Численное исследование вязких закрученных потоков Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

_______ ід8 7

№ 4

УДК 532.527

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЯЗКИХ ЗАКРУЧЕННЫХ ПОТОКОВ

А. М. Гайфуллин, В. Ф. Молчанов

Предложен метод численного решения задачи о течении вязкой жидкости в завихренном стационарном осесимметричном потоке. Приведены примеры расчета течений с наличием рециркуляционной области в окрестности центральной линии вихря.

При обтекании крыла дозвуковым потоком внутри вихревого шнура иногда возникает аномальное течение, известное под названием «взрыв вихря». Оно влияет на аэродинамические характеристики крыла и поэтому данный вопрос является предметом изучения в значительном количестве теоретических и экспериментальных работ [1—8]. Тем не менее до настоящего времени еще идут споры относительно механизма распада вихря, поэтому определенное значение имеет прямое численное моделирование уравнений Навье—Стокса. Наибольшие успехи здесь получены при исследовании так называемой пузыревидной или осесимметричной формы «взрыва» [2—6]. В большинстве работ рассматривается течение закрученной жидкости в трубе [2—4]. В работе [5] исследуется вихревое течение, которое имеет на бесконечности постоянное давление.

Наличие зоны возвратного течения требует значительных усилий для получения устойчивой разностной схемы расчета. Кроме того, необходимы меры по ускорению сходимости итерационного процесса, так как само физическое течение иногда очень медленно выходит на стационарный режим.

Основная идея предлагаемой расчетной схемы решения уравнений Навье—Стокса опирается на предположение о том, что при достаточно больших числах Рейнольдса (Ие) большая часть области течения могла бы быть описана уравнениями типа пограничного слоя. Исходя из этого, а также из условий устойчивости и быстроты сходимости итерационного процесса, в общих уравнениях выделяются некоторые члены, которые определяются из данных текущей итерации, а все остальные члены — из данных предыдущей итерации.

В настоящей статье предлагается полученная таким приемом схема и приводятся результаты расчетов.

1. Постановка задачи. Рассмотрим осесимметричное закрученное течение. Введем цилиндрическую систему координат х, г, 0 так, чтобы ось х совпадала с осью осесимметричного течения, и следующие обозначения: и, V, до— составляющие скорости в системе координат (х, Л0), р — статическое давление, р — плотность жидкости, V — кинематический коэффициент вязкости.

Если предположить, что течение является стационарным, то уравнения Навье—Стокса запишем в следующем виде:

дт . ( дю , IV \ / д2и> , \ дт т . д2 т

“-г + ъ Н—I— =* -гг- +---------------:-------г +

дх \ дг г } \ дг2 г дг г2 дх2

дv , дv т2 др , / д2и , 1 V , д2 V

и---------'\-Ъ------------------=------------— -Ь V----------------------------------------1----------

дх дг г дг \ дг2 г дг г2 дх2

да , ди др . / д2 и 1 да . д2 и

И —--------Ь V —— =----------------- + V ——— + — —--------------------!-

дх дг дх \ дг2 г дг дх2

дх дг г

Введем функцию тока ф и угловую скорость ш

—1- = ИГ, —= — ЪГ\ (!) = ТУ г дг дх ’ ‘

и перепишем уравнения Навье — Стокса в переменных и, со, р

/ШГ2 + _А_ (ШГ2 = , _Ё_ Л.З \ + ,Г3 .

\ дх ) \ дг ) дг \ дг ) дх2

дг

др ___ Ш2Г | и д2ф_________1 д I 1 д^ \2 _ 7 д I 1 д2ф

дг г дх 2 дг \ г дх ) дг \ г дх дг

^ д3 ф г дх3 '

дФ \ др , д [ ди \ д2и

и —!- = — Г —+ V ------------------------------ Г------ + ''Г ■

• 4М + -

^ 1 дх) дх \ дг 1 дх дг \ дг ) дх2

дії

—і- ~ иг.

(2)

(3>

дг

Граничные условия задаются по периметру прямоугольной области

0<л;<£, 0<г</?: (4)

при л; = 0, 0<г </?

и — и0 (г); а) = ю0(г); -ІІ- — >(г) ; (5)

дх дх

при г==/?;0<л:<;1

и = «! (х)\ ш = а),(х)- р = рі(х); (б>

при г~ 0, 0 < х, і

при х — І, 0<><;/?

д2и _ д2и> __ дзф дх2 дх2 дх3

При этом граничные условия (5) — (8) и уравнения (1) — (4) должны удовлетворять условию совместности в углах прямоугольной области. Например, «<>(#) =и4(0).

