Моделирование кривых в современных системах автоматизированного проектирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В.Батурина, П.Л.Плонский

Моделирование кривых в современных системах автоматизированного проектирования

Современные системы автоматизированного проектирования основаны на построении плоских и пространственных объектов, в частности, кривых. Моделирование кривых в настоящее время производится несколькими способами, в том числе с использованием математического аппарата численных методов. Задача поиска соответствующей модели осложняется тем, что состояние моделирования, а именно его математическая база уже не удовлетворяет требованиям информационной среды создания сложных высококачественных изделий машиностроения.

Приближённые методы вычисления широко применяются в сфере машиностроения в системах автоматизированного проектирования для реализации конструкторских и технологических задач, а также инженерного анализа [3].

Описание геометрического объекта предполагает наличие некоторого множества параметров, одни из которых являются обязательными, а другие влияют на точность данного описания. Тогда выбор параметров зависит от требуемой точности описания. Одним из основных требований, предъявляемых к методам конструирования кривых, является получение желаемой формы геометрического объекта с использованием минимального количества параметров.

В основе модулей геометрического моделирования должны лежать такие принципы, которые призваны формировать оптимальную схему проектирования объекта. Критериями оптимальности здесь служат компактность алгоритмов и их универсальность относительно объектов или процессов одного вида. Фундаментом геометрического моделирования могут служить такие науки, как численные методы и дифференциальная геометрия внешних форм, теория параметризации и многие другие [2].

При построении кривых следует руководствоваться следующими положениями:

- Использовать характеристическую ломаную, которая в первом приближении передает форму кривой. Вершины этой ломаной могут и не принадлежать кривой (рис. 1).

Рис. 1. Характеристическая ломаная

- Увеличение числа сегментов кривой при повышении степени аппроксимирующего полинома не должно нарушать гладкость кривой, так как нежелательные экстремумы приводят к появлению петель, а точки перегиба вызывают осцилляцию кривой, увеличивается также вероятность появления этих свойств при повышении степени полинома.

- Должна быть предусмотрена возможность глобальных (а) и локальных (Ь) изменений формы кривой (рис. 2).

(а) (Ь)

Рис. 2. Глобальные (а) и локальные (Ь) изменения формы кривой

- Для кривой желательна непрерывность более высокого порядка (рис. 3).

О(и). О(и)

(а)

СКи)

(Ь)

(с) и

Рис. 3. Непрерывность нулевого порядка (а), первого порядка (Ь), второго порядка (с)

- Кривая должна быть сегментируемой. Отдельные сегменты соединяются в соответствии с граничными условиями (рис. 4).

ОСи)

а(и)

Рис. 4. Сегментируемая кривая

Таким образом, с учетом вышесказанного к методам моделирования кривых предъявляются следующие требования:

описание кривых на основе какого-либо метода предполагает использование минимума параметров, которые могут быть легко определены;

методы должны допускать локальные и глобальные изменения формы кривых и поверхностей; возможность изменения параметров, даже если кривая имеет кусочно-гладкий вид; под гладкой дугой понимается дуга кривой с непрерывно изменяющимися касательными; понятие "гладкий" включает также следующие требования:

- кривая должна обладать малой осцилляцией;

- возможность определения точек перегиба кривой;

- требование многократной дифференцируемое™ кривой; методы должны допускать построение прямых линий, а также расчет точек перегиба в случае кривых; методы должны обеспечивать гладкое соединение кривых; должны быть возможны преобразование и изображение кривых; методы должны описывать кривые, касательные, которые параллельны осям координат; независимое определение координат произвольной точки объекта; кривые должны быть сегментируемыми при сохранении своей исходной формы [5].

От общих требований построения перейдём к описанию конкретных методов конструирования кривых.

Методы приближенных вычислений всегда помогали формировать математические модели кривых, заданных эмпирическими кривыми и точками. В последнем случае происходит также преобразование дискретной информации в непрерывную.

