где ц пробегает набор а, а г — кратность числа ft в этом наборе.
Естественно назвать набор <т спектром ячейки . Можно дать и полное описание спектров всевозможных инвариантных ячеек. Если Т — пространство типа 2, то множество {fij} (ц3 = а} + л/—\bj Е С+) является спектром некоторой инвариантной ячейки в •Т'(Г| тогда и только тогда, когда выполняется условие:
(A) При каждом t > 0 для тех =■ dj + y/^-\bj, у которых \bj | < t, после их перенумерования в порядке роста dj (0 < a\ < 02 <■■■), последовательность dj / In j —>00 или множество этих чисел конечно.
Если Т — пространство типа 1, то множество {/х;} является спектром некоторой инвариантной ячейки Я(,) тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:
(B) Существует целая ненулевая функция Ф(А), для которой каждое
ЧИСЛО Hj ЯВЛЯеТСЯ Корнем КраТНОСТИ Не МеНЬШеЙ Tj и
|Ф(А)| < A eB'IrnAl (1 + |А|)С
для некоторых А, В, С > 0 (такие функции являются преобразованиями Фурье обобщенных функций с компактным носителем).
Пусть для каждого / в Тзафиксирована ячейка Я^' некоторого ИПП, вообще говоря, зависящего от /, и пусть <т(/) спектр ячейки Я(,).
Теорема 2. Ячейки Я(,) соответствуют одному инвариантному подпространству тогда и только тогда, когда выполняются условия:
1) при разных I наборы a(l) могут отличаться только кратностью гЦ1 числа 0 в этих наборах;
с* \ . ^ n (i + 1) (() (0 ,
2) при I > 0 кратность г0 может равняться г0 ’ или rQ — 1 ;
о\ I ^ п (1-1) (0 (/) ,
3) при I < 0 кратность г0 ’ может равняться г0 ’ или г0 — 1.
При п > 3 остаются только условия (1) и (2).
В совокупности теоремы 1 и 2 дают полное описание инвариантных подпространств в Т. В частности, из этих теорем легко получить описание неприводимых и неразложимых ИПП, где ИПП Я называется неприводимым, если в Я нет собственных инвариантных подпространств, и неразложимым, если Я ф Н\ + Я2, где Н\, Я2 — ненулевые ИПП такие, что Н\ П Я2 = {0} (здесь Н\ + Н-2 — замыкание алгебраической суммы подпространств).
Для спектров <т(1) неприводимого ИПП Я есть две возможности:
(а) все спектры <т(/) состоят из одного числа fi ф 0 с кратностью 1;
(б) спектр <т(0) состоит из числа 0 с кратностью 1, остальные спектры <т(/) пустые. В случае (б) соответствующее неприводимое ИПП в Т состоит из всех констант. В случае (а), если Т - пространство типа 1, соответствующее ИПП Я состоит из всех функций / € £, удовлетворяющих уравнению
(Д + ^)/ = 0. (1.4)
Обозначим это подпространство через £(ц). Из теорем регулярности для эллиптических уравнений легко получить, что подпространство £(ц) замкнуто в Т. Если Т — пространство типа 2, то соответствующее спектрам (а) ИПП есть £*(ц) = £* П £(ц). Отметим, что неприводимость подпространства £(р) при р, ф 0 установлена ранее С.Хелгасоном в [6].
Подпространство Я неразложимо тогда и только тогда, когда каждый спектр ег(/) состоит из единственного числа р (не зависящего о* /) с некоторой кратностью. Для р ф 0 кратности числа р должны быть равны для всех сг(/); для р = 0 кратности могут изменяться так, чтобы выполнялись условия теоремы 2.
Если спектры сг(!) совпадают и состоят из числа р с кратностью г, то соответствующее неразложимое ИПП в пространстве Т типа 1 состоит из всех функций / Е £, удовлетворяющих уравнению
(Д + ц)г / = 0.
