CC BY
60
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 3 (2013)
УДК 512.543
НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ КЛАССАМИ ГРУПП ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ С НОРМАЛЬНОЙ ОБЪЕДИНЕННОЙ ПОДГРУППОЙ
Е. А. Туманова (г. Иваново)
Аннотация
Получено достаточное условие аппроксимируемости произвольным корневым классом групп K обобщенного свободного произведения двух K-групп с нормальными объединенными подгруппами.
Ключевые слова: корневые классы групп, аппроксимационные свойства, обобщенные свободные произведения.
CERTAIN CONDITIONS OF THE ROOT-CLASS
RESIDUALITY OF GENERALIZED FREE
PRODUCTS WITH A NORMAL AMALGAMATED SUBGROUP
E. A. Tumanova (Ivanovo)
Abstract
Let K be an arbitrary root class of groups. We prove a sufficient condition of the K-residuality of the generalized free product of two K-groups with a normal amalgamated subgroup.
Keywords: root classes of groups, residual properties, generalized free products.
Пусть К — некоторый класс групп. Группа О называется аппроксимируемой классом К (К-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента х группы О существует гомоморфизм ф группы О на некоторую группу из класса К такой, что образ элемента х относительно ф отличен от единицы.
Если в качестве К взять класс всех конечных групп, то понятие К-аппрок-симируемости совпадает с классическим понятием финитной аппроксимируемости. Наряду с аппроксимируемостью всеми конечными группами изучаются также свойства аппроксимируемости конечными р-группами, где р — простое число, конечными п-группами, где п — непустое множество простых чисел, разрешимыми группами, нильпотентными группами.
Напомним далее, что содержащий хотя бы одну неединичную группу класс групп К называется корневым [1], если выполняются следующие три условия.
1. Если группа X принадлежит классу К и У — подгруппа группы X, то группа У также принадлежит классу К.
2. Прямое произведение любых двух групп из класса К принадлежит классу К.
3. Если 1 ^ X ^ У ^ X — субнормальный ряд группы X такой, что фактор-группы Х/У и У/X принадлежат классу К, то в группе X существует нормальная подгруппа Т такая, что Т С X и фактор-группа X/T принадлежит классу К.
Примерами корневых классов могут служить упоминавшиеся выше классы всех конечных п-групп и всех разрешимых групп, а также класс разрешимых групп без кручения. Известно и много других корневых классов групп. Вместе с тем, класс нильпотентных групп не является корневым, так как он не замкнут относительно взятия расширений и, следовательно, не удовлетворяет условию 3 из определения корневого класса.
В данной статье рассматриваются условия аппроксимируемости произвольным корневым классом групп обобщенного свободного произведения
О = (А * В; Н = К, ф)
двух групп А и В с нормальными подгруппами Н ^ А и К ^ В, объединенными в соответствии с изоморфизмом ф: Н ^ К (введенные обозначения предполагаются фиксированными до конца статьи, в формулировках выделенных утверждений подразумеваются выполненными также предположения о нормальности объединяемых подгрупп).
Г. Баумслаг [2] доказал, что свободное произведение двух конечных групп с произвольными (необязательно нормальными) объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой. Этот результат не может быть распространен с финитной аппроксимируемости на аппроксимируемость конечными р-группами. Критерий аппроксимируемости данным классом обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп был получен Хигманом [3].
При дополнительном предположении о нормальности объединенных подгрупп Н и К в соответствующих свободных множителях подгруппа Н являет-
ся нормальной в обобщенном свободном произведении О, и потому ограничение на подгруппу Н любого внутреннего автоморфизма группы О оказывается автоморфизмом группы Н. Множество АиЬс(Н) всех таких автоморфизмов является подгруппой группы АШ Н всех автоморфизмов группы Н. В этом случае следствием критерия Хигмана служит
Предложение 1. Если А и В являются конечными р-группами, то обобщенное свободное произведение О аппроксимируется конечными р-группами тогда и только тогда, когда АЫ,с(Н) — конечная р-группа [3].
Ранее автором было показано, что аналогичное утверждение справедливо в более общей ситуации. А именно, имеет место
Предложение 2. Пусть п — некоторое множество простых чисел. Если А и В являются конечными п-группами, то обобщенное свободное произведение О аппроксимируется конечными п-группами тогда и только тогда, когда АЫ,с(Н) — конечная п-группа [4, теорема 1].
Сформулируем основные результаты данной работы.