Если требуется определить некоторую величину у по известной величине х, то символически задачу можно записать в виде у — Л(х). Здесь у их могут быть числами, совокупностью чисел, функцией одного или нескольких

переменных, набором функций и т.д. Если оператор А настолько сложен, что решение не удаётся явно выписать или точно вычислить, то задачу решают приближённо.

ъ

Например, пусть надо вычислить у = |х(/)б//. Можно приближённо заменить х(/) многочленом х(/) или дру-

а

гой функцией, интеграл от которой легко вычислить. А можно заменить интеграл суммой ^ х{/( )Д/; , вычислить ко-

/

торую тоже несложно. Таким образом, приближённый метод заключается в замене исходных данных на близкие данные х и (или) замене оператора на близкий оператор А так, чтобы значение у = а(х} легко вычислялось. При

этом мы ожидаем, что значение у будет близко к искомому решению.

В ходе вычислений на ЭВМ приходится многократно вычислять одну и ту же сложную функцию в различных точках. Вместо ее непосредственного вычисления иногда целесообразно вычислить ее значение в отдельных выбираемых нами точках, а в других точках вычислять ее значение по каким-либо простым формулам, используя информацию об этих известных значениях.

Если задана функция >(х), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, дх) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра. Или у(х) изменяется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений, функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Например, из каких-то дополнительных соображений известно, что приближающую функцию целесообразно искать в виде /(х)» (х;а,Если параметры

а,,....,апопределяются из условия совпадения /(х) и приближающей функции в точках х7х;) так называемых узлах интерполяции,

g(xj;av....,al)= /(хД ] = 1,

то такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что интерполяция является частным случаем аппроксимации [6]. Среди способов интерполирования наиболее распространен случай линейного интерполирования: приближение ищется в виде

п

7=1

где <р(х) - фиксированные функции, значения коэффициентов а1 определяются из условия совпадения с приближаемой функцией в узлах интерполяции х;:

1=1

Чтобы задача интерполяции всегда имела единственное решение, определитель системы (1) должен быть отличен от нуля при любом расположении узлов (лишь бы среди них не было совпадающих):

<Р\ ОО (Рг СО - • Фп(*\)

<^(х2) ф2(х2) .. ■■ Фп^г) ф 0 при х; Ф х /

■■ <РХХп)

Система функций, удовлетворяющих требованию (2), называется чебышевской. Таким образом, при линейной интерполяции надо строить обобщённый многочлен по какой-нибудь чебышевской функции. Наиболее изучен случай интерполирования многочленами:

Тогда

и система уравнений (1) имеет вид

ы

(р,\х) = х'~], 7 = 1,.... п,

(3)

¿агх'4 =/(х;) 7 = 1......л. (4)

/=1

Далее мы предполагаем, что все х . различные. Определитель этой системы с!ефг/ 1 ] отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следовательно, система (4) всегда имеет решение, и притом единственное. Таким образом, доказано существование и единственность интерполяционного многочлена вида (3).

Непосредственное нахождение коэффициентов а1 с помощью решения этой системы уже при сравнительно небольших п, например, при п - 20, приводит к существенному искажению коэффициентов а, вычислительной погрешностью. При теоретических исследованиях, например, при конструировании алгоритмов решения других задач, эти обстоятельства могут не играть роли. Однако при реальных вычислениях влияние вычислительной погрешности может быть недопустимо большим, и поэтому применяются другие виды интерполяционного многочлена и способы его записи.

Можно получить явные представления интерполяционного многочлена (3), не прибегая к непосредственному решению системы (4). Сразу же отметим, что в других случаях, например, при интерполировании функций многих переменных, получение интерполяционного многочлена в явном виде затруднительно и часто приходится прибегать к непосредственному решению системы уравнений типа (1).

Пусть §■ есть символ Кронекера, определяемый соотношениями

б! =

1 при 7= /

'[ 0 при гФ у.

