CC BY
43
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 3 (2013)
УДК 512.543
О ФИНИТНОЙ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП С ЦИКЛИЧЕСКИМ
ОБЪЕДИНЕНИЕМ
Д. Н. Азаров (г. Иваново)
Аннотация
Пусть G — свободное произведение финитно аппроксимируемых групп A и B с циклическими объединенными подгруппами H и K. Доказано, что если существуют гомоморфизмы групп A и B на почти полицикличе-ские группы, инъективные на подгруппах H и K, то группа G финитно аппроксимируема.
Ключевые слова: обобщенное свободное произведение групп, финитно аппроксимируемая группа.
ON THE RESIDUAL FINITENESS
OF GENERALIZED FREE PRODUCTS WITH CYCLIC AMALGAMATION
D.N. Azarov (Ivanovo)
Abstract
Let G be the free product of residually finite groups A and B with amalgamated cyclic subgroups H and K. It is proved that if there exist homomor-phisms of the groups A and B onto virtually polycyclic groups which are injective on the subgroups H and K then G is a residually finite group.
Keywords: generalized free product of groups, residually finite group.
1. Введение
Напомним, что группа О называется финитно аппроксимируемой, если для каждого неединичного элемента а группы О существует гомоморфизм группы О на некоторую конечную группу, при котором образ элемента а отличен от 1. Наряду с понятием финитной аппроксимируемости изучается также аппроксимируемость группы О группами из какого-либо фиксированного класса, например, конечными р-группами, нильпотентными группами, разрешимыми группами и т.д.
Примерами финитно аппроксимируемых групп могут служить свободные группы, полициклические группы, и в частности, конечно порожденные ниль-потентные группы (см., напр., [1, 2]). Свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп само является финитно аппроксимируемой группой [1].
Перейдем теперь к обобщенным свободным произведениям, т. е. к свободным произведениям групп с объединенными подгруппами. Пусть А и В — произвольные группы, Н и К — подгруппы групп А и В соответственно, ф — изоморфизм подгруппы Н на подгруппу К. И пусть
Р = (А * В; Н = К, ф)
— свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма ф. Напомним, что группа Р порождается всеми порождающими групп А и В и определяется всеми определяющими соотношениями этих групп, а также всевозможными соотношениями вида кф = к, где к Е Н.
Очевидным необходимым условием финитной аппроксимируемости группы Р является финитная аппроксимируемость групп А и В. Несложные примеры показывают, что это условие не является достаточным.
Наиболее распространенный подход к изучению финитной аппроксимируемости группы Р состоит в том, что на свободные множители А и В, помимо условия финитной аппроксимируемости, накладываются еще некоторые дополнительные условия. Дополнительные ограничения как правило накладываются и на объединяемые подгруппы Н и К. Так Г. Баумслаг [3] доказал, что если группы А и В финитно аппроксимируемы, а объединенные подгруппы Н и К конечны, то группа Р финитно аппроксимируема.
Другим естественным ограничением на объединенные подгруппы Н и К является их цикличность. Заметим, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп с циклическими объединенными подгруппами уже не обязано быть финитно аппроксимируемой группой. Соответствующие примеры доставляет следующий результат автора [4].
Свободное произведение Р финитно аппроксимируемых разрешимых минимаксных групп А и В с собственными циклическими объединенными подгруппами Н и К является финитно аппроксимируемой группой тогда и только то-
гда, когда подгруппы Н и К финитно отделимы в группах А и В соответственно.
Напомним, что подгруппа Н группы А называется финитно отделимой, если для каждого элемента а группы А, не принадлежащего Н, существует гомоморфизм группы А на конечную группу, при котором образ элемента а не принадлежит образу подгруппы Н. Так как полициклические группы являются разрешимыми минимаксными группами и в них все подгруппы финитно отделимы (см., напр., [5, п. 1.3.10]), то частным случаем приведенного выше результата является теорема Д. Дайер [6] о финитной аппроксимируемости произвольного свободного произведения двух полициклических групп с циклическими объединенными подгруппами.