Обозначим это подпространство £(р,г). Соответствующее ИПП для пространства Т типа 2 равно £*(р,г) = £(/.¿,г) П£*. Будем называть неразложимые ИПП £(р,г) и £„(р,г) неособыми, а остальные — особыми. Если Я — особое неразложимое ИПП, то каждый спектр <т(/) состоит из числа 0 с некоторой кратностью ¿/. Следовательно, особое подпространство описывается последовательностью неотрицательных целых чисел й/, причем должны выполняться условия (2) и (3) теоремы 2. Можно получить и более явное описание особых ИПП, но оно здесь не приводится.
§2. Доказательства основных утверждений
Из теоремы 1 в [7] сразу получаем следующее
11 и ДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть функциональные пространства Т\ иТъ одно-14 шин и Т\ С Тч. Существует взаимно однозначное соответствие ме-|. (>' ЧИП в Т\ и Т2, которое получается сопоставлением ИПП Я С Т\
его замыкания [Н] в Т2- То же самое соответствие получается, если сопоставлять ИПП а Тч подпространство IV П Т\ С Т\.
Пусть 7Г — произвольное представление группы Ли С в полном ЛВП Т (б здесь может быть произвольной группой Ли, К — компактная подгруппа в группе С). Вектор £ называется гладким (аналитическим), если отображение д —* п(д)£ из С в Т бесконечно дифференцируемое (соотв. аналитическое). Вектор £ называется К финитным, если линейная оболочка векторов п(и)£ при и £ К конечномерна. Пусть Т„ — множество всех гладких А-финитных векторов, а Т# — множество аналитических А-финитных векторов пространства Т.
Обозначим через Л множество классов эквивалентности неприводимых конечномерных представлений группы К; для Л 6 Л пусть Тх(и) — соответствующее неприводимое конечномерное представление группы К в пространстве Ех. Векторное пространство V называется (0, Л')-модулем Хариш-Чандры [8, 9], если V является д -модулем и при ограничении на подалгебру 6 оно является прямой суммой примарных 6-подмодулей V*, А £ Л, где Vх - сумма всех Е-подмодулей в V, изоморфных Ех.
Относительно действия алгебры Ли д, индуцированного представлением 7Г, пространства Та и Т# являются модулями Хариш-Чандры. Если Я - замкнутое 7г-инвариантное подпространство в Т, то На = НГ\Т„ и Я# = ЯПТ# будут д-подмодулями соответственно в Та и Т#. Подпространство На плотно в Я. Если Т — банахово пространство, то и Я# плотно в Я (см. [10, с.124]), но в общем случае, когда Т — полное ЛВП, Я# может и не быть плотным в Я. Отметим также,что если И''# — произвольный д-подмодуль в Т#, то замыкание [И'#] будет 7г-инвариантным подпространством в Т.
Для любого А £ Л через Т^ обозначим множество всех функций Е(х) £ Т ® Ех, удовлетворяющих условию
Е(их) = Тх(и) Е(х) УиеК. (2.1)
Через ТаХ) (соотв. Т^) обозначим множество всех функций Е £ удовлетворяющих условию
<Р{(х) =< А(ж), £ >£ Та (соотв. <^(х) £ Тф) \/£ € Ех
Если Н ИПП в Т, то пусть Н(А) состоит из всех функций Е £ ^А) таких, что
У£ £ Ех.
Положим также Я^Л) = Н^С\То^ и
Пусть (1 < ^ < п\) — ортонормированный базис в Ех, т7>(г)
— матричные элементы представления Тх(и) в этом базисе. Для любой функции /(х) £ Т построим вектор-функцию А(х) = Х2^Г7(ж)е;> где
Я(х) = Пд 1/2^ т;г(и-1)/(х)о(и, (2.3)
интеграл берется по группе К, с1и - элемент меры Хаара, г — фиксированное число. Легко видеть, что /?(х) удовлетворяет условию (2.1) и ^ £ Т, следовательно, Уг(х) 6 Возникает непрерывное
отображение / —► А из Т в которое мы обозначим через Гг.
Лемма 1. Гг(Я) = Я(А) для любого ИПП Я с Т.
Доказательство. Если / £ Я, то очевидно, что Гг(/) £ Обратно, пусть А £ Я(А\ /г(х) = Тогда А-’(х) =<F(x), е^>, сле-
довательно, ^ £ Я. Остается заметить, что ГГ-(АГ) = А, что легко проверить, используя соотношения ортогональности для матричных элементов неприводимых представлений.