Задача интерполирования будет решена, если удастся построить многочлены Ф,(х) степени не выше 77-1 такие, что )= 8} при = 1,....,/?. Многочлен

¿=1

будет искомым интерполяционным многочленом. В самом деле,

&(*,)= t /(*>,(*.)= £ /Ш = /(*,):

/=1

кроме того, #„(х) ~ многочлен степени п — 1.

Поскольку Ф;(х,)=0 при ./^7, то Ф;(х) делится на х-х. при / Ф /. Таким образом, нам известны п - 1 делителей многочлена степени п — 1, поэтому

ф{х) = сот1Ц /(х,>/(х - х.).

7*1

Из условия Ф;(х.)=1 получаем

*,(*)П

х-х.

X. - X.

Интерполяционный многочлен (3), записанный в форме

х-х.

2—1

X.

называют интерполяционным многочленом Лагранжа [3, 8].

Реализация линейной интерполяции Лагранжа представлена на рис. 5.

--- — —,—?—^— —1---- • 10.0 — i ' ! ' .4— ■"] ---1

I j—? \ i | i ; T " ! i 1

1 i i j . ;____j J_____ .. J ...L-f - -i

( j ! ..... r j ! ; : !

! -7 T s >: A s

1 1 ~r.....H ! D j ! ; I J

......1......1........ 1 ___ | _J

f i 1 tzj_.......\i. J j

1 — i i I ! f

i ; —"5i0— ■ 1 j , !

i ! i L J

Г" ' T 1 _ i J . ! . : Щ i i

_ ....., i { j 1 i __J... -j

1 ? j 5 L i ; 1

"1" "-1

j г ........Z D _ / ;l. 1 X: -1- - ......r\

! ! Л ......t : X..... T_________ „.../i...... ____ !

! |----- i t / i ...... :/' !

I 1 T s I«,__ ' i _

i /lil i

1 1 _ OjO ......! 1 1 ........i....... . .1 1 1

1. п...... ri a ft П.. |......gig .. __ 1 P. ... . rj л .га .. A1

Yu г • ! 1 j —i

1 1 j ! j : l t

! J ; I i 1? ! : 1 -----

i i ! ■ I L_

L........_U j!. _ ; ! ■ f i

h ; 1.....T~T ■ ip _______j. 1., T

;" " T "f...... .......!..... i 1

I... ...L. I_______ 1 i /-?n j _ ] | j ' j

Рис. 5. Линейная интерполяция Лагранжа

Интерполяционный многочлен можно рассматривать как обобщение отрезка ряда Тейлора. Обобщением понятия производной является понятие разделенной разности. Разделенные разности нулевого порядка /(х]) совпадают со значениями функции /(х ). Разности первого порядка определяются равенством

,/ \ /(х)-/(хг) / \ /(х,,х)-/(хх) / \х;; х.} =---, второго порядка - равенством /\х;; х/; хк) =------

1Л — хк )

и т.д.

х.-х,

Разделённые разности первого, второго и более высоких порядков имеют размерности производных соответствующих порядков. Разделённые разности любого порядка можно выразить непосредственно через узловые значения функции.

При помощи разделенных разностей можно получить другую форму записи интерполяционного многочлена. Пусть Ьт(х) - интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами интерполяции хп....,хт. Интерполяционный

многочлен Лагранжа Ьп (х) можно представить в виде

L„{x) = ФЫШ-Ц(х))+.... + (ф)-Ln _,(*)).

(5)

Разность ЬП1{х)- (х) есть многочлен степени т —1, обращающийся в нуль в точках х1,-.--,хт_1 , поскольку

4-1(*,) = 4(*,) = Лх,) при 1 < ) < т -1.

Следовательно,

4(*)~ 4,-1 (*)= Ам^-i(х), где АтЧ = const.

Полагая х = хт, получим

f(Xm ) - 4-1 (Хт ) = Ат-Х ® т-1 (Хт ) ■

С другой стороны, в выражении

/(х)-4(х)=/(х;х1;....;хи)®и(х)> iyw_1(x) = (x-x1)...(x-xw_1)

положим п — т — 1 и х = хт, имеем

Ахт) - 4-1 (*«) = f(xm; X,;....; > ^ (хт).