Изучение финитной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений было начато еще Г. Баумслагом в его фундаментальной работе [3]. В этой работе доказано, что свободное произведение двух свободных групп с циклическими объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой. Более того, свободное произведение двух свободных групп с циклическим объединением аппроксимируемо конечными разрешимыми группами [7]. В [7] (и независимо в [8]) получен критерий аппроксимируемости конечными р-группами для такого свободного произведения.
В работе Баумслага [3] доказано также, что свободное произведение двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклическими объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой.
Обобщая этот результат, Д. Дайр [6] доказала, что свободное произведение двух полициклических групп с циклическими объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой. В действительности она доказала даже более общий результат: свободное произведение двух почти полицикли-ческих групп с циклическими объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой. Напомним, что группа обладает каким-либо свойством почти, если она содержит подгруппу конечного индекса с этим свойством.
Мы здесь докажем следующую теорему, которая обобщает упомянутые выше результаты Д. Дайер и Г. Баумслага.
Теорема 1. Пусть Р — свободное произведение финитно аппроксимируемых групп А и В с циклическими объединенными подгруппами Н и К. Если существуют гомоморфизмы групп А и В на почти полициклические группы, инъективные на подгруппах Н и К соответственно, то группа Р сфинитно аппроксимируема.
Если группы А и В являются почти полициклическими, то они финитно аппроксимируемы [2], и тождественные отображения А ^ А и В ^ В инъ-ективны на Н и К. Поэтому упомянутый выше результат Д. Дайер является непосредственным следствием теоремы 1. Ниже будут приведены другие следствия этой теоремы, частным случаем одного из которых является упомянутый
выше результат Г. Баумслага о финитной аппроксимируемости свободного произведения свободных групп с циклическим объединением.
Предположим, что группы А и В аппроксимируемы полициклическими группами без кручения. Тогда они финитно аппроксимируемы и существуют гомоморфизмы групп А и В на полициклические группы без кручения, инъективные на подгруппах Н и К соответственно. Действительно, если Н = 1 и К = 1, то в качестве таких гомоморфизмов можно взять любые гомоморфизмы групп А и В на полициклические группы без кручения, отображающие порождающие элементы подгрупп Н и К в неединичные элементы. Если же Н = 1 = К, то существование таких гомоморфизмов очевидно. Поэтому непосредственным следствием теоремы 1 является следующий результат.
Следствие 1. Пусть Р — свободное произведение групп А и В с циклическими объединенными подгруппами Н и К. Если группы А и В аппроксимируемы полициклическими группами без кручения, то группа Р финитно аппроксимируема.
Так как конечно порожденные нильпотентные группы являются полицик-лическими (см., напр., [9, с. 150]), то частным случаем следствия 1 является следующий результат.
Следствие 2. Пусть Р — свободное произведение групп А и В с циклическими объединенными подгруппами Н и К. Если группы А и В аппроксимируемы конечно порожденными нильпотентными группами без кручения, то группа Р финитно аппроксимируема.
Следуя А. Л. Шмелькину [10], будем называть группу О группой Магнуса, если пересечение всех членов нижнего центрального ряда группы О совпадает с единичной подгруппой, и все факторы этого ряда не имеют кручения. Знаменитая теорема Магнуса — Витта (см., напр., [9, с. 127-128]), доказанная в 30-е годы прошлого века, утверждает, что свободные группы являются группами Магнуса. Другие примеры групп Магнуса можно найти в работе [10]. Так как любая конечно порожденная группа Магнуса, очевидно, аппроксимируема конечно порожденными нильпотентными группами без кручения, то частным случаем следствия 2 является следующий результат.
Следствие 3. Пусть Р — свободное произведение групп А и В с циклическими объединенными подгруппами Н и К. Если группы А и В являются конечно порожденными группами Магнуса, то группа Р финитно аппроксимируема.
