О зонах возвратного течения около уступа в сдвиговом потоке невязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1989

№ 2

УДК 532.525.6

О ЗОНАХ ВОЗВРАТНОГО ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО УСТУПА В СДВИГОВОМ ПОТОКЕ НЕВЯЗКОЙ жидкости

В. С. Садовский

Приведены результаты аналитико-расчетного исследования задачи об обтекании уступа сдвиговым потоком невязкой жидкости. Показано, что при постоянной величине вихря во всем поле течения в окрестности основания уступа с неизбежностью появляются зоны возвратного течения. Дано обобщение решения и приведены некоторые результаты расчетов для случая, когда постоянные завихренности в рециркуляционной зоне и основном потоке не совпадают. Вычислен интеграл избыточного давления по высоте уступа, в соответствии с которым в сдвиговом потоке на уступ действует сила тяги.

Теоретические исследования обтекания тел потоком невязкой жидкости с постоянной завихренностью, начатые более шестидесяти лет тому назад

С. А. Чаплыгиным [1, 2], продолженные Тзяном [3], в последние пятнадцать лет приобрели повышенный интерес в связи с различными аспектами, и вряд ли стоит указывать здесь обширную библиографию по этим вопросам. Приведенное ниже в кратком изложении решение конкретной задачи характерно наличием силы тяги, которая действует на уступ независимо от того, совпадает или нет завихренность в рециркуляционной зоне с завихренностью набегающего потока. Помимо этого в частном случае, когда критическая точка перед уступом уходит на бесконечность вверх по потоку, полученное решение может иметь самое непосредственное отношение к краевой задаче, сформулированной в [4] в связи с исследованием вязких течений около уступа при Ие-»-оо.

1. Рассмотрим стационарное течение невязкой жидкости около уступа прямоугольной формы. Схема течения, система координат и основные обозначения приведены на рис. 1. Все линейные размеры отнесены к высоте уступа А, а компоненты скорости — к (со/г), где—<о<0—постоянная во всем потоке величина вихря. Профиль скорости при — оо принят линейным (ы, V — компоненты скорости по осям х, у соответственно):

и(—оо,у) — Уо + у-,и(—оо,у)=0.

Известно, что функция тока -ф (лс, у) удовлетворяет уравнению Пуассона с единичной (в рассматриваемом случае) правой частью. Представим г|з в виде

Мр = у2/2 + Р(х, у). (1)

Очевидно, что искомая функция Т7 является гармонической и в соответствии с (1)

=

при у-^ + оо

О- у = 0, х < О,

- 1/72; 1, х = 0,

— 1/2; У= I, х^О,

дР/дх=0; дР/ду=Уо-

(2)

(3)

Для нахождения гармонической функции /•" отобразим область течения на плоскости г на верхнюю полуплоскость комплексной плоскости /=|-Ит| с помощью аналитической функции

(4)

Соответствие границ изображено на нижней части рис. 1. На действительной оси плоскости t и при / —►*оо условия (2), (3) практически не изменяются:

0;

КО,

Р= ~уЧ1)/ 2;0<£<1.

1/2;

аР П дР 2 4

_=°; ОО.

(5)

(6)

Функция удовлетворяющая условиям (5), (6), в верхней полуплоскости т)^0 имеет вид:

(« —1)2 + г)г

(7)

Последние два слагаемые в (7) есть известный интеграл Пуассона, восстанавливающий гармоническую функцию по ее значению (5) на действительной оси. В (5) и под знаком интеграла в (7)

У(1) = [^6( 1-1) + агс18Ут?т] :

(8)

что следует из (4).

Итак, функция тока ф, описывающая равномерно завихренное течение около уступа, дается выражениями (1) и (7). После ее дифференцирования и простых преобразований получаем распределение скоростей и, V перед и по высоте уступа:

о=^т?т у«—туу'1п-V1 ~4-$ уу'{$1 -Гш^1; о<|<1,(ю) *" ,0-1

где

уу'® = + л/н?агс^ 'л/Зг) •

Обратим внимание на некоторое своеобразие в распределении скоростей в окрестностях основания уступа и его острой кромки при потенциальном и вихревом течениях. Если £-*-— 0(а:—»—0), то из (9) можно установить, что

и —У—"! [ Ко-ЬС| 1п (—|)] ~ —*[ Ко + Сг 1п (— дс) ],

где константа с2 не зависит от К0. Это соответствует известному факту (см., например, [5]), что градиент скорости в основании прямого угла в вихревом потоке имеет в отличие от потенциального потока логарифмическую особенность.

Аналогично из (10) при £->-1—0 получается:

Уо +х(1 +^г)] Уо +4-(! + ^г)] (1 -У)~1/3-

Отсюда следует, что при обтекании острой кромки в виде прямого угла характер особенности в распределении скорости в вихревом и потенциальном течениях совершенно одинаков.

