О законе повторного логарифма для классических распределений, порождаемых дробными долями показательной функции с целым основанием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория вероятностей

УДК 511.2+519.2 Л.П. Усольцев

О ЗАКОНЕ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОРОЖДАЕМЫХ ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ОСНОВАНИЕМ

Устанавливаются метрические свойства типа закона повторного логарифма для распределений соответственно нормированных нарастающих сумм значений некоторых функций, задаваемых на последовательностях, порождаемых дробными долями показательной функции с фиксированным целым основанием.

Для целого д>2, натурального N и вещественных і, а, Ь (0< а< Ь< 1) будем через Qabq (і, N)

обозначать количество целых неотрицательных чисел п < N-1, для которых а < < Ь. По-

ложим

Изучением асимптотического поведения величины Я(Ї,К) при N® ¥ занимались уже с начала 20 в. Было последовательно показано, что для почти всех (по мере Лебега) вещественных чисел і справедливы оценки (см., например, [1], §8): Я(Ґ,К)=0(К) - Э.Борель, К(ґ,К)=о(И1/2+є) с

любым є>0 - Ф.Хаусдорф, Щ,К)= 0(^1 N 1п N) и Щ,К)= 0.(4ы) - Г.Харди и Дж.Литтлвуд,

Попытку снять в (1) ограничение а=0, Ь= 1/2 предприняли в 1964 г. С.Гал и Л.Гал [3], доказавшие существование такой постоянной С>0, что для почти всех вещественных чисел / выполняется равенство

В [3] была также выдвинута гипотеза (впоследствии опровергнутая в [4, 5]), что соотношение

(2) переходит в равенство при С=1.

В работе автора [4] (см. также [5]) результат, аналогичный результату А.Я. Хинчина (1), получен для случая произвольных вещественных а, Ь (0 < а < Ь < 1) и любого целого д>2. Конкретно, в [4] доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Каковы бы ни были целое число д>2 и вещественные числа а, Ь (0< а< Ь< 1), для почти всех (по мере Лебега) вещественных чисел і справедливо равенство

Я(і, N) = ^^0,1 /2,2 (і,N) - N

Щ,Щ= 0(\N 1п1п N) - А.Я.Хинчин. Наконец, в 1933 г. А.Ф.Хинчин опублико-вал [2] доказательство того, что для почти всех вещественных чисел / справедливо равенство

N®¥ 0<а<Ь<1

(2)

' 0<а<Ь<#

где оа,Ь,д - неотрицательное число, определяемое соотношением

(3)

при этом

В работе [4] подсчитано также, что

S0,1/3,2 _ 27, sup Sa,b,2 £

2 7 0£a<b£1

4

вследствие чего

V2soi/3 2 _ "^2 • ^> 1,018, sup V2sa b 2 £ V2 • tI — < 1,225.

27 '■‘г \ д

0<а<Ь<1 * ^

А это, в силу теоремы 1, означает, что для почти всех вещественных чисел / выполняются нера-

венства

|ßa b q (t,N) - (b - a)N\/ylN lnlnN < 1,225

1,018 < lim sup |^a,b,q(

N®¥ 0£a<b£1

из которых, в частности, вытекает ошибочность гипотезы С. и Л.Галов о наименьшем значении постоянной С в соотношении (2).

Ясно, что наша теорема 1 содержится как частный случай в следующем утверждении (с а=1), анонсированном в [6].

Теорема 2. Пусть q>2 - целое число, а ft) - вещественная, суммируемая с квадратом на отрезке [0,1] периодическая функция с периодом 1 и коэффициентами Фурье

1

c,„ _| f(t)e-2Mmtdt (m _ 0,±1,±2,...).

причем

\cm\ £ -

m

(m=1, 2, ...),

(4)

где А>0 и а>1/2 - некоторые постоянные. Тогда для почти всех (по мере Лебега) вещественных чисел t справедливо равенство

4N lnln N _4la,

N-1

lim X(f (qnt) - c0

Nn_0

где g - неотрицательное число, определяемое соотношением

(5)

1 ( 1 N-1 ö2

s2 _ lim I -TN X(f(qnt)- c0) dt

lim j N ^

N0 у V N n=0 ^

(известно (см., например, [7], § 15), что этот предел существует и конечен).