Как и любые группы Магнуса свободные группы аппроксимируемы ниль-потентными группами без кручения. Кроме того, свободные группы аппроксимируемы конечно порожденными свободными группами. Из последних двух обстоятельств следует, что любая свободная группа аппроксимируема конечно
порожденными нильпотентными группами без кручения. Поэтому из следствия 2 вытекает упомянутый выше результат Г. Баумслага о финитной аппроксимируемости свободного произведения двух свободных групп с циклическим объединением. В действительности, имеет место следующее обобщение этого результата Г. Баумслага, которое будет доказано с помощью теоремы 1.
Теорема 2. Свободное произведение двух почти свободных групп с циклическими объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой группой.
Приступим теперь к доказательствам теорем 1 и 2.
2. Вспомогательные утверждения
Лемма 1. Пусть Р — свободное произведение групп Л и Б с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма ф. И пусть (Лг)г&1 и (Б^)jеJ — семейства всех нормальных подгрупп конечного индекса в группах Л и Б соответственно. И пусть еще
Л = {(г,]) € I х 7 -Л П Н)ф = Б3 П К}.
Для каждого X = (г,]) из Л введем следующие обозначения: Лх = ЛБх = Бj. Если
Р\ЛХ = 1, р| ЛХН = Н,р\Бх = 1, р| БХК = К, (1)
хел хел хел хел
то группа Р финитно аппроксимируема.
Это утверждение хорошо известно как фильтрационная теорема Г. Баумслага и оно доказано в фундаментальной работе [3].
Лемма 2. Пусть Л и Б — финитно аппроксимируемые группы, Н и К — бесконечные циклические финитно отделимые подгруппы групп Л и Б соответственно. Пусть, как и выше, Р — свободное произведение групп Л и Б с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма ф. И пусть существуют целые положительные числа т и п такие, что для любого целого положительного числа I в группах Л и Б существуют нормальные подгруппы М и N конечных индексов такие, что Н П М = Нт1 и К П N = Кп1. Тогда группа Р финитно аппроксимируема.
Доказательство. По условию в группе Л существует нормальная подгруппа и конечного индекса такая, что Н П и = Нтп. Пусть, как и в формулировке леммы 1, (Лг)ге2 — семейство всех нормальных подгрупп конечного индекса группы Л. Так как группа Л финитно аппроксимируема и ее подгруппа Н финитно отделима, то
ГЛ = 1, р|ЛН = Н. (2)
1е1 ге1
Пусть иг = Лг П и для каждого г £ I. Тогда иг — нормальная подгруппа конечного индекса группы Л, и в силу (2)
Пи = 1, Пин = н- (з)
ш ш
Так как Н П и = Нтп, то Н П иг = Нтп П Лг = Нтп1 для подходящего целого положительного числа 1г. Так как число тп1г делится на п, то по условию в группе В существует нормальная подгруппа V конечного индекса такая, что К П V = Ктпк. Тогда
(Н П иг)ф = Нтпкф = Ктпк = К П Ц.
Таким образом, для каждого г £ I подгруппа иг принадлежит семейству (Лл) лшл, введенному в формулировке леммы 1. Отсюда и из (3) следует, что
П Лл = 1, р|ЛлН = Н.
лшл лшл
Аналогично проверяется, что
р|Вл = 1^ВлК = К.
лшл лшл
Таким образом, выполняются условия (1) и поэтому в силу леммы 1 группа Р финитно аппроксимируема.
Лемма 3. Пусть Л — конечно порожденная абелева группа без кручения, Н — неединичная циклическая подгруппа группы Л. Тогда для любого целого положительного числа I в группе Л существует степенная подгруппа Ь такая, что Н П Ь = Н1.
