Об асимптотике и больших уклонениях в центральной предельной теореме для сумм вида σf ((q^n)t) Текст научной статьи по специальности «Математика»

52

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №4(70)

УДК 511.2+519.2

ОБ АСИМПТОТИКЕ И БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЯХ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ СУММ ВИДА ^ f

© 2009 Л.П. Усольцев1

В работе даются новые оценки остаточного члена и больших уклонений в центральной предельной теореме для сумм вида Я/ В представленных доказательствах используются не только техника и методика рассуждений, имеющиеся в арсенале классической теории вероятностей, но и относящиеся к теории диофантовых уравнений с показательной функцией.

Ключевые слова: центральная предельная теорема, показательная функция, диофантово уравнение, асимптотика и большие уклонения.

1. Постановка задачи и обсуждение результатов

Пусть 5^2 - фиксированное целое число, а /(¿) - вещественнознач-ная, интегрируемая с квадратом на отрезке [0,1] периодическая функция с периодом 1 и коэффициентами Фурье

ат =у / (*) в-2™т ^ (т = 0, ±1, ±2,...), о

удовлетворяющими условию

А

К | ^^ (т = ±1, ±2,...), (1.1)

| т|

где А>0 и а>1/2 - некоторые постоянные. Для любого целого числа N^2 положим

1 М-1

SN(*) = Т^Е(/- ао) (0 < *< 1) (1.2)

* п=0

хУсольцев Лев Павлович ([email protected]), кафедра теории вероятностей и математической статистики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

1

FN(ж) = Шв8{£ € [0,1] : SN(£) < ж} (—ж < ж < ж). (1.3)

Через Ф(ж) будем обозначать нормальную функцию распределения с параметрами (0,1).

Согласно классической теореме Форте - Каца (см., например [1, § 15, с. 77—92]), при высказанных относительно функции /(£) предположениях существует конечный предел

1

11Ш = а2 (а ^ 0), (1.4)

N J "

0

причем в случае, когда а=0, для всех вещественных ж выполняется соотношение

lim FN(аж) = Ф(ж). (1.5)

N N

Очевидно, что важнейшим здесь является случай, когда

/ (*)= Хд (*) = {! (0^<ж) (1.6)

N -1

с А = [а, Ь)с[0,1) и Ь—а<1, поскольку в этом случае сумма ^ /(дга£) при

п=0

любом вещественном £ дает количество попаданий дробных долей в промежуток А, когда п пробегает значения п = 0,1, 2,..., N—1. Заметим, что в работе автора [2] содержится доказательство неравенства а=0 для функции (1.6). Легко видеть, что для коэффициентов Фурье функции (1.6) оценка (1.1) выполняется с а = 1.

Исследование асимптотики в соотношении (1.5) для различных классов функций /(£) проводилось как чисто вероятностными методами, так и с привлечением разного рода арифметических средств. Наиболее значимый результат в первом из отмеченных двух направлений содержится в работе И.А. Ибрагимова [3] и формулируется следующим образом: если а=0, то при N ^ ж равномерно относительно ж, —ж < ж < ж, выполняется соотношение

Fn (аж) = Ф(ж) + O

lnn \5/21 N )

(1.7)

где 5 = 1, если а>2/3, и 5 — любое вещественное число из интервала

0,- ), если 1/2<а^2/3. При этом постоянная в символе "О" зависит

1—а

от А, а, а и р& = /|/(¿)|2+5^. о

и

Работы второго из отмеченных направлений существенно используют методику и технику теории диофантовых уравнений с показательной функцией [1, 4—8]. В этих работах решаются вопросы о числе решений специальных диофантовых уравнений с показательной функцией.

Задача о распределении на единичном отрезке дробных долей показательной функции, породившая соотношение (1.5), имеет как вероятностную, так и арифметическую природу. Поэтому более естественными и в конечном счете более законченными нам представляются те методы, в которых вероятностные аспекты трактуются как раз в русле теории диофанто-вых уравнений. На этом пути в работе [7] установлены для случая а>1 асимптотические соотношения для распределения сумм (1.2), вполне аналогичные тем, которые имеют место для функций распределения сумм независимых случайных величин. Конкретно в этой работе доказаны следующие два утверждения.

Теорема 1. Если а>1 и ст=0, то при N ^ ж равномерно относительно х, —ж < х < ж выполняется соотношение

^ (стх) = Ф(х) + О^ ■=)

с постоянной в символе "О", зависящей от А, а и ст.

Теорема 2. Если а>1 и ст=0, то существует постоянная с>0, зависящая от А, а и ст, такая, что при N ^ ж в области 2^x^cN1/6 выполняются соотношения

1 — ^ (стх) = [1 — Ф(х)]

1 + О

(—стх) = ф(— х)

1+О

(\

с постоянными в символах "О", зависящими от А, а и ст.

Основной случай, когда а = 1 (ив качестве / (¿) может быть взята, в частности, функция (1.6)), рассматривался в [8], где доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Если а = 1 и ст=0, то существует постоянная с>0, зависящая от А и ст, такая, что при N ^ ж в области 2^x^cN1/10 выполняются соотношения

1 — ^ (стх) = [1 — Ф(х)]

1+О

х3(х2 + \/1п N)

(1.8)

^ (—стх) = Ф(—х)

1 + О

х3(х2 + \/1п N)

Уж

(1.9)

3

и

и

с постоянными в символах "О", зависящими от А и ст.

Целью настоящей работы является доказательство следующих двух анонсированных в сообщении [9] утверждений, первое из которых усиливает оценку (1.7) для случая 1/2<а^2/3 (и повторяет ее в случае 2/3<а^1), а второе - уточняет соотношения (1.8) и (1.9) для случая а = = 1 и не имеет аналогов при 1/2<а<1.

Теорема 4. Если 1/2<а^1 и ст=0, то при N ^ ж равномерно относительно х, —ж < х < ж выполняется соотношение

^ (стх) = ф(х)+ (1.10)

с постоянной в символе "О", зависящей от А, а и ст.

Теорема 5. Если 1/2<а^1 и ст=0, то существует положительная постоянная с>0, зависящая от А, а и ст, такая, что при N ^ ж в области 2^x^cN1/8 выполняются соотношения

1 — ^ (стх) = [1 — Ф(х)]

1 + О

х3(х+\/1п N)

^ (—стх) = Ф(-х)

1 + О

х3(х+\/1п N)

(1.11)

(1.12)

с постоянными в символах "О", зависящими от А и ст.

Для зависимых случайных величин, суммы которых имеют в пределе нормальное распределение, иногда используют не очень информативный термин "слабозависимые случайные величины". В случае же, когда для распределения подобных сумм оценка остаточного члена в предельном соотношении с точностью до логарифмического сомножителя такая же, как и для распределения сумм независимых случайных величин, вероятно, более уместен термин "асимптотически независимые случайные величины". Тогда слагаемые сумм, распределение которых описывается теоремой 4, можно будет называть асимптотически независимыми (в соответствующем вероятностном пространстве).

При доказательстве теорем 1—5 реализуется, в частности, предложенный в работе автора [6] подход, суть которого заключается в том, что близость характеристических функций нормального распределения Ф и распределения FN м, в которое переходит в результате замены функции / (¿) М-й частичной суммой ее ряда Фурье с натуральным М, растущим вместе с N оценивается не по моментам распределения FN м (так в сходных вопросах поступали Р.Х. Мухутдинов и А.Г. Постников), а по семиинвариантам (^ М) этого распределения, для которых получено следующее представление:

и

1 N-1 N-1 М М

Ъ (Ж,М) = ^Е '"Е Е' ••• Е' , (1.13)

тк = -М [^ ]

где штрих у знака суммы ^ показывает, что из области суммирования

т

исключено значение т = 0, а символом Ш* = Ш*(п1 ) обозначено

условие: целые числа т^ с |^М (г = 1,2,..., к) таковы, что

П1 П2 Пк т1 д + т2 д + ••• + т* д =0, (1-14)

но при каждом г = 1,2,..., к—1 для любых г попарно различных чисел ,..., ]г множества {1, 2,..., к} выполняется неравенство

п . п . П .

31 I °2 . . От /п

т1 д + т2 д + ••• + т* д =0.

Представление семиинвариантов 7* (Ж, М) в виде (1.13) позволяет оценить их модули, не решая относительно п, ...,п* €{0,1, 2,..., N — 1} дио-фантовых уравнений вида (1.14) с заданными т^, т2,..., т*, |^М

(г = 1, 2,..., к). Именно это обстоятельство и является причиной большей эффективноси нашего подхода по сравнению с теми, при которых функция распределения ^^ м (ж) строится по моментам распределения ^^ м (ж), оценить которые, не решая уравнений вида (1.14), пока не удавалось.

