CC BY
8
УДК 514.75
О. О. Белова
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]
Индуцирование аналога связности Нейфельда пространства центрированных плоскостей
В n-мерном проективном пространстве рассмотрено пространство центрированных плоскостей. Над ним возникает некоторое главное расслоение. В этом расслоении задается аналог связности Нейфельда. Доказано, что аналог сильной нормализации Нордена индуцирует данную связность.
Ключевые слова: проективное пространство, пространство центрированных плоскостей, главное расслоение, аналог сильной нормализации Нордена, связность Нейфельда.
Отнесем «-мерное проективное пространство Pn к подвижному реперу { A,Aj } (I,... = 1, n), инфинитезимальные перемещения которого определяются формулами
dA = 6A + a)IAI, dAI =6AI + ajAj + coIA, (1)
причем формы Пфаффа С , cJ , a>I удовлетворяют структурным уравнениям Картана проективной группы GP(n) (см.: [1]):
Da1 = aJ A0j, Dßj = coJj лc,
/
I K I I K I
DaJ =&j лак +8jaK л а + ала .
В пространстве Pn рассмотрим пространство П [2] центрированных плоскостей L*m . Произведем специализацию под© Белова О. О., 2016 24
О.О. Белова
вижного репера {Л,Ла,Ла } (а,... = 1, т; а,... = т +1, и), помещая вершину Л в центр т-мерной плоскости, а вершины Ла — на центрированную плоскость Ьт*. Из формул (1) следует, что для пространства П формы аа , аа, аа являются базисными.
Базисные формы удовлетворяют вытекающим из (2) структурным уравнениям
Баа =аа +С лЩ,
Баа = аС лПаь + аа лааа, (3)
dc" =a>d*nfa + c a aq"
где
где
Q"c = -s® - sa, QL = -s®a, я = ® n ;% = -;";; n; -s; s: n;.
(4)
Qa a 0a a 0a a ;=®;, Qb = C , Qa = ca>
Qab eba сч
;a =Sa-S;®a , Qa = -aa •
Находим внешние дифференциалы от форм (4):
dq; = n; aq; + c aq; + c aq; -a" aq; ,
DQ" =nc, a Q" + aa a q" + ac a q" + aa, a Qa ,
b b c ba bc b a '
dq a=-Q;AQ;:+®: AQ a, (5)
Dn;: =Q; AQ;:+® a AQ"; -®b AQ;:+®; AQ;: ,
DQa =Qb" A Q" +®a AQ a ,
Над пространством центрированных плоскостей П возникает главное расслоение L ( П ) со структурными уравнениями (3), (5), типовым слоем которого является группа Ли L, действующая в касательном пространстве к П. В главном расслоении L ( П ) зададим аналог связности Нейфельда [3—5] способом Лаптева — Лумисте. Введем новые формы:
a (->. a ri a у ri a а т aa у
„=Ъ1„- Г а О — Г а О — Ln О ,
p р ру pa ру a '
Q~ a ГЛ" Ta a j-< a c jac a
, = iL — Г , О — Г, О — L, О ,
b b ba bc ba c '
Ô =i, — raapoP— raab(b — L>f,
Ô =ia — La( a — L( — , (6)
ab ab tab у тab c rjabc у
„ =i2„ — L„ О — L„ О — lln (О .