Лемма 2. Пусть Я — ИПП в Т и Я, — линейная оболочка всех функций < Г(х), £ > для Е £ Я(А\ £ £ £'А, А £ Л. Тогда Н, плотно в Я.
Доказательство. Пусть / £ На. Так как функции определенные формулой (2.3), принадлежат Я,, то в Я, содержится и функция
Д(х) = пл J ХА(«-1) /(их) с/и,
где хА(и) — характер представления ТА. Но из соотношений ортогональности следует, что отображение / —» /л является проекцией пространства На на примарный Е-модуль ЯА. Так как Яст — модуль Хариш-Чандры, то На СЯ,,и так как На плотно в Я, тем более Я5 плотно в Я.
Предложение 2. В условиях предложения 1 для любого А существует взаимно однозначное соответствие между инвариантными ячейками в т\А1 и Это соответствие получается сопоставлением
ячейке Я<л) С Т\Х 1 ее замыкания [.Нв ^Л). То же самое со-ответствие получается сопоставлением ячейке \У^Х^ С ячейки
И^Л>П*{А) С^1А).
Доказательство. Из предложения 1 мы знаем, что если Я - ИПП в то IV = [Я] — ИПП в/2иЖП^ = Я. Пусть — ячейка ИПП Я С Т\, \У = [Я] С Тг- Тогда по лемме 1 = Гг([Я]) =
[НМ]. Ясно, ЧТО
^г(А) п _ Я(А))
следовательно, отображение
Я*А) —+ [Я<А>] инъективно.
Если С — ячейка ИПП IV С Тъ, то Я = IV П Т\ —
плотное подпространство в IV и Я*А) = ГГ(Я) плотно в И^А). Следовательно, отображение Я^А) —► [Я^А^] сюръективно.
Следствие 1. Для доказательств теорем 1 и 2 достаточно доказать эти теоремы для какого-нибудь пространства типа 1 и какого-нибудь пространства типа 2.
Пусть О — произвольная группа Ли, К - ее компактная подгруппа, до и 6о — алгебры Ли групп (7 и К соответственно, АсЦр) — присоединенное представление группы б на алгебре Ли 0о- Так как ограничение представления Ас! на компактную группу К вполне приводимо, то существует инвариантное дополнение ро к 6о, т.е. 0о = ро Ф £о и А(1(«)ро С ро для и Е К. Будем называть это разложение разложением Картана (оно совпадает с обычным разложением Картана, если С
— полупростая группа Ли, К — максимальная компактная подгруппа в С).
Пусть 0, 6 и р — комплексификации пространств 0о, 6о и ро соответственно. Пространство р становится 6-модулем, если положить кр = [к,р] для к е t, р е р. Пусть рь... рт — базис в р, причем пусть все рг е р0; пусть р* — двойственный 6-модуль, ар*,...р^ — двойственный базис в р*.
Для А, /1 £ Л пусть Нот(.Е^, Ех) — множество линейных операторов из в Ех. Пространство Нот(Ям, Ех) обычным образом является 6-модулем, т.е.
(кА)£ = к(А£) — А(к£) е Я", к Е 6.
Пусть
V : р* — Нот(£", Ех)
(2.4)
— гомоморфизм Е-модулей. Положим = <р(р^) £ Нош(2?'1, £7Л), и пусть £ Нош(£'л, Е?) — сопряженный оператор (т.е. < т) >— =<£,<х]т1> V* €Е», т] £ Ех).
Для функции Е(х) 6 ТоХ' определим
га
(Ц?И(*) = -^«*[(^)М], (2.5)
;'=1
где р} Р — действие элемента из алгебры Ли на функцию, индуцированное представлением п.
Как показано в §3-4 работы [2], оператор £(у>) переводит Т^Х 1 в и в (в [2] рассматривался случай пространств Т^А) и полупростой группы С, но доказательства проходят и в общем случае; кроме того, в [2] оператор Ь(<р) обозначался Ь(р 1,... рт\ «1,.. . ат) и брался с другим знаком). Более того, если Я^А* и — ячейки одного ИПП Я С Т, то Цу>)я£А) С Н^] и Ц<р)Н(#Х) С Я$[°. Обозначим множество операторов Цу>), построенных по всевозможным гомоморфизмам (2.4), через Ро(Х,ц). Следующее предложение сразу следует из предл.3.1 в [2].
