Индуцирование аналога связности Нейфельда на грассмаподобном многообразии центрированных плоскостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.

3.Чакмазян А. В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР. 1959. Т. 28, № 4. С. 151—157.

T. Alenina

Dual spaces of affine connection induced by the normalization \ггп, Ti} of distribution H in the space M n,n

This work is devoted to regular hyperband distribution H in the space of affine-metric connection M nn.

УДК 514.75

О. О. Белова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Индуцирование аналога связности Нейфельда на грассмаподобном многообразии центрированных плоскостей

В и-мерном проективном пространстве рассмотрено грасс-маноподобное многообразие центрированных плоскостей. Над ним возникает некоторое главное расслоение, в котором задается аналог связности Нейфельда. Доказано, что аналог сильной нормализации Нордена индуцирует данную связность.

Ключевые слова: проективное пространство, грассманоподобное многообразие центрированных плоскостей, главное расслоение, аналог сильной нормализации Нордена, связность Нейфельда.

© Белова О. О., 2014

Отнесем «-мерное проективное пространство Рп к подвижному реперу { Л,ЛТ } (I,... = 1, п), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами

ёЛ = вЛ + аТ ЛТ, ёЛТ = вЛ1 + а! Л! + со ¡Л, (1)

причем формы Пфаффа а1, , а1 удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы ОР(п) [1]:

Ба1 =С А&С, БаТ =С ла!,

Т К Т Т К Т (2)

=а! лаК + о!аК л а +а! л а .

В пространстве Рп рассмотрим грассманоподобное многообразие Ог*(ш, п) [2] т-мерных центрированных плоскостей т*

Ьт. Произведем специализацию подвижного репера

{ Л,Ла,Ла } (а,... = 1, т ; а,... = т +1, п), помещая вершины Л,

*

Ла на центрированную плоскость Ьт = [Л,Ла] и фиксируя центр Л. Из выражений (1) следует, что формы аа , аа, а а являются главными, а формы аа, а^ — базисными. Уравнения грассманоподобного многообразия Ог*(т, п) центрированных плоскостей имеют вид

„ а да а \аЬ а а = Ааа + Аа аЪ ,

причем компоненты фундаментального объекта А = {А аа, А а } удовлетворяют дифференциальным сравнениям по модулю базисных форм аа, аа :

ЛАа +АааЪа +аа = 0, ААааЪ = 0. (3)

Базисные формы удовлетворяют вытекающим из (2) структурным уравнениям

Ба" = ар лоар + (Ларар + ЛрЬаЬр) л Ба" =аръло;ъа лп$а,

а

где

(4)

Р =аР ,

^аЬ оЬ, ; <;,, Ь

Ра = 4аар "4раа , (5)

Ра ="д раа ■

Находим внешние дифференциалы от форм (5)

во; = орлЩ+а л о; + а л о;;, вор = орс л о;+а; л орЬ; + а; л орь;, (6) вора = ор л о;Ь +ор л о; + а; л ©р,

где

о; = ла ора" ;" 8агар, о;а = къ;орь" 8агаар, орЬ; = "Л; ора "¿44,

ОаЬе к Ьегл а с а „ с ее с а „Ь /~\ а с а ^

ра; = Л; ра " 4а 4; ар " 4а°ра; , ©р; = "4ра; ■

Над грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей От*(т, п) возникает главное расслоение Ь (От*) со структурными уравнениями (4), (6), типовым слоем которого является группа Ли Ь, действующая в касательном пространстве к многообразию От* . В главном расслоении Ь (От*) зададим аналог связности Нейфельда [3; 4] способом Лаптева — Лумисте.

Введем новые формы

а г\а -па у таа у %=&р- 1 РУ® 1Руаа ,

& % = &% - г;ьа- ь%ау, (7)

& %=&ра - паа- о;ьа.

Рассмотрим дифференциалы форм (7):

Б & %=& % л & у+ау л (ЛГ%у - Ь%р?га + ) +

+ау л(ЛЬ% + &%) + ГЦГатау ла + +ЩамГауу - гщ - г;мАу)ау л а +

+(4Х +а; аул®;,

Б&%а = &% л&уа + аул(ЛГ;Ьау-ь%&; +&%уу) +

+ау л (Л1а%у + ) + ГЦг;® ла; + +^ъРс;Г7уу- г%;Ау - г1уЬа;;)ау л®; +

+г;1уА; к л а;, (8)

Б&% = &% л&у + &%л&уа +

+ау л (лп%уу- о%м&; - г;Ьау&;ь+г;&;а)+

+< л (Лв;ъау - + ь%у +^ъ©а)+

+(ЩаПу + ПП1у)ау ла; +

\(С^цЪ т~*ас ]~та \Ъ тгц тасЪ уц г^аЪ , ^У^рс;1 цау~ П Ра;1^у ~ П Рсу^ц а; ~ 1

+1ц%Ща>ул< + +(сцХсу+п;ауАь; - Цоан л а;.