Доказательство. Пусть В — максимальная циклическая подгруппа группы Л, содержащая Н. Тогда Н = Вк для подходящего к > 0, и существует подгруппа С группы Л такая, что Л = В х С. Рассмотрим степенную подгруппу Ь = Лк1. Очевидно, что Ь = Вк1 х Ск1 и поэтому Ь П В = Вк1. Таким образом, Ь П Н = Ь П В П Н = Вк1 П Н = Вк1 П Вк = Вк1 = Н1. Лемма доказана.
Далее под нормальным рядом группы О понимается конечный ряд О = О0 > О1 > О2 '>•••> Ог = 1, все члены которого являются нормальными подгруппами группы О.
Лемма 4. В произвольной почти полициклической группе существует, нормальный ряд, каждый фактор которого является либо конечной группой, либо конечно порожденной абелевой группой без кручения.
Доказательство. Пусть G — почти полициклическая группа, и пусть S полициклическая подгруппа конечного индекса группы G. Без потери общности можно считать, что S нормальна в G. Обозначим через Sn n-й коммутант группы S. Тогда мы получаем нормальный ряд группы G
G > S = So > Si > S2 > • • • > 1.
Рассмотрим уплотнение этого ряда
G > S = So > To > Si > Ti > S2 > T2 > • • •> 1,
где Ti/Si+1 — конечная часть группы Si/Si+1. Построенное уплотнение удовлетворяет всем требованиям леммы 4.
Лемма 5. Пусть G — почти полициклическая группа. И пусть H = (h) — бесконечная циклическая подгруппа группы G. Тогда существует целое положительное число m такое, что для любого целого положительного числа l существует гомоморфизм группы G на конечную группу, переводящий подгруппу H на подгруппу порядка ml.
Доказательство. По лемме 4 в группе G существует нормальный ряд G = Go > Gi > G2 > • • •> Gr = 1,
каждый фактор которого является либо конечной группой, либо конечно порожденной абелевой группой без кручения. Так как H П G0 = H и H П Gr = 1, то найдется i, для которого H П Gi = 1 и H П Gi+1 = 1. Введем следующие обозначения: F = G/Gi+1, A = Gi/Gi+1, K = HGi+1/Gi+1. Так как H П Gi+1 = 1, то K — бесконечная циклическая подгруппа группы F. А так как H П Gi = 1, то K П A = 1, и поэтому K П A = Km для подходящего m > 0. Таким образом, Km — бесконечная циклическая подгруппа группы A. Следовательно, фактор A = Gi/Gi+1 исходного ряда бесконечен, и поэтому A — конечно порожденная абелева группа без кручения. Отсюда по лемме 3 следует, что для любого целого положительного числа l в группе A существует степенная подгруппа L конечного индекса такая, что Km П L = Kml. Так как A нормальна в F и L — степенная подгруппа в A, то L нормальна в F. Кроме того, K П L = K П A П L = Km П L = Kml. Поэтому порядок подгруппы KL/L группы F/L равен ml. Отсюда и из того, что почти полициклическая группа F/L финитно аппроксимируема [2], следует, что существует гомоморфизм ф группы F/L на конечную группу V такой, что порядок подгруппы (KL/L)ф равен ml. Обозначим через р и а естественные гомоморфизмы G ^ F и F ^ F/L. Тогда раф — гомоморфизм группы G на конечную группу V, переводящий подгруппу H на подгруппу Hраф = Kаф = (KL/L)ф порядка ml. Этот гомоморфизм является искомым.
Лемма 6. Пусть H — бесконечная циклическая подгруппа группы G. И пусть существует гомоморфизм ф группы G на почти полициклическую группу, инъективный на H. Тогда существует целое положительное число m такое, что для любого целого положительного числа l в группе G существует, нормальная подгруппа W конечного индекса такая, что H П W = Hml.