Оценив модули семиинвариантов 7* (Ж, М) распределения ^^ м, мы, во-первых, оцениваем степень близости характеристических функций распределений ^^ м и Ф и стандартными приемами, связанными с применением теоремы Эссеена (см., например, [10, с. 211, теорема 1] или [11, с. 137, теорема 2]), выводим соотношение (1.10), а во-вторых, используя теорему В.А. Статулявичуса [12] ( см. также [11, с. 307, п. 10]) о восстановлении асимптотики больших уклонений по семиинвариантам распределения, получаем асимптотические соотношения (1.11) и (1.12).

2. Основные обозначения и некоторые леммы

1

Теоремы 4 и 5 достаточно доказать для случая а0 = //(¿) ^ = 0, по-

о

скольку к нему сводится и общий случай: надо только вместо функции /(¿) рассматривать функцию /(¿) — ^. Будем поэтому далее считать, что

1 Г>Г\

ао = //(*) ^ = 0, /(*) ~ ' Ате2пгт4 (0^1). (2.1)

0 т=-х/

В этом случае выражение (1.2) для суммы (¿) принимает вид:

1 ^1

^ (*) = Т^Е/(^ (0 < *< 1). (2.2)

* п=0

Заметим, что, вследствие вещественнозначности функции /(¿), при всех целых т = 0 справедливо равенство

а = а____(2.3)

—т т у '

Для целых чисел N^2 мы полагаем:

1

< = /(t) dt К (2-4)

0

4А2

Положим еще О =- и, следуя работе [1, с. 84], докажем следующее

2а—1

утверждение.

Лемма 1. Существует конечный предел

1

lim ст2 = lim /S2 (t) dt = ст2

N ^те N N ^J Nw

1

..... ст2 = lim /S2 (t) dt = -а

N^x N N^x J N 0

причем при всех целых N^2 выполняется неравенство

, 2 2, 200 , ч

к —ст21 (2.5)

Доказательство леммы. Положим

1 ^

/2(£) ^ = ' атат (2.6)

2 =

0

и

1

- 1 III I ' I

0

(таким образом, Ро = II/II2).

Докажем следующую оценку:

Pk = f f (t)f (qk t) dt (k = 1, 2,...) (2.7)

ipfcкd (k=°1>2'---)- (2-8)

Действительно, так как вследствие (2.1) при к = 0,1, 2,.

те

/- атв2™т^

т=—те

и в силу равенства Парсеваля

m=—oo

ат ,

те

Рк = /(*)/(9к*) ^ = Е

0 т= —те

то с учетом соотношений (1.1) и (2.3) имеем

11 V4' I и I — ^ 2А л те^х ^ 4А2 = о

|Рк ^ |ат ^|атдк ^ дка т2а ^ дка I 1+ у х2а ) ^ (2а—= .

-ОО 1

Далее, поскольку функция /(¿) периодическая с периодом 1, то в силу равенств (2.2), (2.4), (2.6) и (2.7) мы при любом целом N^2 получаем:

1 / N-1 ч 2 N-1 N-1 1

// N -1 ч 2 1 N -1 N -1

ЫЕ/= ^Е Е /(^*)/(9п2*) ^ =

0 ^ п=0 ' п1 =0 п2 =о0

N

2+2 Е Е //(*)/(дп2*) ^

м- 1 м- 1 1

N

п

[п1 <п2 ]

п1 =0 п2 =0 0

2 N-2 N-1-п 1 2 N-2 N-1-п

2+Е /(*)/(9к*) я = и/и2+^Е Е Рк. (2.9)

п=0 к=1 0 п=0 к=1

А так как в силу оценки (2.8)

те те о те 1 ^

^ ; 1 Рк 1 ^ 0 ^ ^ 2^« ^ 1 < Ж, к=1 к=1 9 к=1 2 —1

те

то ряд £ р абсолютно сходится. Поэтому, полагая к=1

те

22

ст - „, ,, , - ,

+2Е рк, (2.10)

к=1

мы вследствие равенств (2.9) получаем:

2 N -1 те 2 N -1 те

< =ц/ц2+^Е Ерк— ^Е Е рк =

п=0 к=1 п=0 -п

те 2 N-1 те 2 N-1 те

2+2Ер/с— ^Е Е рк =ст2 — ^Е Е рк.

к=1 п=0 -п п=0 -п

Отсюда, используя оценку (2.8), выводим неравенство (2.5):

2 N-1 те 2 N-1 те ^ 20 N-1 те 1

|ст2 — ст2^Е |рк^жЕ Е дка^Е Е

п=0 к=М-п п=0 п=0 к=М-п

л/2 N—1 1 = 2л/2.0 А 1 3^ 1 20^ N71—1 П^ = (72—1)Ж ^Т2 < (72—1)Ж72—1 < "ж"

Лемма 1 доказана.

Для любых целых чисел N^2 и М^2 мы полагаем:

М . N-1

/м(*) = Е' ате2пгт4, (*) = Е /м(2.11)

т=—м п=0

^ м(х) = mes{íe[0,1] : м(¿)<ж} (2.12) 1

< м = / м(*) ^ К, м^ (2.13) 0

1

(Л) ^exp{гЛSN)м(^)}^ (—^<Л<^ (2.14) 0

/м(*) = /(*)—/мО ~ Е Ате2жМ (2.15)

|т|>м

1 N-1 -

¿4 м (*) = ^ (*) — ^ м (*) = Т^Е /м (дп^) (0<<<1). (2.16)

* п=0

Лемма 2. При всех целых N^2 и М^2 справедлива оценка

1

„(*) . (2.17)

N , м 2"-1

0

Доказательство леммы. Пусть N^2 и М^2. Если «1 и «1 - целые числа, «2 ^0, то вследствие соотношения (2.15)

/м (дп2 -п1 *) ^ Е атв2пгт^п2-п1 .

| т| >м

Но тогда в силу равенства Парсеваля 1 1

/7м(дп1 /(дп2*) ^ = / /м(/(дп2-п1 *) ^ = Е V™а™,

0 0 |т|>м

а отсюда вследствие соотношений (2.3) и (1.1) получаем: /м (дп1 / (дп2*) ^

1

А2 2А2 ^ 1

^2 У^ -;-г--г-г- У^ —— ^

Z_/ (п2—п1)а о(п2—п1)/2 ^_/

т2ад(п2-п1)а ^ 2(п2-п1)/2 т2а

т>м У т>м

и

2А2

^х

2А2

О

2

(п2 п1)/2 м х2а 2(п2-п1)/2(2а—1)М

Поэтому в силу равенств (2.16)

2а— 1

2(п2-П1)/2+1 м 2а-1

1 / 1 м-1 - А2 1 м-1 м-1 1 -

У^м^ Л = У Т^Е/м(?"*)) ^ = £ У /м (9п1 /(9п2*) ^

0 0 \ п—0 / п1 —0 п2 —0 0

N-1 N-1

^ ЕЕ

2

[п1 <п2 ]

/м(9П1 /(9П2*) ^

О А 1

2

М-1 М-1

О

N ЕЕ 2(п2-П1)/2+1 Л/Г2о:-1

<

М2

[п1 <п2 ]

М

2а-

1

г=0

^20

г/2

<

40

(\/2—1)М 2а-1 М 2а-1'

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. При всех целых N^2 и М^2 и всех вещественных х и с>0 справедливы неравенства

40

(х—с) ^ (х) (х+с) + 2 лж2а-1

С М

(2.18)

Доказательство леммы. В силу равенств (2.12) и (2.16), при всех целых N^2 и М^2 и всех вещественных х и С>0 мы имеем:

^(х) = mes{íe[0,1] : (¿)<х, (¿)— м(¿) ^c}+mes{íe[0,1] : (¿)<х,

(*Ь^м(*) >c}^mes{íe[0,1] : ^(*)<х, ^(*) —^м(*) ^

^mes{íe[0,1] : ^ м(¿)<х—с} = FN м(х—с) (2.19)

FN(xKmes{í€[0,1] : м(í)<x+c}+mes{íe[0,1] : (¿)— (¿) >с} =

= FN>м(x+c)+mes{í€[0; 1] : м(*)| >с}. (2.20)

Но в силу неравенства П.Л. Чебышева и оценки (2.17)

mes{íe[0;1] :

^ , м

1 Г ~ 0

>сК С2 I ^ м № ^ с2 М2а-1 .

с2 / N , м ( 0

Отсюда и из неравенств (2.19) и (2.20) вытекает справедливость неравенств (2.18). Лемма 3 доказана.

1

и

1

Следствие. При всех целых Nи М^2 и всех вещественных х и с > 0 справедливы неравенства

(га-с) (ах+с) + с2М2а-1 •

В частности, при с = —-,-—-^т^- будет:

М(2а-1)/3

(М(2а-1)/з) ^ (М(2а-1)/з) + М4^• (^21)

Замечание. Если целые числа N^2 и М^2 выбраны так, что

3/(2а-1)

МА (2.22)

то в силу неравенств (2.21) при всех вещественных х будет:

(СТХ-^ (+ М(24а^1)/3 • (2-23)

Лемма 4. При всех целых N^2 и М^2, удовлетворяющих неравенству (2.22), справедлива оценка

С

-*21 < N, (2.24)

где С1 = 64£.