Доказательство этой теоремы для частного случая а=1 дано автором в работе [8]. Еще раньше В.Филиппом [9] доказано аналогичное утверждение для более простого случая, когда функция ft) кусочно-постоянна и имеет разрывы лишь в рациональных точках. В данной работе мы даем доказательство теоремы 2 в ее полном объеме. Идея доказательства состоит в том,

N-1

чтобы суммы вида X f (qnt) трактовать как суммы «слабозависимых» случайных величин в

n=0

соответствующем вероятностном пространстве и аппроксимировать их подходящими суммами независимых случайных величин (а делать это можно разными способами, удачными и не очень удачными). В результате мы получаем возможность использовать для таких сумм классический закон повторного логарифма. В нашем случае эта идея оказалась вполне реализуемой. Итак,

Доказательство теоремы 2. Если о=0, то утверждение теоремы очевидно. Пусть поэтому о^0. Будем считать, что а<1, поскольку это не умаляет общности рассуждений. Очевидно, нам достаточно показать, что для почти всех вещественных чисел t выполняется равенство

lim X(f (q t) ‘

Nn_0

4N lnln N _4ls,

(6)

поскольку тогда, по соображениям симметрии, будет следовать, что для почти всех вещественных t

lim X(f (qnt) -co

Nn=0

а равенства (6) и (7) вместе дают нужное нам равенство (5).

4N lnln N _-4ls ,

0

N-1

Далее, ясно, что при доказательстве теоремы можно ограничиться случаем

1

| / ^ )Л = 0, так как к нему сводится и случай с0^0: надо только вместо функции рас-

сматривать функцию /(і)-с0. Будем поэтому считать, что

1 ¥

| г т=0, г (і)~ х'

где штрих у знака суммы указывает на отсутствие слагаемого, отвечающего значению т=0. В этом случае

1 ( 1 N-1

2 = 1ІШ 1 -ТГ7 X Г(чп0

п=0

& ,

а соотношение (6) принимает вид

1ІШ X^(Япі) ^ 1п1пN =42а .

(8)

N ®¥ п=0

Пусть, далее, Ф(х) - нормальная функция, распределения с параметрами (0,1). Для N=3, 4, ... положим ) = V2N 1п1пN ,

N-1

^ (t) = Х 1~(^), 0< <1,

п=0

и FN(х) = те${ е [0;1): (t) < хал[и }, - ¥ < х < ¥ . Согласно [10], при N^■ да

RN — 8ир (х) Ф(х)| = 0

^1п 7 N Л N 7

V У

12 где у = 2, если а > —, и у - любое число интервала

ґ 2а -1 Л

, 2(1 - а)

(9)

12 если < а < . Из (9), в ча-

23

^1п 7 N Л N 7

V У

стности, вытекает, что при N^ да

те${ е [0;1): 5^ (t) > а* ^)} = 1 - Ф(а721п1п N) + в\

с любой постоянной а> 0. Но при х^ да

1 - Ф(х)------е -х 2/2,

хы 2р

вследствие чего при N^ да и а> 0

1 - Ф( ал! 21п1п N) =-------1 + °(1)-------------------------------------г. (10)

2а V Р 1п 1п N (1п N)а

Поэтому при всех достаточно больших N

те,у{ е [0,1): SN ^) > а* (N)} <----------------------------------------^-г (11)

(1п N)а

с любой постоянной а>0.

Пусть е>0 - произвольное фиксированное число,

т = —1, ^ = (1 + т)к (к = ^к0 +1,...),

а постоянная к0>3 выбрана так, чтобы при всех целых к>к0 было кк+1-Нк >1. Для к = к0,к0 +1,...