Анализ зависимости ы(|) показывает, что в окрестности основания уступа в равномерно завихренном потоке имеется зона возвратного течения. Действительно, на оси х перед уступом |<0, поэтому выражение в квадратных скобках (9) положительно и стремится к нулю при £->—оо. Следовательно, при любом Ко>0 перед уступом имеется точка лсо, в которой скорость обращается в ноль. При более тщательном исследовании выясняется, что аналогичная критическая точка у0 имеется на вертикальной части уступа. Именно на эти точки опирается линия тока, отделяющая рециркуляционную зону от внешнего течения. Очевидно, что с убыванием Ко |*0| возрастает, т. е. критическая точка передвигается вверх по потоку. При Ко-*-0 Хо-»—а соответствующее предельное значение г/о = 0,639.

Трансформация рециркуляционных зон в зависимости от параметра Ко представлена на рис. 2. Там же изображена линия тока г|э = 0, приходящая

в острую кромку уступа. Соответствующее ей значение Ко= — (1+^г).

Видно, что с возрастанием Ко протяженность зоны возвратного течения в обоих направлениях уменьшается, и в пределе, когда набегающий поток переходит в потенциальный, она исчезает.

з

Определим коэффициент сопротивления уступа обычным способом:

1

сх = \срйу,

О

где коэффициент давления ср— I — (у/уо)я нормирован с помощью скоростного напора на оси х при — оо. После подстановки (10) в интеграл для сх получаем

Сх=С\(й — С2<02. (И)

Здесь ю — величина вихря (с учетом знака), приведенного к безразмерному виду с помощью скорости на оси х вдали от уступа, а коэффициенты с\ и сг есть определенные интегралы:

с* = -т№+Ял/тМ6: С2 = ^(^+Я2л/т?т^’

о о

в которых

g(l) = yy'(l)\n^■ № = | йз, (12)

о

Численным интегрированием получено: С\ = 1,00007; с2 = 0,33338, поэтому для коэффициента сопротивления можно принять:

сх = (О — ю2/3

(доказать строго, что С1 = 1, а сг= 1/3—не удалось).

В случае потенциального течения й=0 и сопротивление уступа равно нулю, что согласуется с хорошо известным результатом. Однако, для приведенного на рис. 1 профиля скорости (о<0, поэтому формула (11) дает силу тяги. Естественно, что при полном обращении потока получается донное сопротивление ступеньки.

Необходимо отметить, что сопротивление уступа может быть и положительным (если 3>с5>0), однако, в этом случае набегающий поток снизу и сверху от точки с ординатой у+=Уо будет иметь противоположные направления.

2. В приведенном выше исследовании наличие зон возвратного течения является внутренним свойством равномерно завихренного потока, поскольку при построении решения их существование не постулировалось. Однако, предположив их существование, можно построить решение для случая, когда завихренность (— £2) в рециркуляционной зоне постоянна, но отлична от завихренности набегающего потока/

Итак, пусть перед уступом имеется замкнутая область 2, опирающаяся на ось х и вертикальную часть уступа, в которой величина вихря Й=й=1 (как и выше, приведение к безразмерному виду произведено с помощью величины вихря основного потока). Добавим к выражению (7), являющемуся частью функции тока (1), слагаемое

= „з,

Очевидно, что Ф(|, л)не нарушает условий непротекания на жестких границах, исчезает на бесконечности, и, как логарифмический потенциал площади, обеспечивает нулевое значение лапласиана вне области 2 и значение

(£2 — 1)—внутри нее (в физической плоскости). Тем самым, если «жидкая» граница области 2 известна, то функция тока (1, 7) вместе с (13) описывает вихревое течение около уступа, в котором ротор скорости равен —Я и — 1 внутри области 2 и вне нее соответственно. При заданных значениях свободных параметров Ко и Я граница зоны возвратного течения может быть найдена решением интегрального уравнения ф=0 итерационными методами.

При выполнении расчетов независимыми параметрами были выбраны координаты дг0, уо критических точек, на которые опирается разделяющая линия тока (в плоскости * им соответствуют точки £|<0 и 0<|2-<1). Вихрь Я и скорость Ко находятся из условия, что в этих точках скорость потока обращается в ноль:

а,—а, Ь1аг — Ь2а1

; К0 =

Ь | Ь2

6, ьг

где

»'(ь)-т[гпг + |

,

£

ёг |2 рёаёр

(а-6.) +Р*

Видно, что если а,(Ю = аг(|г). то Я=1 и, независимо от величин Ь\ и Ь2, Ко = а1 = аг. Это соответствует исследованному выше случаю. В противном случае ЯтМ, и для заданных £1, |г(т. е. хо, уо) решением интегрального уравнения 1|; = 0 находится разделяющая линия тока, опирающаяся на точки *о, Уо, чем и определяется все решение.