Таким образом, Ат_} = /(х,;....;хт) и поэтому

£»(*)- 4-, (*) = ./ихт)®т_л (х). Подставляя эти величины в (5), получим

К (х) = ЛХ1) + /(* 1 ;х2Хх-х1) + ..¥. + /(х1;....;х„ \х -*,).. .(х - хйЧ). Интерполяционный многочлен, записанный в такой форме, называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями [3,8],

Реализация линейной интерполяции Ньютона представлена на рис. 6.

Рис. 6. Линейная интерполяция Ньютона

Дискретное преобразование Фурье применяется при решении многих прикладных задач. К ним относятся тригонометрическая интерполяция, вычисление свертки функций, распознавание образов и многие другие. Дискретное преобразование Фурье стало особенно эффективным методом решения прикладных задач после создания быстрого преобразования Фурье.

Пусть /(х) - периодическая функция с периодом 1 - разложена в ряд Фурье:

00 со

/(х)= а е{2шс[х\ причём

о, =-«1

где /' - мнимая единица.

Рассмотрим значения этой функции на сетке из точек х,

1_ N

, где /, Лг целые, N фиксировано, и обозначим

у(х. )=./)■ Если ¿у, - ¿у, = кМ, где к целое, то д2х1 - с/,х/ = кМх! = к1, где к! целое. Следовательно, е{2тдхх] = е{2шд.> х) в узлах сетки. Поэтому, если функция /(х) рассматривается лишь в узлах сетки х;, то в соотношении (1) можно привести подобные члены [3]:

ЛГ-1

4-0

где

Пусть табулирована не только функция, но и её производные вплоть до некоторого порядка. Тогда можно потребовать, чтобы в узлах интерполяции совпадали не только значения искомой функции >{х) и интерполяционной функции <р(х), но и значения их производных вплоть до некоторого порядка. Такую интерполяцию будем называть эрмитовой. Если (р{х) - алгебраический многочлен п -й степени, то он называется интерполяционным многочленом Эрмита и обозначается Нп{х).

Покажем, как построить этот многочлен. По п +1 узлу построим интерполяционный многочлен Ньютона (х; х0,'х,,...., х/г). Поскольку значения функции /(х) и многочлена в узлах совпадают, то их средние наклоны

на участках между узлами равны. Мысленно будем приближать узел хп к узлу х„_,; при этом средний наклон будет

стремиться к производной. Значит, после совпадения узлов получим многочлен, который в узле хп_л правильно передаёт не только значение функции, но и значение первой производной. Символически обозначим его как

Р„ (*> *0 ' Х\ V ХП~\ 5 Хп 1 ) •

Слияние трёх узлов в один обеспечивает передачу не только наклона, но и кривизны, т.е. первой и второй производных и т.д. [3, 6]. Таким образом,

Г \

x, xq , xq , л q ,...., х0, xj, x]x], x , x х

V

Щ

щ

£тк=п + \.

к=О

Реализация интерполяции по Эрмиту представлена на рис. 7.

5.0-

2.5—

|-1-1-!-Г

-5 -4 -3

-2

|0-Р -1 /"Ф

ж

f I ■ i—I—г

1 2

щ ■

f г

I

I

^-5.0-

Рис. 7. Реализация интерполяции по Эрмиту

Оценка погрешности методов. Метод Лагракжа. Число арифметических действий для вычисления по (4) пропорционально /Г. Для оценки близости полинома Р„(х) к функции f(x) предполагают, что существует /? + 1-я

непрерывная производная / (х). Тогда имеет место формула для погрешности [6]:

[П+ \f. %t

Метод Ньютона. Проведем строгое исследование погрешности метода, проистекающей от замены искомой функции интерполяционным многочленом Ньютона. Погрешность удобно представить в виде

у(х)- Рп(х) — (Оп(х>(х),

(6)

1=0

ибо она заведомо равна нулю во всех узлах интерполяции. Введем вспомогательную функцию = }'{%)- Рп(£)- соп(£)г(х), где х играет роль параметра и принимает любое фиксированное значение.