Доказательство леммы. Вследствие равенств (2.6), (2.7) и (2.10) соотношение (2.5) можно записать в виде

1 те 1

< = / / 2(*) ^+2^ / / (*)/(^ *) ^ + 0 к=1 0

с а переписав это соотношение для функции /м(¿) (т. е. с учетом

равенств (2.13) и (2.11)), получаем:

а2 , = ' '2

1 те 1 20£

/МО ^Е / /м /(^') ^ + ^2

м,м У •'м1 7 •'м^им^ 2 N

0 к=1 0

с |$2Но в силу равенства Парсеваля при любом целом

1 м

1 те 1 м

/(^)/(9к^ ^ = Е' а * , /м(/^ = Е'

^ ™ - --^ „--Л

т=-те 0 т=—м

Поэтому вследствие соотношений (1.1), (2.3) и (2.22) имеем: 2 „22

те

Е ат +2Е Е

|т|>м к=1 |т|>м

40^

те 400 2 те 1 1 400

<4£ Е^| • |ат^4А £ та+ ^

к=0 т>м к=0 т>м

те 2

.2 А 1 [ ¿х 400 4\/2А 400

д2 ^^ 1 / ¿х 400 4У2А

2к/2У х2« N (\/2—1)(2а—1)М2а-1 N

к=0 м

\/20 400 400 400 440

(\/2—1)М2а-1 N М2а-1 ' N " N Отсюда и из оценки (2.5) следует, что

I 2 21 ^ 2 2 ,,, 2 21 < 440 + 200 640 С1 |%,м —ст ^%,м — %|+|%—ст ^^= "Ж = N .

Лемма 4 доказана.

4С1

Положим С0 = —-1. Если целые числа N^2 и М ^ 2 таковы, что 2 ст2

N ^ С*2 и выполняется условие (2.22), то вследствие оценки (2.24) будет:

С С 2

Км —ст 2|<с1 < С; = т ■ (2-25>

а значит,

(Т

1

стлт,м

3 ст2 2 5 ст2 5 7 .

— <ст2,м <"р ^^м <6ст (2.26)

|ст2—ст2,м1 < С1 5 <%. (2.27)

стлт,м( ст+<Чм) N■ -ст--ст 55N 6N 6 6

3. Структура семиинвариантов распределения FN м

Для любых целых чисел N^2, N^2 и к^2, любого упорядоченного набора целых чисел (п, п,..., ) с —1 (г = 1, 2,..., к) и

(р)

любого натурального числа р^к—1 будем обозначать символом =

(р)

= («1, ...,Пк) следующее условие: целые числа т^ с |^М (г =

П1 П2 п,

= 1, 2,..., к) таковы, что т1 д + т2д + • • • + ткд = 0, но при каждом

г = 1, 2,... ,р для любых г попарно различных чисел ^,..., ^ множества

п. п. п.

{1, 2,..., к} выполняется неравенство т1 д + т2 д + ••• + т^ д ^ =0. При всех указанных значениях величин N М, к и р положим

N-1 N-1 м м

"Г№М') = -к/2Е-Е Е' ■■■ Е' «-.■■■«-. (3-1)

■Г(^^т^ '> > • > • а.

^ п, =0 п, =0 т, =-м т, =-м

1 , , к 1 к

(Р), г "1 , п2 , , "к

[^] [т1 д 1 + т-2д 2 + ••• + т,д к = 0]

и

и заметим, что вследствие оценки (1.1)

1 ( м а \к

КР)(^Мэк^/*Nк2Е-Т^ Н4^™)'• (3.2)

\ т=1 * /

Заметим еще, что при всех целых ^Ц^2^^, М) = ••• =

= ^^(^М), и положим

7к (N,M) = ^[к/2])(^М) = ••• = ^^(^М) (к = 2, 3,...). (3.3)

Центральным моментом в доказательстве наших теорем является следующее утверждение.

Лемма 5. При всех целых N^2 и М^ и всех вещественных Л справедливо равенство

те (¿Л)к 1к (N,M) к=2

(Л) = ехР Е-к- . (3.4)

^ I— о ' '

Так как ^^м(Л) - характеристическая функция распределения ^Мм, то утверждение леммы означает, что величины 7^(^ М) (к = 2, 3,...) являются семиинвариантами этого распределения и, в частности,

72(°,М) = а2 ,. (3.5)

Доказательство леммы. Для краткости вместо ^ м

(Л), ^(^М)

Ук (N, М) будем писать В силу равенств (3.3)

м^> -к

и 7^ (N, М) будем писать просто <^(Л), и 7^ соответственно

^21) = 72. (3.6)

Если же в = 2, 3,..., то вследствие равенства (3.1)

1 М-1 М-1 ^ ^ «-2

-2!) = ^Е Е Е' ••• Е' = К«+Е ,

П1 =0 п2« =0 т1 =—м т2« =-м 1=0

Г п, п2 п„я п

т, д + т2 д + ••• + т2з д =0

где с учетом равенства (3.6)

1 м-1 м-1 м^ м^

= + ^^ Е " ' Е Е " ' Е а™1' ' ' а™2« + =

«1=0 «2« =0 т,1=—м т^« =—м [ В ]

(2в)! ( 1 ^ ^ ^ V (2в)'7«

ЕЕ Е Е °т

2«вП N ^ ^ ^ ^ ""т1 т2 / 2«в' '

\ «1=0 «2=0 т,1=—мт2=-м /

Г п, П2 1

т, д + т2 д = 0

а символом Б« обозначено условие:

га. га.

ш. а • +ш. а • = 0, ..^ш. а •У2«-1 +ш. а 721 =0; •71 • 721— 1 721

(Л,2},{,3,4},•••, {,21-1 ,21} — °дно из '^П" возможных неупорядоченных разбиений множества (1, 2,..., 2в} на в непересекающихся неупорядоченных 2-подмножеств, и где при / = 0,1,..., в-2

1 М-1 М-1 м 1 м /

= + £ Е' ••• £' ат1'" °т2ч +

«1=0 «2« =0 т-1 =—м т^« =—м

[ В ]

м- 1 М-1 м м

= С22« ^ ^ Е Е °т1 °т2 1 Х

2 Ь' \ « =0« =0 т1 =—м т = м

Г п1 т, д

«1=0 «2=0 т1=—мт2 =—м

М-1 М-1 м м \ (2в)! V У(2)

2

"т/" 21 I- "¡Г,

N«-4 Е £ £ £ "'1 "'21-21/ 2/!(2ч-2/)'

га. =0 «о о,=0 т =-м т о,=-м / 2 /! (2в 2/)'

1 2«—21 1 21— 21

К2-]

а символом Б1 обозначено условие:

га. га. га. га.

ш. а • +ш. а • = 0,...,ш. а •2г-1 +ш. а ^г =0,

• 1 • 72г-1 З21

и выполняется условие ^2(2—21 (ш72г+1 ); {,1 ,2 {,21—1 , },

г- -г г<21 (2/)' 8 й

{,21+1 ,2«} — одно из С^« —1— возможных неупорядоченных разбиений множества {1, 2, . . . , 2в} на непересекающиеся / неупорядоченных 2-подмножеств и одно неупорядоченное (2в-2/)-подмножество (при / = 0 пары (л*1 , Л}, • • •, {,21-1, ,21} отсутствуют). Поэтому при в = 2, 3,... справедливо равенство

(2в)' 1-2 (2в)' 71 V(2) У(1) = (2в)' 2 . ( ) '2 2«-21 (37)

^ = 2«в' + ^ 21 /' (2в-2/)' • (3-7) Рассуждая аналогично и учитывая (3.3), получим, что при в = 1, 2,...

4=1 (2в+1)' 72 у(2)

у21+1 = Е 1 2 2«=21+1 • (3.8)

2«+1 1=0 21 /' (2в-2/+1)'

Далее в силу равенств (2.11), (2.14) и (3.1) будет:

^ = Ш I (^Е /м л =

к=0 0 п=0

те ... лк N-1 N-1 м м

(гА) 1

к' "л.^/2 £ ••• £ £ ••• £

к=2 ^ п =0 п, =0 т =-м т, =-м

к! лгк/2 ^ ^ ^ ^ -т1 -тк =0 п =0 т = 1 к 1

1

I 2пг(т-, дп1 + т„дп2-|-----+ т, д к )£ ,

х / е 41 2 к4 у ш: =

0

те (,А)к 1 N-1 N-1 м' м'

1+£ ~кГ ^ Е £ ••• £ ^к

к=2 ^ п =0 п, =0 т =-м т, =-м

1 к 1 к

" " "

[т1 д 1 + т2 д 2 + ••• + т, д к ]

= 1+ V ^V(1) = 1+ V ^V(1)+г V (—1)^А2-+1 V(1) (3 9)

= 1+ к=2 к! "к =1+ ^ (2*)! ^ +г ^ (2в+1)! ^+1. (3.9)

А так как вследствие оценки (3.2) при всех А € (—ж, ж)

V |А|к^ < V |А|к(4А^М)к 4^™

¿-к! к! <е <Ж

к=2 к=2

то ряд

1+ Е ^Vk1), (3.10)

к=2

определяющий ^>(А), при всех вещественных А абсолютно сходится и, значит, члены в нем можно переставлять и группировать как угодно. Поэтому в силу равенств (3.7) и (3.8) из (3.9) следует, что

те (_ те «-2 ^ V(2)

р(А) = V ( 1)«А 72 + )Г(—1ГА2«У .Ь 28-21 + 0 2«*! ¿2 1=0 211! (2*—20!