Если функции и,\ (х) , ©1(х), р!(х) получены из решения внешней невязкой задачи, то из условия сращивания внутреннего вязкого решения с внешним величина Я должна выбираться достаточно большой (намного больше размера рециркуляционной области). В этом случае удобно вместо переменной г ввести новую переменную Г* = Г 1(1 + /гг), где й — некоторая константа.

Уравнения (1) — (4) с граничными условиями (5) — (8) решались численно методом итераций.

Наложим на область течения расчетную сетку, состоящую из прямоугольных ячеек. В узлах зададим функцию тока чр, а в центрах ячеек и, со, р. Обозначим через А) значение величины А в центре ячейки, лежащей в строке г и в столбце /, 1<г'<п, 1

Пусть нам известны значения о, р, и, во всей области течения на некотором шаге итераций. Тогда новое значение со определим из уравнения (1), считая величины и и 1)) известными. Затем из уравнения (2) определим новое значение р, считая со, и и о|з известными; из уравнения (3) определим новое значение и, считая со, р и гр известными; из уравнения (4) по известной скорости и определим новое значение функции тока -ф.

Остановимся на решении этих уравнений. Проинтегрируем уравнение (1) в каждой ячейке столбца / по площади этой ячейки, 2—1. При интегрировании необходимо знать значение ю на границе ячейки, которая является протекаемой для жидкости. Определив направление нормальной к границе скорости, перенесем вдоль этого направления значение со из центра ячейки на ее границу. Считая значения со известными на предыдущей итерации в столбцах /—1 и /+1, получим систему уравнений для определения со в столбце /

где акі( 1<£<4)—коэффициенты, получающиеся в результате интегрирования уравнения (1) и зависящие от параметров потока и геометрических характеристик.

Значение ш* находится из граничного условия (7)

лучим новое значение со во всем поле течения.

Значения ш‘т, 2<г'</г— 1 находятся из граничного условия

аи со'-1 + а21и>‘. +■ а31 <а‘+1 = аи, 2 < і < п - 1,

(9)

,1 = т2

(10)

Проделывая операцию (9) — (10) для каждого /(2</<т—1), по-

(8)

(Н)

Представим давление в виде

р(х, Г)=*р*(х, г)-\-р°{х, г)

1

(12)

Г

др0 ____ и д2 ф v д3 ф

дг г дх2 г дх3

где f(x) определяется из граничного условия (6).

Величины вычисляются в конечных разностях,

я

величина |ш2гс?г вычисляется по формуле

4+1

I

•> л I I И-И I 32^ дг

(й2 гйг= Т7/ + Ру -1---------------—------------1----

[(/^з + ^уиу/з]3 I 6 • г)

где р} = (т))2 г), Дг — величина шага в направлении г.

Уравнение (13) решается следующим образом:

Р01 = р0‘+' _ (л_ Л±. - — _^Ц Аг,

1 И 1 \ г дх* г дхз )

1 ■< г < п — 1, 1 < У < т,

где р° — значение составляющей р° на предыдущем шаге итерации.

Процедура решения уравнения (3) аналогична решению уравнения (1) за исключением того, что величина и на новом шаге итерации находится по релаксационной формуле

К/ = и] (1 — X) -)- щ А,

0<Х<1, 2<г<«-1, 2<у<т— 1,

где и) — значение скорости и) на предыдущем шаге итерации, а вспомогательная величина н находится по формуле, аналогичной (9).

Функция тока определяется из уравнения (4)

VI=4-£(“/+“/+1>г/Аг’

' 2 / = 1

1< / < т — 1, 1 < I < п.

1+—

Значения ф 2Х, 1 <;£<« — 1 находятся из граничного усло-

т + Т

вия (8)

р‘'+Т =ц1+ \ _з^+Т +ф‘+28. т + ~2 т~Т т~Т т~

Таким образом определяются новые значения со, р, и и г|з на следующем шаге итерации во всем поле течения:

Полученные значения аз, р, и и г|) считаются решением задачи, и процесс итерации заканчивается, если при Я = 0 выполняется условие

\и.)— и/|<е, 2<У</и, 1<г<«—1,

где е — некоторая малая наперед заданная величина.

Данная схема расчета имеет первый порядок точности. Она позволяет исследовать рециркуляционные области в градиентных течениях (М*). (01 (я) и Р1{х) —произвольные функции].

2. Результаты расчета. Апробация схемы, описанной-выше, проводилась на примере двух известных аналитических решений.