Теорема 1. Пусть К — корневой класс групп, А и В — некоторые группы из класса К. Если фактор-группы А/Н, В/К и группа Аи.Ьс(Н) принадлежат, классу К, то обобщенное свободное произведение О является К-аппроксими-руемой группой.
Следствие 1. Пусть К — замкнутый относительно факторизации корневой класс групп, А и В — некоторые группы из класса К, подгруппы Н и К конечны. Обобщенное свободное произведение О является К-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда группа Аи.Ьс(Н) принадлежит классу К.
Следствие 2. Пусть К — замкнутый относительно факторизации, корневой класс групп, А и В — некоторые группы из класса К, подгруппы Н и К являются циклическими. Тогда группа О К-аппроксимируема.
Следствие 3. Пусть К — замкнутый относительно факторизации корневой класс групп, А и В — некоторые группы из класса К и хотя бы одна из подгрупп Н и К лежит в центре соответствующего свободного множителя. Тогда группа О К-аппроксимируема.
Из полученных в данной статье результатов следует, что утверждение предложения 2 можно распространить на свойство аппроксимируемости замкнутым относительно факторизации корневым классом конечных групп. Далее приведем примеры, показывающие, что в случае произвольного корневого класса К ни одно из условий А/Н £ К, В/К £ К, АШ,с(Н) £ К не является необходимым для К-аппроксимируемости группы О.
Пример 1. Пусть К — класс всех разрешимых групп без кручения, А — свободная абелева группа ранга 2 с базисом [а; Ь], В, Н, К — бесконечные циклические группы, порожденные элементами с, Ь, с3 соответственно, ф: Н ^ К — изоморфизм, переводящий Ь в с3.
Тогда группы А, В принадлежат классу К. Подгруппы Н и К центральны в группах А и В соответственно, откуда следует, что группа Аи.Ьс(Н) тривиальна и потому также принадлежит классу К.
Фактор-группа А/Н изоморфна Z, значит, является К-группой, в то время как фактор-группа В/К изоморфна Z3 и, следовательно, не содержится в классе К.
Покажем, что при этом обобщенное свободное произведение О является К-аппроксимируемой группой.
В сам.ом деле, поскольку задание группы О порождающими символами и определяющими соотношениями имеет вид
О = (а,Ь,с; аЬ = Ьа,Ь = с3) = {а, с; ас3 = с3а),
легко видеть, что эта группа является расщепляемым расширением свободной группы ранга 3 при помощи бесконечной циклической группы. Известно [5, теорема 1], что любая свободная группа аппроксимируема произвольным корневым классом групп. Значит, О является расширением К-аппрокси-мируемой группы при помощи К-группы и, следовательно, К-аппроксимируема (см. предложение 3 ниже).
Пример 2. Пусть снова К — класс всех разрешимых групп без кручения, А — свободная абелева группа ранга 2 с базисом [а; Ь]. Пусть также В — неабелево расщепляемое расширение бесконечной циклической группы с порождающим с при помощи бесконечной циклической группы с порождающим d, т. е.
В = (с,d; d-1 cd = с-1);
Н, К — бесконечные циклические группы, порожденные элементами Ь и сп, п ^ 1, соответственно; ф: Н ^ К — изоморфизм подгрупп, отождествляющий эле.мент,ы Ь и сп.
Тогда А и В являются К-группами, но группа Аи.Ьс(Н) не принадлежит, классу К, так как содержит элемент порядка 2 — автоморфизм группы Н, совпадающий с ограничением на эту группу внутреннего автоморфизма группы О, производимого элементом d.
Фактор-группа А/Н содержится в К, так как она изоморфна Z. Если п =1, то фактор-группа В/К также изоморфна Z и, следовательно, является К-группой. Если же п > 1, то сК — отличный от 1 элемент конечного порядка фактор-группы В/К. Значит, В/К не является группой без кручения, а потому не содержится в классе К.
Докажем К-аппроксимируемость обобщенного свободного произведения О.
Обозначим через N нормальное замыкание элемента а в группе О. Так как подгруппа N нормальна в группе О и NП Н = 1, то в силу теоремы о строении подгрупп обобщенного свободного произведения [6] группа N представима в виде свободного произведения некоторой свободной группы и семейства подгрупп, изоморфных N П А или N П В.
Как уже было сказано выше, любая свободная группа аппроксимируема произвольным корневым классом групп. Отсюда и из того, что группы А и В принадлежат классу К, следует, что N К-аппроксимируема как свободное произведение К-аппроксимируемых групп [1, теорема 4.1], [5, теорема 2]. Факторгруппа О/N изоморфна группе В и потому принадлежит классу К. Значит, О является расширением К-аппроксимируемой группы N при помощи К-груп-пы О/N и, следовательно, К-аппроксимируема в силу уже упоминавшегося предложения 3.