те «-1 у ^2) _ л272

+г у(—1)«А2^1 V . 2 2«-21+1 = е_^ +Я1 +гЯ2, (3.11)

¿1 ¿0 211! (2*—21+1)! 12 1 7

где

те «-2 ^ V(2)

2«^ '2 2«-21

щ = у (—1)8А2« V . 2 28-21 (3.12)

1 ¿2 = 2 1!(2а—21)! 1 ;

те 8-1 ^ V(2)

К = у(—1)8А28+^ . 2 28-21+1 . (3.13)

2 ' .=0 211! (2*—21+1)! 1 7

и

Вследствие абсолютной сходимости ряда (3.10) при всех А € (—ж, ж) ряды (3.12) и (3.13) также абсолютно сходятся при всех вещественных А и, значит, члены в них можно переставлять и группировать как угодно. Поэтому при всех А € (—ж, ж)

^2) те 4

у (—^^Г2 + 6 / ; 8-2 - - - +

2!

(2)

8=2

28-2 (в—2)!

Е

(—1)«А2878-3

2

6! 8=3 2 (в—3)!

-+ •

v2k) ^ (—1)«А2«728-к

^ + ••• =

(2к)!

«=к

2«-к (в—к)!

А^(2) ~ (—1)«А2«7, И—/

2

4!

«=0

2« в!

АЧ2) ^ (—+ +( к А2кv22k) ^ (—1)«А2«ъ + ^ + ••• +(—1) ~ +

6!

«=0

«=0

2« в!

+ ••• = е

_/ А4v(2) А6v(2)

2 ( " "4

4!

6!

к А2к V(2)

6 + ••• +( — 1)к^7ТГ- + •

(2к)!

Е

3

3!

Е

«=1

2«-1 (в—1)!

+

Е

«-2

5! 2«-2(в—2)!

+

(2)

+

V (2) те (_ 1)«\2«+1_«-к 2к+1 Е

(2к+1)!

«=к

2«-к (в—к)!

А3v(2) ~ (—П^А2^

+••• = —^Е - ■ 2+

«=0

3!

2« в!

+

А5^2) ^ (—1)«А2«72

5!

Е

«=0

2« в!

— ••• +(—1)

к А2к+М2+1 у (—1)«А2«7| (2к+1)! 0

2« в!

+

/ А3v(2) А5v(2) . + ••• = е 2 (--^ -----+(—1)к

А2к+^(2)

3! 5! (2к+1)!

Отсюда в силу (3.11) следует, что при всех А€(—ж, ж)

+

^(А) = е

Л . (*А)^2) (гА)^2) (гА)кv22)

1+

3!

+

4!

-+ ••• +-

к!

+

=е

1+ ^^ (гА)кvk2)

к=3

к!

Далее в силу равенств (3.3)

v32) = Ъ.

(3.14)

(3.15)

Если же в = 2, 3,..., то вследствие равенства (3.1)

у (2) = 3«

1

^ 1

^ 1

м

м

Е - Е Е ■■■ Е

мт

К2)]

2

ат

^ п1 =0 п3« =0 т1 = -м т3« =-м

3«

к' + У к',

.=0

2

а27

2

2

а

где с учетом равенства (3.14)

1 М-1 М-1 м м /

К1 = Е Е Е' Е' ат1'" ат31 + ••• =

4 1

[ в; ]

N и, =0 =0 т =-м т„ =-м

1 3« 1 3«

(3в)'/ 1 ^ ^=1 ^=1 ^ ^ ^ V (3в)'т

Е' Е' Е' Е Е Е ат1

61 в' \ N3/2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 61 в' '

т 2 = _

К2)]

«1=0 «2=0 «3=0 т1 =—м т2 =—м т2=—м

а символом Б« обозначено условие:

« « « «• «• «•

ш. а 71+ш. а 72+'т а •з = 0,..., ш. а 131-2+ш. а 131-1+ш. а ^ = 0;

•1 • • 131-2 131-1 731

{,1 , }, {,3 , },•••, {,31—2 ,31-1 ,3« } - одно из М = С321=1 С'2«_4 ••• ^

возможных неупорядоченных разбиений множества {1, 2,..., 3в} на в непересекающихся неупорядоченных 3-подмножеств, где при / = 0,1,..., в-2

1 М-1 М-1 м м / К' = ^773172 Е Е Е' Е' ат1'" ат3« + ••• =

° =0 =0 т, =-м т„ =-м

13« 1 3«

[в;]

М-1 М-1 М-1 м м м

(3в)' / 1

61 /'(3в-3/)Л N3/2 ^ ^ ^ -тГт2-т3

ат1

ге 2 =—П И2)]

ат ат ат

«1=0 «2=0 «3=0 т1 =—м т,2 = _м т3 =—м

( 1 М-1 М-1 м м \ (3в)'^1 У (3)

Х ( 1 ^ ■ ■ ■ ^ ■ ■ ■ а ■ ■ ■ а | = 1 ^ 31-3,

\N ( ) / «1=0 31 =0 т1=-м т3 _31 =-м 1 31-3у 6 /'(3в-3/)'

К-зг]

и символом Б' обозначено условие:

«• «• «• «• «• «•

ш. а • +ш. а • +ш. а ^ =0, ••.,т а 731-2 +ш. а 731-1 +ш. а ^ =0,

• 1 ^2 031-2 131-1 131

причем выполняется условие

Ш(3) ,(ш. , •••,т );

31-3Г 13г + 1' ' 13а '

{,1, ,2 },3 {{,31- 2 ,31-1 },31-1 }, {,31+1 ,,31} - одно из С331 ТУ

воз-

можных неупорядоченных разбиений множества {1,2,..., 3в} на непересекающиеся / неупорядоченных 3-подмножеств и одно неупорядоченное

(3в—31)-подмножество (при 1 = 0 тройки {^ ,;'2 ,;3 },..., {^3|-2 ,;31-2 } отсутствуют). Поэтому при в = 2, 3, . . . справедливо равенство

(3в)! ^ (3в)! т3 v(SL

V

(2) = У""^- ^3 . ^ У 7 '3 3«-31 (о16)

3« 6«в! + 611!(3в—31)! . (3 6)

Рассуждая аналогично и учитывая (3.3), получим, что при в = 1, 2,...

V(2) = у1 (3в+1)! 73 ^32-31 V(2) = у1 (3в+2)! ^3

3«+1 1=0 611!(3в—31+1)! ' 3«+2 1=0 611!(3в—31+2)! '

Пусть

~ (гА)кV(2)

(А) = 1+£ к! к (—ж<А<ж). (3.18)

к=3 к!

Так как вследствие оценки (3.2) при всех А € (—ж, ж)

~ |А|к|vk2)| < ~ |А|к(4А^)к <е4А|л|^^м

¿-к! к! <е <Ж,

к=3 к=3

то ряд, определяющий ^ (А), при всех вещественных А абсолютно сходится и, значит, члены в нем можно переставлять и группировать как угодно. В силу равенств (3.16) и (3.17) из соотношения (3.18) следует, что

^ (гЛ)^(2) ^ (гЛ)3«+1 V(2) ^ (гЛ)3«+2 V(2) ^ (¿Л)3^«

л (А) = 1++ЕЧ^+Т+ЕЧ^в+Т = 1+

те «-2 ^ V(3) те «-1 ^ V(3)

+У (гА)3« у ;3 3«-31 + у (¿А)3«+^ ;3 3«-3г+1 +

^ 1=0 611!(3«-31)! 1 1=0 611!(3«-31+1)!