Очевидно, #(¿0 = 0 при £ = х0,х1,....,х;г и при £ - х, т. е. обращается в нуль в п + 2точках.

Предположим, что у(х) имеет /7 +1 непрерывную производную; тогда то же справедливо для ). Между двумя нулями гладкой функции лежит нуль её производной. Последовательно применяя это правило, получим, что между крайними из п + 2 нулей функции лежит нуль п + 1-й производной. Но )= У )-(и +1)г(х). Если в

г« с М У"+"(Г)

какой-то точке £ , лежащей между указанными выше нулями, она обращается в нуль, то г(х] = у. Заме-

(п + 1)!

няя погрешность (6) максимально возможной, получаем оценку погрешности

^„,(х)=тах|у^Щ, (7)

где максимум производной берется по отрезку между наименьшим и наибольшим из значений х,х0,х1,....,хп .

Оценить СОп(х) при произвольном расположении узлов интерполяции сложно. Однако таблицы чаще всего имеют постоянный шаг И = хм - х,, а узлы интерполяции берутся из таблицы подряд. Тогда 0)п(х) имеет примерно такой вид, как показано на рис. 9 для п- 5: вблизи центрального узла интерполяции экстремумы невелики, вблизи крайних узлов - несколько больше, а если х выходит за крайние узлы интерполяции, то соп(х) быстро возрастает [3].

Рис. 9

Метод Эрмита. В узле хк правильно передает значение функции и ее производных вплоть до порядка тк -1 и

имеет минимально необходимую для этого степень. Оценка погрешности метода (7) в этом случае принимает следующий вид:

|у(х)-НХх)<^рМ ПДх) = П(х-х,Г • (В)

(" + 1/ к-Л

Очевидно, если сетка имеет шаг И , а точка х лежит между крайними уздами интерполяции, П(х)= (){ип [

то порядок точности эрмитовой интерполяции равен п +1, т. е. числу коэффициентов интерполяционного многочлена.

Заметим, что обычный многочлен Ньютона с таким же числом коэффициентов (т.е. той же степени) также имеет погрешность (){ьп""' ). Однако на одной и той же сетке численная величина погрешности многочлена Ньютона будет больше, чем у многочлена Эрмита: его вспомогательный многочлен со п (х) содержит больше узлов, чем П(х), и

поэтому в него входят большие сомножители. Очевидно также, что чем более высокие производные используются при построении интерполяционного многочлена Эрмита заданной степени, тем меньше требуемое число узлов и тем меньше будет численная величина его погрешности (хотя порядок точности остается одним и тем же).

Выражением (8) нельзя воспользоваться буквально. Если формально подставить в формулу Ньютона совпадающие узлы, то потребуется вычислить разделенные разности, у которых некоторые узлы являются кратными. Выражения для

таких разностей содержат неопределенность типа Ц. Если кратность каждого узла не больше чем двойная, то эту

неопределенность можно раскрыть с помощью предельного перехода, например,

*г-«о Х() - X,

А*о -УМ-у(х0,х,)}

х0 X,

>(Х0 > Хо 'Х\'Х\)~

^[У(х0)--2Ах0,х1)+У{х1)]

(х0-хх)2

Если узлы имеют более высокую кратность, то удобнее формулу Ньютона дифференцировать. Например, если ее продифференцировать т -1 раз, то обратятся в нуль все члены, содержащие разделенные разности порядка меньше т — \. Затем положим х = х0 = х, =....; тогда обратятся в нуль множители перед разделенными разностями порядка больше т -1 и мы получим

Л

1

У

*0 ' хо ■> • • ■ ■ ■> хс

(т-1)

У

(тЛхо).

Но узлы более чем двойной кратности почти не встречаются в практике вычислений, ибо вторые и более высокие производные искомой функции редко табулируются.

