Некоторые задачи, связанные с распределением нулей целых функций, определенных рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)

Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова

УДК 511

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С

РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ НУЛЕЙ ЦЕЛЫХ

ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ РЯДАМИ ДИРИХЛЕ С КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева (г. Саратов)

Аннотация

Для рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции, выясняется насколько условия, выраженные в терминах аналитических свойств этих функций, а также дополнительные условия на коэффициенты рядов Дирихле, влияют на расположение нулей таких функций в полуплоскости а >

1, ¿-функция Дирихле Ь(в,х), где х ~ неглавный первообразный характер Дирихле, удовлетворяет следующим условиям:

— определяет целую функцию / (в), для которой

|/(в)| < сеИН-^И, (1)

где А и с некоторые положительные константы;

— удовлетворяет функциональному уравнению типа Риммана

(П)-" Г (^) £(«'Х)= (к)-^ Г () ¿(1 - «), (2)

где к — модуль характера х X _ сопряженный характер, 5 — величина, равная

0 или 1 в зависимости от четности характера х;

— коэффициенты соответствующего ряда Дирихле являются конечнозначными и мультипликативными.

Цель данной работы — по возможности выяснить, насколько каждое из сформулированных выше условий, имеющих место для ¿-функций Дирихле,

как дополнительное условие на целые функции, определяемые рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами, влияет на расположение нулей таких функций в полуплоскости а > 2,

2. Пусть ряд Дирихле с конечнозначными коэффициентами определяет целую функцию, модуль которой удовлетворяет условию роста (1). В работе [1] показано, что коэффициенты ап таких рядов являются периодическими, начиная с некоторого номера, и, кроме того, сумматорная функция этих коэффициентов Б(х) = ^2 ап является ограниченной. В 1978 году С.М. Воронин показал

п^х

(см., например, [2]), что такие функции могут иметь достаточно много нулей, лежащих в полуплоскости а > 2.

3. Пусть ряд Дирихле с периодическими коэффициентами определеяет целую функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению типа Римана

(2). Отметим, что это условие является более сильным, чем условие (1), и оно накладывает определенные условия на расположение нулей таких функций. В 1936 году Дэвенпорт и Хейльбронн привели пример ряда Дирихле с периодическими коэффициентами, который определяет целую функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению типа Римана [3]. В работе [4] было показано, что эта функция имеет достаточно много нулей, лежащих на критической прямой, и достаточно много нулей, лежащих в полуплоскости а >

В работе [5] показано, что существует бесконечное множество целых функций, определяемых рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые удовлетворяют функциональному уравнению вида, (2), и которые имеют достаточно много нулей как на критической прямой, так и в полуплоскости а > 2, Встает вопрос: насколько независимо могут располагаться нули таких функций в полуплоскости а > а именно, для любого ли пуля функции /\(г) го этого класса найдется функция /2(г) из этого же класса, для которой не является нулем?

Этот ивопрос является важным в связи с решением проблемы о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана. В работе [6] было показано, что при некотором ограничении на поведение сумматорной функции, связанной с функцией Мангольда, и при условии выполнения основной гипотезы Римана о пулях дзета-функции, нетривиальные нули ¿-функции Дирихле, не лежащие на критической прямой, являются нулями любой целой функции, определенной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.

Численный эксперимент, основанный на быстром приближении целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами полиномами Дирихле, показал, что в области: а ^ 1, |£| ^ 106, нет общих нулей таких функций.

4. Остановимся более подробно на случае, когда целая функция определяется рядом Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами

ап

ствие пулей такой функции в полуплоскости а > 2 равнозначно тому, что ряд

Дирихле вида

1 М = £ рР (3)

р

продолжим регулярным образом в эту полуплоскость.

При решении задачи аналитического продолжения рядов Дирихле вида, (3) представляет интерес подход, основанный на изучении поведения функции вида

01 (х) = ^ арХр, (3')

р

при подходе к точке х = 1.

Как показано в [1] задача аналитического продолжения рядов Дирихле

1 («) = £ П (4)

П

равносильна задаче, связанной с поведением функции, определенной степенным рядом с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле (4):

д(х) = £ апхп, (5)

п

при подходе к точке х =1.

В работе [7] изучалось поведение степенного ряда (5) при подходе к точке х = 1 в случае мультипликативных коэффициентов. При этом был задействован аппарат сильно непрерывных ограниченных полугрупп операторов

(С.Н.О.П.О.). Известно [8,9], что наличие С.Н.О.П.О,, действующей в банахо-

вом пространстве, обеспечивает прямые и обратные теоремы приближения по собственным подпространствам такие же как и в классическом случае.