те «-1 7г V(3) _ »л373

+ У(гА)3в+2У 3 3«-31+2 = е Т +Е' +Е' +Е', (3.19)

^1 1=0 611! (3«-31+2)! 1 2 3

где

«-2 V(3) те «-1 ^ V(3)

'3 3«-31 п' _ ^ /„-п3«+1^ '3 3«-31+1

Е' = V (гА)3« V ;3 3«-31 , Е' = V (гА)3^1 V 3 3«-31+1 , (3.20) 1 1=0 611!(3«-31)! 2 ^ ' и 611! (3-31+1)! 1 '

те «-1 ^ V(3)

Е3 = У (гА)3«+2 V 13 3«-31+2 . (3.21)

3 ¿1 1=0 611! (3«-31+2)! 1 '

Вследствие абсолютной сходимости при всех А € (-ж, ж) ряда, определяющего функцию ^ (А), ряды (3.20) и (3.21) при всех вещественных А также абсолютно сходятся, и, значит, члены в них можно переставлять и группировать как угодно. Поэтому

у^ ~ (гЛ)317з1-2 ~ (2Л)317з1-3 У33к) ~ (2Л)31731-к

6' 1= 61-2(в-2)'+ 9' 1= 61-3(в-3)'+ +(3к)' 1=3 61-3(в-к)'

(¿Л)6у63) - (гЛ)31731 (гЛ)эу(3) ~ (¿Л)3^1 (¿Л)33у^ ~ (¿Л)3^1

6' ^ 61 в' + 9' ^ 6« в' (3к)' ^ 6« в' +

1=0 1=0 1=0

' ' 61 + 91 (3к)1 '

и аналогично

я = е-^ /+ (¿Л)7у73) + + (^Л)33+1У33+1 + ,

2 V 4' 7' (3к+1)'

я- = е-^ / + + (а)33*2"^ , |

3 V 5' 8^ (3к+2)

Отсюда в силу (3.19) следует, что при всех вещественных Л справедливо равенство

^ ( ^ (¿Л)3у(3)

^ (Л) = ет и+£ —^ )• (3.22)

=4

Из (3.14), (3.18) и (3.22) вытекает, что при всех Л € (-те, те) будет: ^ - - ¿л^ . - (¿Л)3у(3)

' 2! 3! 1 . 3

р(Л) = е 2! ^ (Л)= е 2! " 3! 1+£

к'

=4

Еще раз повторив наши рассуждения, получаем, что при всех вещественных Л

-^-+ / ~ (¿Л)3у(4)

/ \ Л 2! 3! + 4! 1 . К ' 3

=5

£2-^ (1+ £ (¿Л)3у(4)

=5

1+£ к,

и т. д. Так как в силу оценки (3.2) для любого Л € (-те, те)

£ IЛ|31у(р)| < £ /12А|Л|УР^\3 ^те

3=р+1 к' 3=р+1 р /

при р ^ те, то, продолжая наш процесс, мы при всех вещественных Л придем к равенству (3.4). Лемма 5 доказана. Следствие. Справедливо равенство (3.5).

Замечание. Толчком для построения величин Yfc (N, M) посредством формул (3.1) и (3.3) и доказательства леммы 5 послужило именно равенство (3.5), доказанное безотносительно к этой лемме следующим образом. Вследствие равенств (2.11) и (2.13)

1 / N—1 \ 2 N—1 N — 1 1

= (ЕfM(qn*))= ^ЕЕ /м(qni/t)=

0 n=0 rax =0 n2 =0 о

N — 1 N-1 MM 1

= E' E' <4 <4/ e2ni(m1 ^ + m2) df =

n1 =0 n2 =0 m1 =—Mm2 =—M 0

[ m1 qni + m2 qn2 = 0]

N- 1 N-1 M M

1

a a

EE E' E

n1 =0 n2 =0 m1 =—Mm2 =—M

[т, дп1 + т2дп2 = 0] что и означает справедливость равенства (3.5).

4. Оценка семиинвариантов распределения FN м

Взяв произвольно целые числа N^2 и М^2, будем оценивать семиинварианты 73 (^ М) (к = 2, 3, • • •) распределения ^^м •

В силу равенства (3.5), оценка семиинварианта 72(^ М) означает оценку величины м и при выполнении условия (2.2) дается неравенством (2.24).

Будем теперь оценивать семиинварианты 73 (^ М) распределения м с Вследствие соотношений (1.1), (3.1) и (3.3) имеем:

М-1 М-1 м м

К (N,M )| =

1 £ -£ £' - £'

N n1 =0 =0 m1 =—M mk =—M

<

[wkfc-1)(n1, ..., nfc )]

^3 N-1 N-1 м 1 м 1 1

^7:3/2 Е"' Е Е "' Е |ш ...ш |а, (4.1)

° =0 =0 т1 =—м тк =—м Ш1 т 1 [т, д" + ••• + тк д"к =0 , Ц,]

где символом обозначено условие: при каждом г = 2,3,...,к-1 для любых г попарно различных чисел ,1множества {1, 2, • • •, к} выполняется неравенство

ш1 а«^ + ш2 а«^ + ■ ■ ■ + шк а^ = 0. (4.2)

12

a

m

m

1

k

Пусть Ок - множество всех упорядоченных наборов целых неотрицательных чисел и1 —1 (г = 1, 2,..., к), для каждого из которых найдется набор целых чисел (т1,..., тк) с условием

|<М (г = 1, 2,..., к), (4.3)

такой, что будет справедливо равенство

т1 дга1 + т2 дга2 + ••• + тк = 0, (4.4)

но при этом будет выполняться условие . Количество элементов множества Ок будем обозначать через ||.

Очевидно, равенство (4.4) порождает уравнение к -мерной гиперплоскости т^+ ■ ■ ■ + т^=0 с нормальным вектором (т^,..., т^), содержащую, в частности, точки вида (дга1,..., ). Ясно, что каждая совокупность ^ к таких точек, лежащих в одной и той же к -мерной гиперплоскости п, однозначно определяет нормальный вектор (т1,..., т®) со взаимно простыми компонентами т,0^М (г = 1,2,..., к); все остальные нормальные векторы гиперплоскости п с целыми координатами, удовлетворяющими условию (4.3), очевидно, содержатся среди к -мерных векторов (1т1,..., ), 1 = ±1, ±2,..., ±М. Поэтому при каждом целом к^3 в силу неравенства (4.1) мы имеем:

Ак м 1

Ьк (^М К -щ £ £' |1т0 ... 1т0 |а <

N (п1 )еск 1=-м |1т1 1тк1

2Ак у 2Ак||Ск|| 6Ак||Ск||

^ Лтк/2 '||Ск^ £ Тка^ 77к/2 £ 73/2^ 77к/2 . (4.5)

— 1=1 1 — 1=1 1 —

Лемма 6. При всех целых к^3 справедлива оценка

||Ск|| < (104 1пМ^^^к! (4.6)

Доказательство леммы. Возьмем произвольно (п, ..^и^ . Оставляя пока в стороне тривиальный случай п = и = ■ ■ ■ = и^, расположим компоненты взятого набора в порядке невозрастания:

N—= ... = и° >и0 +1 = ... = и0 + >...>и0 + ++ +1 =

1 00 о0 +1 о0 +о1 о0 +о1 +-----+о«_1 + 1

= ... = и«0 +«1 +••+« = ик, (4^

где 1^в^к—1, а (^, и ,...,и«) — набор натуральных чисел с условием

и0 +и1 +-----Ьи« = к. (4.8)

Условие (4.7), очевидно, означает, что набор (п0, иЦ, ...,ик) содержит в отрицательных скачков (их мы будем называть также скачками и взятого

набора (п ,^2, •••,^3)). Обозначим через Я« . абсолютную величину ,-го по порядку следования в наборе (п0,,...,п3) скачка:

Я ■ = п0 ^ ^ ^ -п0 Г, = 1,2,..., в). (4.9)

Покажем, что при каждом натуральном справедливо неравенство

и., , и.,

Я

1 ' 1 1п 2

Ми .+11 +12 + ■■■+- и«

, , 0 , , . , . (4.10)

1 2 22 2«_1 '

Действительно, если предположить, что для какого-то натурального числа неравенство (4.10) не выполняется, то для этого , будет:

„ ,т ( и1+1 и1+2 и, \ я .

Ми.+ ••• <а 11, V 1 а а2 а1-1)

а значит, для некоторого набора целых чисел (Ш1, ш2,..., Ш3) с условием (4.3), удовлетворяющего равенству (4.4) и условию , в силу соотношения (4.9), будет:

ш . . . . а 01 1-1 +-----Ьш, а 3

и0 +и1 +-----1 +1 3Ч

т, г иг. +и +-----• +1

^Ма 0 1 1-1 х

(и \ «0 + р «0 1+1 из \ м„ +и +-----Ни. +1 + р« 1 адп +и +-----.

и +а —I—— <а 1-1 1,1 = а 1-1 •

1 а а1-1 /

(4.11)

Но

«0 «0 «0 , , и0 +и1 +-----1 и0 +и1 +-----1

ш1 а 1+••• +ши0 +и1+-+«1-1 а 0 1 1-1 ^.а 0 1 1-1 •

Поэтому вследствие равенства (4.4) будет выполняться соотношение

«0 «0

и0 +и1 +-----1 + 1 , , «0 V и0 +и1 +-----1

ш«0+-+«?-1+1 а 1-1 + +ш3а ^.а 1-1,

что в силу (4.11) возможно лишь при

«0

и0 +и1 +-----1 + 1 , , «0 п

ши0+и1 +•••+«. „+1 а 0 1 1-1 + ••• +ш3а 3 =°,

т. е. при

«0 и +и +-----•

ш1 а«1+••• +ши0 +и1+^+и,-1 а 0 1 1-1 =0.