Рассмотрим наиболее употребительные частные случаи интерполяционного многочлена Эрмита. Первый случай — многочлен, который в одном узле х0 совпадает с функцией и всеми ее заданными производными:

Р„ (*; *о >*о>--) = Ах О ) ■+ (х~ хо М* о )+™(х" хо У /(х о )+-■

Очевидно, это отрезок ряда Тейлора; в этом случае Пя(дг) = (х- х0/ 1 и оценка переходит в известную оценку точности ряда Тейлора.

Второй случай - многочлен, передающий в двух узлах значения функции и ее первой производной:

Р„(х;х0,х0,х,,х) = у{х0)+(х- х0)(/(х0) + (х-х0|>(х0,х0,х1)+(х-х])>(х0,х0,х,,х,)]}.

Функция Пи(х) = (х- х0)~(х- X))" внутри интервала интерполирования не превышает

ность формулы (8) не более 0.26М4/?4 ; эта формула имеет четвертый порядок точности [3]. Теперь рассмотрим другой класс получения параметрических кривых.

Ул

, так что погреш-

¿р(0)

_

с1Р(1) р(1) ^

Рис. 9. Параметрическая кривая в форме Фергюсона

На рис. 9 изображена параметрическая кривая в форме Фергюсона. Кривая описывается уравнением вида

(у) = ту' + ну2 + ру + с}, где (у) - параметр, (а, п, т, р, с() - векторы.

Параметрическая кривая, заданная в форме Фергюсона, имеет следующие свойства: - кривая полностью определена условиями, заданными в граничных точках;

- касательные к кривой, проведенные в граничных точках, коллинеарны векторам производной по параметру (у),

поэтому возможно гладкое соединение сегментов кривых, если равны координаты их граничных точек и совпадают направления параметрических производных в этих точках;

- изменение модулей векторов производных влечет за собой изменение всей формы кривой.

Метод интерполяции кривых с использованием кубических сплайн-функций заключается в построении кубического интерполирующего полинома на каждом интервале, причем в общем случае соединение сегментов кривой не является гладким.

Кубические сплайны обладают следующими преимуществами:

- вследствие простого задания кривой удобны в использовании, так как для построения кривой необходимы только значения сплайн-функции в узлах (опорные точки) и значения первых производных в концевых точках;

- на каждом интервале кривая определяется кубическим полиномом;

- так как кривая на всем интервале является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, то у кривой нет точек перегиба.

К недостаткам интерполяции кривой с использованием кубических сплайнов следует отнести необходимость задания (/?- ]) значений производных [1].

Для конструирования пространственной кривой с использованием интерполяционных полиномов Эрмита необходима геометрическая информация о концевых точках и задание первых л производных в этих точках.

Кривую можно интерполировать на заданном интервале, если в качестве весовых функций выбрать кубические полиномы следующего вида:

х(//) = ахи3 + /уг + схи + йх; у(и) - а и3 + Ь и2 + с и + с1у ;

При определении коэффициентов

г(и) - алг + Ълс + см + б/,.

/ = Ьг,уА,

с использованием координат концевых точек, а также концевых касательных векторов получаем следующую матрицу Эрмита:

мя =

J

Если весовые функции и краевые условия записать в матричном виде

х{и) = ^иги\ХаАсАУиКх

2 -2 1 1

— -Э о -2 -1

0 0 0 0

1 0 0 0

то получим представление кривой по Эрмиту:

е(«)=

О,, =

Р( 0)1 р{ 1) р( о

у(и)

А»)}

= иМ„Ст„, О<?<<!,

где

ЦМН =

2и3-Зи2+\\ - 2 иъ + Зи

и - Ъг + и

и -и'

J

Желаемую форму кривой можно получить при изменении длины касательных векторов или их направления.

