CC BY
4
УДК 514.75
О. О. Белова1
1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия [email protected]
Об аналоге связности Нейфельда в пространстве центрированных плоскостей с двухиндексными базисно-слоевыми формами
В п-мерном проективном пространстве рассмотрено пространство центрированных плоскостей. Над ним возникает главное расслоение, двухиндексные структурные формы которого входят также в состав базисных форм. В этом расслоении задается аналог связности Нейфельда. Доказано, что аналог сильной нормализации Нордена индуцирует данный аналог связности Нейфельда.
Ключевые слова: проективное пространство, пространство центрированных плоскостей, аналог сильной нормализации Нордена, связность Нейфельда.
Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу { А,А1 } (I,... = 1, п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
ёА = 0А + со1 А1, ёА1 = вА1 + о! А3 + со ¡А , (1)
причем формы Пфаффа С , а^ , а удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п) (см., напр., [1]):
ВС =С л С, Ва1 =С л с, Во\ =С л а>1 + д'гак лак +с л С.
Поступила в редакцию 01.04.2018 г. © Белова О. О., 2018
В пространстве Рп рассмотрим пространство П [2] цент*
рированных плоскостей Ьт . Произведем специализацию по-
движного репера { A,Aa,Aa } (a,... = 1, m ; а,... = m +1, n), помещая вершину A в центр m-мерной плоскости, а вершины Aa — на центрированную плоскость Lm . Из формул (1) следует, что
для пространства П формы са, са, со, являются базисными, dim П = n + (n - m)m .
Базисные формы удовлетворяют вытекающим из (2) структурным уравнениям (ср. [3])
DC =са лП" +СлШ, DC = C лП? + C лП",
а ; b а (3)
DC, =СьлО§ +Cа лПа ,
где
q а=с, q;=са, пь = са, q а=®а, q ,=с, (4) q а;=8ь„ п;-з;пьа.
В данном случае двухиндексные формы Q, = с, являются базисно-слоевыми [4; 5].
Находим внешние дифференциалы от форм (4):
dqа =п;лп;а + са лп,, dq; =q; лп; +с лп;г + са лп;а -с, лп;, dq а=п c лп,+с а лп,а+с л паЬс+с л п а, (5)
DQ =-П; лп; +са л q а, dq, =пьа лПь +C лПа,
где
Q;r = -S";Cr -S"C;, Q;, = S";Q,
bc ь c c ь > Ьа ^Ь а ' а а
Над пространством центрированных плоскостей П возникает главное расслоение l ( П ) со структурными уравнениями (3, 5), типовым слоем которого является группа Ли l, действующая в касательном пространстве к П , dim l = «2 + m. В главном расслоении l ( П ) с многомерным приклеиванием [6; 7] зададим аналог связности Нейфельда [8—1о] способом Лаптева — Лумисте.
Введем новые формы
a a ri a ß ri a Ь таЬ ß
a = сa - Г aß0 - Г abO - LaßOb ,
с ß=cß - ГР ar - ГР с - LP ar,
ß ß ßr ßa ßr a '
с = с, - гЬ:0: - ГО - la с: , (6)
а /~\а т^а P j-г а Ь таЬ Р а =Са - Гар° - ГаЬ° - LaßOb ,
са =Са- l C - iabab - По .
a a aa аЬ aa Ь
Находя дифференциалы форм (6), получаем, что связность в главном расслоении l ( П ) задается с помощью поля объекта
Т"'_ Í T'a T*a Т:Ь та та т:Ь т^а т^а jac
связности Г = { Гaß, ГаЬ , Laß , Гßr , ГРь , Lßr , ha-. ГЬс , Ч:-,
Kß, Г'О, , L0ß , Laa , Lab , Па6:} на базе П сравнениями
ДГ'Р- ГЬь cß - Laß с, -sßaa - о, Г - О, aLaaß - о, аГ-ßr - ГРь er - Lßrc a +nßr = о, ДГРЬ +s;n а - о,
AlP - s:cß - о, дг: - Г^п: - цас + sС, - о ,
дГlc + sa С c + sc п, - 0, ALc + s, с а - 0, (7)
ДГар- Гааь Ср - 1%ПЬ - Г1РСьа + Гра; - 0, дГ а, - ГЬЬС c + Г Pb ср + sa с а - о , Iß + ПЪРС; - L% с c - о , ai -L ьсь + (ГЬ - ПЬ )сь - О
аа ab а \ аа аа / Ь '
ai Ь + ГС - О ДПЬ + Lb с +sbq - О
ab ab c ? аа аа c а а ?
где символ - означает сравнение по модулю базисных форм
„Я
O , O , O а .
Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [11] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (n — m — 7)-плоскостью Pn_m_1, не имеющей общих точек
с плоскостью Lm, и (m—7)-плоскостью Pm—1, принадлежащей
* -1—г
плоскости Lm и не проходящей через ее центр. Плоскость Pn—m—1 зададим совокупностью точек В а = Aa + АaaAa + АаA, а плоскость Pm—1 — точками Ва = Аа + АаA . Находя дифференциалы базисных точек оснащающих плоскостей и требуя относительную инвариантность этих плоскостей, получим
да: +qa - 0 , ааа —aZqa —®а - 0, ДАа — -0. (8)
Аналог сильной нормализации Нордена, задаваемой полем квазитензора А = {Ааа ,Аа ,Аа} на многообразии П , позволяет охватить компоненты объекта связности Г:
Г" = —5"А , ГО = 0, Lat = 0,
ар р а ' ab ' ар '
т аа с а 1 а т~< а с a i j"1 а с a i с а
LPr = —5Г Ар , 1 Ра = —5рК , Г рт = —5Г Ар —5р1^r,
тае со па т^а <га п <га п т^а <га , пап
Lb a = 5Ъ Аа , ГЬе = —5Ъ Ае —5е АЪ , ГЬа = —SbVa + ААЪ ,
L% = —АА, Гал = —51гоа, Гар = —АЪАЬЛ, (9)
П1а = —ёаАа , LaЪ = АаАЪ , L:o = —АаАЪАЬъ ,
где г]а = Аа — АааАа. Функции (9) в силу сравнений (8) удовлетворяют дифференциальным сравнениям (7). Таким образом, справедлива
Теорема. Аналог сильной нормализации пространства центрированных плоскостей индуцирует аналог связности Нейфельда в ассоциированном расслоении l (П ).