Пример 3. Вначале проведем несложное общее построение.
Пусть А, В, С — некоторые изоморфные группы, £: А ^ С и 5: В ^ С — изоморфизмы, Ь ^ С, Н = Ь£-1, К = Ь5-1 и ф = (£ о 5-1)|я — изоморфизм подгрупп Н и К.
Отображения £ и 5, очевидно, согласованы с изоморфизмом ф, и поэтому их можно продолжить до гомоморфизма ф группы О на группу С. Положим N = кег ф. Так как £ и 5 инъективны, то N П А = N П В = 1. Отсюда в силу теоремы Х. Нейман следует, что N — свободная группа.
Если, кроме того, К — некоторый корневой класс групп и С £ К, то группа О оказывается расширением К-аппроксимируемой группы N при помощи К-группы С и, следовательно, К-аппроксимируема.
Пусть теперь К — класс всех разрешимых групп без кручения, С — некоторое расщепляемое расширение бесконечной циклической группы с порождающим с при помощи бесконечной циклической группы с порождающим d (т. е. либо свободная абелева группа ранга 2, либо метабелева группа из примера 2), Ь — подгруппа группы С, порожденная элементом с3.
Тогда группы А и В принадлежат классу К. При этом с£-1Н и с5-1К — отличные от 1 элементы конечного порядка фактор-групп А/Н и В/К соответственно. Значит, А/Н и В/К не содержатся в классе К.
Если группа С абелева, то Аи.Ьс(Н) = 1 и, следовательно, Аи.Ьс(Н) £ К. Если же группа С не является абелевой, то, как и в примере 2, Аи.Ьс(Н) £ К.
Прежде, чем доказать сформулированные теорему и следствия, приведем необходимые нам вспомогательные утверждения.
Предложение 3. Пусть К — корневой класс групп. Тогда произвольное расширение К-аппроксимируемой группы при помощи К-группы является К-ап-проксимируемой группой [1, лемма 1.5].
Предложение 4. Пусть класс групп К замкнут относительно факторизации, X — произвольная группа, У — нормальная подгруппа группы X. Если существует сюръективный гомоморфизм 7 группы X в некоторую группу из класса К, инъективный на У, то группа АШ;х(У) принадлежит классу К. В частности, если класс К замкнут относительно взятия подгрупп, факторгрупп и прямых произведений, группа X К-аппроксимируема и ее подгруппа У конечна, то группа АШ;х(У) принадлежит классу К.
Доказательство. Обозначим через К*(X) множество всех нормальных подгрупп группы X, фактор-группы по которым принадлежат классу К. Пусть гомоморфизм с требуемыми свойствами существует и N — ядро этого гомоморфизма. Тогда N £ K*(X) и У П N = 1. Значит, подгруппы У и N поэлементно перестановочны. Следовательно, N содержится в централизаторе Сх (У) подгруппы У группы X. Отсюда и из того, что группа АШх(У), как легко видеть, изоморфна фактор-группе X/Cх(У), получаем, что
Аи;х(У) = X/Cх(У) = (X/N)/(Сх(У)/N) £ К,
так как класс К замкнут относительно факторизации.
Если класс К замкнут относительно взятия подгрупп и прямых произведений, то в силу теоремы Ремака пересечение конечного числа подгрупп семейства K*(X) снова является подгруппой данного семейства. Поэтому, пользуясь К-аппроксимируемостью группы X и конечностью подгруппы У, можем найти подгруппу N £ K*(X) такую, что У П N = 1. Предложение доказано.
Предложение 5. Пусть К — корневой класс групп, X — расщепляемое расширение группы X при помощи группы У, р: У ^ АШ X — сопровождающий гомоморфизм. Если группы X и У К-аппрокси.мируе.мы, а группа Ур принадлежит классу К, то расщепляемое расширение X является К-аппрок-симируемой группой.
Доказательство. Предположение о том, что группа X представляет собой расщепляемое расширение группы X при помощи группы У, означает, напомним, что У — подгруппа группы X, X — нормальная подгруппа группы X, X = У X и У П X =1. Отображение р группы У в группу автоморфизмов группы X, сопоставляющее элементу у £ У ограничение на подгруппу X внутреннего автомофизма группы X, производимого элементом у, является гомоморфным и называется сопровождающим гомоморфизмом этого расщепляемого расширения.