На рис. 10 приведен пример, иллюстрирующий зависимость формы кривой от длины касательных векторов в концевых точках и их направления. Этот пример показывает, что сегменты кривых соединяют гладко, если в концевых точках этих сегментов заданы одинаковые касательные векторы. Кусочная интерполяция пространственной кривой по Эр-миту позволяет построить гладкую кривую, но для получения желаемой формы кривой необходимо относительно плотно установить опорные точки, т.е. концевые точки сегментов. Это приводит к возрастанию объема обрабатываемой информации. Таким образом, изменение опорных точек кривой приводит к изменению всей формы кривой. Поэтому интерполяция кривой по Эрмиту не допускает локальных изменений кривой.

-►

1

(а) (Ь)

Рис. 10. Зависимость формы кривой от длины векторов (а) и направления векторов (Ь)

Уа.

да _ а?

Рис. 11. Кривая в форме Безье Представление кривой в форме Безье имеет вид (рис. 11):

(?(")=!%,». 0 < v < 1,

1=0

где в качестве базисных функций используются полиномы Бернштейна степени п:

(гЛ

. >>г(1-у)й-1, 1 = 0,1,....,/!

V У

Такая кривая аппроксимирует ломаную, вершинами которой являются опорные точки Эту ломаную

называют характеристической ломаной заданной кривой.

Преимущество метода Безье заключается в том, что в силу своего построения кривая является гладкой. Как и в приведенных выше методах, под гладкостью понимается дифференцируемость. Граничные точки кривой Безье совпа-

дают с крайними вершинами характеристической ломаной, причем первое и последнее звенья ломаной являются касательными к кривой соответственно в начальной и конечной точках.

Форма кривой Безье зависит от расположения вершин характеристической ломаной, причем передвижение вершин вызывает изменение всей формы кривой. При повышении степени многочленов Бернштейна, достигаемом увеличением числа звеньев ломаной, например, вследствие деления их пополам, уменьшается отклонение характеристической ломаной от кривой Безье, т.е. с ростом л последовательность звеньев ломаной сходится к кривой Безье [5, 7].

Ранее под сплайном понимали гибкие деревянные или металлические линейки, которые называли также лекалами. Они могли изгибаться так, чтобы проходить через две заданные точки. Кривые, описанные таким сплайном, находят широкое применение в судо-, автомобиле- и самолетостроении. В настоящее время имеются удобные математические методы для описания таких кривых, поэтому они используются при конструировании криволинейных форм, а также в других отраслях промышленности [1,4, 5].

На рис. 12 представлены В-сплайны с равномерным распределением узлов для и = 1,2,3,4. Аппроксимация кривой с помощью В-сплайнов позволяет сгладить недостатки метода Безье, в котором форма и степень кривой зависят от количества опорных точек. Эти недостатки можно полностью устранить, если при конструировании кривых использовать модифицированные нормализованные В-сплайн-функции.

К=1 К=2

0 1 0 12 К=3 к=4

Свойства кривой, построенной с использованием В-сплайнов:

- кривая определяется линейной комбинацией сплайн-функций, коэффициентами которой являются координаты опорных точек, Р! = [Рх, Ру,Р.) кривая является кусочно-полиномиальной;

- локальное изменение опорных точек не приводит к модификации всей формы кривой;

- кривая находится внутри выпуклой оболочки;

- кривая может содержать прямолинейные отрезки;

- возможно задание координат вершин характеристической ломаной;

- возможно распознание нежелательных экстремумов и петель кривой по виду характеристической ломаной [5].

Подведем итоги. Задача аппроксимации состоит в определении приближенного описания для исходной кривой. Такое приближенное описание может быть обработано с использованием различных вычислительных методов. Исходные кривые должны удовлетворять ограничениям, накладываемым методами аппроксимации.

Интерполяция является частным случаем аппроксимации, в котором требуется согласование исходной и аппроксимирующей кривых в заданных опорных точках. Наиболее известными методами конструирования кривых являются полиномиальная интерполяция Дагранжа и Эрмита, а параметрическими методами аппроксимации кривых - метод Фергюсона, метод Безье, метод аппроксимации с помощью кубических и В-сплайн-функций, метод Кунса [3].