Предложение 3. Пусть в каждом пространстве, А £ Л, выделено линейное подпространство Я^Л) так, что для любого Цу>) € Ро(\,ц) выполняется соотношение Ь(<р)Н{р> С Н^\ Пусть Я - замыкание в Т линейной оболочки всех функций < Е(х), £ > при А £ //*, (, Е Ех, А £ Л. Тогда Я будет инвариантным подпространством и соответствующие ему ячейки Я(А* совпадают с замыканием Я1 в ^г(А)
Вернемся к случаю, когда б — группа сохраняющих ориентацию изометрий пространства К", К = ЯО(п) — стационарная подгруппа точки о, я- — квазирегулярное представление, Т — функциональное пространство типа 1 или типа 2. Множество Л в этом случае совпадает с множеством старших весов А = (Аь ... Ат) (см. (1.1)).
Лемма 3. Пусть /г(х) — ненулевая функция на Мп, принимающая значения в Ех и удовлетворяющая условию (2.1). Тогда старший вес
А £ Ло (т.е. Аг = Аз = • • • = Ат = 0^).
Доказательство. Пусть а(<) — параллельный перенос на вектор <е„, где е„ = (0,.. .0,1) £ М". Любую точку х £ К" можно представить в виде х — и«(1)о, где и £ К. Тогда Е(х) = Тх(и) Е(а(Ь)о), следовательно, для некоторого < £ М вектор £ = ^(а(<)) ф 0. Пусть К\ — {« £ К : ие„ = еп}. Подгруппа К\ изоморфна группе 50(п - 1).
Для и £ К\ очевидно, что ма(<) = а(<)и и Тх(и)£ = £. Тогда в одномерном подпространстве в Ех, натянутом на вектор £, возникает представление группы К\ = 50(п — 1) со старшим весом (0,... 0). С другой стороны, известно (см., например, [10]), что при ограничении неприводимого представления Тх на подгруппу К\ возникает прямая сумма попарно не эквивалентных представлений группы К\, причем среди этих представлений есть представление со старшим весом (0,... 0) тогда и только тогда, когда выполняется соотношение
А1>0>А2>0>-> Ат_1 > 0 > Ат,
т.е. А = (/, 0,... 0), где / = А1.
Пусть
ЕХ = {ЦЕЕХ: Тх(£) = (. УибАЧ}.
В процессе доказательства леммы 3 получено, что (Иш Е$ = 1 при А £ Ло и Ед = {0} при А $5 Ло- Из этого сразу получаем следующее
Следствие 2. Пусть функция Е(х) принимает значения в Ех, А £ Ло, и удовлетворяет условию (2.1), £о — ненулевой вектор из Е$. Тогда существует комплекснозначная функция /(<), £ £ К, для которой
F(a(í)o) =/(<)£ о-
Из леммы 3 следует, что пространства при А ^ Ло содержат
только нулевые функции. Поэтому в дальнейшем будем считать, что А = (/,0, ...0) £ Ло и вместо Т^х\ и т.д. будем писать
Я'\ и т.д. Если Я - ИПП в Т, то по лемме 2 Я совпадает
с замыканием линейной оболочки всех функций < /7’(х),£ > при /■' € Н(,\ £ е Е',1£ 2+ или / £ 2 при п > 3 и п — 2 соответственно.
Для использования предл.2 нужно изучить строение Г модули р и гомоморфизмов (2.4). В явном виде алгебра Ли р можп (>ып реализована как множество (п + 1) х (п + 1) матриц пидп
/ >
где А — комплексная кососимметрическая матрица размера п х п, z = (zi,... z„) G С". Подалгебра t состоит из матриц (2.6) с z = 0.
В качестве р можно взять множество матриц (2.6), у которых А = 0. В пространстве р естественный базис образуют матрицы р\,... р„, где рj — матрица, соответствующая строке z с 1 на j-м месте и с нулями на остальных местах. Заметим, что [t, р] С р и, соответственно, р является t-модулем. Этот t-модуль неприводимый со старшим весом (1,0,...0).