pa pa Рау pac Рау c
Находя дифференциалы форм (6), получаем, что связность в главном расслоении L ( П ) задается с помощью поля объекта связности Г = { Г1, г;а, Lp , ГЬа , Г"с , LZ, Гаар, Гaab, L% ,
Laa , Lab, Пъаа , L^, L% , П%г} на базе П уравнениями
дг;у — г;а оу — lpоа + np = г+ г^О + г;;уа, Аг;а + 8ароа = г;ау + г;О + г^у,
А T a a о a /~\а т a a ^ц . т a a ^b , т a ab ^ц
ALpу — 8у0P = LPуцО + LPуbО + LPуцОb , Агla — г101 — L7a0c + 8b 0a = + ГLcОC + Г1аРОс ,
дг." + 8" о + 8"о. = Г" Оa + Г" Ое + ГIе Оa ,
bc b c c b bc a bce bc a e '
д t"c . ccr^a jac . jac „e . race p
^ba +8b 0a = LbаРО + LbaеО + LbаРОе , (7)
ДГ"p — Г"Ьibp — L%Qb — Г^оb + ГЦ = ГК + Г^О + Г^ , ДГ"Ь — г: о c + Г p ip + 8" о a = Г^О + Г^О + ГаО,
О. О. Белова
a; a; c; a a; a;ca; c
àlaa - l"bQba + (r"a - П^ pb = l^C + l^c" + lia ,
AL"b + ribQc = La + L"bc®: + Lc:ba,
+ lCbaQc + SbQa = П",® + П"l®c + ПЬ®с , al;"; - la;acn:: - п;nc+s;s; Q; = l;®+l;®+l;;®,
Л jab Qa S bf^ jab ^v , jab ^e , jabe ^ ;
Al; - s;s Q = l; a + l; a + l; a ,
;:c ; c : ;:c; ;:ce ;:c; e '
A j-rabc ç*a ç* b глс fa о сглЬ j-rabc a , j-rabc e , т-rabce a
АП; -s s -s;s Q = ПR a + П„ a + П; a .
Осуществим аналог сильной нормализации Нордена [6] данного многообразия полями следующих геометрических образов: (и-т-7)-плоскостью Pn-m-l, не имеющей общих точек с плоскостью L*m, и (т-1)-плоскостью Pm-l, принадлежащей плоскости Lm и не проходящей через ее центр. Плоскость Pn-m-1 зададим совокупностью точек Ba= Aa + X;Aa + XaA , а плоскость Pm-1 — точками Ва = Аа + ХаA . Находя дифференциалы базисных точек оснащающих плоскостей и требуя относительную инвариантность этих плоскостей, получим
M" +Q" = 0, AX -X"Q -a = 0, AXa-Qa =0. (8)
aa'aa : a ' a a V/
Аналог сильной нормализации Нордена, задаваемой полем квазитензора 2 = {Xa,Xa,X:} на многообразии П, позволяет охватить компоненты объекта связности Г:
та: ca л : j~<a ca л j~<a ca л ca
l; = -s; X; r ; = -s ;X: , r ;= -sr X;-s ;Vr ,
L"ba = six;, ri = -sixc - s:x,, r; = -s;Va + x;x,
ba b a ' bc b c c b ' ba b ta a b '
l; = -X;X;, ra = -s:Va, r; = -xbxbax;, (9)
Пь = SX , L:b = X:X, L = -X XX,
:a : a ab a b ' :a : b a'
Яabc ob о а о c о a 1 b тab о a ob л
я = —о о Ла — оаоЛ , ья = о„оЛ ,
paf а у р р a у ' pac р c a '
Т" ab ob о а л о а л л b
ья =—о о Л—оЛЛ ,
pay a у р р a у '
где = Ла — ЛЛЛ. Функции (9) в силу сравнений (8) удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7). Таким образом, справедлива
Теорема. Аналог сильной нормализации пространства центрированных плоскостей индуцирует аналог связности Нейфельда в ассоциированном расслоении L (П).
Список литературы
1. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.
2. Belova О. Connections in fiberings associated with the Grassman manifold and the space of centred planes // Journal of Mathematical Sciences. Springer New York. 2009. Vol. 162, № 5. P. 605—632.
3. Нейфельд Э. Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства // Изв. вузов. Матем. 1976. № 11. С. 48—55.
4. Норден А. П. Проективные метрики на грассмановых многообразиях // Там же. 1981. № 11. С. 80—83.
5. Малахальцев М.А. О внутренней геометрии связности Нейфельда // Там же. 1986. № 2. С. 67—69.
6. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
О. Belova
Inducing an analog of Neifeld's connection on the space of centred planes
Space П of centred да-planes is considered in the projective space Pn.
Principal fiber bundle is arised above it. Analog of Neifeld's connection is given in this fibering. It is proved that the analog of Norden's normalization of the space of centred planes induces this connection.