Связность в главном расслоении L ( Gr ) задается с помощью

j-i t т-та таа r-rab jabc гтa /~<ab л

поля объекта связности Г = { 1 pr, Lpy, 1 fay, LM, Прау,Gм } на — *

базе Gr (m, n) уравнениями

Агр_ ьр о;+ор = + гра, Аь;;+ор; = ь;;х+ь%а£,

д -раЬ таЬс и , (~\аЬ _ -раЪ и . -раЪс и

А1 ра; _ Ьраио;с +ора; = 1 ра;« + 1 ра;« с ,

¿С+о?; = + , (9)

м;а;_ с;ьамо;ь_ г;агоръ+грго;а = п;агу+л^х,

л аЬ тасЬ г\и , тМЬ г\а , я*Ь/-\а аЬ и . аЬс и

АОра; _ ьииа; °рс + Ь0;°,иа + 4а ©; = Ора;Ма + Ора;Мас ,

где оператор А действует следующим образом:

АС = dГрba; + ГрХ + Гр^а; " _ гра?" г;ьХ" гра.

Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [5] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (п-т-1)-плоскостью Рп _т _1, не имеющей общих точек

г*

с плоскостью ьт, и (т-1)-плоскостью Рт_1, принадлежащей плоскости Ьт и не проходящей через ее центр. Плоскость Рп_т_1 зададим совокупностью точек В а = Аа + ДаАа + Яа А , а плоскость Рт1 — точками Ва = Аа + ДаА . Находя дифференциалы базисных точек оснащающих плоскостей и требуя относительную инвариантность этих плоскостей, получим

АДа + аа - 0, АД + Да +аа - 0, АД, + х, - 0. (10)

Аналог сильной нормализации Нордена, задаваемой полем квазитензора Л = {Хаа,Яа,Яа} на многообразии Ог*(ш,п), позволяет охватить компоненты объекта связности Г

г;г = -5;лр-5;1г,

таа л а к Ьа л

ЬРу=-°уЛр-°рЛу Л ,

ГаЬ _ са Ь л с а л

Рау = 0рКуЛа -OaдrAp,

а = 5арлула - 50; л; - 05;, (11)

ПРуу = 5Р^УЛаЛЬ ,

ааЬ са а сЬ л л ?а ?Ь л рау=°рЛуЛаЛс 0 р 0 а Лу ,

где К =Ла -л; , Ла=ла+ КаЛа • %нЩии (11) в силу сравнений (3) и (10) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (9). Таким образом, справедлива

Теорема. Аналог сильной нормализации Нордена грассма-ноподобного многообразия центрированных плоскостей индуцирует аналог связности Нейфельда в ассоциированном расслоении Ь (Ог ).

Список литературы

1. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

2. Белова О. О. Связность в расслоении, ассоциированном с грассманоподобным многообразием центрированных плоскостей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. 2006. № 5 (52). С. 18—20.

3. Норден А. П. Проективные метрики на грассмановых многообразиях // Изв. вузов. Матем., 1981. № 11. С. 80—83.

4. Малахальцев М.А. О внутренней геометрии связности Нейфельда // Там же. 1986. № 2. С. 67—69.

5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

0. Belova

Inducing an analog of Neifeld's connection

on the Grassman-like manifold of centered planes

*

Grassman-like manifold Gr (m, n) of centered m-planes is considered in the projective space Pn. Principal fiber bundle is arised above it.

Analog of Neifeld's connection is given in this fibering. It is proved, that the analog of Norden's normalization of Grassman-like manifold of centered planes induces this connection.

УДК 514.76

И. М. Бурлаков

Московский педагогический государственный университет

Геометрические структуры на линейных алгебрах

Рассматриваются пространства с фундаментальной формой произвольной степени. Такие пространства можно реализовать на линейных алгебрах, если в качестве фундаментальной формы брать детерминант произвольного элемента или произведения нескольких элементов, если такое произведение дает форму со значениями в основном поле.

Ключевые слова: алгебры, геометрические структуры, группа движений, почти евклидовы пространства.

Среди геометрических структур, определяемых на основе линейного пространства, можно выделить один класс, который представляется естественным обобщением евклидовых пространств. Геометрия пространств из этого класса опреде-

© Бурлаков И. М., 2014