положим

Очевидно,

^ (і) = шах 5” (і).

mes{t е [0,1): (t) > (1 + е)•(N) б.ч.}< те.^ е [0,1): (t) > (1 + е)*(Нк) б.ч.}. (12)

В силу (11), при всех достаточно больших к

т=

2

¥<X <¥

mes{t е [0,1) : Sh (t) > (1 + £)l(hk )}< 1/ exp<j (1 + £ÿ А так как при k^ œ

l(hk) ,(hk+i)

lnlnhk !.

•(hk)

hk ln ln hk

1

hk+ilnln hk+i 1 + m

,(hk+1)

V

то при всех достаточно больших k

mes{t е [0,1): Sh (t) > (1 + £y(hk )}<

< 1/ exp-j (j + 2^ ln(k ln(1 + m)) ! = 1/ exp

1+

£ (2 + £ )

вследствие чего

(1 + £) + 1 Xmes{t е [0,1) : S*k (t) > (1 + £y(hk )}< ¥.

ln(k ln(1 + m )) !

Но тогда по лемме Бореля-Кантелли (см., например, [11], лемма 4 главы 9) справедливо равенство

mes{tе [0,1): Sh (t) > (1 + £Y(hk ) б.ч.}= 0.

Объединяя это равенство и неравенство (12), получим равенство

mes{t е [0,1) : SN (t) > (1 + £)•(N) б.ч.}= 0 .

Заменяя SN(t) на - SN(t), получим

mes{t е [0,1) : -SN (t) > (1 + £)•(N) б.ч.}= 0 .

Следовательно, при любом е>0 справедливо равенство

mes{t е [0,1) : |SN (t)| > (1 + £)• (N) б.ч.}= 0 ,

а значит, и соотношение

mes • • {t е [0,1): |Sn (t)| > (1 + £)•(N)}= 0.

K=3N=K

Но тогда, в силу аксиомы непрерывности вероятностной меры, при любом е>0 будет:

lim mes • {t е [0,1) : |Sn (t) > (1 + £)*(N) }= 0. (13)

K ®¥ n >K

Чтобы завершить доказательство нашей теоремы, покажем, что при любом е>0 справедливо равенство

mes{t е [0,1) : |Sn (t)| > (1 - £)*(N) б.ч.}= 1,

т.е. равенство

mes • • {t е [0,1): Sn (t) > (1 - £)*(N)}= 1.

K=3N=K

А для этого, в силу аксиомы непрерывности вероятностной меры, достаточно показать, что при любом e>0

lim mes • {t е [0,1) : Sn (t) > (1 - £)*(N) }= 1. (14)

K ®¥ n > K

Пусть т>0 - постоянная, величину которой мы уточним позднее,

3а ln nk

= [(1+1 )k ],

rk =

+1 (k — k 0, k 0 + 1,...),

(2а - 1)1п2

а натуральное число к0 выбрано так, чтобы при всех целых к>к0 было г*>3 и пк+1 -пк>гк+1. Положим пко-1 = 0 . Пусть, далее, при к = к0,к0 +1,...

пк -гк пк-1 ик(t) = ХЛ^О, V(t) = Х/(^), 0 < t < 1. п=пк-1 п=пк-гк +1

Очевидно, при всех целых к>к0

^) =Х (Ч ^) + V ^)), 0 < t < 1

;=к0

2

n

1 V(t) dt= J

rk - 2

v , k ^ „ v

^k 2 n = nk -

X f (^nt )

dt =

J

r -3 Ÿ j

-Г=гХ/( ^-rk +1+7 ) dt = J ~ J0

J

r-3

dt .

А так как последний интеграл при к^ да имеет свой предел о , то, взяв к0 достаточно большим, мы при всех целых к>к0 будем иметь

mes-1 е [0,1) :

XV, (t )

J =k0

> 8ЛП г < mes-j t е [0,1) : k • max V (t) > 8ЛШ Г <

I î k0 <J<k J

„ k2 rk

< —-------max

8 n, k0<J<k-

V/J- 2 ,

, 2s 2k 2rk C1k 3s2

dt <--------;------ < --------г

8 п, 8 (1 +1)

где C\>0 - постоянная, зависящая лишь от а и т.