В работе [2], где изучались ИНП в функциональных пространствах на n-мерном пространстве Лобачевского, также возникал t-модуль р со старшим весом (1, 0,... 0), рассматривались гомоморфизмы (2.4) и построенные по ним операторы L(<p). Обозначим множество Ро(Х,ц) через Р0(/, т), если А = (/,0, ...0), /< = (т, 0,.. . 0). Рассуждая как в предл.3.3 из [2], получим следующее
Предложение 4. Для любых I и m размерность dimPo(l,m) < 1, причем необходимым условием того, чтобы Ро(1,тп) Ф {0}, является т = / ± 1.
Выберем какие-нибудь операторы (ненулевые, если соответствующее множество Po(l,m) ф {0}):
Xp еР0(М + 1), *1° € Ро(М - 1).
Из предл.З и леммы 4 сразу получаем следующее
Предложение 5. Пусть для каждого I в пространстве Т^] задано линейное подпространство II^ так, что выполняются условия
х± (н#) ç я#±1}-
Пусть Н — замыкание в Т линейной оболочки всех функций < F(x),Ç > при F G Ç £. Е1 и всех I. Тогда Н есть ИПП в Т
и его ячейка HМ совпадает с замыканием II ^ в
Пусть F(x) G fO. По следствию 2 F(a(t)o) = /(<)£Oi где /(<) комплекснозначная функция, t G Ж, £о — ненулевой вектор из Eq. Зафиксируем вектор £о G Eq так, чтобы ||£о|| = 1- Из условия (2.1)
следует, что функция F(x) однозначно восстанавливается по функции /(<)• Введем отображение D1 : F(x) —» /(/)• Действие операторов Л'±) и оператора Лапласа Д на функцию F(x) можно выразить через /(<), т.е. найти операторы D'A(D‘) 1, D,±l (D1) 1 (для кратко-сти будем обозначать их просто Д, А'±)). Найдем явный вид этих операторов.
Пусть х = ua(<)o, и 6 К. Тогда F(x) = T'(u)/(<)£0- Известно, что действие оператора Лапласа в полярных координатах на Мп имеет вид:
(Ah)(x) = d2 h + (n — l)r_19r/i + r~2(Lh),
где L — оператор Лапласа на единичной сфере S’”-1. Если х — ua(t)o, то г = |<|, следовательно,
(AF)(x) = Т'(u) [d?m + (n - l)t~ldtf(t)] io + /(<) L (Т'(ы)^о) .
Пусть ej, 1 < j < nj, — ортонормированный базис в Е1, причем пусть ei = £о- Тогда T'(u){о = 52 Tj?(u)ei • Известно [11, с.489], что для функций Tjj'(u) выполняется соотношение
1 (гя(и)) = -,(/ + » ~ 2) Tji(u)-
Следовательно, и
L(T'(u)6) = -/(/ + п —2)Т'(«)^о.
Окончательно получаем, что
(Д/)(<) = д2 + (п - 1 )rldtf —1(1 + п — 2)Г2/. (2.7)
Вычисление операторов проводится аналогично вычислению соответствующих операторов в §5 работы [2]. Пусть R(<p) — поворот на угол tp в плоскости (х„_х, х„) в М". Произведение a(<)ft(y>)a(s) можно представить в виде R(ip)a(t')R(ip'), где гр, tp' — функции параметров t, <р, s. Если считать s малым, то с точностью до малых первого порядка по s:
a(t) R(ip) a(s) = R{ipxs) a(t + txs) R(ip + y>,s), (2.8)
где ti = cos <р, Vi = —i—1 sin у?, ipi = <_1siny3. Это разложение заменяет разложение (5.7) в [2]. Остальные вычисления практически дословно повторяют вычисления в [2]. Окончательно получаем, что
(x^/)(t)=dtm-it-imt (2.9)
(X^f) (t) = dtf(t) + (l + n- 2)t~lf(t). (2.10)
Из явного вида операторов Х±} и Д следует, что они связаны соотношениями
Х1'+1)Х^/= Д/; x$~1\x®f = Д/. (2.11)
Лемма 4. Пусть Н'^ — линейное подпространство в Т^] такое, что Д ) С я£>. Пусть Н(0 — замыкание подпространства Н^1 в JW. Тогда является инвариантной ячейкой.