Произвольные непрерывные кривые в пространстве можно аппроксимировать аналитически описываемыми объектами. При этом сегменты пространственных кривых аппроксимируются отрезками, дугой окружности, параболами и кривыми более высокого порядка. Однако применение этих методов приводит к большому объему обрабатываемой информации и требует значительных затрат, связанных с разбиением пространственной кривой на отдельные сегменты. Самой известной формой аппроксимации плоской кривой является интерполяция с использованием следующего полинома:

п

У =

г

Если заданы координаты (п + 1)-й точки кривой, то коэффициенты получаются как решение линейной системы из (п + 1)-го уравнения.

Преимущество такой аппроксимации кривой заключается в простом вычислении коэффициентов. Однако это имеет ряд существенных недостатков: наличие вертикальных касательных делает невозможной аппроксимацию этой формы. Этот недостаток можно устранить, выбрав соответствующим образом систему координат. Вид аппроксимирующего полинома зависит от выбора системы координат; зависимость между коэффициентами полинома ас и формой кривой не является очевидной, а просматривается только после соответствующих преобразований.

Описанные в статье подходы показывают возможность моделирования простейших кривых с помощью аналитических функций. Подобные направления используются давно, но несмотря на это, они получили дальнейшее развитие с учетом применения методов дифференциальной геометрии.

Библиографический список

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. - М.: Мир, 1972. - 318 с.

2. Ахатов Р.Х., Хаоанов В.Х. К вопросу формирования математических моделей поверхности сложных технических форм в САПР. Прикладная геометрия и машинная графика в авиастроении. - М,: Изд-во МАИ, 1981. - С. 27-30.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1975.

4. Василеноко В.А. Сплайны. Теория, алгоритмы, программы. - Новосибирск: Наука СО, 1983. - 186 с.

5. Завьялов Ю.С., Лесус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. - М.: Машиностроение, 1985.

6. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.

7. Осипов В.А Теоретические основы автоматизации геометрических расчётов и машинной графики (автоматизированная система машинной графики). - М., 1978.

8. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1976.

С.С.Сосинская

Комплексный подход к оценке качества технической диагностики

В технической диагностике возникает ряд задач. Основное внимание в данной работе уделяется оцениванию состояния объекта либо в последующие моменты времени по состояниям объекта в прошлые моменты времени (задача прогнозирования), либо в прошлые моменты времени по текущему состоянию (задача генезиса).

Задача прогнозирования имеет определенную степень точности, которую можно оценить с помощью некоторого критерия.

В любом случае состояние объекта в каждый момент времени определяется набором характеристик или признаков, которые могут измеряться в различных шкалах. Признаки подразделяются на ранговые, или качественные, и количественные. Измерение ранговых признаков производится по шкале порядка, допускающей операции «равно» и «больше - меньше». Например, ранговым признаком является уровень шума: очень высокий, высокий, средний, низкий, очень низкий. Ранговые признаки также приводятся к числовым значениям, соответствующим коду соответствующего ранга. Отличительная особенность количественных признаков -возможность упорядочения значений по числовой шкале.

Для оценки состояния объекта по его характеристикам предлагается использовать известные методы, в частности, методы классификации объектов, использование экспертных систем и метод квалиметрической экспертизы.

Эти группы методов, казалось бы, различны, но при более глубоком рассмотрении имеют много общего, что позволит, на наш взгляд, использовать их сочетание для получения более эффективной оценки качества технической диагностики.

Охарактеризуем каждый из предлагаемых методов.

Задача классификации объектов предполагает наличие системы признаков X - ( хх,...х1,...хп), описывающих объекты. Каждый признак может быть измерен в своей шкале, но впоследствии все они должны быть нормированы. Распознавание - это отнесение конкретного объекта к одному из фиксированного перечня образов (классов) по определённому решающему правилу в соответствии с поставленной целью. Размерность признакового пространства п обычно стремятся сделать как можно меньше, поскольку при этом сокращается количество требуемых измерений, упрощаются вычисления, формирующие и реализующие решающие правила, повышается статистическая устой-