Доказательство. Так как ф инъективен на подгруппе H, то Hф — бесконечная циклическая подгруппа почти полициклической группы G/ф. По лемме 5 существует целое положительное число m такое, что для любого целого положительного числа l существует гомоморфизм т группы Gф на конечную группу, переводящий подгруппу Hф на подгруппу Hфт порядка ml. Тогда ядро W гомоморфизма фт является нормальной подгруппой конечного индекса группы G, и H П W = Hml.
Лемма 7. В произвольной почти полициклической группе все подгруппы сфи,ни,т,но отделимы.
Это утверждение хорошо известно (см., напр., [5, п. 1.3.10]).
Лемма 8. Пусть H = (h) — циклическая подгруппа финитно аппроксимируемой группы G. И пусть существует гомоморфизм ф группы G на почти полициклическую группу, инъективный на H. Тогда подгруппа H сфи,ни,т,но отделима в группе G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как в финитно аппроксимируемой группе любая конечная подгруппа финитно отделима, то мы можем предполагать далее, что подгруппа H бесконечна. Обозначим через D ядро гомоморфизма ф. Тогда G/D
— почти полициклическая группа и порядок ее элемента hD бесконечен. Обозначим через А множество пересечений подгруппы D со всеми нормальными подгруппами конечного индекса группы G. Так как группа G финитно аппроксимируема, то пересечение всех ее нормальных подгрупп конечного индекса
совпадает с единичной подгруппой. Поэтому Р| N =1. Если N £ А, то груп-
N&А
па G/N вложима в прямое произведение группы G/D и некоторой конечной группы. Поэтому для любой подгруппы N из А группа G/N является почти полициклической. Очевидно также что для любой подгруппы N из А порядок элемента hN группы G/N бесконечен. Заметим еще, что пересечение любых двух подгрупп из А само принадлежит множеству А.
Пусть x £ G \ H. Мы утверждаем, что существует нормальная подгруппа Nx группы G такая, что Nx £ А и x £ HNx. Действительно, предположим противное. Тогда для каждой подгруппы N £ А существует целое число n такое, что xN = hnN. Пусть M £ А. Тогда xM = hmM для некоторого целого m. Так как x = hm и Р| N = 1, то существует подгруппа L £ А такая, что xL =
N £А
hmL. Так как подгруппа S = M П L принадлежит множеству А, то существует целое s такое, что xS = hsS. Поэтому xM = hsM, и следовательно hmM =
hsM. Так как порядок элемента hM бесконечен, то m = s. Таким образом, xS = hsS = hmS. Это противоречит тому, что xL = hmL и S Ç L.
Таким образом, существует подгруппа Nx £ А такая, что x £ HNx, то есть x£ £ Не, где е — естественный гомоморфизм группы G на группу G/Nx. Так как G/Nx — почти полициклическая группа, то по лемме 7 в ней все подгруппы финитно отделимы. Поэтому существует гомоморфизм ф группы G/Nx на конечную группу такой, что xеф £ Неф. Таким образом, подгруппа Н группы G финитно отделима.
Лемма 9. Произвольная свободная группа аппроксимируема конечно порожденными нильпот,ент,ными группами без кручения.
Доказательство. По упомянутой выше теореме Магнуса — Витта [9, с. 127-128] пересечение всех членов нижнего центрального ряда свободной группы совпадает с единичной подгруппой, а факторы этого ряда являются свободными абелевыми группами. Поэтому свободные группы аппроксимируемы нильпотентными группами без кручения. Кроме того, свободные группы аппроксимируемы конечно порожденными свободными группами. Из последних двух обстоятельств следует, что любая свободная группа аппроксимируема конечно порожденными нильпотентными группами без кручения.
Лемма 10. Пусть группа G почти свободна. И пусть H = (h) — циклическая подгруппа группы G. Тогда существует гомоморфизм группы G на почти полициклическую группу, инъективный на Н.
Доказательство. Если подгруппа Н конечна, то из очевидной финитной аппроксимируемости группы G следует, что существует гомоморфизм группы G на конечную группу, инъективный на Н. Этот гомоморфизм будет искомым, так как конечная группа является почти полициклической.