Вследствие оценки (15), при всех достаточно больших К, будет:

• {t е [0,1): Sn (t) > (1 - £)‘(N) }> mes • {t е [0,1): S_ (t) > (1 - £)-(n, ) }>

mes

(15)

> mes • -jt е [0,1): Xuj (t) > (1 - )-- X

C1k 3s2

J=k0

> ln K ln(1+t )

S£

д/21п1п nk

(1 +1 )k

> mes • -t е [0,1): XU/ (t) > (1 - £)*(nк )ü- C2 K K

n,k > K I j=k0 2 J K

и аналогично

mes

• {t е [0,1): Sn (t) > (1 + £)‘(N) }>

(16)

> mes • Jt е [0,1): X Uj (t) > (1 + ^‘(n, )!-C2 K K , (17)

n, > K î j=k0 2 J K

где C2>0 - постоянная, зависящая лишь от а, т и е. В силу (16) для доказательства справедливости при любом е>0 соотношения (14) достаточно показать, что при любом е>0

lim mes • -t е [0,1): X^- (t) > (1 - £)-(п, ) - = 1.

K ®¥ п, > K I J =k0 I

(18)

Вследствие же (17) и справедливости при любом е>0 соотношения (13), при любом е>0 справедливо соотношение

lim mes • -t е [0,1) :

K®¥ п, >K I

X uj ( t )

J=k0

> (1 + £)‘(nk ) Г = 0.

(19)

Для k = k0, k0 +1,... положим

Gk (x) = mes-1 е [0,1) : X Uj (t) < xs^fnk-, - ¥ < x < ¥.

J=k0

В силу (15) при любом целом к>к0 и любых вещественных 5>0 и х справедливы неравенства

К(x-------------) < Gk(x) < К(x + -) +

а' 82(1 + t)k '

Полагая здесь 8 =

(1 +1У

/

получим неравенства

F„_

1

x-

< Gk (x) < F

x+

(1 +1 )

V v ' / V

А так как при k^ œ равномерно по x, -œ<x < œ

(1 +1 )

kj 3

C1 k3

(1 +1 )

kj 3 •

(20)

1

и

2

1

nk

k

1

+

Ф

х ±-

= Ф( х) + О

V 4 '7

то из (20) и (9) вытекает, что при к— да

(1 + т )к/ 3

и к—— с

Кк ° «ир |^к (х) - Ф(х)| = О

(1 + т)

к/ 3

' к3 Л

У\к

(1 + т)

(21)

(22)

где 71 =1, если а > 5 , и у! - любое число интервала 3 8

Положим для М = 1, 2, ...

2а -1

2(1 -а)

15 если < а < 28

. Л /2шт1

сте , - да << да.

Гм (t) = Х (

т=-М

Очевидно, при любом натуральном М функция /М(() является вещественнозначной, периоди-

1

ческой с периодом 1, причем | Гм ^)Л = 0 . Покажем, что при всех натуральных N и М выпол-

0

няется неравенство

/ 1 N-1

I Х(f(qnt) - Гм (qnt))

у N п=

2

л <

С3

М2

(23)

где С3 =

12 Л2

2а -1

Действительно, пусть Гм ^) = Г^) - Гм ^), - ¥ < t < ¥; тогда

Гм а)~ Хсте2рт

|т| >М

и, следовательно, по тождеству Парсеваля, при любом целом п>0 будет:

1

I ~М ^ )ГМ )dt = Х СтГСт .