А это противоречит условию , конкретно неравенству (4.2) с г = ад + + и1 + ••• + и1—1. Неравенство (4.10) с любым натуральным , ^ в доказано.

Положим = Я« 1 Я« 2 ■ ■ ■ Я« , « (в = 1, 2,..., к-1) и докажем справедливость оценки

3, 2М (к—1)

- 1п-

2 в

(4.12)

Действительно, в силу соотношений (4.8) и (4.10) и и с учетом того, что среднее геометрическое положительных чисел не больше их среднего арифметического, мы имеем:

°> < (1П2)

^ (в 1п2)«

1п

и2 и„

МК + ••• +2uS;

1п

2

и

1п

М и2 + ••• +2и-2

1п(Ми« )<

и„

Щи, +—+-----+

1 1 2 2«-1

+ 1п

и3 и,

м ио+_3+ ••• + «

—2

+ 1п(Ми« Н =

(в 1п2)«

1п

и

и„

+ •••

и

и2 + у + +

и

х I и«-1 +у |ия

:(в 1п2)6

и2

+ ( и«-1 )+и«

(в 1п 2)'

1п <! М ■—

в«

^ 1п < М

и

и + ... +

и„

и2

и1+Т + ■

2«-1 и.

• +

—1

+ ■ ■

и« + •••

+ •••

+ ( и«-1+^ +"']} = (^7 ■1п'{ +(1+2) и2 и3+

11

1

и

+

2 22 2«-2 ' «-1 / 1 1п 2М(и1 +и2 + ••• +и«) Л 1п2 п

11

+

1

-Т |и„

2«-1 ' «

<

< 3,п2М(к-1)

в / \2 в

Для в = 1, 2,..., к—1 мы обозначаем через Нк « множество всех наборов (и,..., и^, каждый из которых содержит по в скачков. Тогда, учитывая и тривиальный случай и = ^ = ... = и^, будем иметь:

к-1

11Ск 1№£ 11НМ ll, (4.13)

«=1

где символом ||Н II обозначено число элементов множества Н . Взяв

к , 5 к , 5

произвольно натуральные числа в^к—1 и 1^к—1, обозначим через Q, 1 множество всех наборов (и1, и , ..^и^ «, для каждого из которых наборы целых чисел (т-1, т^,..., т^) с условием (4.3), удовлетворяющие равенству (4.4), содержат по 1 положительных и к—1 отрицательных компонент: т. >0 (V = 1, 2, ...,1) и т. <0 (V = 1+1,1+2,..., к), а через 11| будем обозначать число элементов этого множества. Для каждого такого

набора (т1, т2,..., т,) мы полагаем ^ = т. , р^ = и. (V = 1, 2,...,1), 12 к

^ = —т.

и

(V = 1,2,..., к—1)

1

х

1

1

в

V

и переписываем уравнение (4.4) в виде

^ <Л + ■ ■ ■ = ^9Т1 + ■ ■ ■ . (4.14)

Заметим, что при 8 = к—1 общее число скачков набора (п^,п2,... ), "попавших" в наборы (р1, Р2,..., рг) и (^, Т2,...,т^_г), равно не а 8—1, т. е. равно к—2, поскольку в данном случае при переходе от одного из этих двух наборов к другому один скачок теряется.

Если произведение абсолютных величин скачков набора (П, п<2, 1, попавших в набор (р1 ^р^,..., рг), не больше произ-

ведения абсолютных величин скачков набора (п^, п), попавших

в набор (^1,Т2,...,тк_1), т. е. при 2 и /Д«- 1 при

1, то будем считать показатели р^ (и, соответственно, коэффициенты ^ ) занумерованными так, чтобы было Р1 ^ ... . Так как при таком соглашении количество наборов (п^, п,..., г не

более чем в 1! раз больше числа решений уравнения (4.14) в целых числах Р1, Р2,..., рг ,Т1, Т2,..., т^, то, придавая в (4.14) переменным Р1, Р2,..., рг, т^, Т2,..., т^^ все возможные значения, мы получим при з^к—2 не более Жл^/Д«, а при 8 = к—1 не более значений

левой части, для каждого из которых правая часть, в силу леммы Р.Х. Мухутдинова [5] (см. также [1, с. 78, лемма 1]), принимает не более 2к-1(к—1)! значений. Следовательно, при з^к—2 будет

||дв г ||^!Ж УД ■ 2к (к—1)!<2к-1 Ж УД ¿!(к—1)!, (4.15)

а при 8 = к—1

||дв 1 ■ 2к (к—1)!<2к-1 Ж^Д^1!(к—1)! (4.16)

Если же произведение абсолютных величин скачков набора (П ,^2, ...,Пк 1, попавших в набор (р1 ^р^,..., рг), больше произведения абсолютных величин скачков набора (п^, п), попавших в набор (Т1,Т2,...,тк_1), которое при 2 меньше Ж УД, а при

8 = к —1 меньше , то будем считать показатели т^ (и, со-

ответственно, коэффициенты ^ ) занумерованными так, чтобы было Т1 ^ ... . А так как при таком соглашении количество наборов

(п,^21 не более чем в (к—1)! раз больше числа решений уравнения (4.14) в целых числах Р1 ^р^,..., рг ,Т1, Т2 , ...,т^_г, то, придавая в (4.14) переменным р1 ^р^,..., рг, Т1, Т2,...,т^_г все возможные значения, мы получим при 2 не более Ж УД, а при 8 = к—1 не более

Ж* шк_2 значений правой части, для каждого из которых левая часть,

в силу упомянутой леммы Р.Х. Мухутдинова, принимает не более 211! значений. Следовательно, в рассматриваемом случае при в^к—2

| ^ 111 ^(к—-211!<2к N^/07 1!(к—1)

а при в = к—1

1=1

а при в = к—1

к-1

ям ||<£ск 1!(к—1)! = (к—1)2к ^У^.

1=1

Отсюда вследствие неравенств (4.12) и (4.13) мы получаем:

, к-2 ч

||Ск11+(к—1)2ккШ^^й~Л ^+к2кk!Nх

(4.17)

I IQ;,1 ||<(к—О!^/^-211!<2к N^^-21! (к—1)! (4.18)

В силу неравенств (4.15)-(4.18), при всех в = 1, 2,..., к—2 к-1

11ЯМ 11<£С1 1! (к—1)! = (к—1)2к к^Уд",

к — 2 , ч «/2 2 , ч «/2

к-4/3 2М (к—1)\ к-^^к-V 3, 8М (к—1)

«=1

«=1

в

(4.19)

(увеличение в 4 раза аргумента у логарифма под знаком суммы вызвано лишь желанием упростить оценивание этой суммы).

Из неравенства (4.19) сразу же вытекает оценка (4.6) для случая к = = 3 :

||С31|<6 3^

3

21п(16М)

1/2 г / , -.«ЧП1/2

™3(

<

1/2

3!N = (10'1п М 3!N.

Обратимся к случаю к>4. Покажем, что здесь при любом натуральном в^к—3 справедливо неравенство

. («+1)/2 . , чч«/2

3 1п 8М(к—1) V 3/3 1п 8М(к—1)4 2 п в+1 ) >2\2 п в

Действительно, при 1^в^к—3 мы имеем:

(4.20)

3, 8М (к—1)

- 1п-

2 в+1

(«+1)/2

/ 8М (к—1)\ 1п

«/2

3 8М (к—1)

2 в

«/2

в+1

8М (к—1)

1п

7

31п8М (к—1) > 2 в+1 >

в

/. 8М (к—1) , в+1\ 1п--1п-

«/2

>

V

1п

8М (к—1)

/

31п8М (к—1) > 2 в+1 >

1- 1 в

«/2

V

1п

8М (к—1) к—3 )

М/2 1п(8М )>( 1-вщ^М)

«/2

2'"<8М »(2К8м))У2

-1п(8М )>

> 1-

1

- 1п 16 = 1-

, .л/61п2>( 1--|л/4> -.

81п2/ I 16/ 2

21п(16М)) V 2

Из (4.19) и (4.20) вытекает оценка (4.6) и для случая к>4 :

к— 1 3 НС* |<6к-1 k!N ■ 2

3, 8М (к—1)

- 1п —--

2 к-2

(к-2)/2

2 (к-2)/2 ^^ [5-10 1п(8М)] = k!N х

5-10 1+

1п 8

1п М

(к-2)/2

210 1п М

(к—2)/2

<к!^ 10 1п М]

. (к-2)/2

1п М

Лемма 6 доказана.