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 5.3 из
[2] с использованием соотношений (2.11).
Введем некоторые функциональные пространства на К. Через Ск обозначим БП, состоящее из измеримых нечетных функций h(t), t 6 Ж, для которых конечна норма
172 ,fc(A)= (^+0°| Л(0|2е-“Л
Пространство С, — |J Ск снабжается топологией индуктивного пре-t>o
дела БП Ск-
Пусть БП Sk состоит из всех четных непрерывных функций h(t) таких, что h(t)e~kt —<■ 0 при t —> +оо, и снабжается нормой
T)k(h) = sup |/г(<)|е_*‘.
<>о
Пусть S, — (J — индуктивный предел БП Sk ■
к> о
Через £(Ж) обозначим пространство бесконечно дифференцируемых функций на Ж с обычной топологией. Пусть £о(Ж) и А (Ж) —
подпространства в £(Ж), состоящие соответственно из четных и нечетных функций.
Замкнутое линейное подпространство в £» или в £\ (№,) будем называть обобщенно инвариантным подпространством (ОИПП), если оно инвариантно относительно преобразований
h(t) — + *) + //(< - s)) Vs G К. (2.12)
Будем еще всегда предполагать, что ОИПП не совпадает со всем пространством £, или £i(ffi).
Предложение 6. ОИПП в £* (или в £\(IR)J находятся во взаимно однозначном соответствии с конечными или счетными наборами комплексных чисел <т С С+, удовлетворяющими условию (А) (соотв. (В)). При этом набору а соответствует ОИПП, которое совпадает с замыканием в £* (соотв. в £i (М)) линейной оболочки функций
sm fit, t cos fit = дц sin fit, ... sinpi, (213)
где fi 6 гг, r — кратность числа fi в наборе a. При fi = 0 функции (2.13) нужно заменить на
t, t3, ... ¿2r_1. (2.14)
Доказательство. Для пространства £. предл.6 доказано П.К.Ра-шевским в [1]. Рассмотрим случай пространства £i(]R). Будем называть линейное подпространство W С £(М) инвариантным, если оно замкнуто и инвариантно относительно сдвигов h(t) —* h(t + s) Vs G E. Кроме того, назовем W симметричным, если из h(t) G W следует, что h(—t) G W. Введем отображение P : h(t) —* %(h(t) — h(—t)). Если W
— симметричное ИПП в £(M), то Л = P(W) = W П £i(M) — ОИПП в £i(R). Обратно, если И — ОИПП в £](М), то пусть W — замыкание линейной оболочки функций h(t + s) при h(t) G Н, s G К. Тогда W симметричное ИПП в £(R) и P(W) = Н. Для доказательства предл.6 остается воспользоваться результатом .Л.Шварца из [12], что ИПП в £(R) описываются наборами комплексных чисел сг, удовлетворяющими условию (В), причем набору а соответствует ИПП, являющееся замыканием линейной оболочки функций
е*“, ie"* = д„^*, ... f-v* =
Доказательство теоремы 1 проводится отдельно для случая I = 0 и затем для общего случая. Из предл.2 следует, что теорему 1 достаточно доказать для какого-нибудь пространства Т типа 1 и какого-нибудь пространства Т типа 2.
Доказательство теоремы 1 (случай / = 0). Теорему 1 достаточно доказать для пространств С'[0) и £^°\ Так как представление Т° тривиальное, то пространства с10> и состоят из комплекснозначных функций /(ж), геМ", удовлетворяющих условию
/(их) = /(ж) Уи £ К. (2.15)
(а) Легко видеть, что отображение
О0: /(*) - /.(<) = /(ог(*)о) (2.16)
задает изоморфизм пространства С1°* на 5, и пространства на £о(®)- Докажем, что линейное подпространство НС (Т — С, или Т = £) будет инвариантной ячейкой тогда и только тогда, когда Язамкнуто и инвариантно относительно преобразований
/(ж) —►1 /(дих)(1и ЧиЕС, (2.17)
интегралы по с1и всюду берутся по группе К.