Но тогда, в силу оценки (4), при каждом целом п> 0 будет:

< 2 Х Л2 < 2Л2 I Лх

па ^п/2 ^

2 Л2

М+1 т2а9“ 2п/2 М х2а (2а - 1)М2а-12п/2'

(24)

А поскольку функция Гм ^) является периодической с периодом 1 и, следовательно, при всех

целых неотрицательных п1 и п2

1 1

IГм (ЦЩОГм (^1)М = |~М ^)Гм (9|п-п21)л ,

0 0

то, учитывая оценку (24), мы и получаем неравенство (23):

1 ( 1 N-1 Л2 1 ( 1 N-1 '2

I 77^ ХГ(Чп^ - Гм (qnt)) Л =| Х Гм (чп^

4^ п=0

N-1 N-1 1

0

Л =

1 N -1 N-1 1 1 N-1 N-1

^ ХХ| л, (^)Л,(«-' л < ^ ХХ

* м —Пм —П г\ м —Пм Р

2 Л2

п =0 п2 =00

2 Л2

(2а -1)М2 Для к=к0, к0+1, к0+2, ... положим

1 + 2Х^

гх п/ 2 =1 2

N п=0п2=0(2а - 1)М2а-121 п‘-пг|/2

12 Л 2

(2а - 1)М

2а-1 ■

■ ■ пк гк

*к = к/(2а-1 ]+1, и*(0 = ХГч (qnt), 0 < t < 1,

G* (х) = те^-! t е [0,1): Х и* ^) < хс

пк >, - ¥ < х < ¥ .

I ]=к0

В силу неравенства (23) при любом целом к>к0 имеем: 66

¥<х <¥

т1 > М

0

п=п

к-1

и

v œ 1 i \Y v œ i 4-k л2

j , , / (t) - u*(t)) dt=j x/(qnt) - -4 (qnt))dt=

0 Jnk nk—i rk +1 0 Ajnk Пк—1 rk +1 n= n, „

k ~ L n=Пк

i / i \2

l ( 1 nk - nk-i- rk +1 4

j , , X/) - fSt (qnt)) dt d

г, л nk nk-1 rk + 1 n = 0

пк-1 }к 'г 1 п=0

V У

Но тогда, применяя классическое неравенство П.Л.Чебышева, при всех целых к>к0 и любом вещественном 5>0 получаем:

к к

mesitg [0,1) :

X и (' ) - XU* « )

j = k 0 j = k 0

> S^jn l d mesJ t g [0,1) : k • max U(t) - U*(t)l > S^jn ld

I î k 0dj dk 1 J

k

2

1

max (nj- nj-1 - rj + 1)f

S 4 k0dj dk 333 j

2

nj- nj-1- rj +1

(Uj (t ) - U j (t ))

dt d

max (nj - nj-1 - rj +1)— d

S2nk k0djd^ j j 1 j ' n S2(1 + t)k

(25)

В силу оценки (25) при всех достаточно больших К будет:

mes

Itg [0,1): XUj(t)>(1 -e)-(nk)->

I j=k 0 J

mes

-t g [0,1): X U * (t ) > (1 - )|-

nk >K I j=k0 J

2C3k2

> ln K ln(1+t )

se

2

л 2 ln ln nk

2

(1 +1 )k

> mes

Jtg [0,1) : X U*(t)> (1 -)ü-C4lKK

nk >K I j=k0 2 I K

(26)

и аналогично

mes • -jtg [0,1) : XU-(t)

nk >K I j=k0

> (1 + e )*n )l>

mes

-tg [0,1): Xu**(t)

I j=k0

„ 3e w I C4 ln2 K

>(1+y)-(nk Г

(27)

где C4>0 - постоянная, зависящая лишь от А, а, т и е.

Вследствие неравенства (26), для доказательства справедливости при любом е>0 соотношения (18), а значит, для завершения доказательства нашей теоремы достаточно показать, что при любом е>0 выполняется равенство

lim mes • it g [0,1) : XU* (t) > (1 - e)*(nk )ü = 1. (28)

K —I I

nk >K - j=k0 J

В силу же неравенства (27) и справедливости при любом е>0 соотношения (19), при любом е>0 справедливо равенство

> (1 + e )*n )l = 0.