Замечание. Известно (см., напр., [12]), что связность Кар-тана определяется в главном расслоении, имеющем однородное факторрасслоение с одинаковой размерностью слоя и базы
и фиксированной секущей поверхностью. В статье [7] приравниванием некоторых базисных и слоевых форм, а также при введении особых условий на часть компонент структурных констант строится расслоение с приклеиванием, в котором задается связность, обобщающая связность Картана. Для про-
„ т*
странства П центрированных плоскостей Lm двухиндексные
формы со a естественным образом входят в состав как базисных, так и слоевых форм. Поэтому в данном случае связность, построенная с использованием теоремы Картана — Лаптева, является связностью картановского типа.
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
2. Belova О. Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centred planes // Journal of Mathematical Sciences. 2009. 162: 5. Р. 605—632.
3. Белова О. О. Индуцирование аналога связности Нейфельда в пространстве центрированных плоскостей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2016. Вып. 47. С. 24—28.
4. Shevchenko Yu.I. Degeneration of Stolyarov's plane affine connection // J. Math. Sci. 2011. 177:5. Р. 753—757.
5. Шевченко Ю. И. Полуканоническая нормальная аффинная связность, ассоциированная с распределением // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физ.-мат. науки. 2010. № 4. С. 166—172.
6. Шевченко Ю. И. Об обобщениях проективной связности Картана на гладком многообразии // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физ.-мат. науки. 2014. № 10. С. 60—68.
7. Шевченко Ю. И. Обобщенная связность Картана // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2011. Вып. 42. С. 159—172.
8. Нейфельд Э. Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства // Известия вузов. Матем. 1976. № 11. С. 48—55.
9. Норден А. П. Проективные метрики на грассмановых многообразиях // Там же. 1981. № 11. С. 80—83.
10. Малахальцев М. А. О внутренней геометрии связности Ней-фельда // Известия вузов. Матем. 1986. № 2. С. 67—69.
11. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
12. Евтушик Л. Е. Связности Картана и геометрия пространств Кавагути, полученная методом подвижного репера // Итоги науки и техники. Сер.: Соврем. матем. и ее прил. Темат. обзоры. 2002. Т. 30. С. 170—204.
O. Belova1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo ul., Kaliningrad, 236016, Russia [email protected]
About an analogue of Neifeld's connection on the space of centred planes with two-index basic-fibre forms
Submitted on April 1, 2018
Space П of centred да-planes is considered in the projective space Pn. Principal fiber bundle is arised above it. Two-index structural forms of the principal fiber are included also into structure of basic forms. An analogue of Neifeld's connection is given in this fibering. The case when two-index forms are basic-fibre forms is considered. It is proved that the analog of Norden strong normalization of the space of centred planes induces the analogue of Neifeld's connection.
Keywords: projective space, space of centred planes, analogue of Norden strong normalization, Neifeld's connection.
References
1. Shevchenko, Yu.I.: Clothings of centreprojective manifolds. Kaliningrad (2000) (in Russian).
2. Belova, О.: Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centred planes. J. Math. Sci., 162: 5, 605—632 (2009).
3. Belova, О. O.: Inducing an analog of Neifeld's connection on the space of centred planes. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 47, 24—28 (2016) (in Russian).
О. О. BenoBa
4. Shevchenko, Yu.I.: Degeneration of Stolyarov's plane affine connection. J. Math. Sci., 177:5, 753—757 (2011).
5. Shevchenko, Yu.I.: Semi-canonical normal affine connection associated with distribution. IKBFU's Vestnik: Physics, mathematics and technology, 4, 166—172 (2010) (in Russian).
6. Shevchenko, Yu.I.: About generalizations of Cartan projective connection on a smooth manifold. IKBFU's Vestnik: Physics, mathematics and technology, 10, 60—68 (2014) (in Russian).
7. Shevchenko, Yu.I.: Generalized Cartan connection. Differ. Geom. Mnogoobr. Figur. Kaliningrad. 42, 159—172 (2011) (in Russian).
8. Neifeld, E. G.: Affine connections on the normalized manifolds of planes of the projective space. News of High Schools. Math. 11, 48—55 (1976) (in Russian).
9. Norden, A. P.: Projective metrics on Grassmann manifolds. News of High Schools. Math. 11, 80—83 (1981) (in Russian).
10. Malakhaltsev, M.A.: About the internal geometry of Neifeld's con-nection. News of High Schools. Math. 2, 67—69 (1986) (in Russian).
11. Norden, A.P.: Spaces with an affine connection. Nauka, Мoscow (1976) (in Russian).
12. Evtushik, L.E.: Cartan connection and geometry of Kavaguti spaces received by the moving frame method. Itogi nauki I tekhniki. Seriya "Sovremennaya matematika I ee prilozheniya. Tematicheskie obzory 30, 170—204 (2002) (in Russian).