При v = 0 уравнения Навье—Стокса переходят в уравнения Эйлера, и в связи с этим уменьшается количество необходимых условий. Так, например, надобность в граничном условии (8) отпадает. Цель расчета:

на примере безградиентного течения -^-=0, соответствующего супер-

дх

позиции равномерного поля скоростей и— 1 и поля скоростей от вихря

1 9

<0 = — яг2, исследовать расхождение численных и аналитических результатов. При этом было положено # = 0,15; /, = 0,084; л = 24; т=14; Дг* =0,0025; Ал: = 0,006; /г= 10; е=10_3. В качестве начального приближения было взято следующее: и[—\, Ц я (^х)2> 1 < я;

и"=1; р* = 0; 1 < / < т.

Эти значения не изменялись в процессе счета. В остальных ячейках было задано и*. = 2, о/. —0,1|2тс(г')2. Эти значения изменялись в процессе счета, причем так, что и\ = и1.. Максимальное отклонение осевой

скорости от точного значения составило 0,2%.

Второе аналитическое решение соответствовало вязкой жидкости, движущейся вдоль оси х с постоянной скоростью и= 1 и вращающейся как твердое тело

ы0(г) = 1, ш0(г) = 1, =0;

ОХ

и1(х)—\, <в1(л:) = 1, р1 (х) = сог^.

Значения Ь, п, т., Аг%, Ах, & и е выбраны такими же, как и в предыдущем расчете, v = 0,02. Максимальное отклонение осевой скорости от точного значения составило 41%.

Для исследования влияния различных факторов на структуру течения выбраны следующие конкретные граничные условия:

«о (г) = 1 + (« — 1) ехр (- г2/г2); «»<''>-1^г11-ехр(-г'/г2)1, ■й4Г- = 0: щ (*) = »« (Я). »,(*) = »0 (Я), =

ОХ

Все переменные приведены к безразмерному виду.

Скорости отнесены к величине щ а,, линейные размеры — к значению Г10с/«100, угловая скорость — к величине Г100/М100, функция тока — к значению Г?оо/йюо, где и1оо и Г100 — скорость и циркуляция набегающего потока при г-»-оо. Число Рейнольдса определим следующим образом: Ие=Г1 «/V.

При одних и тех же граничных условиях структура течения сильно зависит от числа Ие. При достаточно больших числах Яе на оси течения наблюдаются рециркуляционные зоны. Уменьшение числа Ие влечет за собой уменьшение размера рециркуляционной области. Дальнейшее уменьшение Ие приводит к тому, что возвратные токи исчезают. На рис. 1—3 показаны линии тока при Ке_1 = 0,02; 0,03; 0,04. При этом было

ф

полежно a=2, r^1 =60; y = 0- Величины R и L выбирались достаточно большими (так, чтобы их увеличение приводило к незначительным изменениям нулевой линии тока). Изменение осевой скорости вдоль оси течения показано на рис. 4.

На рис. 5 показаны линии тока при Re^ = 0,04; a = 2; = 60; у =

=^ 600. Изменение осевой скорости вдоль оси для этих условий показано на рис. 4.

Интересно отметить, что независимо от наличия рециркуляционных зон осевая скорость при изменении вдоль оси течения имеет минимум. Хотя значение минимума довольно сильно меняется, его местоположение на оси течения, как это видно из рис. 4, практически не меняется.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лейбович С. Распад вихря. — В кн.: Вихревые движения жидкости.— М.: Мир, 1979. (Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 21).

2. L а V а n Z., IN i е 1 s е п Н., F е j е г A. A. Separation and flow reversal in swirling flows in circular ducts.—• Phys. Fluids, 1969, vol. 12, N 9.

3. Kopecky R. M,. Torrance К. E. Initiation and structure of axisymmetric eddies in a rotating stream.—'An International. — J. Computers and Fluids., 1973, vol. 1, >N 3.

4. В e n a у R., Modelisation numerique de e’eclatement d’un torbillon en ecoulement laminaire de revolution. — La Recherche Aerospatiale, 1984, N 4.

5. Grabowski W. J., Berger S. A. Solutions of the Navier—Stokes equations for vortex breakdown. — J. Fluid Mech., 1976, vol. 75, Part 3.

6. H a n-G a n g Shi, Krause E. Numerische untersuchung des auf-platzens eiines wirbels. — ZAlMM, 1984, vol. 64, N 4.

7. T p и гу б В. H. К вопросу о разрушении вихревой нити. — ПММ,

1985, т. 49, вып. 2.

8. Sarpkaya Т. Vortex breakdown in swirling conical fiows. — AIAA J.,

N 9, 1971.

Рукопись поступила 6/III 1986 г.