(29)

lim mes • -jtg [0,1) : XU-(t)

— nk >K î j=k0 J

Вследствие неравенства (25) при всех целых k > k0 и любых вещественных 5>0 и х выполняются неравенства

2C3k2

s S 2(1 +1)

k

Полагая здесь S =-----------^, получим неравенства

(1 +1 )k

2

k

k

n > K

k

k

п , 8 * 8 2С3к

°к(х - , ЧИ3 ) < °к(.х) < °к(х + „ . _„к/3 ) + 3

(1 + Т )к (1 + Т )к С 2(1 + т)к/3'

А так как при к—да равномерно по х, -да < х < да, выполняется соотношение (21), то из соотношений (30) и (22) вытекает, что при к—да

к* ° ^р °к(х) - ф(х)=о

к3

(1 + т)

У\к

(31)

где у1>0 - постоянная, имеющая тот же смысл, что и в (22).

Каждое t е [0,1) будем представлять в д - ичной системе счисления:

,=^+...+Щ+..., д д д

где Vк(t) - целые, 0 < Vк^) < д -1 (к=1, 2, ...). Легко видеть, что функции V^), V2^), ... в

промежутке [0,1) статистически независимы.

Для всех натуральных г и t е [0,1) положим

^ V1(t) V 2^) V г (t)

(р г (t) = ^^ + ^^ +... + .

д

д

Очевидно, для всех ? е [0,1) 0 < t - рг ^) < — и, как следствие этого,

дг

\2пш - е2тупр г (О = |е2ш'т0-(г (0) - 1 < 2р |т| (t - р (t)) <

2р т

~яГ

каковы бы ни были целое т и натуральное г. Положим при к = к0, к0+1, к0+2, . ~ пк ~гк ~

Гк ^) = Гч (рк №})), - ¥ < t < ¥; и к (t) = Х Гк (qnt), 0 < t < 1,

(32)

Ок (х) = тез— е [0,1): ХС' (t) < х^л[пк >, - ¥ < х < ¥ .

I 3=К \

Так как функции V ^), V 2^),... в промежутке [0,1) статистически независимы, то в этом промежутке статистически независимы и функции ик (к = к0, к0+1, к0+2, ...).

В силу неравенств (32) и (4), при всех целых к > к0 и любом t е [0,1), будет:

г (t) - Гк (о =

зк

< У 1 с I

т

т=-Sk

е 2ттг - е 2Шт(Ргк )

к

< 2Х

ХС е 2жШ - Х 'с е 2тт<ргк ^)

тт 7=-^к т=-Эк

Л 2ят < 4^1а < 4лЛ(2п1/(2а-1) )2

3а/ (2а -1)

16лЛ

т=1 та дгк

п

а, значит,

рк($) - ик ^) =

Х Гк ^) -Х г(qnt)

^ ^г \ -Т / п*\ г / п+\\ ^ / 14 16рЛ л 16ж4

< Х 4 (Я t) - Гк(Я 0 < (пк -пк-1 - гк +г" <-------------------------------------

(33)

Но тогда при всех достаточно больших К будет:

mes

пк >К

ие [0,1): Хи*а)> (1 -е)-(пк)[>

I ^0 \

тез

-t е [0,1): Х и' ^) > (1 — )-(пк)'

п, >К I А 2 \

и аналогично

тез

-t е [0,1): Хи.*(0 > (1 + е)*(пк )[> тез • - е[0,1):

3=к0

Хи, (t)

]=к0

(34)

> (1+1т)!. (35)

¥<х<¥

п=пк-1

и

п

пк >К

пк >К

Вследствие неравенства (34) для доказательства справедливости при любом е>0 соотношения (28), а значит, для завершения доказательства нашей теоремы достаточно показать, что при любом е е (0,1) выполняется равенство

Ііт тез

К

Пк >К

ґ є [0,1): (ґ) > (1 - е)-(пк )| = 1,

I 3 =ко \

а, значит, равенство

тез

и Іґє [0,1): ХОз (О > (1 -е)•(%)1 = 1

К=к о к=К [ 3=ко \

или, что равносильно, при всех целых к>0 равенство

тезі

(36)

е [0,1): (О > (1 - е)-(нк) б.ч.[ = 1

I 1=К \

В силу же неравенства (35) и справедливости при любом е >0 соотношения (29), при любом е>0 выполняется равенство

Ііт тез

к ®

|/є [0,1): Х~(?) > (1 + е№)Г = 0, пк >К [ 3=к 0 \ а значит, при всех целых к >к0 равенство

тез|ґ є [0,1): Поэтому справедливо соотношение тезіґ є [0,1):

(')

3 =к 0

> (1 + е)*(пк ) б.ч.Г = °.

