Об аппроксимируемости конечными группами обобщенных свободных произведений групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 512.543

ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОНЕЧНЫМИ ГРУППАМИ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП

Е. А. Туманова (г. Иваново)

Аннотация

В работе получены некоторые необходимые и достаточные условия аппроксимируемости свободного произведения двух групп с нормальными объединенными подгруппами классом Тп всех конечных п-групп, где п — непустое множество простых чисел.

Пусть К — некоторый класс групп. Группа С называется аппроксимируемой классом К (К-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента х группы С существует гомоморфизм ф группы С на некоторую группу из класса К такой, что образ эле мента х относительно ф отличен от 1.

Если в качестве К взять класс Т всех конечных групп, то понятие К-аппроксимируемости совпадает с классическим понятием финитной аппроксимируемости. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается также Тр-аппроксимируемость, где р — простое чиело, Тр — класс всех конечных р-групп. Менее исследовано свойство Тп-аппроксимируемости, где п — непустое множество простых чисел, Тп — класс всех коне чных п-групп.

Напомним некоторые известные результаты об Тп-аппроксимируемости свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами.

Г. Баумслаг [1] доказал, что свободное произведение двух конечных групп с объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой. Этот результат не может быть распространен с финитной аппроксимируемости на Тр-аппроксимпруемость, то есть свободное произведение двух конечных р-групп с объединенной подгруппой не обязано быть Тр-аппроксимируемой группой. Критерий Тр-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух групп был получен Хигменом [2].

Пусть G = (A * B; H = К,ф) — свободное произведение групп A и B с подгруппами H и К, объединенными относительно изоморфизма ф (введенные обозначения будем считать фиксированными до конца изложения). При дополнительном предположении о нормальности объединяемых подгрупп ограничение HG морфизмом группы H. Множество AutG(H) всех таких автоморфизмов группы H является подгруппой группы Aut H всех автоморфизмов группы H. При этом предположении следствием теоремы Хигмена является следующий критерий.

Предложение 1. Свободное произведение G конечных р-групп A и B с объединенными нормальными подгруппам,и H и К является Fp-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда, AutG(H) — конечная, р-группа.

Нами показано, что аналогичное утверждение справедливо в более общей ситуации.

Теорема 1. Пусть A и B — конечные п-группы,, H и К — нормальные подгруппы групп A и B соответственно, ф — изоморфизм подгруппы H на, подгруппу К. Группа G является, -аппроксимируемой тогда и только тогда, когда, AutG(H) — конечн ая, п-группа.

С помощью этой теоремы получены как необходимые, так и достаточные

п

го произведения с объединенными (нормальными) подгруппами, аналогичные условиям Г. Баумслага финитной аппроксимируемости обобщенного свободного произведения. Эти условия позволили доказать следующие теоремы.

Теорема 2. Если A и B -аппроксимируемые группы,, H и К — конечные нормальные подгруппы групп A и B соответственно, ф : H ^ К — некоторый изоморфизм,, то группа G ТП-аппроксимируема тогда и только тогда, когда, AutG(H) — конечн ая, п-группа.

Теорема 3. Пусть A — F^-аппроксимируемая группа, B ТП-аппрок-

H

нормальная подгруппа группы, A, К — собственная, центральная подгруппа группы, B, ф : H ^ К ^ некоторый изоморфизм. Группа G -аппроксимируема тогда и только тогда, когда, подгруппа H -отделима в группе A, под-

группа К ТП- отделим,а, в гр уппе B.

Теорема 4. Пусть A — F^-аппроксимируемая группа, B ТП-аппрок-

H

нормальная циклическая подгруппа группы, A, К — собственная, нормальная, циклическая подгруппа группы, B, ф : H ^ К — некоторый изом,орфизм,. Группа G -аппроксимируема тогда и только тогда, когда, подгруппа H ТП-отделима в группе A, подгруппа К -отделима в гр уппе B.

152

E. A. ТУМАНОВА

Напомним, что подмножество М группы X называется ^--отделимым в группе X, если для любого элемента х группы X, не принадлежащего подмножеству M, существует гомоморфизм ф группы X на конечную п-группу такой, что хф / Мф.

Частным случаем теоремы 2 для одноэлементного множества п является теорема 1 из [3]. Теорема 3 обобщает еще одно утверждение из той же работы, в котором установлен критерий ^-аппроксимируемости свободного произведения конечно порожденных нильпотентных групп с собственными центральными объединенными подгруппами.

Из теоремы 2 вытекает также следующее утверждение.

Следствие 1. Если А и В — Fж-аппроксимируемые группы,, H и K — конечные циклические нормальные подгруппы групп А и В соответственно, ф : H ^ K — некоторый изоморфизм, то группа G F^-аппроксимируема.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106. P. 193-209.

[2] Higman G. Amalgams of p-groups // J. Algebra. 1963. Vol. 1. P.301-305.

[3] Соколов E. В. Об аппроксимируемости конечными р-группами некоторых свободных произведений с объединенной подгруппой // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, вып. 1. С. 97-102.

Ивановский государственный университет. Получено 14.05.2012