Обозначим через С ядро гомоморфизма р. Так как подгруппа С нормальна в группе У и подгруппа X нормальна в группе X, то подгруппа СX нормальна в X и
X/CZ = УZ/CZ = УCZ/CZ = У/(У П CZ) = У/С ^ У р.
Отсюда и из того, что группа Ур принадлежит классу К, получаем, что X/CZ £ К.
Очевидно, что подгруппа С поэлементно перестановочна с X. Поэтому подгруппа CZ является прямым произведением К-аппроксимируемых групп С, X
и, следовательно, К-аппроксимируема. Значит, согласно предложению 3 группа X К-аппроксимируема как расширение К-аппроксимируемой группы при помощи К-группы. Предложение доказано.
Теперь покажем справедливость утверждения теоремы.
Очевидно, что фактор-группа О/Н изоморфна свободному произведению фактор-групп А/Н и В/К. Рассмотрим гомоморфизм группы О/Н на прямое произведение этих групп, действующий тождественно на подгруппах А/Н и В/К. Хорошо известно, что ядро О данного гомоморфизма, называемое декартовой подгруппой группы О/Н, является свободной группой.
Пусть N — нормальная подгруппа группы О такая, что О = N/H. Тогда О/N = А/Н хВ/К. Отсюда, из условий А/Н, В/К £ К и замкнутости класса К относительно прямых произведений, следует, что фактор-группа О/N принадлежит классу К.
Подгруппа N представляет собой расширение группы Н с помощью свободной группы N/H. Как известно, такое расширение расщепляемо, то есть в N существует свободная подгруппа Г, изоморфная N/H, такая, что N является расщепляемым расширением Н при помощи Г. Очевидно, что если р — сопровождающий гомоморфизм этого расширения, то Гр оказывается подгруппой группы АиЬс(Н).
Как уже отмечалось выше, каждая свободная группа К-аппроксимируема для любого корневого класса групп К. Значит, группа Г К-аппроксимируема. В силу замкнутости класса К относительно взятия подгрупп группа Н принадлежит классу К. Следовательно, она также К-аппроксимируема. Наконец, Гр содержится в классе К как подгруппа К-группы АиЬс(Н).
Следовательно, в силу предложения 5 расщепляемое расширение N является К-аппроксимируемой группой.
Таким образом, О — расширение К-аппроксимируемой группы N при помощи К-группы О/N. Следовательно, группа О К-аппроксимируема в силу предложения 3. Теорема доказана.
Переходя к доказательству следствий, видим, что необходимость условия следствия 1 имеет место в силу предложения 4, а достаточность — в силу теоремы.
Докажем следствия 2 и 3. Для этого достаточно показать, что группа АиЬс(Н) принадлежит классу К. Тогда в силу теоремы группа О будет К-ап-проксимируемой.
Очевидно, что группа АШ^Н) порождается подгруппами и = Аи^(Н) и V = ф Аи^(К)ф-1. Так как А и В — К-группы, то согласно предложению 4 группы Аи^(Н) и Аи^(К) также принадлежат классу К.
Если Н — циклическая группа, то Аи; Н — абелева группа. Известно, что подгруппа, порожденная двумя подгруппами в абелевой группе, является их
произведением. Поэтому AutG(H) = UV и AutG(H)/V = U/U П V. Отсюда и из замкнутости класса K относительно факторизации получаем, что Autc(H) — расширение K-группы при помощи K-группы. Так как класс K корневой, то такое расширение является K-группой. Значит, группа Autc(H) принадлежит классу K.
Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одна из подгрупп H и K лежит в центре соответствующего свободного множителя. Пусть для определенности подгруппа H центральна в группе A. Тогда группа Aut^(H) состоит только из тождественного отображения группы H, а потому является единичной. Следовательно, группа AutG(H) совпадает со своей подгруппой ф Aut#(K)ф-1. Последняя принадлежит классу K ввиду изоморфности группе Aut^ (K). Следствия доказаны.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. Lond. Math. Soc. 1957. Vol. 7. P. 29 —62.
2. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106. P. 193 —209.
3. Higman G. Amalgams of p-groups // J. Algebra. 1963. Vol. 1. P. 301 —305.
4. Туманова Е. А. Об аппроксимируемости конечными группами обобщенных свободных произведений групп // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 1. C. 150 —152.
5. Азаров Д. Н., ТьеджоД. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2002. Вып. 5. С. 6 —10.
6. Karrass A., Solitar D. The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. Vol. 150. P. 227—255.
Ивановский государственный университет Поступило 13.09.2013