> 2*(пк) для всех к > К(ґ)Г = 1.

(37)

«)

[ ] =к0 \

Вследствие неравенства (33), при всех целых к >к0 и любом вещественном х, выполняются неравенства

О*

X--

16лАк

32

ап

< ок (х) <0

X + -

16лАк

32

ап

Из этих неравенств, соотношения (31) и того, что при к^-да равномерно по х, —да< х <да,

Ф

вытекает, что при к^-да

х ±

16лАк

„,3/2

апк

= Ф( х) + О

к

п3/2

= Ф( х) + О

к

(1 + Г)

3к/ 2

ґ _к^ (1 + Г)

У1к

(38)

где у1>0 - постоянная, имеющая тот же смысл, что и в (22). Из соотношения (38), в частности, вытекает, что при к^-да

к 1 ^ ( к3 Л

тезі ґ є [0,1): Х иі (ґ) > а'(пк) Г =1 - ф(ал121п1п пк )+ °|

3=к 0

(1 + Г)

У1к

с любой постоянной а >0. Но тогда, с учетом соотношения (10), при всех достаточно больших к будет

----1—г < тезіґє [0,1): Х и.(ґ) > а*(пк) Г < ^-

к(1+с)а2 I Д 3 к | ка

(39)

каковы бы ни были положительные постоянные а и с.

Теперь, опираясь на то, что функции ик (ґ) (к = к0, к0 +1, к0 + 2,...) в промежутке [0,1) статистически независимы, мы стандартным образом (см., например, [11], теорема 1 главы 10) выводим соотношение (36) из соотношений (39) и (37). А это нам и оставалось показать. Теорема 2 доказана.

¥< х <¥

1. Koksma J.F. The theory of asymptotic distribution modulo one// Composito math. 1963. Vol.16. № 1-2. P.1-22.

2. ChintschinA.J. Asymptotische Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung//Erg.Math.1933. Band 2. № 4. Русский перевод: Хинчин А.Я. Асимптотические законы теории вероятностей. М.-Л.: ОНТИ, 1936. 242 с.

3. Gal S., Gal L. The discrepancy of the sequence {(2nx)}// Proc. Konikl. nederl. akad. wet. 1964. Vol.26. № 2. Р.129-143.

4. Усольцев Л.П. К закону повторного логарифма в задаче о распределении дробных долей показательной функции // Труды Куйбыш. авиац. ин-та. Математика. 1975. Вып.1. С.24-28.

5. Усольцев Л.П. О гипотезе Галов в задаче о распределении дробных долей показательной функции // Проблемы аналитической теории чисел и ее применений. Тезисы докл. Всесоюзн. конф. Вильнюс: ВГУ, 1974. С.269-270.

6. Усольцев Л.П. К закону повторного логарифма для распределения, порождаемого дробны-ми долями показательной функции // Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел. Тезисы докл. Всесоюзн. шк. Минск: МГУ, 1989. С. 150.

7. Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближе-ний // Труды Матем. ин-та им.В .А.Стеклова. Т.82. М.:Наука, 1966.

8. Усольцев Л.П. Одна метрическая теорема о распределении дробных долей // Труды Куйбыш. авиац. ин-та. Математика. 1975. Вып.1. С.9-24.

9. Philipp W. Das Gesetz vom iterierten Logarithmus ftlr stark mischende stationare Prozesse // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 1967. Band 8. № 3. S.204-209.

10. Ибрагимов И.А. Центральная предельная теорема для сумм функций от независимых вели-чин и сумм вида ^f(t2k) // Теория вероят. и ее примен. 1967. Т.12. Вып.4. С.655-665.

11. ПетровВ.В. Суммы независимых случайных величин. М.:Наука, 1972. 220 с.

Поступила 24.01.2004 г.