При численном исследовании фиксировалось некоторое значение 0<«/о<1 и для различных значений параметра Хо, определяющего протяженность рециркуляционной зоны вдоль оси х, находились соответствующие разделяющие линии тока г|) = 0.

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 3, 4, где изображена зависимость Я и Ко от параметров хо уо■ Видно, что величина завихренности Я в зоне возвратного течения может быть как меньше, так и больше завихренности основного потока. Характерно и то, что при фиксированной точке уо возрастание протяженности области 2 в направлении оси х приводит к уменьшению как Я так и Ко.

На рис. 5 изображены разделяющие линии тока для значений Я и Ко, представленных в табл. 1

Таблица 1.

Кривая на рис. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 и

Уо 0,406 0,406 0,406 0,516 0,516 0,516 0,516 0,55 0,55 0,55 0,55

о 0,046 1,0 2,175 0,306 0,608 0,967 1,986 0,747 0,978 1,517 3,118

У0 0,403 0.5 0,727 0,147 0,182 0,243 0,455 0,129 0,173 0,289 0,640

Коэффициент сопротивления уступа в данном случае представим в виде

Сх = & + Ас*.

Здесь сйх не зависит от Я и дается выражением (11), а второе слагаемое Асх имеет вид:

в котором

(а-1) + р2

а функции /(£) и £(|) определены выражениями (12). Как и <о, завихренность в рециркуляционной зоне сделана безразмерной величиной с помощью скорости на оси х вдали от уступа.

Простой анализ результатов показывает, что для фиксированных значений скорости на оси х и завихренности основного потока существуют решения с различными величинами Я, причем большим значениям О соответствуют зоны возвратного течения большей протяженности. Однако в результате обширного численного эксперимента выявилось, что во всех случаях величина Асх не превосходит 0,05% от величины с2- Более того, какой-либо регулярной закономерности в зависимости как величины Асх, так и ее знака от (ш — £2) не было обнаружено. Указанное обстоятельство можно интерпретировать так, что Дс*=0, а получающиеся- ненулевые значения являются результатом ошибок численного счета.

Подтверждением независимости коэффициента сх от £2 может служить то, что вклад в поле скоростей, даваемый зоной 2 (т. е. функцией Ф), на больших расстояниях от начала координат становится исчезающе малым по сравнению с вкладом основного потока (1,7), что приводит к исчезновению слагаемых, содержащих производные от Ф, в интегральной теореме импульсов, примененной к достаточно удаленной от уступа контрольной поверхности.

Итак, как и в рассмотренном выше случае, на уступ при 1 также действует сила тяги, если профиль скорости при х—*— оо имеет наклон, аналогичный изображенному на рис. 1 (со<;0).

В заключение кратко остановимся на частном случае Уо = 0, когда критическая точка хо уходит вверх по потоку на бесконечность. Такая задача имеет непосредственное отношение к исследованию вязких течений несжимаемой жидкости около уступа при Ие-»-оо [4].

При £2=1 решение получается сразу из (1,7), если положить Уо = 0. Если же £2=^1, то появляются некоторые вычислительные сложности из-за неограниченности области возвратного течения 2, по которой производится интегрирование в Ф(|, ц), и необходимо использовать асимптотику разделяющей линии тока при х-*- — оо.

Таблица 2.

Уо 0,614 0,629 0,639 0,651 0,670 0,689 0,715

а 0,764 0.821 1,000 1,101 1,247 1,372 1,529

Решение при Уо = 0 удалось получить лишь в достаточно ограниченном диапазоне изменения положения критической точки у0 на уступе. В табл. 2 приведены соответствующие результаты расчетов.

Видно, что чем ниже расположена точка у0, тем меньше величина й в рециркуляционной зоне. На рис. 6 изображены разделяющие линии тока при некоторых значениях вихря £2. Там же изображена соответствующая линия тока, полученная в [4] при Ре=104.

Рис. 6

Что касается силы, действующей на уступ, то наличие силы тяги при Уо=0 очевидно, так как во всех точках величина давления не превосходит давления в набегающем потоке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чаплыгин С. А. Вихревой поток, переливающий через пре-

пятствие в форме круглого полуцилиндра. Собр. соч. т. II. — М.: ОГИЗ, 1948.

2. Чаплыгин С. А. К теории метелей. Собр. соч., т. II. — М.:

ОГИЗ, 1948.

3. Т s i е п Н. — S. Symmetrical Joukowsky airfoils in shear flow. — Quarterly of Appl. Math., vol. 1, N 2, 1943.

4. Боголепов В. В., Липатов И. И. О ламинарном течении

вблизи уступа. —ПМТФ, 1988, № 1.

5. Садовский В.. С. О локальных свойствах вихревых течений. Ученые записки ЦАГИ, 1971, т. 2, № 4.

Рукопись поступила 8/П 1988 г.