Действительно, если Я^0) — ячейка ИПП Я, то функции /(дих) 6 Я, следовательно, и / /(дих)(1и £ Я. Обратно, пусть IV
— замкнутое линейное подпространство в инвариантное отно-
сительно (2.17). Пусть Я — замыкание линейной оболочки функций /(дх) при / £ \У, д € С. Тогда Я — ИПП и отображение Г0 : /(ж) —» / /(их)<1и является проектором Я на его ячейку Я(0).Очевидно, что Г0{/(дх)) = / /(дих) с1и £ ИЛ Следовательно, Я<°) = IV.
Так как произвольный элемент д ЕС можно представить в вйде д = «1С*(/)и2, где и\, «2 £ К, то Я^0) инвариантно относительно (2.17) тогда и только тогда, когда Яинвариантно относительно (2.17) при д = а(«) Уя £ М.
(б) Пусть Тх — параллельный перенос на вектор ж £ К". Для функции /(ж) £ Я0) пусть
»(х, У)-J 1(ТуиТхо)(1и.
Очевидно, что
ь(их, у) = v(x, иу) = 1>(ж, у) V« е К,
в частности,
у(-х, у) = у(х, -у) = ь(х, у).
Если Г — функция класса С2, то и(х, у) удовлетворяет уравнению Дарбу:
Ахь(х,у) = Ауу(х, у),
где Д — оператор Лапласа. Очевидно, что 1>(а:,0) = /(*)• Пусть и(г,«) = и(а(<)о, а(в)о), где I, в € К. Тогда «(¿.в) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Т>(и(<, в) = Т>,и{1, в), (2.18)
где = в2 + (п — 1) ¿-15г — дифференциальный оператор Бесселя, с начальными условиями
«(<, 0) = /(аЦ)о) = Л(<); (2.19)
&Ц*,0) = 0. (2.20)
Пусть (г5/г) (<) = ы(<, в). Из (2.18) — (2.20) следует, что г8 есть оператор обобщенного сдвига Дельсарта—Левитана, соответствующий оператору Бесселя [13]. Замкнутое подпространство Н С 5* имеет вид
Я — I)0 (#(°)) для некоторой инвариантной ячейки ЯС тогда
и только тогда, когда Я инвариантно относительно преобразований г" V« е К.
В [14] были описаны замкнутые подпространства И С Л, им вариантные относительно операторов обобщенного сдвига т* Мит» зано, что такие подпространства находятся во взаимно од...........
СООТВеТСТВИИ С МНОЖеСТВаМИ а КОМПЛеКСНЫХ ЧИСеЛ, уДоПЛ> ........ .
ми условию (А). При этом набору ст соответствуй! ..... ....
совпадающее с замыканием в 5» линейной оГ>о,почки ф\н*ннН
0*0. I' 'С |П0*М, (М1)
Ш
где Ц £ <т, г — кратность числа р, в наборе <г, — четная соб-
ственная функция оператора Х>(, нормированная условием,)п_1(0) = 1. При р — О функции (2.21) должны быть заменены на
1, <2, ¿4, ... <2г~2. (2.22)
Доказательство этого результата получается редукцией к задаче об описании ОИПП в С,.
Описание замкнутых т*-инвариантных подпространств в £о(®0 такое же, как и в £*, только при этом наборы а должны удовлетворять условию (В). Доказательство этого результата получается аналогично доказательству в [14] для 5«, только при этом вспомогательное описание ОИПП в £* заменяется описанием ОИПП из предложения 6.
Остается заметить, что функции (2.21) и (2.22) образуют базис пространства решений дифференциального уравнения (А + р"1) И. = О,
где Д = /Л — оператор Лапласа в £(°\ т.е. базис в У$. Так как содержит только одну (с точностью до умножения на число) собственную функцию оператора Д (это ^п_1 (рЬ) ), то в пространстве существует жорданов базис. Это завершает доказательство теоремы 1 для пространств и £(°).