Из неравенств (4.5) и (4.6) следует, что при всех целых к>3

, 6Ак (104 1п М)(к-2)/2 Nk! * /104 А2 1п М \(к-2)/2 ,,

(N,M)1<-"-71/2- = 6А (-- ) 'к! (4.21)

N

N

5. Завершение доказательства теоремы 4

Пусть целое число N>тах(2,С2) и М = ^3/(2а-1) ]+1,

а значит, выполняется условие (2.2). Будем ради краткости вместо ^^ м(ж), ^^ м(А), 7к(N, М) и ст^ м писать, соответственно, ^^(ж), <—N(А), —к(N) и —

N'

Вследствие неравенств (2.22)—(2.27), равенств (3.4) и (3.5) и оценки (4.21) справедливы следующие соотношения:

(5.1)

2| С1 ст2 3ст2 5ст2 С2 ст ^ ^

^—ст2|<^1 , — <-2<—,1—<1+—, 6ст<^<6ст, (5.2)

N

С2 5 л 7

67, 6ст<^<6

к

к=2 к!

-

N

, 4 2 . (к—2)/2 , 4 ч (к-2)/2

„2/ 104А2 41п" „ 9/104Б 1п)7 ,, (N)|<6А ( ———---) -к! = 6А(--- ) -к!

N 2а—1

N

(5.3)

(5.4)

в

в

х

в

2

Положим еще

а

С = _

С3 п2 п2 л2 , п 2\, с4

С4 = 12-102 А2УД+С.

(5.5)

102УД(102 А2 +2а2) Лемма 7. При всех вещественных Л, удовлетворяющих условию

|Л|<С3У Ж/ 1п Ж, (5.6)

выполняется оценка

22 а Л

^м(Л)—е

22

<

С4(|А3|+Л2) _а2А

л/Ж/ 1п Ж '

Доказательство леммы. При всех вещественных Л мы имеем:

(5.7)

(Л)—е

22 а Л

""12~

<

(Л)—е

22 % Л

+

22 % Л

1

—е

2 \2 а Л

(5.8)

Далее, поскольку для любого комплексного числа г |ег — 1|<|г|е|г|, то в силу соотношений (5.1)—(5.3) будет:

(Л)—е

С:2 \2 Л

С:2 \ 2 % Л

2 (*А)*%(М) к=2

к!

С:2 \2 % Л

2 (гА)Ч (М)

е

- N => 2

Е

^=3

<е

ОО Г :\\к--

% (Ж)

к=3

к!

Е

к=3

(гА)к 7к (М)

к!

<

к!

2 |А|к |7к (М)| <е_ 3а8^. £ |Л|к |%(Ж )| -ек 3

к=3

к!

к!

1

<

(5.9)

22

е

22 а Л

=е

а2Л2 —а2)Л2

е

~Г

1

_—а2|Л2 <е 2 —--

а2|Л2 а2Л2

__С Л2 ОЛ. С Л2 3а2Л2

2 <е 2 с1Л е 8 = с1Л е 8

<е 2Ж е 2Ж е .

Если выполняются неравенство (5.6) и равенства (5.5), то

е

(5.10)

С < 1 С < а2 ^УВД <

с < О , с3 < 4 2----<

_< сгу/Ж/ 1пЖ = 1

2-10^7^' 104 А2УД' л/Ж/ 1п Ж^ 2С3 У Ж/ 1п Ж < 2С3 у Ж/ 1п Ж = 2:

а значит, в силу оценки (5.4)

2

е

2 л 2

2

2

е

и

е

X

V |Л^'!к(Ж )| <6а2 ¿МЛГ =6А2 Л2 даШ

^ к! ^\уж/ 1п жу УЖ/ 1п Ж к=0\УЖ/ 1п Ж у

к=3

<

к=0 2

л/Ж/ 1п Ж к=0 2к л/Ж/ 1п Ж л/Ж/ 1п Ж 3

2 л2 ^12-102А2УДА2а2 12а2Л2 а2Л2 = 12-10 А УДА С3<-4 .2 ^-=-— <-

104 А2 УД

10

2

8

(5.11)

Вследствие соотношений (5.5), (5.8), (5.9), (5.10) и (5.11) и при всех вещественных Л, удовлетворяющих условию (5.6), выполняется неравенство (5.7):

22 а Л

(Л)—е

<е_ ^ 12-Ю2 А2 /0|А|3 е*^ +е_ ^ с/ <

^ уж/ 1п Ж 2Ж

< _аУЛУ 12-102А2УД|Л|3+С1 Л2 <С4(|Л|3 +Л2) _

<е 4 -. -1— < 4 . е 4 .

У Ж/ 1п Ж у Ж/ 1п Ж

Лемма 7 доказана.

Из неравенства (5.7), справедливого при всех вещественных А, удовлетворяющих условию (5.6), применяя теорему Эссеена [10, с. 211, теорема 1 или 11, с. 137, теорема 2], выводим, что при Ж^те равномерно относительно ж, —те<ж<те будет:

(Гм х) = ф(ж)+0

1п Ж

а значит, выполняется сотношение

(аж) = Ф( О1 *) +<?(^

(Г

N

(5.12)

с постоянной в символе "О", зависящей от А, а и а.

Далее в силу неравенств (5.2) и Ж ^ С2 при любом вещественном ж

Ф( ^ж )—Ф(ж) Гм

<

1

У2П

аж/Г-

/ е—/2ё1

ж

<

1

У2П

а

_ж_ж

а(

N

—(1—С/(аЖ ))2ж2/2

<

:У2П

а

1

а(

N

—(1—1/6)2ж2/2<

с

2 е—ж2/3<_С2

' У2п 6Ж бУ2ПЖ

и, следовательно, из (5.12) следует, что при п^те равномерно относительно ж, <ж<

¿М (аж) = Ф^+О^у^

11

а при замене ж на ж+--или на ж--- соотношение

аЖ аЖ

ж

ж

~N

1

¿У стж±— ) = Ф( ж±—)+0

V стN

1п N

(5.13)

А поскольку при любом вещественном ж

К ж± ш) —Ф(ж)

ж±1/(стN)

/ е—^

<

^/2ПстN'

то из соотношений (5.13) следует, что при и^ж равномерно относительно

ж, — ж<ж<ж

Отсюда в силу (5.1) вытекает справедливость соотношения (1.10). Теорема 4 доказана.

1

1

6. Завершение доказательства теоремы 5

Пусть целые числа N > тах(2,С*2) и М>2 выбраны так, что выполняются условие (2.22), а значит, и соотношения (2.23)—(2.27). Положим

С4 = т1п ( 1,

а

к!ст2

1/(к-2)

А

(7,

• 1М

N,M

8Ау< N)м к^3 \|7к (^М)|

Вследствие соотношений (2.26) и (4.21)

л 5ст

Адг „*>- Ш1

6 к^3

^ /N7 1п М\ (к-2)/2]1/(к-2) 4 6АЧ 104А2 )

5ст 7N/M г ( ст2 \1/(к-2) ( ст2

--—т^г- 1п1 —^ >—----тт 1, —-тт

6 102А к^3 \8А2/ 120А V 8А2

= С

N

1п М' (6.1)

а в силу теоремы В.А. Статулявичуса о восстановлении асимптотики больших уклонений по семиинвариантам распределения [11, с. 307, § 18.4.10; 12] существует абсолютная положительная постоянная ¿0, меньшая единицы, такая, что для любого числа ¿€(0,$о) при всех ж, удовлетворяющих нера-

венствам

^м'

при N^ж

1 (ст^м ж)

1—Ф(ж)

ехр

А

N,M

А

N,M

1+0

А

N,M

К

N,M

( ст^мж)

Ф(—ж)

ехр

А

^м

А

А

N,M

1+0

А

N,M

3

ж

ж

ж

А

и

3

ж

ж

ж

где постоянные в символах "О" зависят лишь от 5, а А(т) - степенной ряд Крамера, сходящийся в области |т|<5о. Но тогда, взяв 5 = ¿о/2, мы в силу неравенств (6.1) и сходимости ряда Крамера в области |т|<5о получаем, что при всех вещественных ж, удовлетворяющих неравенствам Кж^5С4л/ N71п М, при N—ж выполняются соотношения

1 — (ст^ ж) = [1 — ф(ж)]'ехР1 0

^/N7 1п М

1+0

ж

^/N71п М

^.м (-ст«.мж) = ф(—ж>ехр{ 7-7ш)} )

с постоянными в символах "О", зависящими от А, а и ст. Поэтому найдется постоянная С5 >0, зависящая от А, а и ст, такая, что в области

Кж^С5 (N71п М )1/6

при N —>-ж> выполняются соотношения 1 — м (стN мж) = [1 — Ф(ж)]

1+0

^/N71п М

(6.2)

(6.3)

N , Mv

(—^ м ж) = ф(—ж)

1+0

^/N71п М

(6.4)

с постоянными в символах "О", зависящими от А, а и ст.