Будем теперь предполагать, что Н — бесконечная циклическая подгруппа. Так как группа G почти свободна, то в ней существует свободная подгруппа F конечного индекса. Без потери общности можно считать, что подгруппа F нормальна в группе G. Обозначим через m целое положительное число такое, что hm £ F. Так как hm — неединичный элемент свободной группы F, то по лемме 9 найдется нормальная подгруппа M группы F такая, что F/M — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения и hm £ M. Тогда порядок элемента hm по модулю подгруппы M бесконечен. Поэтому Н П M = 1. Так как M — нормальная подгруппа группы F и F — нормальная подгруппа конечного индекса группы G, то число всех подгрупп группы G сопряженных с M конечно, и любая такая подгруппа x-1Mx нормальна в F, причем F/x-lMx = F/M. Поэтому если теперь обозначить через N пересечение всех подгрупп группы G сопряженных с M, то N нормальна в G, и группа F/N вложима в прямое произведение конечного числа групп F/x-1Mx = F/M. Отсюда и из того, что F/M — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения, следует, что и группа F/N обладает тем же свойством. В частности, группа F/N является
полициклической (см., напр., [9, с. 150]). Поэтому G/N — почти полициклическая группа. А так как H П N = 1, то естественный гомоморфизм G ^ G/N инъективен на H.
3. Доказательство теорем 1 и 2
Докажем сначала теорему 1. Пусть P — свободное произведение финитно аппроксимируемых групп A и B с циклическими объединенными подгруппами H и K. Предположим, что существуют гомоморфизмы групп A и B на почти полициклические группы, инъективные на подгруппах H и K соответственно. Покажем, что группа P финитно аппроксимируема. Если подгруппы H и K конечны, то группа P финитно аппроксимируема в силу отмеченного выше результата Г. Баумслага [3]. Предположим теперь, что H и K бесконечны. По лемме 8 подгруппы H и K финитно отделимы в группах A и B соответственно, а по лемме 6 существуют целые положительные числа m и n такие, что для любого целого положительного числа l в группах A и B существуют нормальные подгруппы M и N конечных индексов такие, что H П M = Hml и K П N = Knl. Поэтому в силу леммы 2 группа P финитно аппроксимируема.
Докажем теперь теорему 2. Пусть P — свободное произведение почти свободных групп A и B с циклическими объединенными подгруппами H и K. Очевидно, что группы A и B финитно аппроксимируемы. По лемме 10 существуют гомоморфизмы групп A и B на почти полициклические группы, которые инъективны на H и K. Поэтому в силу теоремы 1 группа P финитно аппроксимируема.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. Vol. 7. P. 29—62.
2. HirshK. A. On infinite soluble groups // J. London Math. Soc. 1952. Vol. 27. P. 81—85.
3. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106, №2. P. 193—209.
4. Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости свободного произведения разрешимых минимаксных групп с циклическими объединенными подгруппами // Математические заметки. 2013. Т. 93, вып. 4. С. 483—491.
5. Lennox J., Robinson D. The theory of infinite soluble groups. Oxford: Clarendon press, 2004.
6. Dyer J. On the residual finiteness of generalized free products // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. Vol. 133, №1. P. 131—143.
7. Азаров Д. Н. О нильпотентной аппроксимируемости свободных произведений свободных групп с циклическим объединением // Математические заметки. 1998. Т. 64, вып. 1. С. 3—8.
8. KimG., TangC. Y. On generalized free products of residually finite p-groups // J. of Algebra. 1998. Vol. 201. P. 317—327.
9. КаргаполовМ. И., МерзляковЮ. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.
10. Шмелькин А. Л. О нижнем центральном ряде свободного произведения групп // Алгебра и логика. 1969. Т. 8, №1. P. 129—137.
Ивановский государственный университет
Поступило 18.09.2013