Перейдем к случаю произвольного I. Пусть Р(ж) £ /(<) =
01(Г). Действие операторов Х*± задается формулой (2.5), следова-
лДО
тельно, операторы Л± можно рассматривать как непрерывные отображения из в (или из с?{1) в С^-1)(,±1)) для любого
<1 > 1. Действие операторов Х±] через функцию /(<) имеет вид (2.9) и (2.10).
Лемма 5. Справедливы следующие утверждения (если соответствующие операторы Х±^ определены)
(1) сНт I$} - г и С С[1)#:
(2) Кег Х<±] = {0} при I > 0, Кег Х(У = ^ при I < 0;
(3) Кег Х^} = при I > 0, Кег Х+) — {0} при I < 0;
(4) Х'^ (у^ - ^'-П, где г\ — т при р. ф 0 или при р = 0 и I > 0,
1*1 = г — 1 при р. = 0 и I < 0;
(5) Х+] где г2 = г при р. ф 0 или при р — 0 и I < 0,
Г2 — г — \ при р = 0 и I > 0.
Доказательство леммы проводится аналогично доказательству леммы 2.5 в [3].
С использованием леммы 5 доказательство теоремы 1 для / ф О и теоремы 2 проводится аналогично доказательству соответствующих теорем в [3]. Отметим только, что при этом формулу (2.15) в [3] нужно заменить на
1. Рашевский П. К. Описание инвариантных подпространств в некоторых функциональных пространствах // Труды ММО. 1979.
2. Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на п-мерном пространстве Лобачевского // Мат. сборник. 1988. Т.137. №4. С.435-461.
3. Платонов С. С. О спектральном синтезе на симметрических пространствах ранга 1 // Алгебра и анализ. 1992. Т.4. Вып.4. С.182-
4. Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на группе SL(2, С) // Тр. сем. по вект. и тенз. анал. 1983. Вып.21. С.191-258.
5. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.:Мир, 1987.
6. Helgason S. Eigenspaces of the Laplacian // J. Funct. Anal. 1974. V.17. P.328-353.
7. Платонов С. С. О взаимно однозначном соответствии мг жду инвариантными подпространствами в некоторых пространствах // Труды ПГУ. Сер. Математика; Вып.1. Петрозаводск, 1993.
8. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978.
9. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. М.:Мир, 1984.
10. Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли. М Наука, 1983.
11. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория щи т м мнений групп. М.:Наука, 1965.
Литература
Т.38. С.139-185.
195.
С. 54-60.
12. Schwartz L. Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques // Ann. of Math. 1947. V.48. №4. P.857-929.
13. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.:Наука, 1973.
14. Платонов С. С. Подпространства, инвариантные относительно обобщенных сдвигов // Мат. заметки. 1990. Т.47. Вып.6. С. 91-101.
Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 2, 1995
ееее
УДК 517.956.35
ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
В работах [1]—[3] рассматриваются различные аспекты построения инвариантной (или квазиинвариантной) меры для нелинейного уравнения Клейна—Гордона. Для уравнения Эйлера движения идеальной жидкости инвариантная мера типа меры Гиббса была построена С.Альбеверио, М.Фариа, Р.Хоег-Кроном [4]. Из рассмотрения задач евклидовой квантовой теории поля ряд важных результатов получен И.Д.Чешуевым [5].
В данной работе конструкция [2] переносится на случай нелинейного уравнения Шредингера. Для гамильтоновой динамической системы, порожденной этим уравнением, на расширенном фазовом пространстве строится инвариантная мера типа меры Гиббса. Доказывается слабая сходимость к этой мере последовательности ее конечномерных аппроксимаций. Возможны обобщения этой конструкции и на другие бесконечномерные гамильтоновы системы.
Рассмотрим кубическое уравнение Шредингера
где ф = — комплекснозначная функция, ( > О, I Е (0,7г).
Положим гр = и + IV, где и — Яеф, V = ¡тгр, к перепишем уравнение (1) в виде гамильтоновой системы
С.И.Соболев
ггрг = ~Фхх + \Ф\2Ф, ^|*=о = Фх=ж = О,
(1)
Ь V
/> и
(6) С.И.Соболев, 1995