Естественно, в соотношениях (6.2)—(6.4) значения N должны быть столь большими, чтобы выполнялось неравенство С5 (N71п М)1/6>1. Мы будем считать, что выполняется более сильное неравенство

С5 (N71п М )1/6>3.

Заменяя в соотношениях (6.2)-(6.4) ж на

стж+a7N

(Т

получим, соответственно, соотношения

К стж!^ ^С5 (N71п М )1/б,

N , м

<ТД

N , м

1—^ м(ст^ м ж) = [1—ф(ж)]

1+0

^/N71п М

(6.5)

где а = ±1,

(6.6) (6.7)

^^.м( ст^мж) ф( ж)

1+0

^/N71п М

Перепишем неравенства (6.6) в равносильном виде:

(Т

N,M

(Т

(Т

— ^ С5 (N7 1п М )1/6 — ^

стN

ст

стN

(6.8)

(6.9)

3

ж

и

3

ж

и

3

ж

3

ж

и

3

ж

Будем считать еще, что Ж^ —. В силу (2.26) получаем:

а

°м,м —7+1 <2,

а аЖ 6 2

а с учетом неравенства (6.5)

а

С5 (Ж/ 1п М)1/6—-Ж> 6 С5 (Ж/ 1п М)1/6 — 2) = 6(5С5 (Ж/ 1п М)1/6—3)^

1. 1 2' 6(5с5у

1 2 2 ^-(5С5 (Ж/ 1п М)1/6—С5 (Ж/ 1п М)1/6) = - С5 (Ж/ 1п М)1/6^-3 = 2. 6 3 3

Следовательно, область

2<ж<С6 (Ж/ 1п М )1/6,

(6.10)

где С6 = 2С5/3, содержится в промежутке (6.9), а значит, соотношения (6.7) и (6.8) в области (6.10) выполняются.

с6

Положим С7 = —I--и будем считать еще, что Ж^2С7. Поскольку

7 6 5а 7

при ж>0

1—Ф(ж) =

1

У2Пж

3—ж2/2Л_ 1

(0<0<1)

[13, с. 248], мы при ж^2 получаем:

1—Ф(ж) =-е

1 ! 10ж

е—ж2/2

(6.11)

Поэтому для любого вещественного ж из области (6.10) мы с учетом оценок (2.26) и (2.27) будем иметь:

1Ф

а

ж+

а

м,м

аЖ

1—Ф(ж)

2

= 1+-

Ф(ж)—Ф( а ж+ а

а

м,м

аЖ

1—Ф(ж)

-Ф ж- ж-

=1+Чжеж2/2Кжж+5) )

= 1+^жеж2/2 ф((^+

(1+С7 /М )х

= 1+о( жех2/2 I е_42/2ёП = 1+о(жех2/2-е

^ (1_С7 /М)х '

6

6Ж 5аЖ

2/2 _(1_С7/М)2х2/2 ^

Ж

2

ж2 (1_(07М)2)ж2/2\ /г2 С„х2/М\

т. е.

1Ф

а

ж+

а

м,м

аЖ

= [1—Ф(ж)]

ж2

1П ж

2

ж

а

а

и аналогично

ф(——ж—Ч = Ф(—ж)Г1+г ж2)

V CTN,м CTN,м Ю { ^ УNJ

Но тогда из соотношений (6.7) и (6.8) будет вытекать, что для любого вещественного ж из области (6.10) при N—ж справедливы соотношения

2

1—(стж+= [1—ф(ж)] У (6.12)

и

(—стж—а)=ф(—ж)!1^ ^ (6.13)

с постоянными в символах "0", зависящими от А, а и ст.

Положим С8 = С63/4( —6—) и будем считать число N столь большим, что выполняется неравенство

C2N 1/4> 1п N. (6.14)

Пусть в>3 - произвольное целое число, удовлетворяющее неравенству

в<С8 N1/8, (6.15)

М« = [Ne;2 ]3/(2а-1), (6.16)

что не противоречит условию (2.22) с М = М«. Так как вследствие соотношений (6.14)—(6.16)

3 3 6С ^1/4

1п Мч < —(в2 + 1п N ) < —(С 2N1/4+ 1п N) < —^-,

« 2а—1 2а—1 ^ ; 2а '

а значит,

С () 1/6>С ((2а—1)N3/4\ = С6(2а—Ц1^1/8 = С „ 1/8 С^1п М3) 6С82 ) 61/6С81/3 ^ ,

то каждый из промежутков

в—1<ж<в, (3<в<С8 N1/8) (6.17)

содержится в области (6.10) с М = М« и, следовательно, в каждом из них выполняются соотношения (6.12) и (6.13) с М = М«.

Далее, для любого из промежутков (6.17) вследствие равенства (6.16) будет:

ж3 ж3 3 3(в2+ 1п N) I 3 ж3(в+\/in—)

_ _ ж3,/^^—_- <2л/__у _1 <

л/N71п V (2а—1)^ V 2а—1 ^ "

3(в2+7in—)

< I 3 ж3(в—1+^/in—) < / 3 ж3(ж+^/in—) = 0(ж3(ж+^/in—)\

< V 2а—1 < V 2а—1 = V Т! У

и с учетом неравенства (6.11)

1 1 3е_*2/2 78 3е_х2/2 7 -< —-<

<^[1—Ф(ж)] = [1—Ф(ж)]о(-).

М (2«_1)/^ Же*2—1 108 Же*2/2 10ж Отсюда и из соотношений (2.23), (6.12) и (6.13) с М = М* следует, что в каждом из промежутков (6.17), а значит и во всей области 2<ж<С8Ж1/8 выполняются соотношения (1.11) и (1.12) с постоянными в символах "О", зависящими от А, а и а. Теорема 5 доказана.

В заключение можно полушутя-полусерьезно сказать, что представленная работа, в частности, реабилитирует довольно широко распространенное до выхода в свет работы [3] мнение, что количественные результаты, полученные с привлечением аппарата теории чисел, как правило, более точны, чем аналогичные результаты, полученные без использования арифметических средств.

Литература

[1] Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории ди-офантовых приближений // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. М.: Наука, 1966. Т. 82.

[2] Усольцев Л.П. К закону повторного логарифма в задаче о распределении дробных долей показательной функции // Труды Куйбышев. авиац. ин-та. Сер.: Математика, 1975. Вып. 1. С. 24—28.

[3] Ибрагимов И.А. Центральная предельная теорема для сумм функций

к

от независимых величин и сумм вида ^ /(2 ¿) // Теория вероятн. и ее применен. 1967. Т. 12. Вып. 4. С. 655—665.

[4] Минеев М.П. Диофантово уравнение с показательной функцией и его приложение к изучению эргодической суммы // Изв. АН СССР. Сер.: Математика. 1958. Т. 26. № 5. С. 282—298.

[5] Мухутдинов Р.Х. Диофантово уравнение с матричной показательной функцией // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142. № 1. С. 36—38.

[6] Усольцев Л.П. Неулучшаемая оценка скорости сходимости к нормальному закону и асимптотика больших уклонений в одном частном случае теоремы Форте — Каца // Исследования по аддитивной теории чисел: науч. труды. Куйбышев: КГПИ, 1978. Т. 215. С. 45—76.

[7] Усольцев Л.П. Центральная предельная теорема и большие уклонения для одной суммы с показательной функцией // Марковские случайные процессы и их применение: межвуз. сб. научн. тр. Саратов: СГУ, 1980, С. 105-114.

[8] Усольцев Л.П. О больших уклонениях для классических распределений, порождаемых дробными долями показательной функции с целым основанием // Вестник Самарского техн. ун-та. Сер.: Физико-математические науки. 2004. Вып. 30. С. 99—107.

[9] Усольцев Л.П. Об асимптотике и больших уклонениях в теореме Форте — Каца // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2008. Т. 15. Вып. 1. С. 97-98.

[10] Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.; Л.: Гостехиздат, 1949.

[11] Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

[12] Statulevicius V.A. On large deviations // Zeitschrift fur Wahrsch. 1966. V. 6. № 2. S. 133—144.

[13] Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей (основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы). М.: Наука, 1973.

Поступила в редакцию 20/Ц/2009; в окончательном варианте — 14/V/2009.

ABOUT ASYMPTOTICS AND LARGE DEVIATIONS IN THE CENTRAL LIMIT THEOREM FOR SUMS £ f(qnt)

© 2009 L.P. Usoltsev2

In the paper new estimates for the remainder term and large deviations in the central limit theorem for sums f(qnt) are obtained. Technique and methods of reasoning contained not only in the classical probability theory, but also in the theory of diophantine equations with exponential function are used in the given proofs.

Key words and phrases: central limit theorem, exponential function, diophantine equation, asymptotics and large deviations.

Paper received 20/11/2009. Paper accepted 14/V/2009.

2Usoltsev Lev Pavlovich ([email protected]), Dept. of Probability Theory and Mathematical Statistics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.