Построение соответствующих С.Н.О.П.О, позволило сравнить величину Еп(д(х)) — величину наилучшего приближения функции вида. (5) алгебраическими полиномами степени, не выше п, с величиной ЕП(д(х)) — величиной наилучшего приближения функции вида. (5) алгебраическими полиномами с мультипликативными коэффициентами, сначала на отрезке [0,1 — е], а затем в результате предельного перехода и па отрезке [0,1]. При этом было показано, что сравнение велечин Еп(д(х)) и ЕП(д(х)) равносильно сравнению величин Еп(д(х)) и Еп(д1(х)), где функция д1(х) определяется рядом вида. (3’), а Еп(д1 (х)) — величина наилучшего приближения функции д1(х) полиномами, порожденными степенями |хр}р^п. Это позволило получить условия аналитического продолжения рядов Дирихле вида.

лм = £ ^ • (6)

г/

р

Одно из таких условий состоит в том, что:

д(х)

[0,1];

2) Степенной ряд

02(х) = £ — хр (б')

р

определяет функцию, непрерывную на отрезке [0,1];

3) модуль непрервыноети функции д2(х), определяемой рядом (6’), удовлетворяет условию Дини-Липшица, то есть

^(—,д2(х)) ^ с 1п-1 п. (7)

п

Рассмотрим случай ¿-функции Дирихле ¿(в, х), где х ~ неглавный и недействительный характер Дирихле. В этом случае известна оценка [10]

£ х (р) 1оё р=° (1птх), (8)

где т ^ 2.

В силу тауберовой теоремы Икеары-Винера [11], примененной к функциям

— и — из оценки (8) следует оценка вида

£ х ( р)

Лп™ х

р^ж

х

(9)

где т ^ 2.

Суммируя числовой ряд ^2 по частям, па основании оценки (9) полу-

р

чаем его сходимость. Таким образом, степенной ряд (6’) определяет функцию, непрерывную на отрезке [0,1]. Вопрос о том, удовлетворяет ли функция (6’) условию Дини-Липшица (7) остается открытым. Здесь нужно получить либо более сильный результат относительно области, свободной от нулей ¿-функции, либо получить условие (7), развивая методы работы [7] для случая ¿-функций Дирихле.

В заключении отметим, что авторам неизвестен факт существования рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, отличных ¿

вопроса тесно связано с гипотезой Н.Г. Чудакова [12] о том, что конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента к(п), которая почти для всех простых отлична от нуля и для которой ограничена сумматорная функция Б(х) = ^2 Ь(п), является характером Дирихле. Эта гипотеза до сих пор

п^ж

остается открытой. В работе [13] приведены результаты, которые отражают современное состояние дел в направлении решения этой задачи.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Кузнецов В, Н, Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки, 1984. Т.36. №6.

|2| Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. М.: Физматгиз, 1994.

[3] Devenport H., Heilbronn Н. On the zeros certain Diriehlet series I,II // J. Lond. Math. Soc. 1936. V. 11. P. 181-185 and 307-312.

[4] Карацуба A.A. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. Мат., 1990. Т. 54, №2. С. 303315.

[5] Кузнецов В.H., Полякова O.A. К вопросу описания рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, определяющих целые функции и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана // Изв. Сарат. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. Вып. 3, ч. 1. Саратов, 2011. С. 21-25.

[6] Кузнецов В.H., Полякова O.A. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами / / Че-бышевскнй сб. Тула: Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2011. Т. 4 . С. 91-96.

[7] Кузнецов В. H., Водолазов А. М. К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами / / Исследования по алгебре,теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003, Вып. 1. С. 43-59.

[8] Терехин А.П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение // Диф. уравнения и выч, матем,: Межвуз. научи, сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. С. 3-172.

[9] Кузнецова Т. А. Отыскание полугруппы операторов целой экспоненциального типа на заданных подпространствах: Дне.... канд. фпз.-мат. наук. Саратов, 1981.

[10] Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

[11] Хейльброн X. ^-функции и L-функции //В кн.: Алгебраическая теория чисел. Под редакцией Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969. С. 310— 347.

[12] Чудаков Н.Г., Линник Ю.В. Об одном классе вполне мультипликативных функций/ ДАН СССР, 1950. Т. 74. Вып. 2. С. 193-196.

[13] Кузнецов В.H., Кузнецова Т.А., Полякова O.A. О некотором условии периодичности конечнозначных мультипликативных функций // Исследования по алгебре,теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.6. С. 55-62.

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского. Поступило 17.10.2011